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1、20 23年中考数学高频考点突破一圆的综合1.如图，在/f i C中，A。是 8 C 边上的中线，以A 8 为 直 径 的。交 8 c 于点。，过点。作 MNLAC 于点M,交 A3 的延长线于点N,过点8 作 8 G，于点G .(1)求证：ABGDS A DMA；(2)求证：直线MN是。的切线.2.如图，已知等腰直角三角形A BC,点 P是斜边BC上一点(不与B,C重合)，P E 是4A BP的外接圆。0的直径.E(1)求证：4 A P E 是等腰直角三角形；(2)若。的直径为2,求 P C+P B?的值.3.如图，在A BC中，N B=60 ,。是A BC外接圆，过点A作。0的切线，交 C
2、0的延长线于P点，CP 交。于 D；(1)求证：A P=A C；(2)若 A C=3,求 P C 的长.4.如图，点 C 是。0的直径A B延长线上的一点，且有BO=BD=BC.二-、C O(1)求证：CD是。的切线；(2)若半径0 B=2,求A D的长.5.如图，在A BC中，Z CA B=90 ,Z CBA=50 ,以A B为直径作。交BC于点D,点E在边A C上，且满足E D=E A.(1)求N D O A的度数；(2)求证：直线E D与。0相切.6.如图，在平行四边形A BCD中，A E L B C,垂足为点E,以A E为 直 径 的，。与边CD相切于点F,连接BF交。于点G,连接E
3、G.(1)求证：C D =A D +CE.(2)若 A D =4 C E,求 t a n N E G F 的值.7.如图，四边形A BCD为菱形，以A D为直径作e O交A B于点F,连接D B交e O于点H,E是BC上的一点，且 BE=B F,连接D E.(1)求证：D E是e O的切线.(2)若8尸=2,D H =亚,求e。的半径.8.如图，在A 43C中，Z ACB=90 ,CA=C B,点。在A A 3C的内部，。经过B,C两点，交A 3于点。，连接CO并延长交A B于点G,以G O,G C为邻边作.,G D E C.B(1)判断OE与。的位置关系，并说明理由.(2)若点8 是 D8
4、C 的中点，。的半径为2,求 B C 的长.9.如图，A BC内接于。0,A D 与 BC是。0的直径，延长线段A C 至点G,使 A G=A D,连接D G 交。0于点E,E F A B交 A G 于点F.(1)求证：E F 与。0相切.(2)若 E F=2 g,A C=4,求扇形O A C的面积.10 .如图，在 R t A BC中，Z A CB=90 ,点 D 在 A B上，以A D 为直径的。0与边BC相切于点E,与边A C相交于点G,且AG=EG，连接G O 并延长交。于点F,连接BF(1)求证：A 0=A G,BF 是。0的切线.(2)若 B D=6,求图形中阴影部分的面积.11.
5、如图，B D 是，。的直径，弦 B C 与。4相交于点E,与。相切于点A,交.DB的延长线于点 F,Z F =30 ,N B A C =120 ,B C =8.(1)求 的 度 数;(2)求 AC 的长度.12.如图，点 D在以A B为直径的。0上，A D 平分/8 A C,D C L A C,过点B 作。的切线交A D 的延长线于点E.(1)求证：直线CD 是。的切线.(2)求证：C D BE=A D DE.13.如图，A B是。0的直径，A C与。0交于点F,弦A D平分N 3A C,D E 1 A C,垂足(1)试判断直线D E与 的 位 置 关 系，并说明理由；(2)若00的半径为2,
6、Z BA C=6 0 求线段E F的长.14.如图，在A A f i C中，AB=A C =5,B C =6,以A B为直径作。分别交于A C,BC于点D,E,过点E作。0的切线E F交A C于点F,连接BD.(1)求证：E F是CD S的中位线；15.如图，已知A 3是圆。的直径，AC,是圆。的弦，O EI/AC交 B C 于 E,过点B作圆。的切线交0 E的延长线于点D,连接。C并延长交B A的延长线于点F.(1)求证：0c是圆。的切线；(2)若 Z A B C =30,A B=8,求线段 C F的长.16.如图，已知A C、A O是0的两条割线，A C与。交于B、C两点，过圆心。且与 O
7、交 于 区。两点，0 8平分/A O C.(1)求证：(2)过点E的切线交A C于E,若E尸/0 C,0 C=3,求E尸的值.提示：(V2+1)(72-1)=117.如图，点尸为正方形4 5 8 的对角线AC 上的一点，连接3尸并延长交C力于点E,交 A。的延长线于点尸，。是。户的外接圆，连接 P.求证：D P 是。的切线；(2)若 t a n/P C=g,正方形A B C D 的边长为4,求。的半径和线段OP的长.A B1 8.如图，A B是。的直径，弦 A C与 BD 交于点E,且 A C=B D,连接A D,BC.(1)求证：A D Bg Z k BCA；(2)若 O D _ L A C
