《[高三数学]文科立体几何知识点方法总结高三复习_中学教育-高考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[高三数学]文科立体几何知识点方法总结高三复习_中学教育-高考.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、mll立体几何知识点整理（文科）一直线和平面的三种位置关系：1.线面平行 l符号表示：2.线面相交 Al符号表示：3.线在面内 l符号表示：二平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。mlmll/方法二：用面面平行实现。mlml/方法三：用线面垂直实现。若ml,，则ml/。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且 l、m 不重合，则ml/。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。/llmml 方法二：用面面平行实现。/ll 方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量，ln 且l,则/l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。/,/且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
2、/,/且相交mlml 三垂直关系：1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。mlnlmllmmlABCllmllmlm,2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll 方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml 方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl 方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为 0，则ml。三夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1)范围：90,0(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：abcba2cos
3、222(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos(二)线面角(1)定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外），作PO于 O,连结 AO，则 AO 为斜线 PA 在面内的射影，PAO(图中)为直线 l 与面所成的角。AOP(2)范围：90,0 当 0时，l或/l 当 90时，l(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱 l 上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m 和 n 的夹角为二面角l的平面角。lmlmlcbaABCnAOP
4、lAOP平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量实现若为平面的方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理方法三用向量方法余弦定理计算结果可能是其补角方法二向量为直线与面所成的角的射影范围当时或当时求法方法一定义法若向量和向量的数量积为则步骤作出线面角并证明三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出
5、线面角三二面角nmlP(2)范围：180,0 (3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面和，则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2：解三角形，求出二面角。AOP 方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2 步骤一：计算121212cosn nn nnn 步骤二：判断与12n n 的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1点面距。方法一：几何法。OAP 步骤 1：过点 P 作 PO于 O，线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段 P
6、O 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。nm 如图，m 和 n 为两条异面直线，n且/m，则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcbamDCBAmn 如图，AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段，/mm，则异面直线 m 和 n 之间的距离为：cos2222abbacd 高考题典例 考点 1 点到平面的距离例 1 如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点（）求证：1AB 平面1ABD；（）求二面
7、角1AADB的大小；A B C D 1A 1C 1B 平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量实现若为平面的方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理方法三用向量方法余弦定理计算结果可能是其补角方法二向量为直线与面所成的角的射影范围当时或当时求法方法一定义法若向量和向量的数量积为则步骤作出线面角并证明三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定
8、义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出线面角三二面角（）求点C到平面1ABD的距离解答过程（）取BC中点O，连结AOABC为正三角形，AOBC正三棱柱111ABCABC中，平面ABC平面11BCC B，AO平面11BCC B连结1BO，在正方形11BBC C中，OD，分别 为1B CC C，的中点，1BOBD，1ABBD在正方形11ABB A中，11ABAB，1AB平面1ABD（）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD于F，连 结AF，由（）得1AB 平面1ABD 1AFAD，AFG为二面角1AADB的平面角在1AAD中，由等面积法可求得4 55AF，又1122AGA
9、B，210sin44 55AGAFGAF所以二面角1AADB的大小为10arcsin4（）1ABD中，11152 26ABDBDADABS，1BCDS在正三棱柱中，1A到平面11BCC B的距离为3设点C到平面1ABD的距离为d由11ABCDCABDVV，得111333BCDA BDSSd，1322BCDABDSdS 点C到平面1ABD的距离为22考点 2 异面直线的距离 例 2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为 2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求 CD 与 SE 间的距离.解答过程：如图所示，取 BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF，EF为BC
10、D的中位线，EFCDCD,面SEF,CDA B C D 1A 1C 1B O F 平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量实现若为平面的方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理方法三用向量方法余弦定理计算结果可能是其补角方法二向量为直线与面所成的角的射影范围当时或当时求法方法一定义法若向量和向量的数量积为则步骤作出线面角并证明三夹角问题一异面
11、直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出线面角三二面角到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点 C 到平面SEF 的距离，设其为 h，由题意知，24BC,D、E、F 分别是 AB、BC、BD 的中点，2,2,621,62SCDFCDEFCD33222621312131SCDFEFVCEFS 在 RtSCE中，3222CESCSE 在 RtSCF中，30224422CFSCSF 又3,6 SEFSEF 由于hSVVSEFCEFSSEFC31，即332331 h，解得332h 故 CD 与 SE 间的距离为332.考点 3 直
