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1、学习必备 精品知识点 m ll 立体几何知识点整理 一直线和平面的三种位置关系：1.线面平行 l符号表示：2.线面相交 Al符号表示：3.线在面内 l符号表示：二平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。m lmll/方法二：用面面平行实现。m lml/方法三：用线面垂直实现。若 m l,，则m l/。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且 l、m 不重合，则m l/。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。/llmm l 方法二：用面面平行实现。/ll 方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量，l n 且 l,则/l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。/,/且相交且相交m
2、 lm lm ml l方法二：用线面平行实现。/,/且相交 m lml 三垂直关系：1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lAB ACA AB ACAB lAC l,方法二：用面面垂直实现。ll m lm,2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。nlmllmmlABCllmABClm学习必备 精品知识点 ll 方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。m lml 方法二：三垂线定理及其逆定理。POl OA l PAl 方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为 0，则m l。三夹角问题。(一)异 面直线所成的角：(1)范围：90,0(2)求法：方法一：定义法。步骤
3、1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：abc b a2cos2 2 2(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：AC ABAC AB cos(二)线 面角(1)定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外），作 PO 于O,连结 AO，则 AO 为斜线 PA 在面内的射影，PAO(图中)为直线 l 与面所成的角。AOP(2)范围：90,0 当 0 时，l或/l 当 90 时，l(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。(三)二 面角及其平面角(1)定义：在棱 l
4、上取一点 P，两个半平面内分别作 l 的垂线（射线）m、n，则射线 m 和 n 的夹角为二面角l的平面角。nmlP(2)范围：180,0(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面 和，则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2：解三角形，求出二面角。lmlcbanAOPlAOP面内符号表示二平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法
5、二用面面平行实现方法三用平面法向量 直关系线面垂直方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理学习必备精品知识点定义直线上任取一点交点 并证明步骤解三角形求出线面角方法三用向量方法若向量和向量的数量积为则三二面角及其平面角三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出角常用到余弦定理余弦定理计学习必备 精品知识点 AOP 方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2 步骤一：计算1 21 21 2cosn nn nn n 步骤二：判断与1
6、2n n 的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1点面距。方法一：几何法。O AP 步骤 1：过点 P 作 PO 于 O，线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段 PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。nm 如图，m 和 n 为两条异面直线，n且/m，则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcbamDCB Amn 如图，AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段，/m m，则异面直线 m 和 n 之间的距离为：cos
7、2 2 2 2 ab b a c d 高考题典例 考点 1 点到平面的距离例 1 如图，正三棱柱1 1 1ABC A B C 的所有棱长都为2，D为1CC中点（）求证：1AB 平面1A BD；（）求二面角1A A D B 的大小；（）求点C到平面1A BD的距离A B C D 1A 1C 1B 面内符号表示二平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量 直关系线面垂直方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面
8、角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理学习必备精品知识点定义直线上任取一点交点 并证明步骤解三角形求出线面角方法三用向量方法若向量和向量的数量积为则三二面角及其平面角三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出角常用到余弦定理余弦定理计学习必备 精品知识点 解答过程（）取BC中点O，连结AOABC 为正三角形，AO BC 正三棱柱1 1 1ABC A B C 中，平面ABC 平面1 1BCC B，AO 平面1 1BCC B 连结1B O，在正方形1 1BB C C中，O D，分 别 为1B C C C，的中点，1B O BD
