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1、导数大题中不等式的证明 1.使用前面结论求证（主要）2.使用常用的不等关系证明，有三种：ln 1xx，sin,xxe1xx。1、设函数(为自然对数的底数)，（）（1）证明：；（2）当时，比较与的大小，并说明理由；（3）证明：（）2、已知函数2901xf xaax()()（1）求f x()在122,上的最大值；（2）若直线2yxa 为曲线yf x()的切线，求实数a的值；（3）当2a 时，设1214122xxx,，且121414xxx+，若不等式1214f xf x+f x()+()+()恒成立，求实数的最小值 3、已知,ln2)(),0()(bxxxgaxaxxf且直线22 xy与曲线)(xg
2、y 相切 （1）若对),1 内的一切实数x，不等式)()(xgxf恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当 a=1 时，求最大的正整数 k，使得对71828.2(3,ee是自然对数的底数）内的任意 k 个实数kxxxx,321都有)(16)()()(121kkxgxfxfxf成立；（3）求证：)12ln(14412niini )(Nn 4、已知函数)1ln()(2xaxxf（1）当54a时，求函数)(xf在),0(上的极值；（2）证明：当0 x时，xx)1ln(2；（3）证明：en)11()311)(211(444 为自然对数的底数）enNn,2,(.5、在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:
3、.实数p,q满足，x1,x2是方程的两根，记。（1）过点(p0 0)作L的切线交y轴于点B。证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有；（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b0,a0。过M(a，b)作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与,F F，线段EF上异于两端点的点集记为X 证明：M(a,b)X；（3）设D=(x,y)|yx-1,y(x+1)2-，当点(p,q)取遍D时，求的最小值（记为）和最大值（记为）.时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取
4、值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对 6.设 a1，集合（1）求集合 D（用区间表示）（2）求函数在 D内的极值点。7、设函数2()(1)()xf xxekx kR（1）当1k 时，求函数()f x的单
5、调区间；（2）当1(,12k时，求函数()f x在0,k上的最大值M 8、设函数，其中，（1）求函数的定义域 D（用区间表示）；（2）讨论函数在 D上的单调性；（3）若，求 D上满足条件的的集合（用区间表示）。时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的
6、最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对 9、已知二次函数 21fxxaxm，关于x的不等式 2211fxmxm 的解集为1m m,，其中m为非零常数.设 1fxgxx.（1）求a的值；（2）k k(R)如何取值时，函数 x gx 1kxln存在极值点，并求出极值点；（3）若1m，且x0，求证：1122nnngxgxn(N*).10、已知函数 221 exf xxx（其中e为自然对数的底数）（1）求函数()f x的单调区
7、间；（2）定义：若函数 h x在区间,s t st上的取值范围为,s t，则称区间,s t为函数 h x的“域同区间”试问函数()f x在1,上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由 时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证
8、明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对 11、设na是函数 321f xxn x*nN的零点（1）证明：01na；（2）证明：1nn1232naaa L 12、已知函数 ln(,f xaxbx a bR)在点 1,1f处的切线方程为220 xy.（1）求,a b的值；（2）当1x 时，0kfxx 恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：当nN*，且2n 时，22111322ln 23ln3ln22nn
9、nnnn L.时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若
10、已知函数其中为自然对 13、已知函数 2ln 12af xxxx 0a.（1）若 0f x 对0,x都成立，求a的取值范围；（2）已知e为自然对数的底数，证明：nN*，e22212111nnnn e.14、设函数)(ln)(axexfx，e是自然对数的底数，718.2e，Ra 为常数 若)(xfy 在1x处的切线 l的斜率为e2，求a的值；在的条件下，证明切线 l与曲线)(xfy 在区间)21 ,0(至少有1 个公共点；若 3ln ,2ln是)(xfy 的一个单调区间，求a的取值范围 时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不
11、等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对 15、已知函数()f xax，()lng xx，其中aR,（e）（1）若函数()()()F xf xg
12、 x有极值 1，求a的值；（2）若函数()(sin(1)()G xfxg x在区间(0,1)上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：211sinln2(1)nkk 16、设函数2()ln|f xxxax。（1）求函数 f（x）的导函数()fx；（2）若12,x x为函数 f（x）的两个极值点，且1212xx，试求函数 f（x）的单调递增区间；（3）设函数 f（x）的点 C（00,()xf x）（0 x为非零常数）处的切线为l，若函数 f（x）图象上的点都不在直线l的上方，求0 x的取值范围。时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小
13、值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对 17、已知函数21()ln,()2f xx g xaxbx，设()()()h xf xg x。（
14、1）若 g（2）2，讨论函数 h（x）的单调性；（2）若函数 g（x）是关于 x 的一次函数，且函数 h（x）有两个不同的零点12,x x。求 b 的取值范围；求证：212x xe 18、1当1m 时，求过点 0,1且与曲线 21yg xx 相切的切线方程；2求函数 yg x的单调递增区间；3若函数 yg x有两个极值点a，b，且ab，记 x表示不大于x的最大整数，试比较 sing ag b与 cosg ag b 的大小 19、已知定义在 2,2上的奇函数)(xf满足：当 2,0(x时，)2()(xxxf（1）求)(xf的解析式和值域；时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为
15、曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对（2）设aaxxxg2)2ln()(，其中常数0a
