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1、R i emann猜测漫谈(十六)卢昌海二十七.Levinson方法Selberg的临界线定理说明Riemann U函数临界线上的零点在全体非平凡 零点中所占比例大于零。那么这个比例究竟是多少呢？ Selberg在论文中 没有给出具体的数值。据说他曾经计算过这一比例，得到的结果是 5%-10%注一。另外，中国数学家闵嗣鹤(19131973)在牛津大学留学 (1945-1947)时，曾在博士论文中计算过这一比例，得到了一个很小的数 值。这些结果或是太小，或是没有公开发表，在数学界鲜有反响。总的来 说，Selberg的结果更多地是被视为是一种定性的结果一一即首次证明了 位于临界线上的零点占全体非平
2、凡零点的比例大于零。有关这一比例的具体计算时隔二十多年才有了突破性的、并且引人注意 的进展。这一进展是由美国数学家NormanLevinson(1912-1975)做出的。 Levinson小时候家境非常贫寒，父亲是鞋厂工人，母亲目不识丁且没有 工作，但他在十七岁那年成功地考入了著名的高等学府麻省理工学院 (Massachusetts Ins ti tut eof Technology，简称 MIT)。在 MIT 的前五 年，Levinson在电子工程系就读，但他选修了几乎所有的数学系研究生 课程，并得到了著名美国数学家NorbertWiener (1894-1964)的赏识。1934 年，L
3、evinson转入了数学系。这时Levinson的水平已完全具备了获取数 学博士学位的资格，于是Wiener帮他申请了一笔奖学金，让他去Hardy 所在的剑桥大学访问了一年。次年，Levinson返回MIT ,立即拿到了博士 学位。Levinson在学术生涯的早期先后经历了美国的经济大萧条及麦卡锡 主义(McCarthyism)的盛行，几次面临放弃学术研究的窘境，但最终还是幸运地度过了难关。Levinson在Fourier变换、复分析、调和分析、随机分析、微分及积分 方程等领域都做出过杰出奉献。他二十八岁时就在美国数学学会出版了有 关Fourier变换的专著，这通常是资深数学家才有时机获得的殊
4、荣；他在 非线性微分方程领域的工作于1953年获得了美国数学学会(AmericanMathematicalSociety)每五年颁发一次的 Bcher 纪念奖 (BcherMemorialPrize)；他1955年完成的著作？常微分方程理论？一出版 就被誉为了这一领域的经典著作。但他最令世人惊叹的那么是在年过花 甲，生命行将走到尽头的时侯，突然在Riemann猜测研究中获得了重大突 破，给出了临界线上零点比例的一个相当可观的下界估计。Levinson对临界线上零点比例的研究采取了与Hardy、Littlewood及 Selberg都十分不同的方法。他的根本思路来源于Riemann U函数U (
5、s) 的零点分布与其导数彳(s)的零点分布之间的关联。早在1934年，瑞士 数学家AndreasSpeiser (1885-1970)就曾经证明过，Riemann猜测等价于 4(s)在ORe (s) 1/2上没有零点o 1974年Levinson与Montgomery合作证 明了 Speiser结果的一个定量版本，那就是C(s)在开区域-lRe(s)l/2,TIm(s)T2内的零点数目与 W (s)在ORe(s) l/2,TlIm(s)T2 内的零点数目之比渐近于1。有了这一结果，人们就可以通过研究C(s) 的零点分布，而得到有关C (s)在临界线上的零点数目的信息注二，这 正是Levinso
6、n所做的。与上述结果的发表同年(即1974年)，Levinson通 过这种方法，得到了对临界线上零点比例下限的一个突破性的估计。Levinson的研究在刚开始的时侯给出了一个非常乐观的结果：98. 6%!他 把自己的一份手稿交给了同事、印度裔美国数学家Gian-CarloRota(1932-2019),并且幽默地宣称自己可以把这个比例提高 到100%，但他要把剩下的1.4%留给读者去做。Rota信以为真，便开始传 播“Levinson证明了 Riemann猜测的消息。这很快被证明是一个双重错 误：首先，在Levinson所采用的方法中，即使真的把比例提高到100% , 也不等于证明了 Riem
