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1、K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 1 立体几何知识点整理（文科）一 直线和平面的三种位置关系：1.线面平行 符号表示：2.线面相交 符号表示：3.线在面内 符号表示：二平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。方法三：用线面垂直实现。若，则。方法四：用向量方法：若向量和向量共线且 l、m 不重合，则。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用面面平行实现。方法三：用平面法向量实现。若为平面的一个法向量，且,则。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现。三垂直关系：1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。方法二：用面面
2、垂直实现。2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。方法二：三垂线定理及其逆定理。方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为 0，则。三夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1)范围：(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 2 余弦定理：(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：(二)线面角(1)定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外），作 PO 于O,连结 AO，
3、则 AO 为斜线 PA 在面内的射影，(图中)为直线 l 与面所成的角。(2)范围：当时，或 当时，(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作 l 的垂线（射线）m、n，则射线 m 和 n 的夹角为二面角l的平面角。(2)范围：(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面，则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2：解三角
4、形，求出二面角。方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。步骤一：计算 步骤二：判断与的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1点面距。方法一：几何法。步骤 1：过点 P 作 PO 于 O，线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段 PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。如图，m 和 n 为两条异面直线，且，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。如图，AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段，则异面直线 m 和 n 之间的距离为：
5、高考题典例 考点 1 点到平面的距离例 1 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点A C D K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 3（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离解答过程（）取中点，连结为正三角形，正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为的中点，在正方形中，平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面，为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又，所以二面角的大小为（）中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由，得，点到平面的距离为考点 2 异面直线的距离 例 2 已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为 2，且垂直
6、于底面.分别为的中点，求 CD 与 SE 间的距离.解答过程：如图所示，取 BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF，为的中位线，面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点 C 到平面 的距离，设其为 h，由题意知，,D、E、F 分别是 AB、BC、BD 的中点，在 Rt 中，在 Rt 中，又由于，即，解得故 CD 与 SE 间的距离为.考点 3 直线到平面的距离 例 3如图，在棱长为 2 的正方体中，G 是的中点，求 BD 到平面的距离.A B C D O F K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 4 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用
7、点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求 点 O 平面的距离,，平面,又平面平面，两个平面的交线是,作于 H，则有平面，即 OH 是 O 点到平面的距离.在中，.又.即 BD 到平面的距离等于.解析二平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点 B 平面的距离.设点 B 到平面的距离为 h，将它视为三棱锥的高，则 ,即 BD 到平面的距离等于.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点 4 异面直
8、线所成的角 例 4 如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角是的中点（I）求证：平面平面；（II）求异面直线与所成角的大小 解答过程：（I）由题意，是二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角 在中，又在中，B A C D O G H K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 5 异面直线与所成角的大小为 小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何
9、体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：.考点 5 直线和平面所成的角 例 5.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明；（）求直线与平面所成角的大小 解答过程：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面 因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得（）由（）知，依题设，故，由，得，的面积 连结，得的面积 设到平面的距离为，由于，得，解得 设与平面所成角为，则 所以，直线与平面所成的我为 小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系
10、；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值.考点 6 二面角 例 6如图，已知直二面角，直线和平面所成的角为（I）证明（II）求二面角的大小 过程指引：（I）在平面内过点作于点，连结 因为，所以，又因为，所以 而，所以，从而，又，所以平面因为平面，故（II）由（I）知，又，A B C Q P D B C A S A B C Q P O H K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 6，所以过点作于点，连结，由三垂线定理知，故是二面角的平面角 由（I）知，所以是和平面
11、所成的角，则，不妨设，则，在中，所以，于是在中，故二面角的大小为 小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点 7 利用空间向量求空间距离和角 例 7如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且（1）求证：四点共面；（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：平面；（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求 过程指引：（1）如图，在上取点，使，连结，则，因为，所以四边形，都为平行四边形从而，又因为，所以，故四边形是平行四边形，由此推知，从而因此，四点共面 （2）如图，又，所以，因为，所以为平行四边形，从而 又平面，所以平面（3）如图，连结因为，所以平面，得于是是所求的二面角的平面角，即 因为，所以，K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 7 世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。不要随意发脾气，谁都不欠你的