8、,A B=4,求弦 A C 的长；(3)在(2)的条件下，延长A B至点P,使 B P=2,连接P C.求证：P C是。的切线.参考答案:1.(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据题意，ZBGD=/DMA=90,=即可证明ABGDs公 DMA；(2)连接O。，通过证明0D是4 3 c的中位线得到“W4C,进而根据题意可知即可证得直线MN是。的切线.【解析】(D证明：V MNLAC,BG1MN,：.NBGD=ZDMA=90,ZOBG+ZBDG=90,A8为，。的直径，：.ZADB=9(.),：.ZBDG+ZADM=90,:./DBG=ZADM,在3G。和M4 中，ZDBG=ZADM,NBG
9、D=NDMA,ABGD S&DMA；(2)证明：连接。O,：AD是8 c边上的中线，,BD=DC,:OB=OA,二。是一ABC的中位线，:.DO/AC,V MN 上 AC,：.ODMN,直线MN是。的切线.N【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及切线的判定，熟练掌握圆及三角形的相关综合应用方法是解决本题的关键.2.(1)证明见解析；(2)4.【分析】(1)只要证明ZAEP=ZA8P=45。，ZPA=90。即可解决问题；(2)证 明CAP,BAE,推出Z/BE=N4BC+ZABE=90。，利用勾股定理即可解决问题.【解析】解：(1)证明：AB=AC,ABAC=90,:.ZC=ZABC=45,:
10、.ZAEP=ZABP=45,PE是直径，:.ZPAE=9O,:.ZAPE=ZAEP=45,.-.AP-AE,.二 R 4 E 是等腰直角三角形.(2)AC=AB.A P=A E,ZCAB=ZPAE=90,ZCAP=ZBAE,.-.SCAPSBAE,ZACP=ZAB=45,PC=EB,B E =ZABC+ZABE=90P,PB2+PC2=PBZ+BE2=PE2=22=4.【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角，勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，属于中考常考题型.3.(1)证明过程略；(5分)3/【解析】考点：切线的性质；圆周
11、角定理；解直角三角形.分析：(1)连接0 A,可得N A 0 C=120 ,所以，可得N P=N C=30 ,即可证明；(2)A C=3,所以，P 0=2 6,所以 P C=3g.公(1)证明：连接 A 0,则 A O _ L P A,Z A 0 C=2Z B=120 ,A Z A 0 P=60 ,A Z P=30 ,又,.O A=O C,A Z A CP=30 ,:.N P=N A CP,.A P=A C.(2)解：在 R t a P A O 中，Z P=30 ,P A=3,，A0=5，P 0=2 G；V C0=0 A=73,，P C=P 0+0 C=3G.4.(1)见解析；(2)2 g【分
12、析】(1)由于BO=BD=BC,根据等边三角形的判定和性质，三角形外角性质可得N 0 D C=90 ,从而根据切线的判定方法即可得到结论.(2)由A B 为。0的直径得N BD A=90 ,而 BO=BD=2,A B=2BO=4,根据勾股定理可求出A D.【解析】解：(1)证明：如图，连接0 D,；BO=BD=DO,.OBD 是等边三角形./.Z0BD=Z0DB=60.VBD=BC,.NBDC=；N0BD=30.A Z0DC=90.A O D IC D.：0D为。0的半径，A C D是。0的切线.(2)；AB 为。0 的直径，.NBDA=90.VBO=BD=2,/.AB=2B0=4.AD=AB
13、-BD1=2百 5.(1)ZDOA=100；(2)证明见解析.【分析】(1)根据NCBA=50,利用圆周角定理即可求得N D 0A的度数；(2)连接0 E,利用S S S证明EAOgZkEDO,根据全等三角形的性质可得NED0=NEAO=90,即可证明直线ED与。0相切.【解析】解：(1)ZDBA=50,A ZD0A=2ZDBA=100；(2)证明：连接OE,在EAO 和 ()中，AO=DO,EA=ED,EO=EO,.EAOAEDO,得到NED0=NEA0=90,直线ED与。0相切.6.(1)见解析；(2)tanN EG尸=3.【分析】(1)证明可得AD是。的切线，由 切 线 长 定 理 得