7、ann猜测；其次，很快就有人在Levinson的证明中 发现了错误。幸运的是，该错误并没有彻底摧毁Levinson的努力，只不 过那个奇迹般的98. 6%掉落尘埃，变成了 34%o Levinson最终把自己论文 的标题定为了： “RiemannZeta函数超过三分之一的零点位于。=1/2 注 三。如果我们用N0(T)表示临界线上区间0Im(s)T内的零点数目，而N(T) 表示临界带上区间0Im(s)T内的零点数目一一即满足0Im(s)T的全部非平 凡零点的数目，那么Levinson的结果可以表述为注四:Levinson临界线定理：存在常数T00，使得对所有TTO ,N0(T)(l/3)N(T
8、)oLevinson的这一结果是继Selberg之后在这一领域中的又一个重大进展， 它不仅为临界线上的零点比例给出了一个相当可观的下界，更重要的 是，Levinson的这种把彳(s)与(s)的零点分布联合起来进行研究的方 法被称为Levinson方法为许多后续研究奠定了根底。二十八.艰难推进运用Levinson方法进行零点研究的第一项后续研究是由他本人做出的。 1975年，即紧接着上述研究的那一年,Levinson把对临界线上零点比例 的下界估计提高到了 0.3474。这虽然是一个很小的推进，但这种计算每一 个都异常繁复，而Levinson当时的身体状况已经极差，他能够完成这样 的计算堪称是一
9、个奇迹。事实上，那已是他生命中的最后一个年头，那一年的十月十日,Levinson因患脑瘤在他的学术故土波斯顿 (BostonMIT的所在地)去世。在Levinson之后，数学家们艰难地推进着Levinson的结果，但速度极 其缓慢。1980年，中国数学家楼世拓与姚琦证明了 NO(T)0. 35N(T)；1983 年，美国数学家BrianConrey证明了 N0(T)三0. 3685N(T)。这些结果都是 在小数点后的第二位数字上做手脚。1989年，Conrey终于撼动了小数点 后的第一位数字，他把比例系数提高到了 0.4，即：Conrey临界线定理：存在常数TOO，使得对所有TT0 ,NO(T
10、) 2 (2/5)N(T) 这是迄今为止数学家们在这一方向上所获得的最强的结果。Conrey认为 自己的证明还有改良的空间，但计算实在太过复杂，不值得花费时间了。 他的说法是：如果可以把估计值提高到50%以上，那就值得去做，因为那 样的话人们至少可以说Riemann C函数的大局部非平凡零点都在临界线 o可惜Conrey认为他的证明能够改良的幅度不会超过几个百分点，不 可能到达50%。不仅Conrey的证明如此，整个Levinson方法的改良空间 有可能都已不太大了，目前数学家们普遍认为用Levinson方法不可能把 对临界线上零点比例的下界估计推进到100沆虽然数学家们在推进临界线上零点比例
11、的下界估计上进展缓慢，但在这 一过程中他们也得到了许多相关的结果。这其中很重要的一类结果是关于 简单零点在全部非平凡零点中所占比例的估计。数学家们普遍猜测，Riemann C函数所有的零点都是简单零点注五，这被称为简单零点 假设(simplezeroconjecture)，它是一个迄今尚未得到证明的命题。不过， 与Riemann猜测类似，简单零点假设也得到了许多数值及解析结果的支 持。1979 年，英国数学家 RogerHeath-Brown (1952-)对 Levinson 方法做 了改良（Selberg也做了同样的工作，但没有发表），使之给出的比例变成 有关简单零点的比例，从而把Levi
12、nsonl975年的结果转变成至少有34. 74%的非平凡零点位于临界线上，并且都是简单零点。类似地，Conrey 临界线定理也被转变成至少有2/5的非平凡零点位于临界线上，并且都是 简单零点。除此之外，由于简单零点假设通常与Riemann猜测联系在一起 （有些数学家甚至将之视为Riemann猜测的一局部），因此也有一些数学家 研究了在所有非平凡零点都位于临界线上（即传统的Riemann猜测成立）的 前提下，非平凡零点中简单零点所占的比例。比方Montgomery在1973年 曾经证明了如果Riemann猜测成立,那么至少有2/3的非平凡零点是简单 零点。除了对Riemann4函数的零点进行研
