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1、R i emann猜测漫谈(十九)卢昌海三十四.“豪华版 Riemann猜测本节我们来介绍“豪华版的Riemann猜测。所谓“豪华版，顾名思 义，就是要比“普通版更高一筹，后者有的前者都得有，而且还得有 新东西。对于数学命题来说，这意味着得比原命题更强、更普遍，将原命 题包含为自己的特例。那样的命题如果成立，原命题就自动成立，但反过 来那么不然(否那么两者就等价了，对不住“豪华版这一荣耀称号)。“豪华版 Riemann猜测与上节介绍的“山寨版 Riemann猜测虽分属不 同类别，有一点却是共同的，那就是都得从对Riemann C函数的变通入 手，因为Riemann猜测所关注的无非就是Riema
2、nn I函数非平凡零点那些 事儿，对它的各种变通，归根到底也就是对Riemann C函数的变通。只不 过“山寨版Riemann猜测中的Riemann U函数只需与普通Riemann C函 数有抽象的对应即可，而“豪华版 Riemann猜测中的Riemann彳函数却 必须将后者包含为自己的特例，以保证猜测的“豪华性。Riemarm猜测 的“豪华版有不止一款，我们将着重介绍其中有代表性的两款。我们首先介绍一款较浅显的，叫做广义Riemann猜测(generalizedRiemannhypothesis) 0当然，这里所谓的“浅显，绝不是 指容易证明(挂有“Riemann猜测这一招牌的东西哪会有容易
3、证明的？)， 而是指相对来说比拟容易介绍。这一 “豪华版 Riemann猜测所采用的变 通后的 Riemann C 函数叫做 DirichletL 函数(DirichletL-function)，它 是一个级数的解析延拓，那个级数叫做DirichletL级数(DirichletL-series)，通常记为L(s, x k),其定义是(k、n为正整数)注的成果)ErichHecke (1887-1947)所证明的。不仅如此,Dedekind 函数的 零点也同样有平凡与非平凡之分，非平凡零点全都位于ORe(s)l的带状区 域(即临界带)内。有了这些结果，扩展Riemann猜测的表述也就一目了然 了
4、，那就是：扩展Riemann猜测：Dedekind函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s) =1/2的直线上。由于Dedekind彳函数是Riemann U函数的推广，因此扩展Riemann猜测 也显然是Riemann猜测的推广，从而是“豪华版的。从上面的介绍中我们看到，广义Riemann猜测与扩展Riemann猜测作为 普通Riemann猜测的推广，是建立在对Riemann I函数的两种不同推广之 上的，前者是DirichletL函数，后者那么是Dedekind U函数。我们还看 到，无论DirichletL函数还是Dedekind C函数，都与普通Riemann U函 数有着极大的相似
5、性。这种令人瞩目的相似性也许会启示读者问这样一个 问题，那就是这些彼此相似的函数是否可以被统一起来，纳入一个更宏 大的框架中，成为一类更广泛的函数的特例呢？这是一个好问题，它的 答案是肯定的。事实上，DirichletL函数与Dedekind 4函数都是一类被 称为自守L函数(automorphicL-function)的涵盖面更广泛的函数的特例。 大家也许还会进一步问：自守L函数是否也有相应的“豪华版 Riemann 猜测呢？这也是一个好问题，它的答案也是肯定的。这种涵盖面更广泛的 函数也有一个“豪华版的Riemann猜测，堪称是“史上最豪华的 Riemann猜测，它的名字很气派，叫做“大R
