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1、高中数学2019A版必修二知识点总结第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念6.2平面向量的运算6.3平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用第七章复数7.1复数的概念7.2 复数的四则运算7.3复数的三角表示第八章立体几何初步8.1基本立体图形8.2立体图形的直观图8.3 简单几何体的表面积与体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直第九章统计9.1随机抽样9.2用样本估计总体第十章概率10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率第六章平面向量及其应用6.1 平面向量的概念一、向量的定义1.向量
2、：既有大小，又有方向的量叫做向量。（两个要素：大小、方向）2.数量：只有大小，没有方向的量叫做数量。二、向量的几何表示1.向量用有向线段表示：（1）有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。（2）以A为起点，B为终点的有向线段记作：AB 。（3）有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。（4）向量的模(向量的长度)：AB 的大小，记作AB 。（5）零向量：长度为0的向量，记作 0 。（若 a =0，则 a 为零向量）（6）单位向量：长度等于1个单位的向量。（7）平行向量：方向相同或相反的非零向量，记作 a b 。注：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a ，都有 0 a 。三、相等向量与共线向量1
3、.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作 a = b 。2.共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上的向量。注： a b 且 b c ，则 a c 是错误的。6.2平面向量的运算一、向量加法运算及其几何意义1.向量的加法（1）定义：设 AB = a ，BC = b ，则向量 AC 叫做a与b的和，记作： a + b ，即 a + b =AB+BC=AC 。求两个向量和的运算，叫做向量的加法。CC（2）向量加法的三角形法则：根据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则。（首尾相连，起点指向终点）DABBA平行四边形法则 AB + AC = AD三角形法则 AB + BC =
4、AC（3）向量加法的平行四边形法则：起点平移到同一点，以这两个向量为邻边作平行四边形，这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和。（4）对于零向量与任一向量 a ，我们规定： a + 0 = 0 + a = a （5）当 a ， b 不共线时， a + b a + b a - b （6）向量的加法交换律： a + b = b + a （7）向量的加法结合律：（ a + b ）+ c = a +（ b + c ）二、向量减法运算及其几何意义1.向量的减法（1）相反向量：我们规定与 a 长度相等，方向相反的向量叫做 a 的相反向量，记作 - a 。 AB 的反向量为 BA （ 或- AB ） AB
5、 + BA = 0 。（2）我们规定：零向量的相反向量仍是零向量，即1. a +(- a )=( a )+ a = 0 2. a = - b ， b = - a , a + b = 03. a - b = a + (- b ) 4. - 0 = 0 5. -(- a ) = a 2.向量减法的几何意义：已知 a 、 b ，在平面内任取一点O，作 OA = a ， OB = b ，则 BA = a - b 。即 a - b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量。 O a A a b b a - b B三、向量数乘运算及其几何意义1.向量的数乘：一般地，我们规定实数 与向量 a
6、的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。 记作： a （1） 规定： a = a （2） 规定：当 0时， a 的方向与 a 的方向相同，当 0时， a 的方向与 a 的方向相反，当 = 0时， a = 0 2.运算律（设 、为实数）结合律 ( a ) = ( ) a 第一分配律 ( + ) a = a + a 第二分配律 ( a + b ) = a + b （1）特别地，我们有 ( - ) a = -( a ) = ( - a ) ( a + b ) = a + b 3.向量共线定理（1）若向量 a （ a 0）与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，时 b = a （2）若 a = 0 ，
7、则 0 = 0 ，此时与 无关，不是唯一一个。（3）向量共线符号特点： a b b = a 4.三点共线：一般地，要判断A,B,C三点是否共线，只需看是否存在实数 ，使得 AB = AC （或 BC = AB 等）四、向量的数量积B1.向量的夹角：已知两个非零向量 a ， b ，O是平面上的任意一点，做 OA = a ， OB = b ，则AOB（0）叫做 a 与 b 的夹角。 b O a A（1）向量的平行：当=0时， a 与 b 同向；当=时， a 与 b 反向（2）向量的垂直：当=2时， a b 2.平面向量的数量积（内积）：已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为，我们把数量 a
8、b cos叫做 a 和 b 的数量积（或内积）（1）数量积记作 a b ，即 a b = a b cos（2）是 a 和 b 的夹角（3） a cos （或 b cos）叫做向量 a 在 b 方向上（或 b 在 a 方向上）的投影。（4）我们规定，零向量与任一向量的数量积为0 。3.向量数量积的性质：（1） a 与 b 同向： a b = a b cos = a b （2） a 与 b 反向： a b = a b cos = - a b （3） a 与 b 垂直： a b =0（4） a a = a a cos0 = a 2 （5） a = a a （6） a b = a b cos= a b
