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1、高中数学必修12知识点概要必修1数学知识点第一章、集合与常用逻辑用语1.1、集合的概念1、 把研究的对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 。集合三要素： 。2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合 。3、 常见数集符号表示：正整数集合：_，整数集合：_，有理数集合：_，实数集合：_.4、集合的表示方法： , , .1.2、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的 。记作_.2、 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的 .记作：_.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：_.并规定：空集合是任何集合
2、的子集.4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有_个子集,有 个真子集.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 .记作：_.2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的 .记作：_.3、全集、补集的符号表示？_1.4、充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出.这时，我们就说，由可推出，记作，并且说是的 ，是的 .2.充要条件如果“若，则”和它的逆命题“若则”均是真命题，即既有，又有就记作 .此时，我们就说是的 ，简称为 .1.5全称量词与存在量词1.全称量词
3、与存在量词（1）全称量词短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示.常见的全称量词还有 ， ， ， 等.含有全称量词的命题，叫做 .全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为 ，读作 .（2）存在量词短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示.常见的存在量词还有 ， ， ， 等.含有存在量词的命题，叫做 .存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 ，读作 .2.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定： .全称量词命题的否定是 量词命题.（2）存在量词命题的否定： .存在量词命题的否定是 量词命题.第二章、
4、一元二次函数、方程与不等式2.1等式性质与不等式性质1.比较原理；.2.等式的基本性质性质1 如果，那么 ；性质2 如果，那么 ；性质3 如果，那么 ；性质4 如果，那么 ；性质5 如果，那么 .3.不等式的基本性质性质1 如果，那么 ；如果，那么 .即性质2 如果，那么 .即，.性质3 如果，那么 .由性质3可得，.这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质4 如果，那么 ；如果，那么 .性质5 如果，那么 .性质6 如果，那么 .性质7 如果，那么 （，）.2.2 基本不等式1.重要不等式，有，当且仅当 时，等号成立.2.基本不等式如果，则，当且仅当时，等号成立.叫做正
5、数，的 平均数，叫做正数，的 平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.3.与基本不等式相关的不等式（1）当时，有，当且仅当 时，等号成立.（2）当，时，有，当且仅当 时，等号成立.（3）当时，有，当且仅当 时，等号成立.4.利用基本不等式求最值已知，那么（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值 ；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 .2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 .2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根
6、R 第三章 函数的概念与性质3.1.1、函数的概念1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个 ，记作：.2、一个函数的构成要素为： .如果两个函数_，则称这两个函数相等.3.1.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：_.3.2.1、单调性与最大（小）值1、 注意函数单调性证明的一般格式（三个步骤）： 3.2.2、奇偶性1、 一般地，_，那么就称函数为 .偶函数图象关于_对称.2、 一般地，如果_，那么就称函数为 .奇函数图象关于_对称.3.3、幂函数1、几种幂函数的图象：第四章 指数
7、函数与对数函数4.1 指数1.n次方根与分数指数幂（1）方根如果，那么叫做的次方根，其中，且.当是奇数时，正数的次方根是正数，负数的方根是负数.这时，的方根用符号 表示.当是偶数时，正数的次方根有 ，这两个数互为 .这时，正数的正的次方根用符号 表示，负的次方根用符号 表示. 正的次方根与负的次方根可以合并写成 （）.负数 偶次方根.0的任何次方根都是 ，记作 .式子叫做 ，这里叫做 ，叫做 .关于根式有下面两个等式：；.2.分数指数幂（1）正分数指数幂（，）.0的正分数指数幂等于 .（2）负分数指数幂（，）.0的负分数指数幂没有意义.（3）有理数指数幂的运算性质（，）；（，）； （，）.3.
