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1、R i emann猜测漫谈(十二)卢昌海Montgomery关于Riemann C函数非平凡零点分布的论文于1973年发表在 了美国数学学会的系列出版物？纯数学专题讨论文集？(Proc. Symp. PureMath.)上。但最初几年里它并没有吸引多少眼球，因 为这种存在于零点分布与随机矩阵理论之间的关联无论有多么奇妙，在 当时都还只是一个纯粹的猜测，既没有严格的数学证明，也没有直接的 数值证据。我们在第十三、十四两节中曾经介绍过对Riemann已函数非平 凡零点进行大规模计算的局部历史。在Montgomery的论文发表之初，人 们对零点的计算还只进行到几百万个，而且一一如我们在第十五节中所
2、说一一那些计算大都只是验证了 “前N个零点位于临界线上，却不曾涉 及零点的具体数值。既然没有具体数值，自然也就无法用来检验 Montgomery的对关联假设了。更何况一一如我们在第十六节中所说一一为 了检验后者，我们需要研究虚部很大的零点，这显然也是当时的计算所 远远不能触及的。因此当时就连Montgomery自己也觉得对他的猜测进行 数值验证将是极为遥远的将来的事情。但是Montgomeu和我们在第十四节中提到过的那位输掉了葡萄酒的 Zagier 一样大大低估了计算机领域的开展速度。在Montgomery的论文发表五年之后的某一天，他又来到了普林斯顿。不 过这次不是为了觐见Selberg，而
3、是来做一个有关Riemann彳函数零点分 布的演讲。在那次演讲的听众中有一位来自32英里外的贝尔实验室 (BellLabs)的年轻人，他被Montgomery所讲述的零点分布与随机矩阵理 论间的关联深深地吸引住了。这位年轻人所在的实验室恰好拥有当时著名 所做的进一步猜测。之所以做这种进一步猜测，除了哈密顿量对物理体系 所具有的重要性外，或许也是因为随机矩阵理论最初是在研究原子核能 级时被引入物理学中的。另一方面，量子体系的能级是自然界中含义最为 深刻的离散现象之一，这或许也是人们把注意力集中到这一方向上的原 因之一。7 . Bohigas - Giannoni - Schmit猜测的原始表述针
4、对的是Gauss正交系 综。8 .数学家们那么称这种方法为“谱方法(spectralapproach),因为它 的要点是寻找一个本征值的全体即谱与Riemann C函数非平凡零点相对应的厄密算符。(的Cray巨型计算机。这位年轻人就是我们在第十六节中提到的Odlyzko。 普林斯顿真是Montgomery的福地，五年前与Dyson在这里的相遇，使他 了解到了零点分布与随机矩阵理论之间的神秘关联，从而为他的研究注 入了一种奇异的魅力。五年后又是在这里，这种奇异的魅力打动了 Odlyzko，从而有了我们在第十六节中介绍过的Odlyzko对Riemann 4函 数非平凡零点的大规模计算分析。这些计算
5、为Montgomery所猜测的零点 分布与随机矩阵理论间的关联提供了大量的数值证据注一。这种关联， 即经过适当的归一化之后的Riemann 函数非平凡零点的间距分布与 Gauss幺正系综(参阅第十八节)的本征值间距分布相同，也因此渐渐地被 人们称为 了 Montgomery-Odlyzko 定律(Montgomery-OdlyzkoLaw)注二。 Montgomery-Odlyzko定律虽然是用Gauss幺正系综来表述的，但我们在 第十八节中曾经提到过，随机矩阵理论的本征值分布在矩阵阶数N 8时 具有普适性。因此Montgomery-Odlyzko定律所给出的关联并不限于Gauss 幺正系综。
6、不仅如此，这种本征值分布的普适性还有一层含义，那就是它 不仅在各种系综下都相同，而且对系综中任何一个典型的系统一一即任 何一个典型的随机厄密矩阵一一都相同。换句话说，我们不仅不需要指定 系综的分布函数，甚至连系综本身都不需要，只要随便取出一个随机厄 密矩阵就可以了。因此Montgomery-Odlyzko定律实际上意味着Riemann C 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布 来描述注三。Montgomery当初的研究如我们在第十六节中介绍的只涉及零点 分布的对关联函数。在他之后，人们对零点分布的高阶关联函数也作了研 究 o 2019 年,Z. Rudnick 与 P
