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1、R i emann猜测漫谈（十四）卢昌海在Bohr与Landau研究零点分布的同时，另一位为Riemann猜测而着迷 的数学家 Hardy也没闲着。1914年，即与Bohr-Landau定理的提 出同一年,Hardy对Riemann猜测的研究也取得了突破性的结果。这便是 我们在第一节中提到过的那个“令欧洲大陆数学界为之震动的成就。在 Riemann猜测的研究中，这一结果被称为Hardy定理注一：Hardy定理：Riemann 函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。我们知道（详见上节），无论Hadamard、Vail e e-Poussin，还是Bohr、 Landau，在Hardy之前人们所做
2、的有关Riemann猜测的所有解析研究，都 没能证明Riemannl函数的哪怕一个非平凡零点落在临界线上。那时人们 所知的有关临界线上的零点的全部结果只有我们在第八节中提到过的 1903年Gram给出的15个零点以及1914年（与Hardy定理的提出同一 年）Backlund计算出的79个零点。全部都是零星计算，且涉及的零点数目 少得可怜。而突然间，来自英伦岛上的Hardy居然不动声色地一举把临界 线上的零点数目扩大到了无穷,不仅远远超过Backlund的区区79个零 点，也永久性地超过了后世所能给出的任何具体的数值计算结果。因为无 论用多么高明的计算方法，无论用多么强大的计算设备，也无论用多
3、么 漫长的计算时间，任何具体的数值计算所能验证的零点数目都是有限的， 而无论多么大的有限数目相对于无穷来说都只是一个“零。因此Hardy 定理虽然没有给出临界线上任何一个具体零点的数值，但它通过对这些 零点的存在性证明，为Riemann猜测提供了强有力的支持，并且超越了任 何可能的具体数值计算注二。这样的一个结果出现在人们对Riemann彳函数的非平凡零点还知之甚少 的1914年，而且还出现在与欧洲大陆数学界颇为疏离的英国，不能不令 欧洲大陆的数学家们感到震动。Hardy定理的证明可以从一个有关自(s)的积分表达式：入手。这里s的取值满足ORe(s)l ,被积表达式中的函数G(x)那么定义 为
4、：我们在第五节中介绍过，& (s)的零点与Riemann I函数的非平凡零点相 重合，并且自 (s)是一个整函数，性质比RiemannC函数来得简单，从而 在Riemann猜测的研究中是一个十分重要的辅助函数。证明Hardy定理的 根本思路便是设法从前式中找出与8(s)在临界线上的零点分布有关的约 束条件来。为此，第一步是从前式中解出G(x)-1-1/x。这与我们在第四节 中介绍过的从InU (s)与J(x)的积分表达式中解出J(x)来是完全类似的， 其结果也类似，为：其中积分上下限中的a满足01。从G(x)的定义中不难看到(读者可以自 行证明)，G(x)在复平面上-n/4Indn(x)兀/4
5、的锲形区域内解析。进一步 的研究还说明，在这一锲形区域的边界上G(x)存在奇点，特别是，当x从 锲形区域内逼近il/2(即eni/4)时，G(x)及其所有导数都趋于零。另一方面，假设白(s)在临界线上只有有限多个零点，那么只要t足够 大，4 (l/2+it)的符号就将保持恒定(请读者想一想这是为什么？)。换句 话说，只要t足够大，& (l/2+it)要么是恒正函数，要么是恒负函数注 三。显然，t的这种大范围特征对上式右端的积分(积分限中的a取为1/2) 会产生可观的影响。这种影响究竟有多大呢？ Hardy经过研究发现，它足 以破坏G(x)在x-il/2时的所有导数都趋于零这一结果注四。这就说明
6、& (s)在临界线上不可能只有有限多个零点一一而这正是Hardy定理。 Hardy定理在研究Riemann猜测的征程上无疑是一个了不起的成就。但是 它距离目标究竟还有多远呢？却是谁也答不上来。从字面上看,Riemann 函数共有无穷多个非平凡零点，而Hardy定理所说的正是 有无穷多个非平凡零点位于临界线上，两者似乎已是一回事。可惜的 是，“无穷这一概念却是数学中最微妙的概念之一，两个“无穷之 间非但未见得相同，简直可以相距要多遥远有多遥远，甚至相距无穷远！ 因此，为了知道我们离目标究竟还有多远，我们还需要比Hardy定理更具 体的结果。幸运的是，那样的结果很快就有了，离Hardy定理的问世仅