9、，1AB BD 在正方形1 1ABB A中，1 1AB A B，1AB 平面1A BD（）设1AB与1AB交于点G，在平面1A BD中，作1GF A D 于F，连 结AF，由（）得1AB 平面1A BD 1AF A D，AFG 为二面角1A A D B 的平面角在1AAD 中，由等面积法可求得4 55AF，又1122AG AB，2 10sin44 55AGAFGAF 所以二面角1A A D B 的大小为10arcsin4（）1A BD 中，11 15 2 2 6A BDBD A D A B S，1BCDS 在正三棱柱中，1A到平面1 1BCC B的距离为3设点C到平面1A BD的距离为d由1
10、1A BCD C A BDV V，得11 133 3BCD A BDS S d，13 22BCDA BDSdS 点C到平面1A BD的距离为22考点 2 异面直线的距离 例 2 已知三棱锥ABC S，底面是边长为2 4的正三角形，棱SC的长为 2，且垂直于底面.D E、分别为AB BC、的中点，求 CD 与 SE 间的距离.解答过程：如图所示，取 BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF，EF 为BCD 的中位线，EF CD CD,面SEF,CD 到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点 C 到平面SEF A B C D 1A 1C 1B O F 面内符号
11、表示二平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量 直关系线面垂直方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理学习必备精品知识点定义直线上任取一点交点 并证明步骤解三角形求出线面角方法三用向量方法若向量和向量的数量积为则三二面角及其平面角三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出角常用到余弦定理余弦定理
12、计学习必备 精品知识点 的距离，设其为 h，由题意知，2 4 BC,D、E、F 分别是 AB、BC、BD 的中点，2,2,621,6 2 SC DF CD EF CD33 22 2 621312131 SC DF EF VCEF S 在 RtSCE 中，3 22 2 CE SC SE 在 RtSCF 中，30 2 24 42 2 CF SC SF 又3,6 SEFS EF 由于h S V VSEF CEF S SEF C 31，即33 2331 h，解得33 2 h 故 CD 与 SE 间的距离为33 2.考点 3 直线到平面的距离 例 3 如图，在棱长为 2 的正方体1AC中，G 是1AA的
13、中点，求 BD 到平面1 1D GB的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一 BD 平面1 1D GB，BD 上任意一点到平面1 1D GB的距离皆为所求，以下求 点 O 平面1 1D GB的距离,1 1 1 1C A D B，A A D B1 1 1，1 1D B平面1 1ACC A,又1 1D B 平面1 1D GB 平面1 1 1 1D GB ACC A，两个平面的交线是G O1,作G O OH1于 H，则有 OH平面1 1D GB，即 OH 是 O 点到平面1 1D GB的距离.在OG O1中，2 2 2212111 AO O O SOG
14、 O.又36 2,2 3212111 OH OH G O OH SOG O.即 BD 到平面1 1D GB的距离等于36 2.解析二 BD 平面1 1D GB，B A C D O G H 1A1C1D 1B1O 面内符号表示二平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量 直关系线面垂直方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理学习必备精品知识点定义
15、直线上任取一点交点 并证明步骤解三角形求出线面角方法三用向量方法若向量和向量的数量积为则三二面角及其平面角三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出角常用到余弦定理余弦定理计学习必备 精品知识点 BD 上任意一点到平面1 1D GB的距离皆为所求，以下求点 B 平面1 1D GB的距离.设点 B 到平面1 1D GB的距离为 h，将它视为三棱锥1 1D GB B 的高，则，由于 6 3 2 221,1 1 1 1 1 1 D GB GBB D D GB BS V V 342 2 221311 1 GBB DV,36 264 h 即 BD 到平面1
16、 1D GB的距离等于36 2.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点 4 异面直线所成的角 例 4 如图，在Rt AOB 中，6OAB，斜边 4 AB Rt AOC 可以通过Rt AOB 以直线AO为轴旋转得到，且二面角B AO C 的直二面角D是AB的中点（I）求证：平面COD 平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小 解答过程：（I）由题意，CO AO，BO AO，BOC 是二面角B AO C 是直二面角，CO BO，又
17、AO BO O，CO 平面AOB，又CO 平面COD平面COD 平面AOB（II）作DE OB，垂足为E，连结CE（如图），则DE AO，CDE 是异面直线AO与CD所成的角 在Rt COE 中，2 CO BO，112OE BO，2 25 CE CO OE 又132DE AO 在Rt CDE 中，5 15tan33CECDEDE 异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3 小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发
18、现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常OCADBEOCADBxyz面内符号表示二平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量 直关系线面垂直方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理学习必备精品知识点定义直线上任取一点交点 并证明步骤解三角形求出线面角方法三用向量方法若向量和向量的数量积为则三二面角及其平面角三夹角问题一异面直线所
