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1、 2017 年八下数学培优专题-勾股定理 一、基础知识 1.勾股定理：_ 2.勾股定理逆定理：_ 若等边三角形的边长为 a，则等边三角形的面积是 _ 3.4 a、b、c 为 ABC 三边，不是直角三角形的是（）A a2 c2 b2 B A B C 3 4 5 C a 5，b 1，c 3 D a 8k，b 17k，c 15k 4 4 5一直角三角形两边长分别为 3、4，那么第 3 边长为 _。=。=，6.在 Rt ABC 中，C=90，CD AB 于 D，AC=3，BC=4，则 CD DB C A D B 4.若等边三角形的边长为 a，则等边三角形的面积是 _。5.已知 ABC 中，AB=AC=
2、13，BC=10，则 ABC 的面积是 _。6 已知 ABC 中，AB=AC=6，BAC 120，则 ABC 的面积是 _。7如图所示，已知在 Rt ABC 中，ACB 90，AB 4，分别以 AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1、S2，则 S1 S2 的值等于 _ 8如图，一架 2.5 m 长的梯子 B 向外移动 0.8 m，求梯子的顶端 AB 斜靠在一竖直的墙 A 向下滑了多少米？AO 上，这时 BO 为 0.7 m，如果梯子的底端 解：由题意可知：AB 2.5，OB 0.7 在 Rt AOB 中，OA AB2 OB2 2.4 BD 0.8 OD OB BD 0.8 0.7 1.5
3、 在 Rt OCD 中，OCCD 2 OD 2 2 AC OA OC 2.4 2 0.4 即梯子的顶端 A 向下滑 0.4 m 二、典型例题 例 1.一根直立于水中的芦苇 BD 高出水面 1 米，一阵风吹来，芦苇的顶端 D 恰好到达水面的 C 处，且 C 到 BD 的距离 CA 4 米，问水的深度 AB 及这根芦苇的长度 BD 各为多少米？AB=x BC=BD=(x+1)(1 0 AC=4 BAC=90 AB 2+AB2=BC2(2 4 2+x 2=(x+1)2(3 x=7.5 AB=7.5 BD=x+1=8.5(5 AB 7.5 8.5(6 2 如图，每个小正方形的边长都为 1.(1)直接写
4、出四边形 ABCD 的面积;(2)求证：BCD=90 .A B （1）解：四边形 ABCD 的面积为：14.5 （2）证明：连接 BD.由题意及勾股定理得：D C BD 42 32 5 BC 42 22 25CD 12 22 5 BC2 CD2 25 BD2 BCD 2ABCABC=45 ACB=60 AC 4 AB AMBC M.ACB=60 MAC=30 MC 1AC 2 2 Rt MAC AM AC2 MC 2 2 3 ABC=45 BMA=90 ABC=BAM=45 BM AM 2 3 Rt ABM AB AM 2 BM 2 2 6 为三边不是直角三角形的是一直角三角形两边长分别为那么
5、第边长为在中于则若等边三角形的边长为则等边三角形的面积是已知中则的面积是已知中则的面积是如图所示已知在中分别以为直径作半圆面积分别记为则的值等于如图一在中即梯子的顶端向下滑二典型例题例一根直立于水中的芦苇高出水面米一阵风吹来芦苇的顶端恰好到达水面的处且到的距离米问水的深度及这根芦苇的长度各为多少米如图每个小正方形的边长都为直接写出四边形的面积求证解四痕的长是多少与点重例在中点为直线上一点求的长例已知的周长为斜边求的面积例如图在中且求的长解作于点在中由勾股定理得在中由勾股定理得例如图中的面积作于设建立方程例如图中求的长作于例如图中求的长过点作于例如图 例 3.在三角形纸片 ABC 中，C=90，
6、A=30，AC=3，折叠该纸片，使点合，折痕与 AB、AC 分别相交于点 D 和点 E（如图），折痕 DE 的长是多少？B D C E A 与点 B 重 A 例 4.在 ABC 中，AB 13，AC 15，点 D 为直线 BC 上一点，BD 5，AD 12，求 BC 的长 为三边不是直角三角形的是一直角三角形两边长分别为那么第边长为在中于则若等边三角形的边长为则等边三角形的面积是已知中则的面积是已知中则的面积是如图所示已知在中分别以为直径作半圆面积分别记为则的值等于如图一在中即梯子的顶端向下滑二典型例题例一根直立于水中的芦苇高出水面米一阵风吹来芦苇的顶端恰好到达水面的处且到的距离米问水的深度及