7、仅相隔七个 年头。在研究Riemann定理的征程中，时间动辄就以几十年计，因此七年 应该算是很短的时间。这回出现在英雄榜上的人物除了 Hardy外，还有 Hardy的同胞兼“亲密战友 Littlewood。二十四.Hardy-Littlewood 定理Hardy 一生除了对数学本身的卓越奉献外，还有两段与他人合作的经历 在数学史上被传为佳话。其中一段是与印度数学奇才SrinivasaRamanujan(1887-1920)的传奇性的合作，另一段便是与 Littlewood的合作。Littlewood与Hardy一样，是英国外乡的数学家。 我们曾在第一节中介绍过，英国的数学界自Newton-Le
8、ibniz论战以来渐 渐与欧洲大陆的数学界孤立了开来。1906年，当Littlewood还是剑桥大 学三一学院(TrinityCollege)的一位年轻学生的时候，这种孤立所导致 的一个有趣的后果落到了他的头上。他当时的导师、英国数学家ErnestBarnes (1874T953)在那年的暑期之前随手写给了他一个函数，轻 描淡写地告诉他说这叫做U函数，让他研究一下这个函数的零点位置。 初出茅庐的Littlewood不知C函数为何方神圣，领命而去倒也罢了，但 Barnes居然能漫不经心地把这样的课题交给当时还是“菜鸟（尽管算是 比拟厉害的“菜鸟）的Littlewood ,说明他对欧洲大陆在近半个
9、世纪的 时间里对这一函数的研究，以及由此所显示的这一课题的艰深程度了解 得很不够。不过Barnes虽有对“敌情失察之过，把任务交给Littlewood却是找 对人了，因为Littlewood很快就成长为了英国第一流的数学家。而在这 过程中，Barnes所给的这个课题对他的成长不无促进之功。假设千年后， 当Littlewood终于体会到了 Riemann猜测的艰深程度，甚至开始疑心其 正确性（参阅第九节）的时候，他并没有懊悔当时曾经接下了这一课题， 因为一位真正优秀的数学家在面对一个绝顶难题的时候，往往会被激发 出最大的潜力及最敏锐的灵感。事实上，拿到上述课题后的第二年,Littlewood就发
10、现这个V函数与素 数分布之间存在着紧密关联。对于欧洲大陆的数学家来说，这种关联已缺 乏为奇，因为它早在四十八年之前就被Riemann发现了。但在闭塞的英国 数学界，欧洲大陆在这方面的工作当时还鲜为人知。不过闭塞归闭塞，例 外还是有的，其中与Littlewood恰好同在三一学院的Hardy就是一个例 外。尽管Littlewood的发现在时间上未能领先，但他能独立地重复 Riemann的局部工作，其功力之非凡还是给年长的Hardy留下了深刻印象。 此后Littlewood在曼彻斯特大学（UniversityofManchester）大学教了三 年书。1910他在获得了三一学院的教职后重返剑桥，由此
11、开始了与Hardy 长达三十七年亲密无间的合作生涯，直至1947年Hardy去世为止。Hardy与Littlewood的合作堪称数学史上合作关系的典范。在他们合作 的极盛时期，欧洲数学界流传着许多有关他们的善意玩笑。比方Bohr (Bohr-Landau定理中的Bohr)曾经开玩笑说当时英国共有三位第一流 的数学家：一位是Hardy , 一位是Littlewood，还有一位是Hardy-Li111 ewoodo而与之截然相反的另一个玩笑那么宣称Littlewood 根本就不存在，是Hardy为了自己的文章一旦出现错误时可以有替罪羊而 杜撰出来的虚拟人物。据说Landau (Bohr-Landa
12、u定理中的Landau)还专程 从德国跑到英国来证实Littlewood的存在性注五。Hardy与Littlewood对临界线上非平凡零点的研究起点与Hardy定理相 同，也是上面提到的G(x)与昌(s)之间的积分表达式。在Hardy定理的证 明中，如我们在上文及注释中看到的，着眼点是2a (z)xz-l/z(z-1)在整 个临界线上的积分。这一着眼点其实已经为Hardy定理的结果埋下了伏笔。 正所谓“种瓜得瓜，种豆得豆，既然所研究的是整个临界线上的积分， 所得到的当然也就只是有关整个临界线上零点总数的笼统结果。那么，为了得到能与Riemann猜测对非平凡零点的描述进行具体比拟的 结果，我们需
