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1、2023年中考数学高频考点突破训练一一圆的综合1.如图，在。0 中，A B 是直径，点 D是。0 上一点且N B 0D=60,过点D作。0 的切线C D 交 A B 的延长线于点C,E为AO的中点，连接D E,E B.(1)求证：四边形B C D E 是平行四边形；(2)已知图中阴影部分面积为6 元，求。0 的半径r.2.如图，A B 为。的直径，点 C,D 在。0 上，且 B C=6c m,A C=8c m,Z A B D=45.(1)求 B D 的长；(2)求图中阴影部分的面积.3 .在。0 中，直径A B=6,B C 是弦，N A B C=3 0,点 P在 B C 上，点 Q 在。0 上
2、，且0P 1P Q.(1)如 图 1,当 P Q A B 时，求 P Q 的长度；(2)如图2,当点P在 B C 上移动时，求 P Q 长的最大值.4.如图，。是A A B C 的外接圆，弦 B D 交 A C 于点E,连接C D,且 A E=D E,B C=C E.(1)求N A C B 的度数；(2)过点。作 0F L A C 于点F,延长F O 交 B E 于点G,D E=3,E G=2,求 A B 的长.5.如图，以a A B C 的一边A B 为直径作。0,。与 B C 边的交点恰好为B C 的中点D,过点 D作。0 的切线交A C 于点E.Aa D C(1)求证：D E A C；若
3、 A B=3 D E,求 t a n N A C B 的值.6.如图，已知P是。外一点，P 0交圆0 于点C,0C=C P=2,弦 A B _ L O C,劣弧A B 的度数 为 120 ,连接P B.(1)求 B C 的长；(2)求证：P B 是。0 的切线.7.如图，在A A B C 中，以B C 为直径作半圆0,交 A B 于点D,交 A C 于点E.A D=A E(2)若 B D=4,B 0=2石，求 A D 的长.8.如图，A B 为。0 的直径，点 C为。0 上一点，若N B A C=N C A M,过点C作直线1 垂直于射线A M,垂足为点D.(1)试判断C D 与。0 的位置关
4、系，并说明理由；(2)若直线1 与 A B 的延长线相交于点E,。的半径为3,并且N C A B=3 0,求 C E 的9.如图，在a A B C 中，N B=60,。是a A B C 的外接圆，过点A作。0 的切线，交 C 0的延长线于点M,C M 交。0 于点D.(1)求证：A M=A C；(2)若 A C=3,求 M C 的长.10.如图，P A,P B 分别切。于点A,B,连结P O,A B 相交于点D,C是。上一点，Z C=60.(1)求N A P B 的大小；若 P 0=20 c m,求a A O B 的面积.11.如图，A B C 中，N A C B=90,D是边A B 上一点，
5、且N A=2N D C B.E是 B C 边上的一点，以E C 为直径的。0 经过点D.(1)求证：A B 是。的切线；(2)若 C D 的弦心距为1,B E=E 0,求 B D 的长.12.如图，A,P,B,C是半径为8 的。0 上的四点，且满足N B A C=N A P C=60,(1)求证：A B C 是等边三角形；(2)求圆心0 到 B C 的距离0D.13 .如图，A B,C D 是。的直径，点 E在 A B 延长线上，F E A B,B E=E F=2,F E 的延长线交C D 延长线于点G,D G=G E=3,连接F D.A(1)求。的半径；(2)求证：D F 是。的切线.14.
6、如图，在A A B C 中，A B=B C,以A B 为直径的。0 交 A C 于点D,D E B C,垂足为E.(1)求证：D E 是。0 的切线；(2)若 D G A B,垂足为点F,交。0 于点G,N A=3 5,0 半径为5,求劣弧D G 的长.(结果 保 留 n )15.如图，在。0 中，直径A B 与弦C D 相交于点P,N C A B=40,N A P D=65.(1)求NB的大小;(2)已知圆心0 到 B D 的距离为3,求 A D 的长.16.如图，A B 是。的直径，B C _ L A B 于点B,连接O C 交0 0 于点E,弦 A D 0C.(1)求证：D E =B E
7、；(2)求证：C D 是。0 的切线.17.如 图.在。0 中.弦 B C 垂直于半径O A.垂足为E.D是优弧B C 上 一 点.连 接 B D、A D、0C,Z A D B=3 0.D(1)求N A O C 的度教；(2)若弦BC=6cm.求图中阴影部分的面积.1 8.如图，在矩形ABCD中，点 0 在对角线AC上，以0 A 的长为半径的圆0 与 AD、AC分别交于点E、F,且NACB=NDCE.(1)判断直线CE与。0 的位置关系，并证明你的结论;(2)若 tanNACB=4l,BC=2,求。0 的半径.2参考答案:1.(1)证明见试题解析 6【分析】(1)连接0E,先由C D 是。0
8、的切线，得到O D J _ C D,于是得到B E C D,再证明D E B C,即可证得结论；(2)连接0 E,设 B E 与 0D 交于F,由(1)知a O D E 是等边三角形，O F J _ B F,即可得到SDEF=S2OEF=SAOBF，则S 阴影=S 成形08口 ,根据扇形的面积公式列方程即可得到结论.(1)解：连接0E,VZ B 0D=60,A Z A 0D=120,YE是 AO的中点，:.AAOE=ZDOE=工 N A。=60=ZBOD,2：E=BE=*D，.O D B E,：C D 是圆0 的切线，.O D C D,:.CD/BEV0E=0D,.D O E 是等边三角形，.
