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1、学习必备 欢迎下载 基本不等式及其应用 导学目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 自主梳理 1基本不等式 abab2(1)基本不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号 2几个重要的不等式(1)a2b2_(a，bR)(2)baab_(a，b 同号)(3)abab22(a，bR)(4)ab22_a2b22.3算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为：_.4利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最_值是_(
2、简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最_值是_(简记：和定积最大)自我检测 1“ab0”是“aba2b22”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2(2011 南平月考)已知函数 f(x)12x，a、b(0，)，Afab2，Bf(ab)，Cf2abab，则 A、B、C 的大小关系是()AABC BACB CBCA DCBA 3下列函数中，最小值为 4 的函数是()Ayx4x Bysin x4sin x(0 x)Cyex4ex Dylog3xlogx81 4(2011 大连月考)设函数 f(x)2x1x1(x0，
3、xx23x1a 恒成立，则a 的取值范围为_ 学习必备 欢迎下载 探究点一 利用基本不等式求最值 例 1 (1)已知 x0，y0，且1x9y1，求 xy 的最小值；(2)已知 x0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是()A.72 B4 C.92 D5 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用 例 2 已知 a0，b0，ab1，求证：(11a)(11b)9.变式迁移 2 已知 x0，y0，z0.求证：yxzxxyzyxzyz8.探究点三 基本不等式的实际应用 例 3 (2011 镇江模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的
4、楼房经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 56048x(单位：元)(1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？问题自主梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号几个重要的不等式同号算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为利用基本不等式求最值问题已知则如果积是定充分而不必要条件充要条件必要而不充分条件既不充分也不必要条件南平月考已知函数则的大小关系是下列函数中最小值为的函数是大连月考设函数则有最值为山东若对任意恒成立则
5、的取值范围为学习必备欢迎下载例已知且探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例已知求证变式迁移已知求证探究点三基本不等式的实际应用例镇江模拟某单位用万元购得一块空地计划在该空地上建造一栋至少层每层平方米的楼房经测算如果将楼房建为层则每平方米的平均学习必备 欢迎下载(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用购地总费用建筑总面积)变式迁移 3(2011 广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在20XX 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x万件与年促销费 t 万元之间满足 3x 与 t1 成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销
6、量只能是 1 万件，已知 20XX 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将 20XX 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数(2)该企业 20XX 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用)1a2b22ab 对 a、b R 都成立；ab2 ab成立的条件是 a，b R；baab2 成立的条件是 ab0，即 a，b 同号 2利用基本不等式求最值必须满
7、足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值 3使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法一般地函数 yaxbx，当 a0，b0 时，函数在(，0)，(0，)上是增函数；当 a0 时，函数在(，0)，(0，)上是减函数；当 a0，b0 时函数在ba，0，0，ba上是减函数，在，ba，ba，上是增函数；当 a0，b0，b0，若 3是 3a与 3b的等比中项，则1a1b的最小值为()A8 B4 C1 D.14 2(2011 鞍山月考)已知不等式(xy)1xay9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a的最小值为()A2 B4 C6 D8 3已知 a
8、0，b0，则1a1b2 ab的最小值是()A2 B2 2 C4 D5 4一批货物随 17 列货车从 A市以 a km/h 的速度匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于a202 km，那么这批货物全部运到 B 市，最快需要()A6 h B8 h C10 h D12 h 5(2011 宁波月考)设 x，y 满足约束条件 3xy60 xy20 x0，y0，若目标函数 zaxby(a0，b0)的最大值为 12，则2a3b的最小值为()A.256 B.83 C.113 D4 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6(2010 浙江)若正实数 x，y 满足
9、 2xy6xy，则 xy 的最小值是_ 7(2011 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x)2x的图象交于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是_ 8已知 f(x)32x(k1)3x2，当 xR 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围为_ 三、解答题(共 38 分)9(12 分)(1)已知 0 x0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围问题自主梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号几个重要的不等式