14、尸，同理C E=C尸,则 8=+CE；(2)连接 OD,AF 相交于点 M,设 CE=f,则 A=4/,求得 BE=3r,AB=CD=5 t,可求出 AE=4 r,证得 AF_LO,求出 tan/OD4=4 =P =1,可证明/EGF=NOD4,贝!IAD M 2tan NEG/可求出.【解析】(1)证明：；四边形ABCD是平行四边形，:.AD/BC,:AE1BC,：.AD1OA,A0是。的半径，；.AD是。的切线，又；DF是。的切线，AD=DF,同理可得CE=CF,:CD=DF+CF,:.CD=AD+CE.四边形ABCD是平行四边形，/.AB=CD,AD=BC.:AD=4CE,.,.设 CE
15、=r,则 AD=4r,:.BE=3t,AB=CD=5t,.在 RtAABE 中，A=而%所=4f,/OA=OE=2t 9VDA,DF是。的两条切线，:./ODA=NODF,V DA=DF,NODA=/ODF,：.AF VOD,在 RtVOAZ)中 9 tan 4 0 DA=-=,AD 4t 2,:NOAO=NAME)=90,:.ZEAF=ZODA9:=3F，:.NEGF=/E AF,：./ODA=/EG F,：.tanZEGF=-.2【点评】此题考查圆周角定理、切线的性质、切线长定理、勾股定理、平行四边形的性质以及锐角三角函数的知识.注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键.7.(
16、D见解析；(2)O的半径为：.分析(1)如图1,连接DF,先根据菱形的性质和SAS证明DAFgZXDCE,得NDFA=ZDEC,再由AD是圆的直径得NAFD=90,于是NDEO90。，然后利用可得NADE=90,问题即得证明；(2)如图2,连接AH,先根据等腰三角形三线合一的性质得出。B=20 =2不，再由DF是RtVAO尸和Rt/XBD尸的公共的直角边，根据勾股定理列出关于AD的方程，解方程即可求出AD的长，进一步即可求出圆的半径.【解析】(1)证明：如 图1,连接DF,.四边形ABCD为菱形，:.AB=BC=CD=DA,AD/BC,ZDAB=NC,:BF=BE,：.AB-BF=BC-BE,
17、B P AF=CE,:.DAF g YDCE(SAS),:.ZDFA=ZDEC.；A D 是，。的直径，：.ZDFA=90：.ZDEC=90.:AD/BC,:.AADE=ZDEC=9 0 ,二 0D1DE.：0D是。的半径，.DE是。的切线；(2)解：如图2,连接AH,；A D 是。的直径，:.ZAHD=NDFA=9d,ZDFB=90,V AD=AB,DH=旧,：.DB=2DH=2A/5,在 RtVADF 和 RtABDF 中，,:DF2=AD2-AF-,DF2=BD1-BF2,AD2-AF2=DB2-BF2,，AD2-(AD-BF)2=DB2-BF2,:.AD1-(AD-2)2=(2石门-2
18、2,:.AD=5.。的半径为【点评】本题以菱形为载体，综合考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质和勾股定理等知识，知识点多、综合性强，解答时需注意知识的前后联系，灵活运用方程思想.8.(1)DE是。的切线；理由见解析；(2)B C 的长=|.【分析】(1)连接。，求得/A BC=45。，根据圆周角定理得到NC 8 =2Z A 8C=90。，根据平行四边形的性质得到O E/C G,得 到 必)0+0。=180。，推出0D1 DE,于是得到结论；(2)连接。8,由点8 是 的 中 点，得至!求得N 80 c =N8 8,根据弧长公式即可得到结论.【
19、解析】(1)DE是。的切线；理由：连接0。，Z A C B=90 ,CA=CB,-.ZABC=45,4 COD=2ZABC=90,四边形GDEC是平行四边形，.DE/CG,ZEDO+Z.COD=180,ZEDO=90,OD1.DE,二.DE是。的切线；(2)连接。3,点 4 是 7)8。的中点，BC=BD，/BOC=/BOD,Z.BOC+ZBOD+ZCOD=360,135.4x2 3BC的长=-=一 汽.180 2【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键.Q9.(1)见解析；(2)S 扇 形 OAC=.【分析】(1)连接0 E,由条件知N
