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1、勾股定理 一、勾股定理 在直角三角形中，三边长为 a、b、c，其中 c 为斜边，则 a2b2=c2 如：已知 RtABC中，三边长为 a、b、c，其中 a=3，b=4，则 c=_ 答案：.二、直角三角形的性质（1）两锐角互余；（2）RtABC中，c 为斜边，则 a2b2=c2（3）如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半，三边长为 a，2a （4）等腰直角三角形三边长分别为 a，a，例 1、如图，在ABC中，CD AB于 D，若 AB=5，BCD=30，求 AC的长 解：设 BD=x，CD AB，BCD=30.BC=2BD=2x.在 RtBCD中，根据勾股定理得 BD2CD2
2、=BC2.即.解得 x=2.BD=2，AB=5，AD=3.在 RtACD中，由勾股定理有 欢迎下载 2 例 2、如图，在ABC中，C=90，AD、BE是中线，AD=5，求 AB的长 解：设 CE=x，CD=y，则 AC=2x，BC=2y.在 RtACD和 RtBCE中，由勾股定理得 例 3、如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点 M为 BC的中点，MN AC于点 N，求 MN 解：连接 AM，AB=AC，M为 BC的中点 AM BC BM=MC=BC=3.锐角互余中为斜边则如果有一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半三边长为等腰直角三角形三边长分别为例如图在中于若求的长解设在中根
3、据勾股定理得即解得在中由勾股定理有例如图在中是中线求的长解设则在和中由积法得例如图在中是的中点于求的长解连结在和中在中欢迎下载例如图已知求和的长解如图延长交于点在中由勾股定理得一选择题同步测试如图矩形纸片中把矩形纸片沿直线折叠点落在点处交于点若则的长为欢迎下载二填空题在中积是在中斜边则一个直角三角形的两边长分别为和则它的第三边长为已知直角三角形的两条直角边长分别为那么斜边上的高为矩形纸片中按如图方式折叠使点与点重合折痕为则如图已知圆柱体底面圆的半径为高为分别是两底面的直 欢迎下载 3 在 RtAMB 中，由勾股定理得 设 CN=x，则 AN=5 x 在 RtANM 中，MN2=AM2AN2=4
4、2（5x）2 在 RtCNM 中，MN2=MC2CN2=32x2 32x2=42（5x）2，解得 方法 2：由面积法得：AM MC=MNAC.例 4、如图，在ABC中，A=90，P是 AC的中点，PD BC于 D，BC=9，DC=3，求 AB的长 解：连结 PB，BD=BC DC=6 在 RtBDP和 RtPDC中 PD2=BP2BD2，PD2=PC2DC2 BP2BD2=PC2DC2 BP2PC2=BD2DC2=369=27 在 RtABP中，AB2=BP2AP2.AP=PC 锐角互余中为斜边则如果有一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半三边长为等腰直角三角形三边长分别为例如图在中于若
5、求的长解设在中根据勾股定理得即解得在中由勾股定理有例如图在中是中线求的长解设则在和中由积法得例如图在中是的中点于求的长解连结在和中在中欢迎下载例如图已知求和的长解如图延长交于点在中由勾股定理得一选择题同步测试如图矩形纸片中把矩形纸片沿直线折叠点落在点处交于点若则的长为欢迎下载二填空题在中积是在中斜边则一个直角三角形的两边长分别为和则它的第三边长为已知直角三角形的两条直角边长分别为那么斜边上的高为矩形纸片中按如图方式折叠使点与点重合折痕为则如图已知圆柱体底面圆的半径为高为分别是两底面的直 欢迎下载 4 AB2=BP2PC2=27.例 5、如图，已知A=60，B=D=90，AB=2，CD=1，求
6、BC和 AD的长 解：如图，延长 AD、BC交于点 E B=90，A=60，E=30.AE=2AB=4.在 RtABE中，由勾股定理得.同步测试 一、选择题 1、如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线 AC折叠，点 B落在点 E处，AE交 DC于点 F，若，则 AD的长为（）锐角互余中为斜边则如果有一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半三边长为等腰直角三角形三边长分别为例如图在中于若求的长解设在中根据勾股定理得即解得在中由勾股定理有例如图在中是中线求的长解设则在和中由积法得例如图在中是的中点于求的长解连结在和中在中欢迎下载例如图已知求和的长解如图延长交于点在中由勾股