7、. Sarnak 及 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 分别“证明 了零点分布的高阶关联函数也与相应的随机厄密矩阵的本 征值关联函数相同。美中缺乏的是，我们不得不对这种“证明加上引 号，因为它们和Montgomery的研究一样，并不是真正严格的证明，它们 或是引进了额外的限制条件（如Z. Rudnick与P. Sarnak的研究），或是运 用了本身尚未得到证明的Riemann猜测及强李生素数猜测（如E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 的研究）。但即便如此，所有这些理论及计算的结果还是非常清楚地显示出 Riemann 函数非平凡零点的分布
8、与随机厄密矩阵的本征值分布从而与由随机厄密矩阵理论所描述的一系列复杂物理体系的性质之间确 实存在着令人瞩目的关联。Montgomery-Odlyzko定律在“经验”意义上的 成立几乎已是一个毋庸置疑的事实。二十.Hilbert-P 6 lya 猜测那么在Riemann C函数非平凡零点这样的纯数学客体与由随机矩阵理论 所描述的纯物理现象之间为什么会出现像Montgomery-Odlyzko定律那样 的关联呢？很遗憾，这是一个我们至今也未能完全理解的谜团。不过有意 思的是，虽然在与Montgomery论文的发表已相隔几十年的今天我们仍未 能彻底理解Montgomery-Odlyzko定律的本质，
9、可是远在Montgomery的论 文发表之前六十余年前的二十世纪一、二十年代，数学界就曾经流传过一 个与Montgomery-Odlyzko定律极有渊源的猜测，这个猜测也是用两个人 的名字命名的，叫做 Hilbert-P 6 lya 猜测（Hilbert-P 6 lyaconjecture）, 它的内容是这样的：Hilbert-P 6 lya猜测：Riemann 函数的非平凡零点与某个厄密算符的 本征值相对应。当然，确切地讲,Hilbert-P6 lya猜测指的是：如果把Riemann C函数 的非平凡零点写成p=l/2+it的形式，那么那些t与某个厄密算符的本征 值一一对应注四。我们知道，厄
10、密算符的本征值全都是实数。因此如果 那些t与某个厄密算符的本征值相对应，那么它们必定全都是实数，从而 意味着所有非平凡零点P=l/2+it的实部都等于1/2，这正是Riemann猜 测的内容。因此如果Hilbert-P 6 lya猜测成立，那么Riemann猜测也必 定成立。我们在上节中提到，Montgomery-Odlyzko定律说明Riemann彳函数非平 凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。这 种描述虽然奇妙，终究只是统计意义上的描述。但如果Hilbert-P6 1ya 猜测成立，那么Riemann彳函数的非平凡零点干脆就直接与某个厄密矩阵 的本征值一一对应了。
11、这是严格意义上的对应，有了这种对应，统计意义 上的对应自然就不在话下。因此Hilbert-P 6 lya猜测虽然比 Montgomery-Odlyzko定律早了六十余年，却是一个比 Montgomery-Odlyzko定律更强的命题！历史真是富有戏剧性，从二十世纪早期开始流传的Hilbert-P 6 lya猜测 居然在无形之中与半个多世纪之后才出现的Montgomery-Odlyzko定律做 了跨越时间的遥远照应。但这一照应实在是太遥远了 Montgomery的论文尚且因为缺乏证据而遭 到冷场，Hilbert-P 6 lya猜测自然就更无人问津了。这种冷落是如此彻 底，以至于当Montgome