8、 无理数指数幂及其运算性质（1）无理数指数幂的概念当是无理数时，是 .（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，均有下面的运算性质.（，）；（，）； （，）.4.2 指数函数1.指数函数的概念函数（，且）叫做 ，其中指数是自变量，定义域是 .2.指数函数的图象和性质一般地，指数函数（，且）的图象和性质如下表所示：图 象定义域值 域性 质（1）过定点 ，即 时， （2）在上是 函数（2）在上是 函数4.3 对数1.对数的概念一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 .其中叫做对数的 ，叫做 .当，且时，.2. 两个重要的对数（1）常用对数：以 为底的对数
9、叫做常用对数，并把记为 .（2）自然对数：以（是无理数，）为底的对数叫做自然对数，并把记作 .3. 关于对数的几个结论（1）负数和0没有对数；（2）；（3）.4. 对数的运算如果，且，那么；（）.5. 换底公式： （，且，）.4.4 对数函数1. 对数函数的概念一般地，函数（，且）叫做 ，其中是自变量，定义域是 .2.对数函数的图象和性质图象定义域值域性质（1）过定点 ，即当时，.（2）增函数（2）减函数3. 反函数指数函数（，且）与对数函数（，且）互为 ，它们的定义域与值域正好 .互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称.4.5 函数的应用（二）1. 函数的零点与方程的解方程的根与函数的零点
10、1、方程有实根函数的图象_函数有_.2、 性质：如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且_，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得_，这个也就是方程的_.第五章、三角函数5.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角终边相同的角的集合： .3、 与角终边共线的角的集合： .5.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 .2、 .3、弧长公式：.4、扇形面积公式：.5.2.1、任意角的三角函数1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：.2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设） ，.3、 ，在四个象限的符号和三角函数线的画法.4、 诱导公式
11、一：（其中：）5、 特殊角0，30，45，60，90，120，150，180，210，270的三角函数值.5.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系：.2、 商数关系：.5.3、三角函数的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）1、 诱导公式二： 2、诱导公式三： 3、诱导公式四： 4、诱导公式五： 5、诱导公式六： 两角差的余弦公式1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、 2、3、 4、.5、.二倍角的正弦、余弦、正切公式1、，变形：.2、， 变形1：，变形2：.3、.5.4.1、正弦、余弦函数的图象1、作出与的图像2、 对照图象写出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称
12、轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、 会用五点法作图.5.4.2、正弦、余弦函数的性质1、 周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.的周期为_;单调增区间是_;单调减区间是_；对称中心是_;对称轴是_最大值为 最大值点为 ;最小值为 ，最小值点是 的周期为_;单调增区间是_;单调减区间是_；对称中心是_;对称轴是_最大值为 最大值点为 ;最小值为 ，最小值点是 的周期为_;单调增区间是_;对称中心是_;5.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：作出的图像2、 能够对照图象讲出正
13、切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.正弦： 余弦： 5.5、函数的图象1、 能够讲出函数的图象和函数的图象之间的平移伸缩变换关系.2、 对于函数：有：振幅A，周期，初相为，相位是，频率.它的单调区间_,最值_.必修2数学知识点第六章、平面向量6.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 _的量叫做向量.6.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做_，有向线段包含三个要素：_、_、_.2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作_；长度为零的向量叫做 ；_的向量叫做单位向量.3、_的向量叫做平行向量（或共线向量）.