20、D=N O ED,证出N O E D=N G,可得OEA G,证明NOEF=180 YAFE=90,即 0 E L E F,则 EF 与。0 相切.(2)连接0 E,过点。作 OHLAC于点H,求出CH,0H的长，再求出OC的长，得出AOC是等边三角形，则NA0C=60,可求出扇形OAC的面积.【解析】(1)证明：如 图 L连接0E,V0D=0E,:.ZD=Z0ED,VAD=AG,A Z D=Z G,A Z0ED=ZG,OEAG,BC是。0 的直径，A ZBAC=90,VEF/7AB,ZBAF+ZAFE=180,A ZAFE=90,V0E/7AG,AZ0EF=180-ZAFE=90,A0EEF
21、,EF与。0 相切；(2)解：如图2,连接0 E,过点。作 0HLAC于点H,VAC=4,CH=1AC=2,2V Z0HF=ZHFE=Z0EF=90,四边形OEFH是矩形，:.OH=EF=2百，在 RtZOHC 中,0C=ylcH2+O H2=百+Q厨=4,V 0 A=A C=0 C=4,A A A 0 C是等边三角形,A ZA0C=60,S 扇形 O A C：60 4 4 8-=一冗.360 3【点评】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算等知识，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握圆的有关性质.10.（1）见解析；见解析；（2）S阴影=生叵
22、-6万.2【分析】（1）先利用切线的性质判断出NACB=Z 0 E B,再用平行线结合弧相等判断出NA0G=Z A G 0,即可得出结论；先判断出AOG是等边三角形，进而得出N B0F=N A0G=60,进而判断出NE0B=60,得出OFB丝ZXOEB,得出N0FB=90,即可得出结论；（2）先判断出NABC=30,进而得出0 B=2 B E,建立方程6+r=2 r,继而求出AG=6,AB=18,AC=9,C G=3,再判断出OGE是等边三角形，得出G E=0 E=6,进而利用根据勾股定理求出C E=3 6,即可得出结论.【解析】解：（D证明：如图1,连接0E,图1。0与BC相切于点E,A Z
23、0 E B=90 ,V ZACB=90,:.ZA CB=Z0E B,AAC/70E,:.ZG 0E=ZA G 0,AG=E G9 ZAO G=ZGOE,J ZAOG=ZAGO,AO=AG；由知，AO=AG,VAO=OG,:.ZAO=OG=AG,/.AOG是等边三角形,A ZAGO=ZAOG=ZA=60,A ZB0F=ZA0G=60,由知，ZG0E=ZA0G=60,.,.ZE0B=180-ZAOG-ZG0E=180-60-60=60,：.ZFOB=ZEOB,VOF=OE,OB=OB,.OFBAOEB(SAS),A Z0FB=Z0EB=90,.OFBF,0F是。的半径，BF是。的切线；(2)如图2
24、,连接GE,图2V ZA=60,/.ZABC=90-ZA=30,A0B=2BE,设。0的半径为r,VOB=OD+BD,:.6+r=2r,.r=6,，AG=0A=6,AB=2r+BD=18,.A C=yA B=9,/.CG=AC-AG=3,由（1）知，ZE0B=60,V0G=0E,.OGE是等边三角形，:.GE=0E=6,根据勾股定理得，CE=7GE2-C G2=招-32=35/3，；.S 阴影=$梯 彩 GC80-S 崩 彩 OGE=；（6+3）X 3J5 一如2 J=2，追6 兀.2 360 2【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边
25、三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出。的半径是解本题的关键.1 1.解：（1）ZATB=30（2）A C=.3【分析】（1）由切线的性质得出A F L O A ,由圆周角定理好已知条件得出/尸=N O 3 C,证出A尸 8 C,得出O A J.8 C,求出/8。4=90。-30。=60。，由圆周角定理即可得出结果；(2)由垂径定理得出8E=CE=g8C=4,得出A B=A C,证明AAOB是等边三角形，得出A B=O B,由直角三角形的性质得出O E=:O 8,BE=y/3OE=4,求出。E=生 叵，即可得出2 4A C=4B=OB=2OE=.3【解析】解：
26、(1)；AF与0 0 相切于点A,/.AF OA,BD是。的直径，NBAD=90。,ZBAC=120,/.ZDAC=30,/.ZDBC=ZDAC=30fZF=30,/F=/D B C,AF BC,OA 1 BC,2304=90。-30。=60。，ZADB=-ZAOB=30；2(2)V OA1.BC,B E=C E=-B C=4 ,2.*.AB=AC,NAOB=60,OAOB,.AOB是等边三角形，.AB=OB,NOBE=30。,:.O E=-O B,BE=y/3OE=4,2,-.0 E=,3.,.AC=AB=0B=20E=.3【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂
