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1、 典型例题：一、利用勾股定理解决实际问题 例题：水中芦苇（3）以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图），探究 S1 S2与 S3的关系 梯子滑动 1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上 图 图 图 沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理
2、由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？3、如图，南北向 MN 为我国领海线，即 MN 以西为 海，以东为公海，上午 9时 50分，我反走私 A 艇发 方向有一走私艇 C 以每小时 6.4海里的速度偷偷向我 来，便立即通知正在 MN 在线巡逻的我国反走私艇 B 意，反走私 A 艇通知反走私艇 B 时，A 和 C 两艇的 20 海里，A、B 两艇的距离是 12 海里，反走私艇 B 离C是16海里，若走私艇 C的速度不变，最早会在 18 我国领 现正东 领海开 密切注 距离是 测得距 什么时 5如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以正方形 AB
3、CD 的对角线 AC 为边作第二个正方 形 ACEF，再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，记正方形 ABCD 的边长 a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为 a1，a2，a3，an，根据上述规律，则第 n 个正方形的边长 an _ _ 记正方形 ABCD 的面积 S1 为 1，按上述方法所作的正 方形的面积依次为 S2，S3，Sn（n 为正整数），那么 Sn _ 6、如图，RtABC中，C=90，AC=2，AB=4，分别以 AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的 面积为 间进入我国领海？三、关于翻折问题 二、与勾股定理有关的图形问题 1 已知 ABC
4、是边长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt ABC的斜边 AC为直角边，画第二个等腰 Rt 1、如图，折叠矩形纸片 ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使 AD 落在对角线 BD 上，得折痕 DG，若 AB=2，BC 2、如图，把矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 与 AD 相交于点 F.ACD，再以 Rt ACD的斜边 AD为直角边，画第三个等腰 腰直角三角形的斜边长是 Rt ADE，依此类推，第 n 个等 1）求证：FAC 是等腰三角形；2）若 AB=4，BC=6，求 FAC 的周长和面积.G 3、如图，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上
5、F点处，已知 CE 6cm，3在直线上依次摆着七个正方形 的四个正方形的面积是 S1，S2，4如图，ABC 中，C 90，（1）以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形（如图），探究 S1S2与 S3的关系；（2）以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形（如图），探究 S1S2与 S3的关系；（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为 1，2，3，正放置 S3，S4，则 S1 S2 S3 S4 _ AB 16cm，求 BF 的长 4、如图，一张矩形纸片 ABCD 的长 AD=9，宽 求折叠后 BE 的长和折痕 EF 的长。5、矩形纸片 ABCD 的边长 AB=4，AD=2将矩形纸片沿
6、EF 其一面着色（如图），求着色部分的面积。6、如图，矩形纸片 ABCD的边 AB=10cm，BC=6cm，E为 BC 上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点 B 恰好落在 CD边上的点 G处，求 BE的长.BC的中线，ADC=45，把 ADC沿直线 AD翻折，点 C落在点 C 的位置，BC=4,求 BC 的长.五、四、关于最短性问 6、有一圆柱形食品盒，它的高等于 16cm，底面直径为 20cm，蚂蚁爬行的速度为 2cm/s.1，长方体的长为 12cm，宽为 6cm，高为 5cm，一只蚂蚁沿侧面从 A 点向 B 点爬行，问：如果在盒内下底面的 A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点 B 处的食物
7、，那么它至少需要多 少时间 盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含 蚂蚁爬过的最短路程是多少？底面的 A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点 B处的食物，那么它至少需要多少时间?（盒）如果在盒外 的厚度和蚂蚁B 的大小忽略不计，结果可含 A 如图，圆7：侧面展开图是半径为 2 2 cm 的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从 A 点向 B 点爬行，问：A 的最近距1）爬到 B 点时，蚂蚁爬过的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点 C2、如图壁虎在一座底面半径为 罐上边缘的 B 处有一只害虫，是绕着油罐，沿一条螺旋路线，到害2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处，它发现在自己的正
8、上方油 便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而 从背后对害虫进行突然袭击请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕 3：如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边 点，最少要花几秒钟？8、如图，一圆锥的底面半径为 2，母线 PB的长为 6，D为 PB的中点一只蚂蚁从点 A 出发，沿着 圆锥的侧面爬行到点 D，则蚂蚁爬行的最短路程为 4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于 5cm，3cm和 1cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从 A点上有一 A 点出发，沿着 台阶面爬到
9、B 点，最短线路是多少？绕一周 到达 18m，周3长 5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕 建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙 五、关于勾股定理判定三角形形状 1、已知，ABC 中，AB=17cm，BC=16cm，BC 边上的中线 AD=15cm，试说明 ABC 是等腰三 角形。2：已知 ABC 的三边 a、b、c，且 a+b=17，ab=60，c=13,ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？3、如图，在 Rt ABC中，ACB=90，CD AB于D，设 AC=b，BC=a，试说明：；（2）a+b c+h；（3）判断以 a+b、h、c+h 为边的三角形
10、的形 状，并说明理由 1：B 点 则它从下地面 A 点沿表面爬行至右长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行，B B 7 如图，A A 六、关于旋转中的勾股定理的运用：1、如图，ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与 ACP重合，若 AP=3，求 PP的长。变式 1：如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2 3,PC=4,求 ABC的边长.分析：利用旋转变换，将 BPA绕点B逆时针选择 60，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.ABC中，AB=AC,P为 BC上任意一点，求证:AB2 AP2 PB
11、 PC 2，如图，在 ABC中，BAC=90，AB=AC，D是 BC上的点求证：BD2+CD2=2AD 2.八、综合题 1、已知 Rt ABC中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为 45，半径的长等于 CA的扇形 CEF绕 点 C旋转，且直线 CE，CF分别与直线 AB交于点 M，N（）当扇形 CEF绕点 C在 ACB的内部旋转时，如图 1，求证：MN2=AM2+BN；2（思路点拨：考虑 MN2=AM2+BN符2 合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可4、在等腰直角三角形 ABC的斜边 AB上取两点 M,N，使 MCN=45，记 AM=m，MN=x，以 x，m，n 为边长的三角形的形状。（）当扇形 CEF绕点 C旋转至图 2 的位置时，关系式 MN2=AM2+BN是2否仍然成立？若成立，请证 明；若不成立，请说明理由 2、如图，已知反比例函数的图象与一次函数 y=k2x+b 的图象交于 A，B 两点，A（1，n），B（-，-2）（1）求反比例函数和一次函数的解析式；角三角形，能利用勾股定理 1、如 分 七、关于勾股定理的相关将 ACM 沿直线 CE 对折，得 DCM，连 DN，只需证 DN=BN，MDN=90 就可以了请你完成证明过程）