14、规定：零向量与 向量平行.6.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做 .6.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形法则和平行四边形法则.2、 .6.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 _ 叫做的相反向量.6.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下： ,当时, 的方向与的方向_；当时, 的方向与的方向_.2、 平面向量共线定理：向量与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使_.6.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量
15、，有且只有一对实数，使.6.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 .6.3.3、平面向量的坐标运算1、 设，则： ，.2、 设，则： .6.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设，则线段AB中点坐标为_， ABC的重心坐标为_.6.4.1、平面向量的数量积及其含义1、 .2、 在方向上的投影为：_.3、 .4、 .5、 .6.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设，则：2、 设，则：.1、正弦定理：_.2、余弦定理：_3、三角形面积公式：第七章 复数【7.1】复数的概念1、数系的扩充和复数的概念（1）复数的定义：形如abi（a，bR）的数叫做_，其中i叫做_，全体复数所构成的集合
16、Cabi|a，bR叫做_.（2）复数通常用字母_表示，代数形式为z_（a，bR），其中a与b分别叫做复数z的_与_.（3）复数相等：在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi（a，b，c，dR），我们规定：abi与cdi相等当且仅当_.（4）复数的分类对于复数abi（a，bR），当且仅当_时，它是实数；当且仅当_时，它是实数0；当_时，叫做虚数；当_时，叫做纯虚数.这样，复数zabi（a，bR）可以分类如下：，集合表示：2、复数的几何意义（1）复平面（复平面中点的_表示复数的实部，点的_表示复数的虚部）（2）复数的几何意义复数zabi（a，bR）复平面内的点_.复数zabi（a，bR
17、）平面向量_.（3）复平面上的两点间的距离公式：_（，）.（4）复数的模定义：向量的模叫做复数zabi（a，bR）的模或绝对值.记法：复数zabi的模记为|z|或|abi|.公式：|z|abi|_（a，bR）.如果b0，那么zabi是一个实数，它的模就等于_（a的绝对值）.（5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部_，虚部互为_时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做_.复数z的共轭复数用_表示，即如果zabi，那么_.（6）两个实数_比较大小，但两个复数如果不全是实数就_比较大小。（7）解复数方程若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根.【7.2】复数的四则运算1、复数的加
18、、减运算及其几何意义（1）复数的加法法则运算法则：设z 1abi，z 2cdi（a，b，c，dR）是任意两个复数，那么（abi）（cdi）_，两个复数的和仍然是一个确定的复数.复数加法的几何意义：如图，复数z 1z 2是以，为邻边的平行四边形的_所对应的复数.加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3c，有z 1z 2_，（z 1z 2）z 3_.复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（ac）（bd）i对应的向量，复数的加法可以按照_的加法来进行.（2）复数的减法法则运算法则：复数的减法是加法的_；设z 1abi，z 2cdi是任意两个复数，则（abi）（cdi）_，两个复数的差是一个确定
19、的复数.复数减法的几何意义：如图，复数z 1z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量_ 所对应的复数.2、复数的乘、除运算（1）复数的乘法运算复数的乘法法则：设z 1abi，z 2cdi（a，b，c，dR），则z 1z 2（abi）（cdi）_.复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3C，有交换律z 1z 2z 2z 1乘法对加法的分配律z 1（z 2z 3）z 1 z 2z 1 z 3结合律（z 1z 2）z 3z 1（z 2z 3）（2）复数的除法运算设z 1abi，,z 2cdi（cdi0），则复数的除法的实质是_.若分母为abi型，则分子、分母同乘_；若分母为abi型，则分子、
20、分母同乘_.3、几个重要的结论若为虚数，则4、运算律5、关于虚数单位i的一些固定结论：第八章立体几何初步1、空间几何体的结构常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱：_叫做棱柱。棱锥：_叫棱锥。(4) 棱台：_叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是_的。3、 空间几何体的表面积与体积（一） 多面体的表面积：_（二） 多面体的体积：_（三） 旋转体的表面积和体积： 圆柱侧面积；圆锥侧面积：圆台侧面积：体积公式：；球的表面积和体积：.1、
21、 基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有_。2、基本事实2：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线_。3、基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_过该点的公共直线。4、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线_.5、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_。6、线线位置关系：_。7、线面位置关系：直线在平面_、直线和平面_、直线和平面_。8、面面位置关系：_。9、线面平行：判定：_。性质：_。10、面面平行：判定：_。性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么_。11、线面垂直：定义：如果_，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条