27、径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出O A L B C 是解题的关键.12.(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接0 D,由角平分线的定义得到NCAD=NBAD,根据等腰三角形的性质得到ZBAD-ZADO,求得NCAD=NADO,根据平行线的性质得到CDJ_OD,于是得到结论；(2)连接B D,根据切线的性质得到NABE=NBDE=90,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解析】解：证明：(1)连接0D,TAD 平分/B A C,:.NCAD=NBAD,：OA=OD,：.NBAD=ZADO,：.ZCAD=ZADO9:.AC/OD,V C D 1A
28、 C,:.CDLOD,，直线CD是。0的切线；(2)连接BD,BE是。的切线，AB为。的直径,；NABE=NBDE=9(f,：CDAC,：.ZC=ZBDE=90:ACAD=/BAE=ZDBE,:.MCDABDE,.CD AD=.DE BE：.CD BEAD DE.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义.圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.13.（1）直线 DE 与。0 相切；（2）EF=.【分析】（1）欲证明DE是。0的切线，只要证明NODE=90即可；（2）过0作。G L A F于G,得到AF=2 A G,根据直角三角形的性质得到AG=goA=l,得
29、到AF=2,推出四边形AODF是菱形，得到。尸 。4,DF=OA=2,于是得到结论.【解析】（1）直线DE与。0相切，连结0D.TAD 平分 Z3AC,:.ZOAD=ZCAD,：OAOD,:.ZOAD=ZODA,：.ZODAZCAD,：.OD AC,：D EI A C,即/AED =90,:/O D E=9。,BPDEA OD9 DE是。0 的切线；(2)过 0 作 OG，A尸于G,V AF=2AG,A ZBAC=60,OA=29:.AG=-O A=l92 A尸=2,：.A F =OD9，四边形AODF是菱形，V D F/OA,DF=OA=2,：.NEFD=NBAC=60,：.EF=-D F
30、=.2【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.1214.（1）见解析；（2）EF=【分析】（1）连接A E,根据切线的性质求出0E是 A4BC的中位线，即可进行证明；（2）根据勾股定理与中位线的性质即可求解.【解析】（1）证明：连接A E,如图所示：AB为。0 的直径，ZADB=ZAEB=90,A AEBCf B D A C9V AB=AC,:.BE=CE=3,EF是0 0 的切线，：.O E E F f ：OA=OB,0E是 AABC的中位线，A OE AC,：.O E B Df：.BD/EF,:BE=CE,:.CF=DF
31、,EF是 8 3 的中位线；(2)解：NAE5=90,A E =A B2 BE2=J52-32=4，:A/4J5C 的面积=A C x BD=BC x A E,2 2.A B C x A E 6x4 24.B D =-=-=一,A C 5 5：EF是 ACDB的中位线，【点评】此题主要考查圆的性质，解题的关键是熟知切线的性质及三角形的中位线的判定与性质.15.(1)见解析；(2)CF=4A/3【分析】(1)连接O C A C,根据平行线的性质得到Z1=N A C 3,由圆周角定理得到Zl=ZACB=90,根据线段垂直平分线的性质得到8=D C,求得N D B E =N D C E,根据切线的性
32、质得到4 0 8 0 =90,求得O C J_ O C,于是得到结论；(2)解直角三角形即可得到结论.【解析】(1)证明：连接。C A C,:0 E/AC,：.Zl=ZACB,是圆。的直径，Nl=ZACB=90,:.0 D L B C,由垂径定理得0D垂直平分BC,:.D B =DC,：.N D B E =ZDCE,又：O C =OB,:.Z O B E =ZOCE,即/Z)BO=NOCZ),08为圆。的切线，。8 是半径，:.N D B O =90 ,:.N O C D =N D B O =9。,即 OC_LOC,；0 C 是圆。的半径，.,DC是圆。的切线；(2)解：在 MAABC中，Z
