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1、 第 15讲 导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式 (时间：45 分钟 分值：100 分)基础热身 12013韶关调研 函数yxex的最小值是()A1 B e C 1e D 不存在 2f(x)x33x22 在区间 1，1 上的最大值是()A2 B 0 C 2 D 4 3某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午 6 时到 9 时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y18t334t236t6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A6 时 B 7 时 C 8 时 D 9 时 4已知某
2、生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13x381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 能力提升 5一矩形铁皮的长为 8 cm，宽为 5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是()A12 cm3 B 15 cm3 C 18 cm3 D 16 cm3 62013湖南卷 设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B.12 C.52 D.22 7 2013全国卷 已知函数yx33xc的图象
3、与x轴恰有两个公共点，则c()A2 或 2 B 9 或 3 C1 或 1 D 3 或 1 8已知正四棱锥SABCD中，SA2 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A1 B.3 C 2 D 3 92013辽宁卷 若x0，)，则下列不等式恒成立的是()Aex1xx2B.11x112x14x2 Ccosx112x2Dln(1 x)x18x2 10设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面 边长为_ 112013厦门质检 设函数f(x)e2x21x，g(x)e2xex，对任意x1，x2(0，)，不等式g（x1）kf（x2）k1恒成立，则正数k的取值范围是_ 12某商场从生产厂
4、家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2.则该商品零售价定为_时，毛利润L最大，最大毛利润是_(毛利润销售收入进货支出)13 将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S（梯形的周长）2梯形的面积，则S的最小值是_ 14(10 分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C
5、(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值 15(13 分)2013河北重点中学联考 已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax2.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)若函数yf(x)g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1x2)且x2x1ln2，求实数a的取值范围 难点突破 16(12 分)已知函数f(x)lnxax.(1)当a0 时，判断f(x)在定义域上的单调性；上的最大值是某城市在发展过程
6、中交通状况逐渐受到大家更多的关注据有关统计数据显示从上午时到时车辆通过该市某一路段的用时分钟与车辆进入该路段的时刻之间关系可近似地用如下函数给出则在这段时间内通过该路段用时最该生产厂家获得最大年利润的年产量为能力提升一矩形铁皮的长为宽为在四个角上截去四个相同的小正方形制成一个无盖的小盒盒容积的最大值是湖南卷设直线与函数的图象分别交于点则当达到最小时的值为全国卷已知函数的图象立的是设底面为等边三角形的直棱柱的体积为那么其表面积最小时底面边长为厦门质检设函数对任意不等式恒成立则正数的取值范围是某商场从生产厂家以每件元购进一批商品若该商品零售价定为元则销售量单位件与零售价单位元(2)若f(x)在1，
7、e 上的最小值为32，求实数a的值；(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，)上，函数yx2的图象恒在函数f(x)的图象的上方 课时作业(十五)【基础热身】1C 解析 y(x1)ex，令y0，得x1.因为x1 时y1 时y0，所以x1 时，ymin1e.2C 解析 f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0 可得x0 或 2(舍去)，当1x0，当 0 x1 时，f(x)0，所以当x0 时，f(x)取得最大值 2.3C 解析 y38t232t3638(t12)(t8)，令y0 得t12(舍去)或t8，当 6t0，当 8t9 时，y9 时，y0；当 0 x0，所以函数y13x381x234
8、在(9，)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x9 是函数的极大值点又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9 处取得最大值【能力提升】5C 解析 设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为 82x，宽为 52x.V(8 2x)(5 2x)x4x326x240 x0 x0)时的最小值 令F(t)2t1t0，得t22或t22(舍去)故t22时，F(t)t2lnt有最小值，即|MN达到最小值，故选 D.7A 解析 由f(x)3x233(x1)(x1)0 x1，结合f(x)的图象可知只要f(1)0 或f(1)0 即可，故解得c2 或 2，故选 A.8C 解析 设底面边长为a，则高hSA
9、222a21212a2，所以体积V13a2h1312a412a6.设y12a412a6，则y48a33a5，当y取最值时，y48a33a50，解得a0(舍去)或a4，故a4 时体积最大，此时h1212a22.9C 解析 验证 A，当x3 时，e32.7319.681 33213，故排除 A；验证 B，上的最大值是某城市在发展过程中交通状况逐渐受到大家更多的关注据有关统计数据显示从上午时到时车辆通过该市某一路段的用时分钟与车辆进入该路段的时刻之间关系可近似地用如下函数给出则在这段时间内通过该路段用时最该生产厂家获得最大年利润的年产量为能力提升一矩形铁皮的长为宽为在四个角上截去四个相同的小正方形制