7、定理得一选择题同步测试如图矩形纸片中把矩形纸片沿直线折叠点落在点处交于点若则的长为欢迎下载二填空题在中积是在中斜边则一个直角三角形的两边长分别为和则它的第三边长为已知直角三角形的两条直角边长分别为那么斜边上的高为矩形纸片中按如图方式折叠使点与点重合折痕为则如图已知圆柱体底面圆的半径为高为分别是两底面的直 欢迎下载 5 A4cm B5cm C6cm D7cm 二、填空题 2、在 RtABC中，C=90，A、B、C所对应的边分别是 a、b、c （1）若 a=3cm，b=5cm，则 c=_ （2）若 a=8cm，c=17cm，则 b=_ （3）若 ab=34，c=10cm，则 a=_，b=_ 3、分
8、别以直角三角形的三边为边向形外作正方形，如图中所示的正方形 A的面积是_，B的面积是_ 4、在 RtABC中，斜边 AB=2cm，则 AB2BC2CA2=_cm2 5、一个直角三角形的两边长分别为 3cm和 4cm，则它的第三边长为_ 6、已知：直角三角形的两条直角边长分别为 6cm、8cm，那么斜边上的高为_ 7、矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点 B与点 D重合，折痕为 EF，则 DE=_cm 8、如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为 2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线若一只小虫从 A点出发，从侧面爬行到 C点，则小虫爬行的最短路线的
9、长度是_（结果保留根式）锐角互余中为斜边则如果有一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半三边长为等腰直角三角形三边长分别为例如图在中于若求的长解设在中根据勾股定理得即解得在中由勾股定理有例如图在中是中线求的长解设则在和中由积法得例如图在中是的中点于求的长解连结在和中在中欢迎下载例如图已知求和的长解如图延长交于点在中由勾股定理得一选择题同步测试如图矩形纸片中把矩形纸片沿直线折叠点落在点处交于点若则的长为欢迎下载二填空题在中积是在中斜边则一个直角三角形的两边长分别为和则它的第三边长为已知直角三角形的两条直角边长分别为那么斜边上的高为矩形纸片中按如图方式折叠使点与点重合折痕为则如图已知圆柱体底面
10、圆的半径为高为分别是两底面的直 欢迎下载 6 三、解答题 9、如图所示，铁路上有 A、B两点（看做直线上两点）相距 40 千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD AB，BCAB，垂足分别为 A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈 E，使得 C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距 A点多少千米处？10、如图所示，地面上有一个长方体，一只蜘蛛在这个长方体的顶点A处，一滴水珠在这个长方体的顶点 C处，已知长方体的长为 6m，宽为 5m，高为 3m，蜘蛛要沿着长方体的表面从 A处爬到 C处，沿着怎样的路线爬行的距离最短？你能求出这个最短距离吗？答案：1、C 2、（1）
11、；（2）15cm；（3）6cm，8cm 3、25；256 4、8 5、5cm或 6、4.8cm 点拨：设斜边上的高为h，7、点拨：设 DE=BE=x cm，则 AE=（10 x）cm，（10 x）242=x2 8、9、AE2242=（40AE）2162，解得 AE=16（千米）10、将长方体上面展开并与前面在同一平面上，则蜘蛛沿对角线 AC 爬行距离最短，最短距离是 锐角互余中为斜边则如果有一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半三边长为等腰直角三角形三边长分别为例如图在中于若求的长解设在中根据勾股定理得即解得在中由勾股定理有例如图在中是中线求的长解设则在和中由积法得例如图在中是的中点于求
12、的长解连结在和中在中欢迎下载例如图已知求和的长解如图延长交于点在中由勾股定理得一选择题同步测试如图矩形纸片中把矩形纸片沿直线折叠点落在点处交于点若则的长为欢迎下载二填空题在中积是在中斜边则一个直角三角形的两边长分别为和则它的第三边长为已知直角三角形的两条直角边长分别为那么斜边上的高为矩形纸片中按如图方式折叠使点与点重合折痕为则如图已知圆柱体底面圆的半径为高为分别是两底面的直 欢迎下载 7 课外拓展 例、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，莲花村六组有四个村庄，A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种
13、架设方案，如图中的实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（以下数据可供参考：）解：不妨设正方形的边长为 1（也可以设为 a），则图（1）、（2）中的总线路长分别为 AD AB BC=3，AB BC CD=3 图（3）中，总线路长为 AC BD=2.828 图（4）中，延长 EF交 BC于点 H，则 FH BC，BH=HC 由FBH=30，BH=及勾股定理，得 EA=ED=FB=FC=，FH=EF=12FH=1 锐角互余中为斜边则如果有一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半三边长为等腰直角三角形三边长分别为例如图在中于若求的长解设在中根据勾股定理得即解得在中由勾股定理有例如图在中是
