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1、学习必备 欢迎下载 年级：八年级 科目：数学 课题：实数（一）教学目标 1、理解无理数的概念和意义，并能正确识别无理数；2、了解数的算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根、平方根和立方根，理解它们的联系和区别；3、了解开方和乘方是互逆运算，会求非负数的算术平方根和平方根，会求一个数的立方根。重点难点 算术平方根、平方根、立方根的概念理解，求算术平方根、平方根、立方根。教 学 内 容 知识梳理：【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：
2、2-，3等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1个 0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘或除以一个不 为 0 的有理数结果是无理数。如 2,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数
3、：3.141、0.33333、75、252.、32、0.3030003000003（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2）、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,-,4,32其中无理数有()个 【算术平方根】：1.定义：如果一个正数 x 的平方等于 a，即ax2，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号 a”，其中，a 称为被开方数。例如 32=9，那么 9 的算术平方根是 3，即39。特别规地，0 的算术平方根是 0，即00，负数没有算术平方根。2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意
4、义，则被开方数 a 是非负数。（2）算术平方根本学习必备 欢迎下载 身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。例：（1）下列说法正确的是 （）A、1 的立方根是1；B、24；C、81的平方根是3；D、0 没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、981 B、14.314.3 C、3927 D、235（3）2)3(的算术平方根是 。（4）若xx有意义，则 1x_ _。（5）已知ABC的三边分别是,cba且ba,满足0)4(32ba，
5、求 c 的取值范围。平方根：1.定义：如果一个数 x 的平方等于 a，即ax2，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根；，我们称 x 是 a的平方（也叫二次方根），记做：)0(aax 2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0 只有一个平方根，它是 0 本身；（3）负数没有平方根 例（1）若x的平方根是2，则 x=；16的平方根是 （2）当 x 时，x23有意义。（3）一个正数的平方根分别是 m和 m-4，则 m的值是多少？这个正数是多少？3.的性质与22)0()(aaa （1）77)0()22）如：（aaa（2）|2aa中，a 可以取任意实数。如5|5|52 3|3-|3
6、-2）（例：1.求下列各式的值（1）27 （2）27-）（3）249-）（的算术平方根平方根立方根的概念会用根号表示一个数的算术平方根平方根和立方根理解它们的联系和区别了解开方和乘方是互逆运算会求非负数的算术平方根和平方根会求一个数的立方根重点难点算术平方根平方根立方根的概念循环这两个条件常见无理数的几种类型特殊意义的数如圆周率以及含有的一些数如等特殊结构的数看似循环而实则不循环如两个之间依次多个等无理数与有理数的和差结果都是无理数如是无理数无理数乘或除以一个不为的有理数结号的数不一定是无理数如有理数指的是有限小数和无限循环小数而无理数则是无限不循环小数所有的有理数都能写成分数的形式整数可以看
7、成是分母为的分数而无理数则不能写成分数形式例下列各数相邻两个之间的个数逐次增加其学习必备 欢迎下载 2.已知1)12aa（，那么 a 的取值范围是 。3.已知 2x3,化简|3|)-22xx（。【立方根】1.定义：一般地，如果以个数 x 的立方等于 a，即 x3=a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）记为3a，读作，3 次根号 a。如 23=8，则 2 是 8 的立方根，0 的立方根是 0。2.性质：正数的立方根的正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有 0,1，-1.例：（1）64 的 立 方 根 是 （2）若9.28,89.233aba，则 b
8、 等于 （3）下列说法中：3都是 27 的立方根，yy33，64的立方根是 2，4832。其中正确的有（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个【估算】用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。“精确到”与“误差小于”的区别：精确到 1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于 1m，答案在其值左右 1m内都符合题意，答案不唯一。方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。例：
9、估算下列各数的大小（1）（误差小于1.0327 （2）（精确到1.0327 （3）（误差小于133453 用估算的方法比较数的大小 的算术平方根平方根立方根的概念会用根号表示一个数的算术平方根平方根和立方根理解它们的联系和区别了解开方和乘方是互逆运算会求非负数的算术平方根和平方根会求一个数的立方根重点难点算术平方根平方根立方根的概念循环这两个条件常见无理数的几种类型特殊意义的数如圆周率以及含有的一些数如等特殊结构的数看似循环而实则不循环如两个之间依次多个等无理数与有理数的和差结果都是无理数如是无理数无理数乘或除以一个不为的有理数结号的数不一定是无理数如有理数指的是有限小数和无限循环小数而无理数
10、则是无限不循环小数所有的有理数都能写成分数的形式整数可以看成是分母为的分数而无理数则不能写成分数形式例下列各数相邻两个之间的个数逐次增加其学习必备 欢迎下载 用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较 当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：（1）若 ab0,则ba （2）若 ab，则3333baba或 （3）若 a、b 都为正数，且 ab 时，则 a2b2 例：通过估算比较下列各组数的大小 比较两个数的大小：方法一：估算法。如 3104 方法二：作差法。如 ab 则 a-b0.方法三：乘方法.如比较3362与
11、的大小。例：比较下列两数的大小（1）2123-10与 （2）5325与 【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1。（2）实数也可以分为正实数、0 负实数。实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是a1（a0）；实数 a 的绝对值|a|=)0()0(aaaa，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于 0，0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于
12、左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一 实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的 的算术平方根平方根立方根的概念会用根号表示一个数的算术平方根平方根和立方根理解它们的联系和区别了解开方和乘方是互逆运算会求非负数的算术平方根和平方根会求一个数的立方根重点难点算术平方根平方根立方根的概念循环这两个条件常见无理数的几种类型特殊意义的数如圆周率以及含有的一些数如等特殊结构的数看似循环而实则不循环如两个之间依次多个等无理数与有理数的和差结果都是无理数如是无
13、理数无理数乘或除以一个不为的有理数结号的数不一定是无理数如有理数指的是有限小数和无限循环小数而无理数则是无限不循环小数所有的有理数都能写成分数的形式整数可以看成是分母为的分数而无理数则不能写成分数形式例下列各数相邻两个之间的个数逐次增加其学习必备 欢迎下载（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。例：（1）下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1 和 2 之间的无理数只有2；D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()A、ba B、ab C、ba D、ab
14、（3）比较大小(填“”或“”).3 10，3 320，76_67，215 21，（4）数 7,2,3 的大小关系是()A.732 B.372 C.273 D.327 （5）将下列各数：51,3,8,23，用“”连接起来；_。（6）若2,3ba，且0ab，则：ba=。a 0 b 的算术平方根平方根立方根的概念会用根号表示一个数的算术平方根平方根和立方根理解它们的联系和区别了解开方和乘方是互逆运算会求非负数的算术平方根和平方根会求一个数的立方根重点难点算术平方根平方根立方根的概念循环这两个条件常见无理数的几种类型特殊意义的数如圆周率以及含有的一些数如等特殊结构的数看似循环而实则不循环如两个之间依次多个等无理数与有理数的和差结果都是无理数如是无理数无理数乘或除以一个不为的有理数结号的数不一定是无理数如有理数指的是有限小数和无限循环小数而无理数则是无限不循环小数所有的有理数都能写成分数的形式整数可以看成是分母为的分数而无理数则不能写成分数形式例下列各数相邻两个之间的个数逐次增加其