12、ry的论文及后续研究重新燃起人们对Hilbert-P 6 lya猜测的兴趣，并开始追溯它的起源时，大家惊讶地发现 不仅Hilbert和GeorgeP 6 lya(1887-1985)两人不曾在人们找寻得到的任 何发表物或手稿之中留下过一丝一毫有关Hilbert-P 6 lya猜测的内容。 而且在Montgomery之前所有其他人的文字之中竟然也找不到任何与这一 猜测有关的表达。一个隐约流传了大半个世纪的数学猜测竟似乎没有落下 过半点文字记录，却一直流传了下来，真是一个奇迹！但Odlyzko执著地想要探寻这一奇迹的起点。那时候Hilbert早已去世,P 6 lya却还健在。1981年12月8日，
13、Odlyzko给P 6 lya发去了 一封 信，询问Hilbert-P6 lya猜测的来龙去脉。当时P 6 lya已是九十四岁的 高龄，卧病在床，根本不再执笔回复信件了，但Odlyzk。的信却很及时地 得到了他的亲笔回复。毕竟，对一位数学家来说，自己的名字能够与伟大 的Hilbert出现在同一个猜测中是一种巨大的荣耀。P 6 lya在回信中这样 写道注五:很感谢你12月8日的来信。我只能表达一下自己的经历。1914年初之前的两年里我在Gttingen0我打算向Landau学习解析数论。 有一天他问我：“你学过一些物理，你知道任何物理上的原因使Riemann 猜测必须成立吗？ 我答复说，如果自函
14、数的非平凡零点与某个物理问 题存在这样一种关联，使得Riemann猜测等价于该物理问题中所有本征值 都是实数这一事实，那么Riemann猜测就必须成立。三年后（1985年）P 6 lya也离开了人世，他给Odlyzko的这封回信便成了 迄今所知有关Hilbert-P 6lya猜测的唯一文字记录。至于早已去世的 Hilbert在什么场合下提出过类似的想法，那么也许将成为数学史上一个 永远的谜团了。二H . Riemann体系何处觅？如上所述，假设Hilbert-P 6 lya猜测成立，那么Riemann彳函数的非平凡零点将与某个厄密算符的本征值一一对应。我们知道厄密算符可以用来 表示量子力学体系
15、的哈密顿量，而厄密算符的本征值那么对应于该量子 力学体系的能级。因此如果Hilbert-P 6 lya猜测成立，那么Riemann G函 数的非平凡零点有可能对应于某个量子力学体系的能级，非平凡零点的 全体那么对应于该量子力学体系的能谱。我们把这一特殊的量子力学体系 称为Riemann体系，把这一体系的哈密顿量称为Riemann算符注六。那么这个神秘的Riemann体系如果存在的话会是一个什么样的量子力学体系呢？这个问题的答案目前当然还不存在。不过，有关这个问题目前所知道的 最重要的线索显然是来自Montgomery-Odlyzko定律。由于Montgomery-Odlyzko定律说明Riem
16、ann C函数的非平凡零点分布与随机厄 密矩阵的本征值分布相同，因此我们不难猜测，Riemann算符应该是一个 特殊的随机厄密矩阵。那么由这个特殊的随机厄密矩阵所描述的量子力学 体系会具有什么特点呢？这个问题自二十世纪七十年代末以来有许多人 研究过。1983年，法国核物理研究所（Ins核tutdePhy所queNucl 6 aire） 的0. Bohigas、M. J. Giannoni和C. Schmit等人提出了一个猜测，即由随 机厄密矩阵所描述的量子体系在经典极限下对应于经典混沌体系。这一猜 测被称为Bohigas - Giannoni - Schmit （BGS）猜测注七,它获得了 一
17、些数 值计算的支持（比方对一些以经典混沌体系为极限的特定量子体系的能级 计算得出了与这一猜测相容的结果），但迄今尚未得到严格证明。不过虽 然尚未证明，但从物理角度上讲，这一猜测具有一定的合理性，因为与 经典混沌体系相对应的量子体系的波函数会在一定程度上秉承经典轨迹 的混沌性，从而使得哈密顿量的矩阵元呈现出随机性，这正是随机厄密矩阵的特点。由此看来，Riemann体系很可能是一个与经典混沌体系相对应的量子体 系。那么，这个作为Riemann体系经典近似的经典混沌体系又具有什么样 的特征呢？这个问题人们也做过一些研究。由于我们所知道的有关 Riemann体系最明确的信息是这一体系的能谱因为它与Ri