13、究外，数学家们对与之关系密切的 昌函数（忘记这一函数的读者请温习一下第五节）及其导数的零点分布也 作过一些研究。比方上文提到的1983年Conrey的结果所针对的实际上是 & （s）及其各阶导数，他得到的主要结果为：i （s）的零点至少有36. 85%在临界线上。I（s）的零点至少有81. 37%在临界线上。L（s）的零点至少有95. 84%在临界线上。葭（s）的零点至少有98. 73%在临界线上。r 1 1（S）的零点至少有99. 48%在临界线上。i（s）的零点至少有99. 70%在临界线上。不仅如此，Conrey还给出了有关更高阶导数的渐近结果注六。在上面 所列举的结果中，& （s）的零
14、点由于恰好与巴（s）的非平凡零点相重合（参 阅第五节），因此有关占（s）零点的结果等价于上文所提到的NO （T） NO. 3685N（T） o从Conrey的这一系列结果中不难看到，有关自 （s）各阶导数的结果远比 有关士（s）本身的结果强得多。因此，如果有什么方法能像Levinson在 U（s）与C （s）之间建立的关联那样，把有关自（s）各阶导数的结果转化 为有关昌（s）本身的结果一一从而也就是有关4 （s）的结果，那将对临界 线上的零点估计再次产生突破性的影响。Levinson在临终前曾认为自己已 经有这样的方法，可惜他很快去世了，而迄今为止谁也没能找到这种方 法。不过，尽管迄今还没有方
15、法把有关a（s）各阶导数的结果转化为有关 之（s）本身的结果，Conrey对a（s）各阶导数的研究依然是很有意义的， 因为可以证明：如果Riemann猜测成立，那么昌（s）与它的各阶导数的零 点都必定位于临界线上。换句话说，只要发现昌（s）及其任意阶导数的任 何一个零点不在临界线上，就等于否证了 Riemann猜测。因此，Conrey的 结果可以被视为是对Riemann猜测很有力的间接支持。二十九.哪里没有零点？读者们也许注意到了，我们前面各节所介绍的有关零点分布的解析结果 沿袭着一条共同的思路，那就是尽可能地“抓捕位于临界线上的零点。 从Bohr-Landau定理确立临界线是零点分布的会聚中
16、心，到Hardy定理确 立临界线上有无穷多个零点，到Hardy-Littlewood定理确定该“无穷 多最起码的增长方式，到各种临界线定理确定临界线上零点比例的下 界，到有关简单零点的类似结果，再到自（s）及各阶导数在临界线上零点 比例的下界所有这些努力，都是在试图“抓捕临界线上的非平凡 零点，或与之有关的性质。这样的思路当然是非常合理的，因为Riemann猜测所“猜测的正是所 有的非平凡零点都位于临界线上。如果我们能在临界线上把所有的零点一 一 “抓捕归案,自然也就证明了 Riemann猜测。但是，正如我们在这个 漫长系列中所看到的，“抓捕零点是一件极其困难的事情，这么多年 来，经过这么多数
17、学家的持续努力，我们在临界线上“抓捕到的零点 数目还不到总数的一半。在这种情况下，我们不妨换一个角度来思考问 题：既然我们还无法证明所有的零点都位于临界线上，那何不先试着排除 掉某些区域呢？排除掉的区域越多，零点可以遁形的地方也就越少，这 就好比是侦探在寻找罪犯时把无关的人员排除得越干净，就越有利于锁 定罪犯。如果我们可以把临界线以外的所有区域一一即Re(s)l/2与Re(s) 1/2全部排除掉，也同样就证明了 Riemann猜测。遗憾的是，数学家们在这方面所获得的进展比直接捕捉零点还要少得 多，简直可以说是少得可怜。从排除区域的角度上讲，最先被排除掉的是 Re(s)O及Re(s)l ,这是非
18、常简单的结果(参阅第五节和附录一)。接着被 排除掉的是Re(s)=0及Re(s)=1 ,这是非常困难的结果，它直接导致了素 数定理的证明(参阅第七节)，临界带的概念也由此产生。这些结果距今都 已经超过一百年了，那么在时隔一百多年之后，我们是否有能力把这类 结果再推进一点，比方说把临界带的右侧边界由Re(s)=l向左平移为 Re(s)=1-(0),从而把Re(s)21-的区域排除掉呢注七?不幸的 是，我们迄今还没有这个能力。无论把取得多小，一百多年来也始终 没有人能够把Re(s)21-的区域排除掉。迄今为止，数学家们所能证明 的只有诸如临界带之内曲线Re(s)=1-c/ln|lm(s) |+2(c0)右侧的区域内 没有非平凡零点之类的结果注八。由于曲线Re(s)=l-c/ln|lm(s) |+2 在Im(s) - 8时无限逼近于Re(s)=l ,因此我们无法利用这一结果将临界 带的右侧边界向左平移哪怕最细微的一丁点。(