13、要什么呢？我们需要的不仅是对整个临界线上零点总数的 研究，更重要的是要了解临界线上位于区间0Wlm(s)WT的零点数目。为 此，Hardy与Littlewood研究了 2 1 (z)xzT/z(zT)在临界线上任一区间 的积分，即:其中Re(s)=1/2。通过对这一积分的细致研究，Hardy与Littlewood发 现临界线上不仅有无穷多个非平凡零点，而且虚部在0到T之间的零点总 数随T趋于无穷的速度起码是KT(其中K为大于零的常数)。他们发表于 1921年的这一结果在数学界并无确切名称，我们在这里将它称之为Hardy-Littlewood定理注六,它的完整表述如下：Hardy-Littlew
14、ood定理：存在常数K0及TOO ,使得对所有TT0 , Riemann C 函数在临界线上0Wlm(s)WT的区间内的非平凡零点数目不小于KT。 有了这样的具体结果，我们就可以将它与Riemann猜测相比拟了。那 么,Hardy-Littlewood定理距离Riemann猜测这一目标究竟有多远呢?为 了答复这一问题，我们可以回忆一下第五节中Riemann那三个命题中的第 一个，即：在Olm(s)T的区间内(不限于临界线上)，Riemann G函数的零 点总数大约为(T/2 Ji) ln(T/2 ji) -(T/2兀)。这个命题于1905年被Mangoldt 所证明，并且也是Riemann那三
15、个命题中迄今唯一得到证明的命题。与这 个命题相比，我们可以看到一个令人沮丧的结果，那就是Hardy-Littlewood定理所给出的对临界线上非平凡零点数目下限的渐近 估计相对于零点总数来说，其渐近比例为零！真是不比不知道，一比吓一 跳，原来花了这么大功夫所得到的这一结果从纯比例的角度看竟是如此 地“微缺乏道。这就是我们与Riemann猜测的距离所在，也是Riemann猜测的难度所在。 但尽管如此,Hardy-Littlewood定理是有关Riemann C函数非平凡零点 在临界线上的具体分布的第一个解析结果。在当时也是唯一一个那样的结 果，其重要性是不言而喻的。Hardy-Li111 ewo
16、od定理的这一纪录总共维持 了 21年，直到1942年才被我们在第十七节中提到过的Selberg所打破。 注释1 . Hardy一生对数学有着诸多奉献，“Hardy定理这一名称有时也被用 来表示复变函数论中的一个定理，为防止歧义，我们在这里添加了 “在 Riemann猜测的研究中这一限定。2 .在历史上，这种存在性证明由于其非构造性的特征，曾被以荷兰数学 家 L. E. J. Brouwer (1881-1966) 德国数学家 HermannWeyl (1885-1955) 荷兰数学家ArendHeyting(1898-1980)等人为代表的数学哲学“三大流 派之一的直觉主义(Intuitio
17、nism)所排斥。但是存在性证明是数学中极 其重要的方法，在很大程度上表达了逻辑与推理的力量，就像一个高明 的侦探无需跑到罪犯家中将之拿下就可以推断出谁是凶手一样。直觉主义 因排斥这种非构造性的方法而抛弃的东西实在太多，最后就连其代表人 物之一的Weyl也不得不成认，在直觉主义中“数学家们痛苦地看着数学 大厦中自己深信根底坚实的许多局部在他们的眼前化为了迷雾。3 .由于a(s)在临界线上为实数(参阅第十一节)，且&(s)=昌(s)(参阅 第二十二节)，& (l/2+it)作为t的函数是一个偶函数，因此我们只需考 虑to的情形即可。4 .限于篇幅，也为了防止涉及过多的技术性内容，我们略去了对这一
18、点 的证明。概括的讲，它主要包括三个步骤：1.消去左端的-1-1/x及右端被 积函数中的l/z(z-l)以简化表达式。具体做法是用算符x(d2/dx2)x作用 于G(x)的积分表达式的两端。这一步比拟容易。2.证明简化后的左端 H(x)=x(d2/dx2)xG(x)在xil/2时具有与G(x) 一样的行为，即所有导数 都趋于零。这一步也比拟容易。3.证明& (l/2+it)在t很大时具有恒定的 符号这一性质对2昌(z)xz-l的积分所产生的奉献足以使得H(x)在 xf il/2时的高阶导数无法为零。这一步比拟困难。5 .与Hardy-Littlewood的合作相比，发生在华人科学家之间的李杨之争 不能不让人深感惋惜与遗憾。6 .在数学界，以Hardy-Li111 ewood命名的最主要的定理是Hardy-LittlewoodMaximalTheorem，但这一定理并不经常被简称为Hardy-Littlewood 定理，因此 “Hardy-Littlewood 定理”这一名称可算 是半个空缺，这里我们就用他们在Riemann猜测领域内的这一成就来填补 这半个空缺。