14、中线求的长解设则在和中由积法得例如图在中是的中点于求的长解连结在和中在中欢迎下载例如图已知求和的长解如图延长交于点在中由勾股定理得一选择题同步测试如图矩形纸片中把矩形纸片沿直线折叠点落在点处交于点若则的长为欢迎下载二填空题在中积是在中斜边则一个直角三角形的两边长分别为和则它的第三边长为已知直角三角形的两条直角边长分别为那么斜边上的高为矩形纸片中按如图方式折叠使点与点重合折痕为则如图已知圆柱体底面圆的半径为高为分别是两底面的直 欢迎下载 8 此时，总线路长为 4EA EF=显然，32.8282.732，图（4）的连结线路最短，即图（4）的架设方案最省电线 点评：这里是逐一计算四条线路的长度，并加
15、以比较，选出最短的方案在方案（4）中注意作铺助线，构成直角三角形，再运用勾股定理 中考解析 例 1、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为 c 和一个边长为 c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形 （1）画出拼成的这个图形的示意图 （2）证明勾股定理 解析：方法一、（1）如图 锐角互余中为斜边则如果有一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半三边长为等腰直角三角形三边长分别为例如图在中于若求的长解设在中根据勾股定理得即解得在中由勾股定理有例如图在中是中线求的长解设则在和中由积法得例如图在中是的中点于求的长解连结在和中在中欢迎下载例如图已知求和的长解
16、如图延长交于点在中由勾股定理得一选择题同步测试如图矩形纸片中把矩形纸片沿直线折叠点落在点处交于点若则的长为欢迎下载二填空题在中积是在中斜边则一个直角三角形的两边长分别为和则它的第三边长为已知直角三角形的两条直角边长分别为那么斜边上的高为矩形纸片中按如图方式折叠使点与点重合折痕为则如图已知圆柱体底面圆的半径为高为分别是两底面的直 欢迎下载 9 （2）证明：大正方形的面积表示为,大正方形的面积也可表示为,，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 方法二、（1）如图 （2）证明：大正方形的面积表示为：，又可以表示为：,，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 例 2、有一块直角三角形的绿地，
17、量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角锐角互余中为斜边则如果有一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半三边长为等腰直角三角形三边长分别为例如图在中于若求的长解设在中根据勾股定理得即解得在中由勾股定理有例如图在中是中线求的长解设则在和中由积法得例如图在中是的中点于求的长解连结在和中在中欢迎下载例如图已知求和的长解如图延长交于点在中由勾股定理得一选择题同步测试如图矩形纸片中把矩形纸片沿直线折叠点落在点处交于点若则的长为欢迎下载二填空题在中积是在中斜边则一个直角三角形的两边长分别为和则它的第三边长为已知直角三角形的两条直角边长分别为那么斜边上的高为矩形纸片中按如图方式折叠使点与点重合折痕
18、为则如图已知圆柱体底面圆的半径为高为分别是两底面的直 欢迎下载 10 形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长 解析：在中，由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况 如图 1，当时，可求 得的周长为 32m 如图 2，当时，可求 由勾股定理得：，得的周长为 如图 3，当为底时，设则 由勾股定理得：，得的周长为 锐角互余中为斜边则如果有一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半三边长为等腰直角三角形三边长分别为例如图在中于若求的长解设在中根据勾股定理得即解得在中由勾股定理有例如图在中是中线求的长解设则在和中由积法得例如图在中是的中点于求的长解连结在和中在中欢迎下载例如图已知求和的长解如图延长交于点在中由勾股定理得一选择题同步测试如图矩形纸片中把矩形纸片沿直线折叠点落在点处交于点若则的长为欢迎下载二填空题在中积是在中斜边则一个直角三角形的两边长分别为和则它的第三边长为已知直角三角形的两条直角边长分别为那么斜边上的高为矩形纸片中按如图方式折叠使点与点重合折痕为则如图已知圆柱体底面圆的半径为高为分别是两底面的直