9、 cos a b （7）（ a + b ）2 = a 2+2 a b + b 2 （8）（ a + b ）（ a - b ）= a 2 - b 2 4. a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos的乘积。5.运算律（1） a b = b a （2）（ a ） b =（ a b ）= a （ b ）（3）（ a + b ） c = a c + b c 6.3平面向量基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理1.定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 1、2 ，使 a = 1
10、 e1 + 2 e2 。（1）基底：把不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（2）夹角：已知两个非零向量 a 和 b ，作 OA = a , OB = b , 则AOB=（0180）叫做向量 a 和 b 的夹角。 1.当 = 0 时， a 和 b 同向， 记作 a b （即共线）。 2.当 = 180 时， a 和 b 反向，记作 a b （即共线）。 3.当 = 90 时， a 和 b 垂直，记作 a b 。二、平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。2.向量的坐标表示： a =（x，y）（1）在平面直角
11、坐标系中，分别取x轴，y轴。方向相同的两个单位向量（即模为1），i、j作为基底。对于平面内的一个向量 a ，由平面向量 基本定理可知，有且只有一对实数x、y 使得 a = x i +y j 。（2） a =（x，y） i =（1，0） j =（0，1） 0 =（0，0） y a j 1 i O 1 X三、平面向量的坐标运算1.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。 a + b = （x1+x2，y1+y2） a - b = （x1 - x2，y1 - y2）2.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 a =（ x1 + y2 ）3.一个向量的坐标等于表示
12、此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。四、平面向量共线的坐标表示1.设 a =（x1，y1）， b =（x2，y2）,其中 b 0 。若 a 、 b 共线，当且仅当存在实数，使 a = b ，坐标表示为（x1，y1）=（x2，y2）。得x1=x2 ，y1=y2 ，消去后得 x1y2-x2y1=0 。结论：当且仅当 x1y2-x2y1=0 时，向量 a 、 b （ b 0 ）共线。2.证明共线：（1） a = b （2）x1y2-x2y1=03.向量的中点坐标公式：P1（x1，y1） 、 P2（x2，y2），则中点坐标为（x1+x22，y1+y22）五、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1
13、.坐标表示 （ a =（x1，y1）， b =（x2，y2） ）（1） a b =x1x2+y1y22.模 【 a =（x，y） ， A（x1，y1） 、B（x2，y2） 】（1） a = a a =x2+y2（2） a 2 =x2+y2（3） AB =（x2-x1，y2-y1） 、 AB =(x2x1)2+(y2y1)2 a b a b （4） a b a b =0 x1x2+y1y2=03.夹角（1） cos = a b a b = x1x2+y1y2x12+y12 x22+y226.4 平面向量的应用一、余弦定理a2=b2+c22bccosA cosA=b2+c2a22bcb2=a2+c
14、22accosB cosB=a2+c2b22acc2=a2+b22abcosC cosC=a2+b2c22ab二、正弦定理在三角形ABC中，若ABC的外接圆的半径为R ，则有如下公式：（注：作三边的中垂线，焦点为圆心，圆心到顶点的距离为半径）asinA =bsinB = csinC = 2R 变形：a = b sinAsinB = c sinAsinC 变形：a = 2RsinAb = a sinBsinA = c sinBsinC b = 2RsinBc = a sinCsinA = c sinCsinB c = 2RsinC变形：sinA= a2R sinB= b2RsinC= c2R变形
15、：abc = sinAsinBsinC 三、三角形的面积SABC = 12 acsinB = 12 absinC = 12 bcsinA第七章复数7.1复数的概念一、数系的扩充和复数的概念1.复数：我们把集合C= a+bia，bR 中的数，即形如a+bi（a，bR）的数叫做复数。虚数单位：i 复数集：全体复数所成的集合C叫做复数集。（1）表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a，bR），这一表示形式叫做复数的代数形式。 a：复数z的实部 b：复数z的虚部（2）在复数集C= a+bia，bR 中任取两个数a+bi ，c+di（a，b，c，dR），（3）复数相等：我们规定：a+bi 与c+d
16、i 相等的充要条件是a=c且b=d 。2.复数分类：（1）实数： 对于复数a+bi ，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0.（2）虚数：当b0时，叫做虚数 当a=0且b0时，叫做纯虚数 ；当a0且b0时，叫做非纯虚数 。二、复数的几何意义1.复数的几何意义：根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定。因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。bZ：a+bioayx（1）若点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi ，可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。x轴叫做实轴y轴叫做虚
17、轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。（2）复数的集合意义：一一对应每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反之复平面内的每一个点，有唯一的一个复数 和它对应。即 复数z=a+bi 复平面内的点Z(a，b)一一对应复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连结OZ，显然向量 OZ 由点Z唯一确定；反之，点Z也可以由向量OZ 唯一确定。即 复数z=a+bi 平面向量OZ2.复数的模：（1）向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记作z或a+bi，如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于a。由模的定义可知：z=a+bi= r =a2+b2（r0，rR）（2）