10、同号算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为利用基本不等式求最值问题已知则如果积是定充分而不必要条件充要条件必要而不充分条件既不充分也不必要条件南平月考已知函数则的大小关系是下列函数中最小值为的函数是大连月考设函数则有最值为山东若对任意恒成立则的取值范围为学习必备欢迎下载例已知且探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例已知求证变式迁移已知求证探究点三基本不等式的实际应用例镇江模拟某单位用万元购得一块空地计划在该空地上建造一栋至少层每层平方米的楼房经测算如果将楼房建为层则每平方米的平均学习必备 欢迎下载 内？11(14 分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料
11、的价格为 1.5 元，每次购买原材料需支付运费 600 元，每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元，该厂每天需要消耗原材料 400 千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千克不需要保管)(1)设该厂每 x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1关于 x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小，并求出这个最小值 学案 36 基本不等式及其应用 自主梳理 1(1)a0，b0(2)ab 2.(1)2ab(2)2(4)3.ab2 ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.(1)xy 小 2 p(2
12、)xy 大 p24 自我检测 1A 2.A 3.C 4大 2 21 5.15，)课堂活动区 例 1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件 解(1)x0，y0，1x9y1，问题自主梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号几个重要的不等式同号算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为利用基本不等式求最值
13、问题已知则如果积是定充分而不必要条件充要条件必要而不充分条件既不充分也不必要条件南平月考已知函数则的大小关系是下列函数中最小值为的函数是大连月考设函数则有最值为山东若对任意恒成立则的取值范围为学习必备欢迎下载例已知且探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例已知求证变式迁移已知求证探究点三基本不等式的实际应用例镇江模拟某单位用万元购得一块空地计划在该空地上建造一栋至少层每层平方米的楼房经测算如果将楼房建为层则每平方米的平均学习必备 欢迎下载 xy(xy)1x9y yx9xy1061016.当且仅当yx9xy时，上式等号成立，又1x9y1，x4，y12 时，(xy)min16.(2)x0.y4x2
14、14x554x154x3 2 54x 154x31，当且仅当 54x154x，即 x1 时，上式等号成立，故当 x1 时，ymax1.(3)由 2x8yxy0，得 2x8yxy，2y8x1.xy(xy)8x2y108yx2xy 1024yxxy 1022 4yxxy18，当且仅当4yxxy，即 x2y 时取等号 又 2x8yxy0，x12，y6.当x12，y6 时，xy 取最小值 18.变式迁移 1 C ab2，ab21.1a4b(1a4b)(ab2)52(2abb2a)5222abb2a92(当且仅当2abb2a，即 b2a 时，“”成立)，故 y1a4b的最小值为92.例 2 解题导引“1
15、”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法 在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法 证明 方法一 因为 a0，b0，ab1，所以 11a1aba2ba.同理 11b2ab.所以(11a)(11b)(2ba)(2ab)问题自主梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号几个重要的不等式同号算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为利用基本不等式求最值问题已知则如果积是定充分而不必要条件充要条件必要而不充分条件既不充分也不必要条件南平月考已知函数则的大小关系是下列函数中最小值为
16、的函数是大连月考设函数则有最值为山东若对任意恒成立则的取值范围为学习必备欢迎下载例已知且探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例已知求证变式迁移已知求证探究点三基本不等式的实际应用例镇江模拟某单位用万元购得一块空地计划在该空地上建造一栋至少层每层平方米的楼房经测算如果将楼房建为层则每平方米的平均学习必备 欢迎下载 52(baab)549.所以(11a)(11b)9(当且仅当 ab12时等号成立)方法二(11a)(11b)11a1b1ab 1abab1ab12ab，因为 a，b 为正数，ab1，所以 ab(ab2)214，于是1ab4，2ab8，因此(11a)(11b)189(当且仅当 ab12
17、时等号成立)变式迁移 2 证明 x0，y0，z0，yxzx2 yzx0，xyzy2 xzy0，xzyz2 xyz0.yxzxxyzyxzyz 8 yzxzxyxyz8.当且仅当 xyz 时等号成立 所以(yxzx)(xyzy)(xzyz)8.例 3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为：由题设写出函数变形转化利用基本不等式求得最值 结论 2在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案 解(1)依题意得 y(56048x)2
18、 16010 0002 000 x 56048x10 800 x(x10，x N*)(2)x0，48x10 800 x 2 4810 8001 440，当且仅当 48x10 800 x，即 x15 时取到“”，此时，平均综合费用的最小值为 5601 4402 000(元)答 当该楼房建造 15 层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为 2 000 元 变式迁移 3 解(1)由题意可设 3xkt1，问题自主梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号几个重要的不等式同号算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为利用基本不等式求最值问题已知
