《第十章概率知识点复习导学案- 高中数学人教A版（2019）必修第二册.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十章概率知识点复习导学案- 高中数学人教A版（2019）必修第二册.docx（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第十章概率知识点复习导学案10.1随机事件与概率【知识点一】样本点和样本空间定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间=为有限样本空间【知识点二】 随机事件、必然事件与不可能事件随机事件:我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,表示，在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.必然事件:作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生
2、,所以总会发生,我们称为必然事件.不可能事件:空集中不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件.【知识点三】事件的关系和运算1.事件的关系定义符号图示包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB，则称事件A与事件B相等AB2.交事件与并事件定义符号图示并事件(或和事件)一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(或积事件)一般地，事件A
3、与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)3.互斥事件和对立事件定义符号图示互斥事件一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即AB，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)AB对立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即AB，且AB，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为ABAB【知识点四】古典概型1.随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.2.古典概型一般地，若试验E具有以下特
4、征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.3.古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A).【知识点五】概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P()1，P()0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)P(A)P(B).性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)1P(A)，P(A)1P(B).性质5如果AB，那么P(A)P(B)
5、.性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AB)P(A)P(B)P(AB).10.2事件的相互独立性【知识点一】相互独立事件的概念对任意两个事件A与B，如果P(AB)P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.【知识点二】相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.10.3频率与概率【知识点一】频率的稳定性在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可
6、以用频率fn(A)估计概率P(A).【知识点二】随机模拟用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.基本题型一、独立事件、互斥事件、对立事件的判断【例11】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球【答案】D【解析】根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的
7、交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.【例12】（多选）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）A事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【解析】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”
8、是互斥事件，B正确对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确故选：BD【例13】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面向上”，设事件 “第二枚硬币正面向上”，则( )A事件与互为对立事件B事件与为互斥事件C事件与事件相等D事件与相互独立【答案】D【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面向上”，设事件 “第二枚硬币正面向上”，事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，事件与事件相互独立【变式11】（多选）从装有两个
9、红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】AB【解析】”至少有一个黑球“中包含“都是黑球，正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，不正确【变式12】分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，设事件 “第一枚骰子的点数为奇数”，事件 “第二枚骰子的点数为偶数”，则A与互斥
10、B与不对立C与相互独立D【答案】BCD【解析】分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，设事件 “第一枚骰子的点数为奇数”，事件 “第二枚骰子的点数为偶数”，则事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，与相互独立，故错误，和都正确；，故正确【变式13】在一个随机试验中，彼此互斥的事件，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是A与是互斥事件，也是对立事件B与是互斥事件，也是对立事件C与是互斥事件，但不是对立事件D与是互斥事件，也是对立事件【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于，事件，彼此互斥，则与是互斥事件，但（A），则与不是对立
11、事件，错误；对于，事件，彼此互斥，则与是互斥事件，但（D），则与不是对立事件，错误；对于，事件，彼此互斥，则与是互斥事件，但，则与是对立事件，错误；对于，事件，彼此互斥，则与是互斥事件，但，则与是对立事件，正确【变式14】（多选）若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是A“甲站排头”与“乙站排头” B“甲站排头”与“乙不站排尾”C“甲站排头”与“乙站排尾 D“甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】BCD【解析】根据题意，依次分析选项：对于，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件，对于，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于，甲站排头”时，乙可以“站排
12、尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于，“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件【变式15】随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件，记“向上的点数之差为奇数”为事件，则( )ABC，互斥但不对立D，对立【答案】事件与事件既不能同时发生，又不能同时不发生，是对立事件【解析】随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件，记“向上的点数之差为奇数”为事件，则事件与事件既不能同时发生，又不能同时不发生，是对立事件，故，均错误，正确【变式16】分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事
13、件具有相互独立性的是_.(填序号)A，B； A，C； B，C.【答案】【解析】根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式计算可得P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(AC)0.25，P(BC)0.25.可以验证P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.【变式17】下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )A运动员甲射击一次,“射中
14、9环”与“射中8环”B甲乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C甲乙两运动员各射击一次,“甲乙都射中目标”与“甲乙都没有射中目标”D甲乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”【答案】ACD【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲乙都射中目标”与“甲乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目
15、标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,故AB不独立,故选：ACD二、独立事件、互斥事件、对立事件概率的计算【例21】甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为 【答案】【解析】设事件事件表示“甲参加知识竞赛”，事件表示“乙参加知识竞赛”，则（A），（B），甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为：（A）（B）【例22】（多选）已知事件，且（A），（B），则下列结论正确的是A如果，那么，B如果与互斥，那么，C如果与相互独立，那么，D如果与相互独立，那么，
16、【答案】BD【解析】由事件，且（A），（B），知：对于，如果，那么，故错误；对于，如果与互斥，那么（A）（B），故正确；对于，如果与相互独立，那么（A）（B），（A）（B），故错误；对于，如果与相互独立，那么，（A），故正确【例23】某高校的入学面试中有4道不同的题目，每位面试者都要回答这4道题目已知李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为，假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试用表示事件“李明答对第道题” ，2，3，（1）写出所有的样本点；（2）求李明通过面试的概率【解析】解：（1）用表示事件“李明答对第道题” ，2，3，则所有的样本点为：，（