19、成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出角常用到余弦定理余弦定理计学习必备 精品知识点 用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：2,0.考点 5 直线和平面所成的角 例 5.四棱锥 S ABCD 中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD 已知 45 ABC，2 AB，2 2 BC，3 SA SB（）证明SA BC；（）求直线SD与平面SAB所成角的大小 解答过程：（）作SO BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC 底 面A B，得SO 底面ABCD 因为SA SB，所以AO BO，又45 ABC，故A O B 为
20、 等 腰 直 角 三 角 形，AO BO，由三垂线定理，得SA BC（）由（）知SA BC，依题设AD BC，故SA AD，由2 2 AD BC，3 SA，2 AO，得 1 SO，11 SD S A B 的面积2211 122 2S AB SA AB 连结DB，得DAB 的面积21sin135 22S AB AD 设D到平面SAB的距离为h，由于D SAB S ABDV V，得1 21 13 3h S SO S，解得 2 h 设SD与平面SAB所成角为，则2 22sin1111hSD 所以，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11 小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先
21、判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值.考点 6 二面角 例 6 如图，已知直二面角PQ，A PQ，B，C，CA CB，45 BAP，直线CA和平面所成的角为30（I）证明BC PQ（II）求二面角B AC P 的大小 过程指引：（I）在平面内过点C作CO PQ 于点O，连结OB A B C Q P DBCASO D B C A S A B C Q P O H 面内符号表示二平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则
22、方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量 直关系线面垂直方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理学习必备精品知识点定义直线上任取一点交点 并证明步骤解三角形求出线面角方法三用向量方法若向量和向量的数量积为则三二面角及其平面角三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出角常用到余弦定理余弦定理计学习必备 精品知识点 因为，PQ，所以CO，又因为CA CB，所以OA OB 而45
23、 BAO，所以45 ABO，90 AOB，从而BO PQ，又CO PQ，所以PQ 平面OBC因为BC 平面OBC，故PQ BC（II）由（I）知，BO PQ，又，PQ，BO，所以BO 过点O作OH AC 于点 H，连结 BH，由三垂线定理知，BH AC 故BHO 是二面角B AC P 的平面角 由（I）知，CO，所以CAO 是CA和平面所成的角，则30 CAO，不妨设2 AC，则3 AO，3sin 302OH AO 在Rt OAB 中，45 ABO BAO，所 以3 B O A O，于 是 在Rt BOH 中，3t a n 232BOBHOOH 故二面角B AC P 的大小为arctan 2
24、小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点 7 利用空间向量求空间距离和角 例 7 如图，已知1 1 1 1ABCD A B C D 是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11 AE FC（1）求证：1E B F D，四点共面；（2）若点G在BC上，23BG，点
25、M在1BB上，GM BF，垂 足 为H，求证：EM 平面1 1BCC B；C B A G H M D E F 1B 1A 1D 1C 面内符号表示二平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量 直关系线面垂直方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理学习必备精品知识点定义直线上任取一点交点 并证明步骤解三角形求出线面角方法三用向量方法若向量和向量的
26、数量积为则三二面角及其平面角三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出角常用到余弦定理余弦定理计学习必备 精品知识点（3）用表示截面1EBFD和侧面1 1BCC B所成的锐二面角的大小，求tan 过程指引：（1）如图，在1DD上取点N，使1 DN，连结EN，CN，则1 AE DN，12 CF ND 因为AE DN，1ND CF，所以四边形ADNE，1CFD N都为平行四边形从而EN AD，1FD CN 又因为AD BC，所以EN BC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN BE，从而1FD BE 因此，1E B F D，四点共面（2）如图，
27、GM BF，又BM BC，所以BGM CFB，tan tan BM BG BGM BG CFB 2 313 2BCBGCF 因为AE BM，所以ABME为平行四边形，从而AB EM 又AB 平面1 1BCC B，所以EM 平面1 1BCC B（3）如图，连结 EH 因为 MH BF，EM BF，所以 BF 平面 EMH，得 E H B F 于是 EHM 是所求的二面角的平面角，即EHM 因为MBH CFB，所以sin sin MH BM MBH BM CFB 2 2 2 23 31133 2BCBMBC CF，tan 13EMMH C B A G H M D E F 1B 1A 1D 1C N
28、 面内符号表示二平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量 直关系线面垂直方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理学习必备精品知识点定义直线上任取一点交点 并证明步骤解三角形求出线面角方法三用向量方法若向量和向量的数量积为则三二面角及其平面角三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出角常用到余弦定理余弦定理计