6、iemann猜测(grandRiemannhypothesis)注H o不过，自守L函数这一概念所牵涉 的“链式反响十分剧烈，而建立在这一概念之上的大Riemann猜测的应 用却极少（这种应用的多寡主要表达在有多少数学命题以假定其成立为前 提），我们就不详加介绍了。在这里，我们只把大Riemann猜测的内容表 达一下（其实不表达大家应该也已不难猜到），那就是：大Riemann猜测：自守L函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re（s） =1/2的直线上。当然，这里的“非平凡零点仍是指位于ORe（s）l（即临界带）内的零点。 大R i emann猜测包含了普通R i emann猜测、广义R i em
7、ann猜测、扩展R i emann 猜测、以及假设干有名字或没名字的其它“豪华版 Riemann猜测为其特 例，它假设能被证明，那么Riemann猜测这一研究领域几乎就被一锅端 To不过从目前的情况来看，我们距离这一天还差得很远。事实上，别说 是大Riemann猜测，有关自守L函数的许多简单得多的性质，比方它的解 析延拓及函数方程等，也都还是未被普遍证明的东西。L(s, x k) = Sn x k(n)n-s (Re (s) 1)读者们想必还记得，普通RiemannU函数也是一个级数，即(n为正整数) C (s) = S nn-s (Re (s) 1)的解析延拓(不记得的读者请参阅第二节)。这
8、个级数有一个不太常用的 名称，叫做p级数(p-series)。这个名称之所以不常用，是因为它一般只 表示s为实数的情形，比上述Riemann C函数的级数表达式的定义域小得 多。不过为行文便利起见，我们在本节中将用它来称呼上述级数。比照这两个级数，不需要很厉害的眼力就可以看出两者的相似性，以及 DirichletL级数是p级数的推广这一表观特点一一因为后者无非就是前者 中各项系数xk(n)全都等于1的特例。不过，要想确认这一表观特点， 必须得知道xk(n)的定义，尤其是得知道xk(n)是否真的能全都等于1 , 因为x k(n)并不是任意的系数，而是一组被称为Dirichlet特征 (Diric
9、hletcharacter)的东西注二,它们能否全都等于1不是可以随意 假定的，而必须是由定义来决定。那么，xk(n)的定义是什么呢？是由以 下三个条件共同构成的(k为正整数，&n为整数)：1 .对一切 n , x k(n) = x k(n+k),2 .对一切 m 和 n , x k (m) x k (n) = x k (mn),3 .对一切n，假设k和n互素，那么xk(n)WO，否那么x k(n)=0o 由上述定义不难证明(请读者自行完成)，对一切n, 乂1(口)=1。因此xk(n) 全都等于1确实是xk(n)的一组可能的取值(即k=l的特殊情形)。这说明 DirichletL级数确实是p级
10、数的推广。当然，这也意味着作为相应级数解 析延拓的DirichletL函数是Riemann C函数的推广。与p级数在Re(s) 1的区域内可以写成连乘积表达式(即Euler乘积公式) 相类似,DirichletL函数在Re(s) 1的区域内也可以写成连乘积表达式：L(s, x k) = Hp1- x k(p)p-s-l其中右边的连乘积针对所有的素数进行。与Riemann G函数及Euler乘 积公式包含了素数分布的信息(参阅第三节)相类似，DirichletL函数及 上述连乘积表达式可以用来研究算术级数(arithmeticprogression)中的 素数分布注三。1837年，德国数学家Jo
11、hannDirichlet (1805-1859)进 行了那样的研究，得到了所谓的Dirichlet算术级数定理(Dirichlet stheoremonarithmeticprogressions)注四。他那项研究在 数论历史上有着重要地位，被视为是解析数论(analyticnumbertheory) 这一分支领域的开山之作。正是为了纪念Dirichlet的重大奉献，人们以 他的名字命名了 Dirich字tL级数、Dirich字tL函数、以及Dirichlet特 征等术语。可以证明，DirichletL函数作为DirichletL级数的解析延拓，与 Riemann 函数一样，是复平面上的亚纯