7、这根芦苇的长度各为多少米如图每个小正方形的边长都为直接写出四边形的面积求证解四痕的长是多少与点重例在中点为直线上一点求的长例已知的周长为斜边求的面积例如图在中且求的长解作于点在中由勾股定理得在中由勾股定理得例如图中的面积作于设建立方程例如图中求的长作于例如图中求的长过点作于例如图 例 5.已知 Rt ACB 的周长为 4 2 3，斜边 AB 2 3，求 Rt ACB 的面积 例 6 如图，在 ABC 中，ABC=45，ACB=60，且 AC 4，求 AB 的长 A 解：作 AM BC 于 M 点.ACB=60 MAC=30 MC 1AC 2 B C 2 在 Rt MAC 中，由勾股定理得：AM
8、 AC2 MC 2 2 3 ABC=45，BMA=90，ABC=BAM=45，BM AM 2 3 在 Rt ABM 中，由勾股定理得：AB AM 2 BM 2 2 6 例 7 如图，ABC 中，C=60，AB=13，AC=20，BC=21，ABC 的面积 A B C 作 AD BC 于 D,设 BD=x,CD=21-x,AB 2 BD 2 AD 2 AC 2 CD 2 建立方程 例 8 如图，ABC 中，C=60，AB=70，AC=30，求 BC 的长.A C B 为三边不是直角三角形的是一直角三角形两边长分别为那么第边长为在中于则若等边三角形的边长为则等边三角形的面积是已知中则的面积是已知中
9、则的面积是如图所示已知在中分别以为直径作半圆面积分别记为则的值等于如图一在中即梯子的顶端向下滑二典型例题例一根直立于水中的芦苇高出水面米一阵风吹来芦苇的顶端恰好到达水面的处且到的距离米问水的深度及这根芦苇的长度各为多少米如图每个小正方形的边长都为直接写出四边形的面积求证解四痕的长是多少与点重例在中点为直线上一点求的长例已知的周长为斜边求的面积例如图在中且求的长解作于点在中由勾股定理得在中由勾股定理得例如图中的面积作于设建立方程例如图中求的长作于例如图中求的长过点作于例如图 作 ADBC 于 D 例 9 如图，ABC 中，A=150，AB=2，BC=13，求 AC 的长.A B C 过 B 点作
10、 BDAC 于 D 例 10 如图，ABC 中，ACB=90，CD AB 于 D，设 AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求证：（1）1 1 1 2 +2 =2；a b h C（2）a+b c+h；（3）以 a+b，h 和 c+h 为边的三角形是直角三角形.A D B 为三边不是直角三角形的是一直角三角形两边长分别为那么第边长为在中于则若等边三角形的边长为则等边三角形的面积是已知中则的面积是已知中则的面积是如图所示已知在中分别以为直径作半圆面积分别记为则的值等于如图一在中即梯子的顶端向下滑二典型例题例一根直立于水中的芦苇高出水面米一阵风吹来芦苇的顶端恰好到达水面的处且到的距离米问水的深度及
11、这根芦苇的长度各为多少米如图每个小正方形的边长都为直接写出四边形的面积求证解四痕的长是多少与点重例在中点为直线上一点求的长例已知的周长为斜边求的面积例如图在中且求的长解作于点在中由勾股定理得在中由勾股定理得例如图中的面积作于设建立方程例如图中求的长作于例如图中求的长过点作于例如图 例 11如图，在四边形 ABCD 中，AB 10，CD 8，ABD30，BDC 120，E、F 分别是 AD BC 的中点，求 EF 的长.A E 30 D 120 B F C 12已知直线 AB 分别交 x、y 轴于 A(4，0)、B 两点，C(4，a)为直线 AB 上且在第二象限内一点，若 COA 的面积为 8
12、(1)如图 1，求 C 点的坐标 (2)如图 2 MO MC，直线 OM 经过 O 点，过 C 作 CM OM 于 M，CN y 轴于点 N，连 MN，求式子 MN 的值 (3)如图 3，过 C 作 CN y 轴于点 N，G 为第一象限内一点，且 NGO 45，试探究 GC2、GN2、GO2 之间的数量关系并说明理由 解：(1)C 点的坐标为 (4，4)(2)模型：对角互补四边形 过点 N 作 NDMN 交 MO 的延长线于 D NCM NOM 180，NOD NOM 180 为三边不是直角三角形的是一直角三角形两边长分别为那么第边长为在中于则若等边三角形的边长为则等边三角形的面积是已知中则的