9、N E D O N B 0D=60,：.ED/BC.四边形B C D E 是平行四边形；(2)解：连接0 E,设 B E 与 0D 交于F,由(1)知是等边三角形，O F B F,F 是 0 D 的中点，F是 B E 的中点，S/DEF=S&OEF=S&QBF，S 阴 影 S 扇形08。阴影部分面积为6 冗，.604产 -=O 7 T 9360Ar=6.【点评】本题主要考查了切线的性质，平行四边形的性质与判定，垂径定理，等边三角形的性质与判定，弧、弦、圆心角的关系，扇形面积，正确作出辅助线是解题的关键.2.(1)BD=5正 cm；(2)S 阴 影=cm2.【分析】(1)由AB为。0 的直径，得
10、到NACB=90,由勾股定理求得AB,0B=5cm.连 0D,得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；(2)根据S 阴 影 二 S 扇 形-SAOBD即可得至!j结论.【解析】(1)TAB为。的直径，A ZACB=90,VBC=6cm,AC=8cm,.AB=10cm./.0B=5cm.连 0D,VOD=OB,Z0DB=ZABD=45.A ZB0D=90.：BD=yoB2+BD2=5夜 cm（2）S 阴 影 二 S 庸 形-SAOBD=-冗；X 5X5=25 cm?.360 乙 4【分析】(1)在 RtAOPB中，由OP=OB tanZABC可求得0P=G，连接0 Q,在 RtAOPQ中,
11、根据勾股定理可得PQ的长；(2)由勾股定理可知尸。2=。2 2-。22,0 9为定值，所以当0P最小时，PQ最大.根据垂线段最短可知，当 OPLBC时 0P最小，所以在RtOPB中，由OP=OB sinZABC求得0P的长；在 RtAOPQ中，根据勾股定理求得PQ的长.【解析】解：(1)VO P P Q,P Q A B,A O P A B.在 R t A O P B 中，O P=O B t a n Z A B C=3 t a n 3 0连接 O Q,在 R t O P Q 中，PQ =1OQ2_ o p?=m _(后=瓜.(2)V P Q:=O Q：-OP=9 O P：.当O P 最小时，P
12、Q 最大，此时O P _ L B C.3O P=O B si n Z A B C=3 -si n 3 0=.2P Q 长的最大值为J 9-(1)2=竽.考点：解直角三角形；勾股定理.4.(1)Z A C B=60；(2)A B=7.【分析】(1)由题意可得出 A E B g D E C,从而可得出a E B C 为等边三角形，即可得出答案；(2)由已知得出E F,B C 的长，进而得出C M,B M 的长，再求出A M 的长，再由勾股定理求出 A B 的长.【解析】解：(1)在4 A E B 和中，ZA=ZD/3,.AOB 的面积为：!ABOD=1 X 10 73 X 5=25 73.【点评】
13、本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，三角函数以及线段垂直平分线的判定和性质，掌握切线的相关知识是解题的关键.11.(1)证明见解析；(2)B D=26.【分析】(1)连接0D,如 图 1 所示，由O D=O C,根据等边对等角得到一对角相等，再由N D O B为C O D 的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出Z D 0B=2Z D C B,又N A=2N D C B,可得出N A=N D 0 B,又N A C B=90,可得出直角三角形 A B C中两锐角互余，等量代换可得出NB与N 0 D B 互余，即 0D 垂直于B D,确定出A B 为圆0 的切
14、线，得证；(2)过 0 作 0M 垂直于C D,根据垂径定理得到M为 D C 的中点，由B D 垂直于0 D,得到三角形 B D O 为直角三角形，再由B E=O E=O D,得到0D 等于0 B 的一半，可得出N B=3 0,进而确定出/D 0B=60,又 O D=O C,利用等边对等角得到一对角相等，再由N D 0 B 为三角形D O C 的外角，利用外角的性质及等量代换可得出N D C B=3 0,在三角形C M O 中，根据3 0角所对的直角边等于斜边的一半得到0C=20M,由弦心距0 M 的长求出0 C 的长，进而确定出0D 及0 B 的长，利用勾股定理即可求出B D 的长；【解析】