19、则如果积是定充分而不必要条件充要条件必要而不充分条件既不充分也不必要条件南平月考已知函数则的大小关系是下列函数中最小值为的函数是大连月考设函数则有最值为山东若对任意恒成立则的取值范围为学习必备欢迎下载例已知且探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例已知求证变式迁移已知求证探究点三基本不等式的实际应用例镇江模拟某单位用万元购得一块空地计划在该空地上建造一栋至少层每层平方米的楼房经测算如果将楼房建为层则每平方米的平均学习必备 欢迎下载 将 t0，x1 代入，得 k2.x32t1.当年生产 x 万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为32x33232t13.当销售 x(万件)时，年销售收入
20、为 150%3232t13 12t.由题意，生产 x 万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润 yt298t352 t1(t0)(2)yt298t352 t150t1232t1 502t1232t1502 1642(万元)，当且仅当t1232t1，即 t7 时，ymax42，当促销费投入7 万元时，企业的年利润最大 课后练习区 1B 因为 3a 3b3，所以 ab1，1a1b(ab)1a1b2baab 22baab4，当且仅当baab即 ab12时，“”成立 2B 不等式(xy)1xay9 对任意正实数 x，y 恒成立，则 1ayxaxya2 a19，a2 或 a4(舍
21、去)正实数a 的最小值为 4.3C 因为1a1b2 ab21ab2 ab 21ab ab 4，当且仅当1a1b且 1ab ab，即 ab1 时，取“”号 4B 第一列货车到达 B 市的时间为400a h，由于两列货车的间距不得小于a202 km，所以第 17 列货车到达时间为400a16a202a400a16a4008，当且仅当400a16a400，即 a100 km/h 时成立，所以最快需要 8 h 5A 618 问题自主梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号几个重要的不等式同号算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为利用基本不等式求最
22、值问题已知则如果积是定充分而不必要条件充要条件必要而不充分条件既不充分也不必要条件南平月考已知函数则的大小关系是下列函数中最小值为的函数是大连月考设函数则有最值为山东若对任意恒成立则的取值范围为学习必备欢迎下载例已知且探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例已知求证变式迁移已知求证探究点三基本不等式的实际应用例镇江模拟某单位用万元购得一块空地计划在该空地上建造一栋至少层每层平方米的楼房经测算如果将楼房建为层则每平方米的平均学习必备 欢迎下载 解析 由 x0，y0,2xy6xy，得 xy2 2xy6(当且仅当 2xy 时，取“”)，即(xy)22 2 xy60，(xy3 2)(xy 2)0.又
23、xy0，xy3 2，即 xy18.故 xy 的最小值为 18.74 解析 过原点的直线与 f(x)2x交于 P、Q 两点，则直线的斜率 k0，设直线方程为 ykx，由 ykx，y2x，得 x2k，y 2k或 x2k，y 2k，P(2k，2k)，Q(2k，2k)或 P(2k，2k)，Q(2k，2k)|PQ|2k2k22k 2k2 2 2k1k4.8(，2 21)解析 由 f(x)0 得 32x(k1)3x20，解得 k13x23x，而 3x23x2 2，k12 2，k2 21.9解(1)0 x43，03x4.x(43x)13(3x)(43x)133x43x2243，(4 分)当且仅当 3x43x
24、，即 x23时，“”成立 当x23时，x(43x)的最大值为43.(6 分)(2)已知点(x，y)在直线 x2y3 上移动，x2y3.2x4y2 2x4y22x2y2 234 2.(10 分)当且仅当 2x4y，x2y3，即 x32，y34时，“”成立 当x32，y34时，2x4y的最小值为 4 2.(12 分)10解(1)y920vv23v1 600920v1 600v3 9202v1 600v39208311.08.(4 分)问题自主梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号几个重要的不等式同号算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为利用
25、基本不等式求最值问题已知则如果积是定充分而不必要条件充要条件必要而不充分条件既不充分也不必要条件南平月考已知函数则的大小关系是下列函数中最小值为的函数是大连月考设函数则有最值为山东若对任意恒成立则的取值范围为学习必备欢迎下载例已知且探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例已知求证变式迁移已知求证探究点三基本不等式的实际应用例镇江模拟某单位用万元购得一块空地计划在该空地上建造一栋至少层每层平方米的楼房经测算如果将楼房建为层则每平方米的平均学习必备 欢迎下载 当 v1 600v，即 v40 千米/小时时，车流量最大，最大值为 11.08 千辆/小时(6 分)(2)据题意有920vv23v1 600
26、10，(8 分)化简得 v289v1 6000，即(v25)(v64)0，所以 25v64.所以汽车的平均速度应控制在25,64这个范围内(12 分)11解(1)每次购买原材料后，当天用掉的 400 千克原材料不需要保管费，第二天用掉的 400 千克原材料需保管 1 天，第三天用掉的 400 千克原材料需保管 2 天，第四天用掉的 400千克原材料需保管 3 天，第 x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的 400 千克原材料需保管(x1)天 每次购买的原材料在x 天内总的保管费用 y14000.03123(x1)6x26x.(6 分)(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为 6x
27、26x6001.5400 x，购买一次原材料平均每天支付的总费用为 y1x(6x26x600)1.5400600 x6x594.(9 分)y2600 x 6x594714，(12 分)当且仅当600 x6x，即 x10 时，取等号 该厂10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用 y 最小，且最小为 714 元(14分)问题自主梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号几个重要的不等式同号算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为利用基本不等式求最值问题已知则如果积是定充分而不必要条件充要条件必要而不充分条件既不充分也不必要条件南平月考已知函数则的大小关系是下列函数中最小值为的函数是大连月考设函数则有最值为山东若对任意恒成立则的取值范围为学习必备欢迎下载例已知且探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例已知求证变式迁移已知求证探究点三基本不等式的实际应用例镇江模拟某单位用万元购得一块空地计划在该空地上建造一栋至少层每层平方米的楼房经测算如果将楼房建为层则每平方米的平均