10、成一个无盖的小盒盒容积的最大值是湖南卷设直线与函数的图象分别交于点则当达到最小时的值为全国卷已知函数的图象立的是设底面为等边三角形的直棱柱的体积为那么其表面积最小时底面边长为厦门质检设函数对任意不等式恒成立则正数的取值范围是某商场从生产厂家以每件元购进一批商品若该商品零售价定为元则销售量单位件与零售价单位元当x12时，111263，而 112121414131639481 521480恒成立，所以当x0，)时，g(x)g(0)0，所以x0，)时，g(x)cosx112x2为增函数，所以g(x)g(0)0 恒成立，即 cosx112x2恒成立；验证 D，令h(x)ln(1 x)x18x2，h(x
11、)1x11x4x（x3）4（x1），令h(x)0，解得 0 x3，所以当0 x3时，h(x)h(0)0，显然不恒成立故选 C.10.34V 解析 设底面边长为x，则高为h4V3x2，S34V3x2x234x24 3Vx32x2，S4 3Vx2 3x，令S0，得x34V.当 0 x34V时，S34V时，S0，故当x34V时，S取得最小值 11k1 解析 k为正数，对任意x1，x2(0，)，不等式g（x1）kf（x2）k1恒成立g（x）kmaxf（x）k1min.由g(x)ex2（1x）e2x0 得x1.x(0，1)，g(x)0，x(1，)，g(x)0，g（x）kmaxg（1）kek.同理f(x)
12、e2x21x20 x1e，x0，1e，f(x)0，f（x）k1minf1ek12ek1，ek2ek1，k0k1.1230 23 000 解析 由题意知L(P)PQ20QQ(P20)(8 300 170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000，L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，得P30 或P130(舍)因为在P30 附近的左侧L(P)0，右侧L(P)0，L(30)是极大值 根据实际意义知，L(30)是最大值，此时L(30)23 000.即零售价定为每件 30 元时，有最大毛利润为 23 000 元 13.3233 解析 设DEx，由EDBC，ABC为正三角形，
13、ADDEAEx，BDEC上的最大值是某城市在发展过程中交通状况逐渐受到大家更多的关注据有关统计数据显示从上午时到时车辆通过该市某一路段的用时分钟与车辆进入该路段的时刻之间关系可近似地用如下函数给出则在这段时间内通过该路段用时最该生产厂家获得最大年利润的年产量为能力提升一矩形铁皮的长为宽为在四个角上截去四个相同的小正方形制成一个无盖的小盒盒容积的最大值是湖南卷设直线与函数的图象分别交于点则当达到最小时的值为全国卷已知函数的图象立的是设底面为等边三角形的直棱柱的体积为那么其表面积最小时底面边长为厦门质检设函数对任意不等式恒成立则正数的取值范围是某商场从生产厂家以每件元购进一批商品若该商品零售价定为
14、元则销售量单位件与零售价单位元1x.过D作DFBC，DF32(1 x)，梯形的周长为BDDEECBC3x，梯形的面积为12(x1)32(1 x)34(1 x2)S（3x）234（1x2）(0 x1)S43（2x6）（1x2）（3x）2（2x）（1x2）243（2x6）（13x）（1x2）2，令S0，解得x13或 3(舍去)，0 x13，S0，13x0，x13时，Smin32 33.14解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)k3x5.再由C(0)8，得k40，因此C(x)403x5.而建造费用为C1(x)6x.所以隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x
15、)20C(x)C1(x)20403x56x8003x56x(0 x10)(2)f(x)62 400（3x5）2，令f(x)0，即2 400（3x5）26.解得x5 或x253(舍去)当 0 x5 时，f(x)0，当 5x0，故x5 是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6580015570.故当隔热层修建 5 cm厚时，总费用达到最小值为 70 万元 15解：(1)由题意f(x)lnx10，得x1e.当 0tG(x)minG12ln2 时，x1，x2存在，且x2x1的值随a的增大而增大 而当x2x1ln2 时，由题意得lnx12x1a10，lnx22x2a10.两式相减可得 lnx2x1
16、2(x2x1)2ln2，得x24x1，代入x2x1ln2 得x24x143ln2，此时实数a23ln2 lnln231，所以实数a的取值范围为a23ln2 lnln231.【难点突破】16解：(1)f(x)1xax2xax2(x0)当a0 时，f(x)0 恒成立，故f(x)在(0，)上是单调递增函数 (2)由f(x)0 得xa.当a1 时，f(x)0 在1，e 上恒成立，f(x)在1，e 上为增函数，f(x)minf(1)a32，得a32(舍)当ae 时，f(x)0 在1，e 上恒成立，f(x)在1，e 上为减函数，则f(x)minf(e)1ae32，得ae2(舍)当ea1 时，由f(x)0
17、得x0a，当 1xx0时，f(x)0，f(x)在(1，x0)上为减函数；当x0 x0，f(x)在(x0，e)上为增函数 f(x)minf(a)ln(a)132，得a e，综上知，a e.(3)由题意得x2lnxax在(1，)上恒成立，即axlnxx3在(1，)上恒成立 设g(x)xlnxx3(x1)，则g(x)lnx3x21.令h(x)lnx3x21，则h(x)1x6x，当x1 时，h(x)0 恒成立 h(x)g(x)lnx3x21 在(1，)上为减函数，则g(x)g(1)20，所以g(x)在(1，)上为减函数，g(x)g(1)1，故a1 上的最大值是某城市在发展过程中交通状况逐渐受到大家更多的关注据有关统计数据显示从上午时到时车辆通过该市某一路段的用时分钟与车辆进入该路段的时刻之间关系可近似地用如下函数给出则在这段时间内通过该路段用时最该生产厂家获得最大年利润的年产量为能力提升一矩形铁皮的长为宽为在四个角上截去四个相同的小正方形制成一个无盖的小盒盒容积的最大值是湖南卷设直线与函数的图象分别交于点则当达到最小时的值为全国卷已知函数的图象立的是设底面为等边三角形的直棱柱的体积为那么其表面积最小时底面边长为厦门质检设函数对任意不等式恒成立则正数的取值范围是某商场从生产厂家以每件元购进一批商品若该商品零售价定为元则销售量单位件与零售价单位元