17、2）李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为，假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试李明通过面试的概率为：【例23】溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率【解析】解：（1）记“甲队
18、总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为（A），甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，其概率为（B）甲队总得分为3分与1分的概率分别为，（2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，则（C），事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，则（D），由题意得事件与事件相互独立，甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：（C）（D）【变式21】已知三个事件，两两互斥且（A），（C），则 【答案】0.9【解析】三个事件，两两互斥，可得（B），则（A）（B）（C）【变式22】抛掷一
19、个质地均匀的骰子的试验，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为ABCD【答案】A【解析】事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“不小于5的点数出现”，（A），（B），又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件和事件为互斥事件，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为（A）（B）【变式23】为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的
20、概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率【解析】解：（1）设事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，则表示“甲赢得比赛”， ，表示“乙赢得比赛“，派甲参赛赢得比赛的概率更大（2）设表示“甲赢得比赛”， 表示“乙赢得比赛”，由（1）知，表示“两人中至少有一个赢得比赛”，【变式24】甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点，在点处投中一球得2分
21、，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点，在点处投中一球得3分，不中得0分已知甲、乙两人在点投中的概率都为，在点投中的概率都为且在，两点处投中与否互不影响设定甲、乙两人先在处各投篮一次，然后在处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为（1）求，的值；（2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率【解析】解：（1）设，分别表示在一次比赛中甲得0分，2分，3分，5分的事件，分别表示在一次比赛中乙得0分，2分，3分，5分的事件，根据独立性假定得：，解得，（2）由已知得，设 “星队在一次比赛中的总得分为5分”，则，则（C） “星队”在一次比赛中的
22、总得分为5分的概率为三、古典概型【例31】从两名男生和两名女生中任意抽取两人，若采取有放回简单随机抽样，则抽到的两人中有一男一女的概率是ABCD【答案】C【解析】从两名男生和两名女生中任意抽取两人，采取有放回简单随机抽样，用、表示两名男生，、表示两名女生，基本事件为：、共16种，抽到的两人中有一男一女的基本事件是：、共8种，所以所求的概率是【例32】在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】用表示两位老师的打分，则的所有可能情况有种.当时，可取，共种；当，时，的取值
23、均有种；当时，可取，共种；综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的情况有种，由古典概型的概率公式可得所求概率故选：C.【例33】（多选）已知甲罐中在四个相同的小球，标号1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，则A事件发生的概率为 B事件发生的概率为C事件发生的概率为 D从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为【答案】BC【解析】甲罐中在四个相同的小球，标号1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1
24、个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，对于，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数，事件包含的基本事件有：，共11个，（A），故错误；对于，事件包含的基本事件有：，共11个，（B），故正确；对于，事件包含的基本事件有，共8个，（C）对于，从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，故错误【变式31】某袋中有编号为1，2，3， 4，5，6的6个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】甲先从袋中摸出一个球，有6种可能
25、的结果，乙再从袋中摸出一个球，有6种可能的结果如果按（甲，乙）方法得出总共的结果为：36个甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为30个甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是，故选：A【变式32】把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，有6种分法；共18种分法，则2，3连号的概率为
26、.故选：B.【变式33】史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为ABCD【答案】C【解析】基本事件总数，田忌的马获胜包含的基本事件有3种情况，分别为：田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，则田忌的马获胜的概率为【变式34】人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作；成对的基因中，只要出现了显性基
27、因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”，人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用，表示显性基因、隐形基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为ABCD【答案】B【解析】控制不同性状的基因遗传时互不干扰有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，基本事件总数，他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，分别为：，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为【变式35】甲、
28、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为ABCD【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，假设从高到底为甲、乙、丙、丁，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，基本事件总数有24个，分别为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，甲乙丁，甲丁乙，乙甲丁，乙丁甲，丁甲乙，丁乙甲，甲丙丁，甲丁丙，丙甲丁，丙丁甲，丁甲丙，丁丙甲，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丙丁乙，丁乙丙，抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件有8个，分别为：乙甲丙，丙甲乙，乙甲丁，丁甲乙，丙甲丁，丁甲丙，丙乙丁
29、，丁乙丙，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为【变式36】三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？【解析】记T1正常工作为事件A，T2正常工作为事件B，T3正常工作为事件C，则P(A)，P(B)P(C)，电路不发生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一个正常工作，T2，T3至少有一个正常工作的概率P11，所以整个电路不发生故障的概率为PP(A)P1.四、频率的稳定性与随机模拟【例41】下列说法一定正确的是()A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，
30、若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B.一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D.随机事件发生的概率与试验次数无关【答案】D【解析】A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.【例42】在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为此，用计算机产生15之间的随机数，当出现随
31、机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组例如，产生了20组随机数：423 231 423 344 114 453 525 323 152 342345 443 512 541 125 342 334 252 324 254相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_解：由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423 231 423 114 323 152 342 512 125 342 334 252 324有13组，所以甲获胜的频率为，所以甲获得冠军的概率的近似值约为，故答案为：【变式41】下列说法正确的有()概率是频率的稳
32、定值，频率是概率的近似值；一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；任意事件A发生的概率P(A)总满足0P(A)1；若事件A的概率趋近于0，即P(A)0，则事件A是不可能事件.A0个B1个C2个D3个【答案】C【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值正确基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生正确必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于
33、0，小于1，任意事件A发生的概率P（A）满足0P（A）1，错误若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，错误说法正确的有两个，故选C【变式42】一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：110321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计事件M发生的概率为 A.