12、函数(其定义参阅第二节)。DirichletL函数与Riemann C函数的相似性是相当广泛的，比方它也满足 类似于Riemann彳函数所满足的那种函数方程。此外，Dir数hletL函数的 零点也有平凡与非平凡之分，非平凡零点也全都位于0Re(s)l的带状区域 (即临界带)内o而所谓的广义Riemann猜测，那么是宣称DirichletL函 数的所有非平凡零点也全都位于Re(s)=l/2的直线(即临界线)上，即： 广义Riemann猜测：DirichletL函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s) =1/2的直线上。由于DirichletL函数是Riemann C函数的推广，因此广义Rie
13、mann猜测 显然是Riemann猜测的推广。在所有“豪华版 Riemann猜测中，广义 Riemann猜测是被引述得最为广泛的，有大量数学命题的成立是以这一猜 测的成立为前提的注五。不仅如此，与Riemann猜测的成立可以给出对 素数分布的最正确估计相类似，广义Riemann猜测的成立可以给出对算术 级数中的素数分布的最正确估计。我们要介绍的第二款“豪华版 Riemann猜测叫做扩展Riemann猜测 (extendedRiemannhypothesis)注六,它所采用的变通后的 Riemann 彳 函数那么叫做Dedekind彳函数(Dedekindzetafunction)，是以德国数学
14、 家RichardDedekind(1831-1916)的名字命名的。这一函数也是一个级数的 解析延拓，只不过该级数的定义是需要多费一些口舌才能介绍清楚的。我 们先把定义写下来：UK(s) = IN(I)-s (Re(s)l)粗看起来，这个定义并不复杂，与普通Riemann彳函数的p级数表达式 相比，只不过是在左侧的函数名称上添了一个下标K，把右侧级数中的n 换成N(I)，再把对n的求和换成了对I的求和而已。不过，这种简单性纯 粹是数学符号的简洁性带来的幌人耳目的外表现象。事实上，这里的每一 处看似细小的差异，即K、I和N(I)的背后都大有文章。我们先把它们的 名称写下来，让大家感觉一下它们一
15、个比一个递进的陌生性。它们的名称 是什么呢？K是数域；I是数域K的整数环的非零理想；N(I)是数域K的整数环的非零理想I的绝对范数。如果你不是很熟悉代数学的话，上面这些名称看了估计就跟没看一样如果不是更犯晕的话。数学是一个高度抽象的领域，试图了解一个陌 生数学分支中的概念，有时就像初学英语者拿着英-英词典 (English-Englishdictionary)查找单词一样,往往在查找到的解释之中 又夹杂着新的陌生词汇，大有发生“链式反响(chainreaction)之势。 上面的努力就是一个例子，我们想知道什么是Dedekind已函数，于是查 找到它的级数表达式，但在级数的定义中却冒出了诸如“
16、数域 (numberfield) “整数环(ringof integer)理想(ideal)、“绝对范数”(absolutenorm)之类的陌生名称。而为了解释这些陌生名称，天 知道会不会遇到其它陌生名称。但既然我们已决定要介绍“豪华版的 Riemann猜测，就只好硬着头皮一个一个啃下去了。先说说“数域这个概念。这是一个相对简单的概念，对多数读者来说， 可能是上述诸名称中唯一一个眼熟的概念，尤其是我们在第三十二节中 还刚刚介绍过什么是“域。但简单归简单，它却也没有简单到可以望文 生义成“数字组成的域(否那么它跟“域根本就是一回事了)。那么， 究竟什么是数域呢？它是有理数域(f ieldofra