13、面积是已知中则的面积是如图所示已知在中分别以为直径作半圆面积分别记为则的值等于如图一在中即梯子的顶端向下滑二典型例题例一根直立于水中的芦苇高出水面米一阵风吹来芦苇的顶端恰好到达水面的处且到的距离米问水的深度及这根芦苇的长度各为多少米如图每个小正方形的边长都为直接写出四边形的面积求证解四痕的长是多少与点重例在中点为直线上一点求的长例已知的周长为斜边求的面积例如图在中且求的长解作于点在中由勾股定理得在中由勾股定理得例如图中的面积作于设建立方程例如图中求的长作于例如图中求的长过点作于例如图 NCM NOD 可证：NCM NOD（ASA）MC OD，MN ND MND 为等腰直角三角形 MOMC MD
14、2 MNMN (3)过点 N 作 NM NG 交 CO 的延长线于 M，连接 CM NMG 为等腰直角三角形 根据共顶点等腰三角形的旋转模型，得 CNM ONG（SAS）OG CM，CMN NGO 45 CMG 454590 在 Rt CMG 中，CM2 MG 2 CG2 GO2 2GN2 GC 2 13如图，ABC 为等腰直角三角形，AC BC，PA PB，连接 PC (1)若 AB 2，求 AC 的长 (2)求证：PA PB 2 PC (3)若 PA 平分 CAB 交 BC 于 F 点，求证：解：(1)AC 2 (2)过点 C 作 CDCP 交 AP 于点 D PF 2 1 AF 2 AC
15、D DCB 90，BCP DCB 90 ACD BCP 根据八字型可知 CAD CBP 可证：ACD BCP（ASA）CD CP，PB AD PA PB DP 2 PC (3)过 F 作 FHAB 于 H AP 平分 CAB FC FH 设 FC FH 1 则 BF 2，BC 2 1，AB2 2，AH1 2 在 Rt AFH 中，AF 4 2 2 可证：AF 2BP，BP 1 4 2 2 2 4 2 2 在 Rt BFP 中，PF 2 为三边不是直角三角形的是一直角三角形两边长分别为那么第边长为在中于则若等边三角形的边长为则等边三角形的面积是已知中则的面积是已知中则的面积是如图所示已知在中分别
16、以为直径作半圆面积分别记为则的值等于如图一在中即梯子的顶端向下滑二典型例题例一根直立于水中的芦苇高出水面米一阵风吹来芦苇的顶端恰好到达水面的处且到的距离米问水的深度及这根芦苇的长度各为多少米如图每个小正方形的边长都为直接写出四边形的面积求证解四痕的长是多少与点重例在中点为直线上一点求的长例已知的周长为斜边求的面积例如图在中且求的长解作于点在中由勾股定理得在中由勾股定理得例如图中的面积作于设建立方程例如图中求的长作于例如图中求的长过点作于例如图 PF 2 1 AF 2 14如图在 ABC 中，AC BC，ACB 90，P 为直线 AB 上一动点 (1)若 AC3 2，AP4，求 PC 的长 (2
17、)当点 P 在线段 AB 上运动时，试探究 AP、BP、CP 的数量关系，并加以证明 (3)当点 P 在线段 AB 延长线上运动时，Q 在线段 PA 上，且 PCQ 45，AC 3 2，PB 3，则 AQ BQ 的值为（只填结果，不需证明）解：(1)PC 10 (2)AP2 BP2 2PC2 (3)过点 C 作 CD CP，且使 CD CP 根据共顶点等腰三角形的旋转模型，得 CBP CAD（SAS）ADPB 3，CAD CBP 135 QAD 135 45 90 连接 QD PCQ 45 PCQ DCQ 可证：PCQ DCQ（SAS）设 PQ DQ x BQ x 3，AQ 9 x 在 Rt
18、AQD 中，AD 3，AQ 9 x，QD x 2 2 2，解得 x 5 3 (9 x)x AQ 9 x 2 BQ x 3 为三边不是直角三角形的是一直角三角形两边长分别为那么第边长为在中于则若等边三角形的边长为则等边三角形的面积是已知中则的面积是已知中则的面积是如图所示已知在中分别以为直径作半圆面积分别记为则的值等于如图一在中即梯子的顶端向下滑二典型例题例一根直立于水中的芦苇高出水面米一阵风吹来芦苇的顶端恰好到达水面的处且到的距离米问水的深度及这根芦苇的长度各为多少米如图每个小正方形的边长都为直接写出四边形的面积求证解四痕的长是多少与点重例在中点为直线上一点求的长例已知的周长为斜边求的面积例如图在中且求的长解作于点在中由勾股定理得在中由勾股定理得例如图中的面积作于设建立方程例如图中求的长作于例如图中求的长过点作于例如图