15、(1)证明：连接0 D,如 图 1所示：VO D=O C,:.N D C B=N 0D C,又N D 0 B 为a C O D 的外角，:.Z D 0B=Z D C B+Z 0D C=2Z D C B,又,:Z A=2Z D C B,:.Z A=Z D 0B,V Z A C B=90,A Z A+Z B=90,/.Z D 0B+Z B=90,A Z B D 0=90,又在。0 上，；.A B 是。0 的切线；(2)过点0 作 O M _ L C D 于点M,如 图 1,VO D=O E=B E=y B O,N B D 0=90,Z B=3 0,A Z D 0B=60,VO D=O C,，Z D
16、 C B=Z 0D C,又为(:的外角，:.N D 0B=N D C B+N 0D C=2N D C B,A Z D C B=3 0,.,在 R t A O C M 中,Z D C B=3 0,O M=1,.0C=20M=2,，0D=2,B 0=B E+0E=20E=4,.在R t B D O 中，根据勾股定理得：B D=2 g；【点评】考点：1.切线的判定；2.含 3 0度角的直角三角形；3.垂径定理；4 圆周角定理.12.(1)证明见解析(2)4【解析】解：(1)证明：.N A P C 和N A B C 是同弧所对的圆周角，.N A P C=N A B C.又 .在A A B C 中，Z
17、B A C=Z A P C=60,Z A B C=60.,.Z A C B=180-Z B A C -Z A B C=180-60 -60=60 .A B C 是等边三角形.(2)连接O B,A B C 为等边三角形，。为其外接圆，.,.0为A A B C 的外心.，B 0 平分N A B C.，N 0B D=3 0.，0D=8X g=4.(1)根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知N B A C=N A P C=60可得A A B C 的每一个内角都等于60。，从而得证.(2)根据等边三角形三线合一的性质，得含3 0度角直角三角形O B D,从而根据3 0度角所对边是斜边一半的性质，得 0D=
18、8x g=413.(1)2；(2)证明见解析【分析】(1)。0 半径为R,则 O D=O B=R,在 R t O E G 中，Z 0E G=90,由勾股定理得出方程(R+3)2=(R+2)2+32,求出即可；(2)证 F D G g Z k O E G,推出N F D G=N 0E G=90,求出0 D L D F,根据切线的判定推出即可.【解析】解：设。0 半径为R,则 O D=O B=R,在 R t Z k O E G 中，Z O E G-9O0,由勾股定理得：O G2=O E2+E G2,/.(R+3)2=(R+2)2+32,R=2,即。0 半径是2.(2)V0B=0D=2,，0G=2+
19、3=5,G F=2+3=5=0G,在FDG和aOEG中FG=OG/5,sin 600 0 E =y0C2-C E2=74x 3-9=73 A B=A C9 .Z.BOC=2 Z A O C=120,S阴 影=S扇形OK-S 0B C=X T T X(2 6)一，x 6x 百3 60 1 2=4-3 /3(c/7t21.【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、三角函数的定义、扇形面积的计算及勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键.18.(1)相切4【解析】解：(1)直线C E 与O相切.理由如下：四边形A B C D 是矩形，BC/AD,Z A C B =ZDAC.又 Z ACB=ZDCE,:
20、D A C =NDCE.如答图所示，连接0 E,贝!|Z D A C =N A E O =N Q C E.NDCE+NDEC=90,.-.ZAEO+ZDEC=90.ZOEC=9 0 ,即 OE_LCE.又OE是。的半径，直线CE与O相切.(2)tanZACB=,BC=2,BC 2AB=BC tan ZACB=s/2,AC=y/6.又 ZACB=ZDCE9tan ZDCE=tan ZACB=.2:.DE=DCnADCE=.方法一：在木CDE 中，C E N c if+DE，CE=J(4?+=技连接 O E,设，。的半径为 r,则在RtZiCQE中，C O=o S+C S,B P(-r)2=r2+3,解得r=亚4方法二：AE=AD-DE=l,过点。作 于点 M,则=2 2在 中，OA=-4-4=cos Z.EAO 2 V6 4