34、 29B. 13C. 518D. 23【答案】B解：事件A包含红色小球和黄色小球，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6组，故所求概率P=618=13故选B五、统计与概率综合【例51】某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）已知这100人中，分数段的人数比，分数段的人数多6人（1）根据频率分布直方图，求，的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数
35、）（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率【解析】解：（1）依题意，解得，中位数为（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件由题意知，在分数为，的同学中抽取4人，分别用，表示，在分数为，的同学中抽取2人，分别用，表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：，共15种，抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，共8种，所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为【例52】为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：
36、，并将得到的数据按如下方式分为9组：，绘制得到如图的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在，的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数；范围用左开右闭区间表示）；（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为，和，的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率【解析】解：（1）由频率分布直方图得：样本落在，的频率为0.02，0.15，0.27，0.23，落在
37、，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01，样本落在，的频率为：，样本中用电量在，的用户数为（2）为了使的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的分位数，的分位数必位于，内，分位数为280第二档的范围可确定为，（3）由题可知，样本中用电量在，的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4，在，的用户有2户，设编号为，则从6户中任取2户的样本空间为：，共15个样本，设事件 “走访对象来自不同分组”，则，（A），走访对象来自不同分组的概率【变式51】4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统
38、计他们每周课外阅读的时长如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图（1）已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中，的值；（2）试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；（3）为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从，和，两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率【解析】解：（1）从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长，样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，（2）由频率分布直方图得该市中学生阅读时长不小于10小时的频率为：估计该市中学生
39、阅读时长不小于10小时的概率为0.15（3）用比例分配的分层抽样的方法从，和，两组中共抽取了6名学生参加座谈会，从，中抽取：人，从，中抽取：人，从这6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，基本事件总数，这2名学生来自不同组包含的基本事件个数这2名学生来自不同组的概率【变式52】受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学，某学校“停课不停学“，利用云课平台提供免费线上课程，该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图（1）求图中的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率，若采用分层抽样的方法，从样本评分在，和，
40、内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在，内的概率【解析】解：（1）由频率分布直方图的性质得：，（2）由频率分布直方图得：，的频率为，的频率为，中位数为：（3）由题知评分在，内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在，内的为2人，评分在，的有3人，记评分在，内的3位学生为，评分在，内的2位学生为，则从5人中任选2人的所有可能结果为：，共10种，其中，评分在，内的可能结果为，共3种，这2人中至少一人评分在，的频率为【变式53】2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“”模式，其中语文、数学、外语
41、三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试选，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：，画出频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中的值；（2）由频率分布直方图；求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3
42、）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在，和，的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率【解析】解：（1）由，解得（2），三科总分成绩的中位数在，内，设中位数为，则，解得，即中位数为224三科总分成绩的平均数为：（3）三科总分成绩在，两组内的学生分别为25人，10人，抽样比为，三科总分成绩在，两组内抽取的学生数量分别为：人，人，设事件表示“抽取的这2名学生来自不同组”，从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，基本事件总数，事件包含的基本事件个数，抽取的这2名学生来自不同组的
43、概率（A）【变式53】某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表人数（万）0，0.2)0.2，0.4)0.4，0.6)0.6，0.8)0.8，1.0)1.0，1.2)1.2，1.4频数（天）88162424a32（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a和这组数据的65%分位数；（2）据统计，每10个进入
44、沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为该沙滩的人数（X为10的倍数，如有8006人，则X取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润（单位：元），求Y和X的函数关系式以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率 解：（1）由总人数为160知. 由图表知道人数在1.0以下的是50%，在1.2以下的是80%，我们不妨假设1.0到1.2是均匀分布的，1.0+=1.1，所以65%分位数是1.1. 正确画出频率分布直方图. （2）由题意知：当时，Y=101000=10000元. 7分当时，=1.5X-5000，所以. 设销售的利润不少于7000元的事件记为.实际