18、复平面内任意两点间的距离：设复平面内任意两点P、Q所对应的复数分别为Z1、Z2，则PQ=Z2-Z1, Z1Z2=x2x1，y2y13.共轭复数（1）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数（ 复数z的共轭复数为z ）。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。（2）性质：z=a+bi z=abi ，z=a2+b2 ，z=a2+(b)2 =a2+b2 在复平面内表示复数z及其共轭复数 z 的点关于虚轴对称，并且到坐标原点的距离下相等。 z+z=2a ，zz=2bi z z=a2+b2 故 z z=z2=z27.2 复数的四则运算一、复数的加减运算及其几
19、何意义1.复数的加法法则：设z1=a+bi ，z2=c+di是任意两个复数，那么（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i 2.复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3C，有：（1）交换律：z1+ z2= z2+ z1（2）结合律：(z1+ z2)+ z3= z1+( z2+ z3) 3.复数加法的几何意义：OZ1=a，b OZ2=c，d OZ1+OZ2=(a+c，b+d)二、复数的乘除运算1.复数的乘法法则：设z1=a+bi ，z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积：(a+bi) (c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i可以看出，两个复数相
20、乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可。连个复数的积是一个确定的复数。2.复数的乘法运算律：对任意z1，z2，z3C，有：（1）z1 z2= z2 z1（2）(z1 z2) z3= z1 ( z2 z3)（3）z1 ( z2 + z3)= z1 z2 + z1 z3三、复数的除法法则1.复数的除法法则：(a+bi)(c+di)=ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i （c+di0）由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数。（1）分母实数化：复数除法就是分子、分母同时乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，最后写成a+bi
21、（a，bR）的形式。7.3复数的三角表示一、复数的三角表示式1.一般地，任何一个复数z=a+bi（a,bR）都可以表示成r(cos+i sin)的形式。（1）r是复数z的模（2）是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角。（3）r(cos+i sin)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。2.规定在02范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作arg z，即0arg z2。3.复数乘除运算的三角表示（1）两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。（2）两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的
22、辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。设z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2)z1z2=r1cos1+isin1r2cos2+isin2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)z1z2=r1cos1+isin1r2cos2+isin2=r1r2cos12+isin12 （z20）第八章立体几何初步8.1基本立体图形一、空间几何体：占据着空间的一部分，只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫空间几何体。1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。（1）面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。（2）棱：相邻
23、两个面的公共边叫做多面体的棱。（3）顶点：棱与棱的公共顶点叫做多面体的顶点。2.旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何，叫做旋转体。（1）轴：这条定直线叫做旋转体的轴。 轴 顶点 棱 面 侧棱 侧面 顶点 底面3.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。（1）底面：两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底）。（2）侧面：其余各面叫做棱柱的侧面。（3）侧棱：相邻侧面的公共边。（4）顶点：侧面与底面的公共顶点。（5）简单性质：1.侧棱都相等，侧面都是平行四边形。2.两个底面与平行于底面的截面是
24、全等的。3.各不相邻的侧棱所形成的斜面是平行四边形。（6）棱柱的分类：1.按底面边多少分：n棱柱（n3） 2.按侧棱与底面的关系分：垂直：直棱柱、正棱柱(底面为正多边形) 三棱柱 四棱柱 不垂直：斜棱柱 1.底面为直角三角形 1.直平行六面体 2.底面为等边三角形 2.正四棱柱 3.底面为等腰直角三角形 3.正方体 （非棱柱）4.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形。（1）底面：多边形面。 （3）顶点：各侧面的公共顶点。（2）侧面：有公共顶点的各个三角形。 （4）侧棱：相邻侧面的公共边。（5）简单性质：1.侧面、对角面都是三角形。2.平行于底面的截面与底面相似。3.其相似比等
25、于顶点到截面距离与高的比的平方（6）棱锥的分类：按底面多边形变数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥 1.正三棱锥： 1.正四棱锥： 1.正六棱锥：底面是正三角形，侧棱都相等 底面都为正方形，侧棱都相等 正棱锥：底面是正多2.正四面体： 边形，顶点在底面上的所有面都是正三角形，各棱长都相等 正投影是底面的中心。5.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。（1）下底面：原棱锥的底面。（2）上底面：原棱锥的截面。 上底面（3）特点：两底面一定相似，延长线必交于一点。 下底面 6.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。（1）轴：旋转轴。 母线 轴展开（