16、试指出函数)()(xfgxF的零点个数；若当11k是函数)()(xfgxF的一个零点时，相应的常数a记为ka，其中1,2,knL 证明：1276naaa L（*Nn）20、设函数 1xfxx，ln1g xx 1求函数 1xf xg x的最大值；2记 2xg xbx，是否存在实数b，使 20 x在0,上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；3证明：2111ln12nkknk（1n，2，）21、已知函数 ln xafxx.()若1a ,证明:函数 f x是0,上的减函数；()若曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线0 xy 平行,求a的值；时比较与的大小并说明理由证明已知函数求
17、在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对()若0 x,证明:ln1e1x
18、xxx(其中e2.71828是自然对数的底数).22、已知函数2()()ln()xf xaRxaax （1）当 a=0 时，求函数()f x的单调区间；（2）当 a=1 时，设2()()xh xf x，（i）若对任意的,0 x，2()h xkx成立，求实数 k 的取值范围；（ii）对任意121xx,证明：不等式121211122()()2xxxxh xh xxx 恒成立.23、设常数a0，R，函数32)()()(axaxxxf.（1）若函数)(xf恰有两个零点，求的值；（2）若)(g是函数)(xf的极大值，求)(g的取值范围.时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线
19、求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对 24、已知函数 lnf xax11xx，exg x（其中e为
20、自然对数的底数）（1）若函数 f x在区间 0,1内是增函数，求实数a的取值范围；（2）当0b 时，函数 g x的图象C上有两点,ebP b，,ebQb，过点P，Q作图象C的切线分别记为1l，2l，设1l与2l的交点为00,M xy，证明00 x 25、已知0a，函数)(xf2xaxa（1）记)(xf在区间40，上的最大值为)(ag，求)(ag的表达式；（2）是否存在a，使函数)(xfy在区间 0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由 时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小
21、值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对 26、已知函数22()21,()f xx xaxaaR（1）当1a 时，解不等式()1f xx；
22、（2）当0a 时，求函数()f x的单调区间；（3）若在区间(0,1上，函数()f x的图象总在直线(,ym mR m是常数）的下方，求a的取值范围 27、设函数 ln,f xx 212.g xaxf x （1）当1a 时，求函数 g x的单调区间；（2）设1122,A x yB xy是函数 yf x图象上任意不同的两点，线段AB的中点为 C00,xy，直线 AB的斜率为k.证明：0kfx；（3）设 01bF xf xbx，对任意1212,0,2,x xxx，都有 12121F xF xxx，求实数b的取值范围.时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时
23、设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对 28、已知函数xbaxxxf ln)(，对任意的),0(x，满足0)1()
24、(xfxf，其中ba,为常数（1）若)(xf的图像在1x处切线过点)5,0(，求a的值；（2）已知10 a，求证：0)2(2af；（3）当)(xf存在三个不同的零点时，求a的取值范围 29、已知函数babxaxxf,(,1)(2为实数，),0Rxa（1）若0)1(f，且函数)(xf的值域为),0，求)(xf；（2）设0,0,)()()(xxxfxfxF，0,0,0anmmn，且函数)(xf为偶函数 证明：0)()(nFmF；（3）设)(,1ln)(xgexxgx的 导 函 数 是),(xg当1 ba时，证 明：对 任 意 实 数0 x，21)(1)(exgxf 时比较与的大小并说明理由证明已知
25、函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对 30、已知函数xxmmx
26、xf2ln)2()(（Rm），xxxg)1ln()(.（1）讨论)(xf的单调区间；（2）是否存在0m时，对于任意的 2,1,21xx，都有1)()(21xgxf恒成立？若 存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.31、已知函数dcxbxxxf2331)(，设曲线)(xfy 在与x轴交点处的切线为124 xy，()fx为()f x的导函数，满足)()2(xfxf（1）求()f x；（2）设()()g xxfx，0m，求函数()g x在0,m上的最大值；（3）设()ln()h xfx，若对一切0,1x，不等式(1)(22)h xthx 恒成立，求实数t的取值范围 32、已知函数xxaxxg
27、2231)(23，函数)(xf是函数)(xg的导函数.时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何
28、取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对(1)若1a，求)(xg的单调减区间；(2)若对任意Rxx21,且21xx，都有2)()()2(2121xfxfxxf，求实数a的取值范围；(3)在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意 0,Mx时4)(xf恒成立，求M的最小值及相应的a的值.33、已知函数(),xf xekx xR（1）若ke，试确定函数()f x的单调区间；（2）若0k，且对于任意xR，(|)0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数()()()F xf xfx，求证：1*2(1)(2)()(2)()nnFFF nenN 3
29、4、已知21()ln(1),()(,)2f xxg xaxbx a bR(1)若2()(1)()bh xf xg x 且存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若0,1ab,求证：当(1,)x 时，()()0f xg x恒成立；(3)设0,0 xy，证明：lnln()ln2xyxxyyxy。时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中
30、满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对 35、已知函数2()ln.f xxx(1)求函数()f x的单调区间；(2)证明：对任意的0t，存在唯一的s，使()tf s；(3)设（2）中所确定的s关于t的函数为()sg t，证明：当2te时，有2ln()15ln2g tt。时比较与的大小并说明理由证明已知函数求在上的最大值若直线为曲线的切线求实数的值当时设且恒成立求实数的最小值若不等式已知且直线与曲线相切若对内的一切实数不等式恒成立求实数的取值范围当时求最大的正整数使得对在平面直角坐标系上给定抛物线实数满足是方程的两根记过点作的切线交轴于点证明对线段上任一点有设是定点其中满足过作的两条切线切点分别为与轴分别交与线段上异于两端点的点集记为证明设当点取遍时求的最小值记为和最函数其中求函数的定义域用区间表示讨论函数在上的单调性若求上满足条件的的集合用区间表示已知二次函数关于的不等式的其中为非零常数设解集为求的值如何取值时函数存在极值点并求出极值点求证且若已知函数其中为自然对