33、A B C =30 ,：.A3=60 ,又 OA=O C,AAOC是等边三角形，:.ZCOF=6 0，CF在 RfACOF 中，tan ZCOF=,:.C尸=4 6【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.16.(1)见解析；(2)EF=6-3&【分析】(1)利 用 圆 周 角 定 理 求 出=再根据NA是公共角即可得证；(2)由切线的性质和勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求AE=3直，由EFl IO C,可得A EFS/A 0 C,从 而 可 得:由 此 即 可 求 出 政 的 值.AO OC【解析】(1)。8平分NAOC
34、,J ZBOE=-ZAOC 92又TCE对圆心角是NE0C,对的圆周角是ND,:.ZD=-ZE0C,:./D =/BOE,XVZA=ZA,A A C SA/W O；(2)“尸 切。于E,:.ZOEF=90,:EFHO C,：./DOC=NOEF=90。,V OC=OD=39：CD=IOC2+OD2=3 亚，:ACDAABO,.AD CD 茄 访.AE+6 3/2 -=-9AE+3 3.*AE=3 0 ,V EFHOC,.,.A EF A A O C,.AE EF,茄一工.3 夜 EF 3 及+3 -3:.EF=6-3日【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理，求出A E
35、 的长是本题的关键.1 7.(1)见解析；(2)出,更.3【分析】连接。，证明AC D PC BP,得出ZCDP=NCBP,再得出NCBP+NBEC=90,求出 ZBEC=NOED=NODE,得出 ZCDP+ZODE=90,即可求解；(2)根据N C m/CBE,求出D E=2,再求出EF 为圆的直径，求出N F=N C D P,再根据直角三角形D EF,求出。尸 二 4,求出EF 即可求出半径；利用N F=N P D E,/DPE=NFPD,可得PF PD DFADPES_FPD,可 得 而=方=前,设P E=x,贝!J P D =2 x,求出x 即可.【解析】连接正方形 A H C D 中
36、，CD=BC,CP=CP,ZDCP=ZBCP=45f;C D g：CBP(SAS),/.NCDP=NCBP,求出 DE=2,NBCD=90。,.NCBP+NBEC=90。,OD=OE,:ODE=NOED,/OED=/BEC,ZBEC=ZOED=ZODE,1.NCDP+NODE=90。,ZODP=90,.DP是。的切线；、/CDP=/CBE,CF 1/.tan ZCBE=tan ZCDP=-=-BC 2.0.CE=x4=22/.DE=2,Z D F=9 0,，EF是。的直径，.NF+NT应F=9 0。，:F=4CDP,DE 1在 RfZXDEF 中,=-DF 2DF=4,：.EF=yjDE2+D
37、F2=A/42+22=2 /5.O E=6/F=/PDE,/DPE=/FPD,.DPES LFPD,.PE PD DEPDPFF设=贝!|P D =2 xx(x +2 石)=(2 解得x =|石OP=OE+EP=yf5+-=3 3【点评】本题考查的是圆和正方形的综合运用，熟练掌握圆，正方形，相似三角形的性质是解题的关键.1 8.(1)详见解析；(2)A C =2 百；(3)详见解析.【分析】(1)可证N A C B=N A D B=9 0 ,则由H L定理可证明结论；(2)可证A D=B C=D C,则N A 0 D=N A B C=6 0 ,由直角三角形的性质可求出A C 的长；(3)可得出
38、B C=B P=2,Z B C P=3 0 ,连接0 C,可证出N 0 C P=9 0 ,则结论得证.【解析】(1)证明：A B 是。的直径，.Z A C B=Z A D B=9 0 ,V A B=A B,/.A D B A B C A (H L)；(2)解：如图，连接D C,V O D A C,A AD=DC AD=DC,VAADBABCA,AAD=BC,AAD=DC=BC,A ZA0D=ZABC=60,VAB=4,r：.AC=ABsin600=4x =273;2(3)证明：如图，连接OC,由(1)和(2)可知 BC=VAB2-A C2=2VBP=2ABC=BP=2:.N BCP=N P,V ZABC=60,A ZBCP=30,V0C=0B,ZABC=60,AAOBC是等边三角形，.Z0CB=60,A Z0CP=Z0CB+ZBCP=60+30=90,AOCPC,，PC是。的切线.【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键.