17、tionalnumbers)的有限次 代数扩张域(finitealgebraicextensionfield)。果然，不解释还好，一 解释“链式反响就又来了：什么是有理数域的“代数扩张域？什么又 是“有限次代数扩张域呢？所谓有理数域的代数扩张域，指的是那样 一个域，其中所有元素都是系数为有理数的代数方程的解(忘了什么是“代数方程的读者请温习第三十二节)。那样的元素(即数域中的“数) 被称为代数数(algebraicnumber),而数域本身那么因此也被称为代数数 域(algebraicnumberfield) 数域的一个很简单的例子是所有形如 a+bV2(a,b为有理数)的数构成的域(请读者自
18、行证明这样的数构成一个域，并且每个这样的数都是一个系数为有理数的代数方程的解）。a+bV2 这一形式让人联想起向量空间（vectorspace）中用一组基（basis）表示向 量的做法一一其中1和J2扮演基的作用 出和6那么是任意向量在该组 基下的分量。这种从向量空间角度看待代数扩张域的做法有一定的普适 性，相应的向量空间的维数（对a+bJ2这一例子来说是2）称为代数扩张域 的度数（degree）。度数有限的代数扩张域就称为有限次代数扩张域。这样 我们就解释了什么是有理数域的有限次代数扩张域，即数域了 注七。接下来说说数域的“整数环这一概念。要说整数环，首先得说说“整 数，因为这里所谓的整数并
19、不仅仅是大家在小学课上学过的那些整数， 而是所谓的代数整数（algebraicinteger）。我们上面说过，数域中的元素 都是代数数，即系数为有理数的代数方程的解。如果那代数方程的系数不 仅为有理数，而且是整数，并且首系数（即累次最高项的系数）为1 ,那么 它的解就是所谓的代数整数注八。粗看起来，这种数跟整数似乎没什么 共同点，它们为什么被称为代数整数呢？原因有好几条：首先，所有普通整数都是代数整数（请读者自行证明）。其次，所有代数数都可以表示为代数整数的商，就如同所有有理数都可 以表示为普通整数的商。最后，代数整数与普通整数一样，对加法、减法和乘法封闭，但对除法 不封闭（即两个代数整数的商
20、未必仍是代数整数）。可以证明，一个数域中的所有代数整数构成一种特殊的代数结构，叫做 环（ring）。环这一概念是Dedekind提出的（名称那么是Hilbert引进的）, 它是一种比域更简单的结构，相当于在域的定义中去除了乘法交换律， 及每个非零元素存在乘法逆元素这两个要求注九。由一个数域K中的所 有代数整数构成的环就叫做该数域的整数环。作为一个例子，如果数域是 有理数域，那么可以证明代数整数正好就是普通整数（事实上，对任意数 域，一个代数整数如果是有理数，它就必定是一个普通整数），而整数环 那么恰好就是全体整数的集合，即整数集。说完了整数环，再说说整数环的“理想。这“理想当然绝不是中国 大陆
21、读者们从小耳熟能详的“无产阶级革命理想之类的东西，而是一 个不折不扣的数学概念。这个概念也是Dedekind提出的，是环的一种子 集，是对德国数学家ErnstKummer （1810-1893）早些时候提出的一个叫做“理想数（idealnumber）的概念的推广（其名称也由此而来）。对于我们 所讨论的情形来说，理想是整数环的一个子集，对加法、减法和乘法封 闭，包含零元素，并且它的任意元素与整数环的任意元素的乘积仍在该 子集内注十。从某种意义上讲，理想这个概念跟“0这个概念有一定 的相似性，因为0乘以任何数仍然是0，与理想所满足的“它的任意元素 与整数环的任意元素的乘积仍在该子集内相似。事实上，
22、以0为唯一元 素的子集确实是任何环的理想，称为零理想（zeroideal）,而理想这个概 念与0之间的相似性，那么可以用来对环中的元素进行约化，即通过把理 想视为广义的0，把通常建立在两个元素之差等于0根底上的元素相等概 念中的0换成理想，而对环中的元素进行分类（大家很快就会看到一个例 子）。一个环的理想是不唯一的（否那么Dedekindl函数的级数表达式中 对理想I的求和就没什么意义了），比方对于整数集（即有理数域的整数环） 这一特例来说，所有形如. -2n,-n,0,n,2n,. （n为非负整数）的集合 都是理想（请读者们依据理想的定义予以验证），这种集合通常被记为nZ（Z 是表示整数集的