22、直线与一个平面内的两条_都垂直，则该直线与此平面垂直。性质：垂直于同一个平面的两条直线_。12、面面垂直：定义：两个平面相交，如果_，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的_，则这两个平面垂直。性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线_另一个平面。第九章：统计【9.1】随机抽样1、抽样方法：_（总体个数较少）_（总体个数较多）_（总体中差异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为_。2、总体分布的估计：平均数：；取值为的频数分别为fi（i=1，2，k），则其平均数为_；注意：频率分布表计算平均数要取_。方差与标准差：一组
23、样本数据方差：；标准差：注：方差与标准差_，说明样本数据越稳定。平均数反映数据_水平；方差与标准差反映数据的_水平。3、获取数据的基本途径：通过_获取数据、通过_获取数据、通过_获取数据、通过_获取数据。【9.2】用样本估计总体1、画频率分布直方图的步骤（画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，而不是频率）（1）求极差：极差是一组数据中_与_的差.（2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成_组，一般取_组距，并且组距应力求_.（3）将数据分组.（4）列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是_，频率合计是_.（5）画频率分布直方图：横轴表示样本
24、数据，纵轴表示_.小长方形的面积组距_.各小长方形的面积和等于_.）2、其他统计图表_直观描述各类数据占总数的比例_直观描述不同类别或分组数据的频数和频率_描述数据随时间的变化趋势3、第p百分位数（1）定义：（第50百分位数就是_，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据_这个值，且至少有（100p）%的数据_这个值.（2）计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按_排列原始数据第2步，计算i_第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为_；若i是整数，则第p百分位数为_（3）四分位数：2
25、5%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为_，其中第25百分位数也称为_或_，第75百分位数也称为_或_4、总体集中趋势的估计（1）众数、中位数和平均数的定义众数：一组数据中出现_的数中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于_的数.如果个数是偶数，则取_的平均数平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数（2）众数、中位数和平均数的比较名称优点缺点众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感中位数不受少数几个极端数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响对极端值不敏感平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的
26、极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大5、总体离散程度的估计（1）一组数据x 1，x 2，x n的方差和标准差若数据x 1，x 2，x n的平均数为，则数据x 1，x 2，x n的方差为_标准差为_.（2）总体方差和标准差如果总体中所有个体的变量值分别为Y 1，Y 2，Y N，总体的平均数为，则称_为总体方差，_为总体标准差。如果总体中所有个体的变量值分别为y 1，y 2，y n，总体的平均数为，则称_为总体方差，_为总体标准差。（3）加权方差：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（kN）个，不妨记为Y 1，Y 2，Y k，其中Y i出现的频
27、数为f i（i1，2，k），则总体方差为_。十章：概率【10.1】随机事件与概率1、有限样本空间与随机概率（1）随机试验对随机现象的实现和对它的观察称为_，简称_，常用字母E表示研究具有以下特点的随机试验：试验可以在_条件下_进行；试验的所有可能结果是_的，并且不止一个；每次试验总是恰好_，但事先不能确定出现哪一个结果（2）样本空间把随机试验E的每个可能的基本结果称为_，全体样本点的集合称为试验E的_，一般地，用表示_，用表示_，如果一个随机试验有n个可能结果1，2，n，则称样本空间1，2，n为_。（3）随机事件、必然事件、不可能事件一般地，随机试验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子
28、集来表示，把样本空间的子集称为_，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为_，随机事件一般用大写字母A，B，C，表示，当且仅当A中某个样本点出现时，称为_。作为自身的子集，包含了所有样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，称为_。空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称为_。2、事件的关系和运算事件关系或运算的含义（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件）事件关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生并事件（和事件）A与B至少一个发生交事件（积事件）A与B同时发生互斥（互不相容）A与B不能同时发生互为对立A与B有且仅有一个发生3、古典概型（1）概率：对随机事件发
29、生可能性大小的度量（数值）称为事件的_.事件A的概率用_表示（2）古典概型：（有限性与等可能性是判断古典概型的两个重要依据）定义：一般地，若试验E有如下特征：_：样本空间的样本点只有有限个_：每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为_，其数学模型称为古典概率模型，简称_。（3）计算公式_。4、概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有_性质2：必然事件的概率为_，不可能事件的概率为_，即P（）_，P（）_。性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（AB）_。_性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）_，P（A）_。性质5：如果AB，那么P（A）_P（B）。性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（AB）_。【10.2】事件的相互独立性1、相互独立事件：对任意两个事件A与B，如果_成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.2、相互独立事件的性质：如果事件A与B相互独立，那么_与B，A与_，_与_也相互独立.21学科网（北京）股份有限公司