26、2）底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面。 （3）侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面。 长方形（4）母线：不垂直于轴的边。 侧面（5）正圆柱：轴截面为正方形（母线=圆直径） 底面7.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。（1）正圆锥：轴截面为正三角形 球心 半径8.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。9.球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。（1）球心：半圆的圆心。（2）半径：半圆的半径。（3）直径：半圆的直径。8.2立体图形的直观图一、空间几何体的直观图1.空间几何体的直观图：通常是平行投影下画出的空间
27、图形。2.画平面图形的直观图（斜二测画法） 步骤：（1）在原图中建立适当的直角坐标系。（2）在平面内作一个坐标系xoy，且满足ox为x轴，oy为y轴，且xoy=45(135)（3）在原图中与x轴平行的线段不变，与y轴平行的线段减半 A A h1 h B O D C a面积： S原图与S直观图之间的关系： S直观图S 原图 =24 （三角形，四边形，多边形等均成立） 推导：BC=a，AD=h，AO=h1 ，AO=2AO=2 h1 Sin45=h1 ，h1=hsin45S直观图=12ah ，S原图=12 aAO=12 a2 h1=ah1 S直观图S 原图 =248.3 简单几何体的表面积与体积一、
28、多面体的表面积1.柱体：（1）圆柱（表面积）：S表=2r(r+l) （2）棱柱（表面积）：S表= S侧+ S底 O 2r S侧=r l l l S侧=2r l 2r r r o2.锥体：（1）圆锥（表面积）：S表=r(r+l) （2）棱锥（表面积）：S表= S侧+ S底3.台体：（1）圆台：S表=(r2+r2+r l +rl) （2）棱台：S表= S侧+ S底二、空间几何体的体积1.柱体：V柱=Sh （棱柱与圆柱）2.锥体：V锥=13 Sh （棱锥与圆锥）3.台体：V台=13（S+SS+S）h （棱台与圆台）4.球：V球=43R3 S球=4R2 （1）球的截面： 小圆1.大圆：球面被经过球心的
29、平面截得的圆2.小圆：球面被不经过球心的截面截得的圆 大圆（2）与球有关的组合体：1.内切2.外接（3）球面距离：球面两点与圆心所组成的弧线 1.优弧：大于半圆的弧 2.劣弧：小于半圆的弧8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面：几何里平面是无线延展的。平面内有无数个点，平面可以看成点集合。1.点线面位置关系的表示：（1）点、线：、 （2）线面：、 （3）面、面：2.确定平面的方法：（1）不共线的三点确定一个平面 （2）两条平行直线确定一个平面（3）两条相交直线确定一个平面 （4）一条直线与线外一点确定一个平面3.性质（三个公理）（1）如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在
30、此平面内（2）过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。 A A l B B C P l 公理1 公理2 公理3 Al，Bl，A l P，且P = l且Pl二、空间中直线与直线之间的位置关系1.空间两条直线的位置关系：（1）异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（2）共面直线：1.相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点。 2.平行直线：同一平面内，没有公共点。2.平行直线的公理及定理（公理4）（1）公理4：平行于同一条直线的两条直线的两条直线互相平行。 ab，bc ac 性质：空间平行线的传递性（2）
31、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 ABCD，B+C= 或 B=C a三、空间中直线与平面之间的位置关系 a1.直线在平面内 a A 2.直线在平面外：相交、平行四、平面与平面之间的位置关系 1.两个平面平行 l2.两个平面相交 8.5 空间直线、平面的平行一、直线与平面平行的判定1.定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 a，b，且ab a a2.方法：（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行 b （2）判定定理：线线平行 线面平行 （条件：“内”、“外”、“平行”）二、平面与平面平行的判定1.定理：一个平面内的两条相交直线与另
32、一个平面平行，则这两个平面平行。 a a，b，ab=P，a，b P b2.方法：（1）定义法：两个平面没有公共点（2）判定方法三、直线与平面平行的性质 1.定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 a，a，=b ab a b四、平面与平面平行的性质 1.定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。b ，=a，=b aba 2.两个平面平行的性质： （1）如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行。（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（3）如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和
33、另一个平面相交。（4）夹在两平行平面的平行线段相等。8.6 空间直线、平面的垂直一、直线与平面垂直的判定 1.直线L与平面互相垂直 L（1）直线L与平面内的任意一条直线都垂直。L（2）平面的垂线：直线L P（3）直线L的垂面：平面 （4）垂足：直线与平面垂直时，它们惟一的公共点PL2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。ab La， Lb，a，b，ab=P L二、直线与平面所成的角P1.平面的斜线：一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直的直线。OA2.斜足：斜线和平面的交点A3.射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO, 过垂足O和斜足A的直线AO叫斜线在这个 平面上的射影。4.这条直线和这个平面所成的角：平面的一