18、emann C函数的非平凡零点相对应。因此研究Riemann体系的特征显然要从能谱入手。 描述量子体系能谱的一个很有用的工具是所谓的能级密度函数：p (E) = Sn 6 (E-En)这里的5(-2是所谓的口正区5函数，求和对所有能级进行。早在二十世纪六十年末和七十年代初，出生于瑞士、一度跟随著名物理 学家WolfgangPauli (1900-1958)学习过量子力学的物理学家MartinGutzwiHer (1925-)就对这一能级密度函数的经典极限进行了研 究，并得到了 一个我们现在称之为Gutzwiller求迹公式(Gutzwillertraceformula)的结果。在对应的经典体系
19、具有混沌性的情形 下,Gutzwiller求迹公式为:P (E) = P (E)+2 2 p 2kAp,kcos(2 兀 kSp/h+a p)这里的h为Planck常数，P (E)是一个平均密度。我们感兴趣的是第二 项，它包含了一个对经典极限下所有闭合轨道p以及沿闭合轨道的绕转数 k(k为正整数)的双重求和。求和式中的Sp是闭合轨道p的作用量，ap 是一个相位,被称为Maslov相位(Maslovphase)或Maslov指标(Maslovindex) o而Ap, k与闭合轨道的性质有关，可以表示为：Ap,k=Tp/hdet (Mpk-I)1/2其中Tp是闭合轨道P的周期，Mp那么是描述闭合轨
20、道p的稳定性的一个 单值矩阵(monodromymatrix)。另一方面，我们也可以定义一个与量子体系的能级密度函数完全类似的Riemann函数非平凡零点的密度函数：P (t) = S n 8 (t-tn)并利用Riemann 函数的性质对这一密度函数进行计算。1985年，英国数学物理学家MichaelBerry (1941-)给出了这一计算的结 果：P (t) = P (t)-2 Sp S kln (p)/2 n exp -kin (p)/2 cos ktln (p) _这个公式看似寻常，却包含了一个非常值得注意的特点，那就是：其中 的k虽然是正整数，p却受到更大的限制。事实上，这个公式中的
21、p是素 数而非一般的正整数！将这个结果与前面有关量子体系能级密度的计算相 比拟，我们发现为了使两者一致，必须有：a p= JiTp=ln (p)Sp= (ht/2 五)TpAp,k=Tp/2 n exp(kTp/2)这其中最简洁而漂亮的关系式就是Tp=ln(p),它说明与Riemann体系相 对应的经典体系具有周期等于素数对数ln(p)的闭合轨道！这无疑是这一 体系最奇异的特征之一。研究Riemann体系的努力仍在继续着，在一些数学物理学家的心目中， 它甚至已经成为了一种证明Riemann猜测的新的努力方向，即所谓的物理 证明注八。会不会有一天人们在宇宙的某个角落里发现一个奇特的物理 体系，它
22、的经典根本周期恰好是In2,ln3,ln5?或者它的量子能谱恰 好包含14. 1347251,21. 0220396,25. 0108575（读者们应该还记得这些 是什么数吧）？我们不知道。也许并不存在这样的体系，但如果存在的话， 它无疑是大自然最美丽的奇迹之一。只要想到像素数和Riemann彳函数非 平凡零点这样纯粹的数学元素竟有可能出现在物理的天空里，变成优美 的轨道和绚丽的光谱线，我们就不能不惊叹于数学与物理的神奇，惊叹 于大自然的无穷造化。而这一切，正是科学的伟大魅力所在。注释1 .这种数值证据之一便是我们在第十六节中给出的关于Montgomery零点 对关联函数的拟合曲线。2 .这“
23、定律二字通常在物理学中用得比在数学中多，它很贴切地表达 了这一命题虽有大量的数值证据，却缺乏数学意义上的严格证明这一特 点。3 .当然，别忘了 N- 8这一条件。4 .自第H 节中引进s=l/2+it以来,当我们提到Riemann ?函数的非平 凡零点时，实际指的往往是零点虚部的大小t ,这一点读者应该能很容易 地从上下文中判断出来。5 . P6 1ya提到的之函数应该是指我们在第五节的注释中提到的Riemann 本人所定义的之函数。Riemann猜测等价于那个士函数的零点为实数。6 .严格讲，量子力学中所有的可观测量都是由厄密算符表示的，哈密顿 量只是其中之一。不仅如此，由厄密算符的本征值所描述的物理量甚至并 不限于量子力学中的物理量。从P 6 lya给Odlyzk。的信中也可以看 到，P 6 lya当年并没有对与Riemann C函数非平凡零点相对应的“物理忖题做具体的猜测。因此从Hilbert-P 6 lya猜测到Riemann体系是后人