23、符号），整数集的所有理想都具有这种形式。最后要介绍的是理想的“绝对范数。我们刚刚说过，从某种意义上讲， 理想这个概念跟“0这个概念有一定的相似性。这一点，连同整数集的 理想是nZ（n为非负整数）这一结果，使我们联想起第三十二节中介绍过的 模算术，因为一个以n为模的模算术的根本特点就是n具有0的算术性质 比方在以12为模的模算术（即刻度数目为12的Gauss时钟这一特例） 中，12具有0的算术性质（参阅第三十二节的注二）。事实上，不仅n, 所有等于n整数倍的数,即形如.-2n-n,0,n,2n,.的数（也就是理想 nZ中的所有元素），在以n为模的模算术中都具有0的算术性质，而任意 两个其差等于这
24、种数（也就是属于理想nZ）的数那么被视为相等，这正是 我们上面所说的用理想来对环中的元素进行约化的一个例子。一般地讲， 用理想对一个环中的元素进行约化类似于模算术的推广，即将两个数的 相等定义为其差属于该理想。那么什么是一个理想的绝对范数呢？它就是 用该理想对环中的元素进行约化后不同元素的数目。对于整数集的理想nZ 这一特例来说，约化后的不同元素只有n个，即0,1,. ,n-1（这也正是相 应的Gauss时钟的刻度数目），因此该理想的绝对范数是n。这样，我们就走马观花般地完成了对Dedekind函数的级数表达式的介 绍。不仅如此，在介绍的过程中一一不知读者们有没有意识到一一我们其 实已完成了对
25、K为有理数域这一特例下Dedekind U函数的计算！计算的 结果是什么呢？让我们来挑明一下：首先，在介绍整数环时我们说过，有理数域K的整数环恰好就是整数集； 其次，在介绍理想时我们说过，整数集的理想I全都是形如nZ的集合； 最后，在介绍绝对范数时我们说过，理想nZ的绝对范数是n。把这些结果合并起来，我们可以看到，对于K为有理数域这一特例，Dedekind 1函数中对非零理想I的求和实际上是对正整数n的求和 (因为n=0所对应的是零理想，从而被排除)，而相应的绝对范数N(I)=n , 因此Dedekind C函数的级数表达式可以写成(其中数域K的符号被换成了 有理数域的符号Q)：4 Q (s)
26、 = S nn-s (Re (s) 1)这个表达式大家一定认出来了，它就是普通Riemann匕函数的级数表达 式P级数。因此，C Q(s)=U (s),这说明Riemann彳函数是Dedekind C函 数的特例，而Dedekind U函数与DirichletL函数一样，是Riemann Z函 数的推广。与后两者一样，Dedekind U函数也可以写成类似Euler乘积公 式的连乘积表达式：K(s) = npl-N(P)-s-l其中连乘积所针对的是所谓的“素理想(primeideal),通常表示为P。 这里我们不幸再次遇到了 “链式反响，即“素理想这一概念。什么是 素理想呢？对于我们所讨论的情
27、形来说，它是这样一种理想，如果整数 环中的两个数的乘积在该理想之中，那么两个数中至少有一个数本身就 在该理想中。对于有理数域的整数环一一即整数集一一来说，一个理想nZ 为素理想当且仅当n为素数(这一点的证明十分容易，请读者们自己完 成)。显然，在这种情况下，上述连乘积公式完全等同于Euler乘积公式 (因为对素理想P的求积就是对素数p的求积)。当然，以上介绍的还只是Dedekind C函数在Re(s) 1上的级数表达式。 不过与DirichletL函数一样，它也可以被解析延拓为整个复平面上的亚 纯函数，而且也满足类似于Riemann C函数所满足的函数方程。这些结果 是德国数学家(又是德国数学家，本节几乎从头至尾都在介绍德国数学家