12、线到平面的距离 例 3 如图，在棱长为 2 的正方体1AC中，G 是1AA的中点，求 BD 到平面11DGB的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求 点 O 平面11DGB的距离,1111CADB，AADB111，11DB平面11ACCA,又11DB平面11DGB 平面1111DGBACCA，两个平面的交线是GO1,作GOOH1于 H，则有OH平面11DGB，即 OH 是 O 点到平面11DGB的距离.在OGO1中，222212111AOOOSOGO.又362,2321211
13、1OHOHGOOHSOGO.即 BD 到平面11DGB的距离等于362.B A C D O G H 1A1C1D 1B1O 平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量实现若为平面的方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理方法三用向量方法余弦定理计算结果可能是其补角方法二向量为直线与面所成的角的射影范围当时或当时求法方法一定义法若向量和向量的数量
14、积为则步骤作出线面角并证明三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出线面角三二面角解析二 BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点 B 平面11DGB的距离.设点 B 到平面11DGB的距离为 h，将它视为三棱锥11DGBB的高，则，由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV 34222213111 GBBDV,36264h 即 BD 到平面11DGB的距离等于362.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解
15、析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点 4 异面直线所成的角 例 4 如图，在RtAOB中，6OAB，斜边4AB RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点（I）求证：平面COD 平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小 解答过程：（I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO 平面COD平面COD 平面AOB（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO，CDE是异面直线AO与CD所成的角 在RtCOE中，2COBO，112
16、OEBO，225CECOOE 又132DEAO在RtCDE中，515tan33CECDEDE 异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3 小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间OCADBEOCADBxyz平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量实现若为平面的方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂
17、直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理方法三用向量方法余弦定理计算结果可能是其补角方法二向量为直线与面所成的角的射影范围当时或当时求法方法一定义法若向量和向量的数量积为则步骤作出线面角并证明三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出线面角三二面角图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：2,0.考点 5 直线和平面所成的角 例 5.四棱锥SABCD中，底
18、面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD 已知45ABC，2AB，2 2BC，3SASB（）证明SABC；（）求直线SD与平面SAB所成角的大小 解答过程：（）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC 底面AB，得SO 底面ABCD 因为SASB，所以AOBO，又45ABC，故AO B为 等 腰 直 角 三 角 形，AOBO，由三垂线定理，得SABC （）由（）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由2 2ADBC，3SA，2AO，得 1SO，11SD SAB的面积22111222SABSAAB 连结DB，得DAB的面积21sin13522SAB AD 设D到平面SAB的距离为h
19、，由于D SABSABDVV，得121133h SSO S，解得2h 设SD与平面SAB所成角为，则222sin1111hSD 所以，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11 小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值.考点 6 二面角 例 6如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成的角为30（I）证明BCPQ（II）求二面角BACP的大小 A B C Q
20、P DBCASO D B C A S 平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量实现若为平面的方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理方法三用向量方法余弦定理计算结果可能是其补角方法二向量为直线与面所成的角的射影范围当时或当时求法方法一定义法若向量和向量的数量积为则步骤作出线面角并证明三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它
21、们相交找到夹角步骤解三角形求出线面角三二面角过程指引：（I）在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB 因为，PQ，所以CO，又因为CACB，所以OAOB 而45BAO，所以45ABO，90AOB，从而BOPQ，又COPQ，所以PQ 平面OBC因为BC 平面OBC，故PQBC（II）由（I）知，BOPQ，又，PQ，BO，所以BO过点O作OHAC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC故BHO是二面角BACP的平面角 由（I）知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO，不妨设2AC，则3AO，3sin302OHAO 在RtOAB中，45ABOBAO，所 以3B OA O，于 是 在R
22、tBOH中，3t a n232BOBHOOH故二面角BACP的大小为arctan 2 小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点 7 利用空间向量求空间距离和角 例 7 如图，已知1111ABCDABC D是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC（1）
23、求证：1EBFD，四点共面；（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF，垂 足 为A B C Q P O H C B A G H M D E F 1B 1A 1D 1C 平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量实现若为平面的方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理方法三用向量方法余弦定理计算结果可能是其补角方法二向量为直线与面所
24、成的角的射影范围当时或当时求法方法一定义法若向量和向量的数量积为则步骤作出线面角并证明三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出线面角三二面角H，求证：EM 平面11BCC B；（3）用表示截面1EBFD和侧面11BCC B所成的锐二面角的大小，求tan 过程指引：（1）如图，在1DD上取点N，使1DN，连结EN，CN，则1AEDN，12CFND 因为AEDN，1NDCF，所以四边形ADNE，1CFD N都为平行四边形从而ENAD，1FDCN 又因为AD BC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CNBE，从而1FDBE因此，1E
25、BFD，四点共面（2）如图，GMBF，又BMBC，所以BGMCFB，tantanBMBGBGMBGCFB23132BCBGCF 因为AE BM，所以ABME为平行四边形，从而ABEM 又AB平面11BCC B，所以EM 平面11BCC B（3）如图，连结EH 因为MHBF，EMBF，所以BF 平面EMH，得E HB F 于是EHM是所求的二面角的平面角，即EHM 因为MBHCFB，所以sinsinMHBMMBHBMCFB 22223311332BCBMBCCF，tan13EMMH C B A G H M D E F 1B 1A 1D 1C N 平行关系线线平行方法一用线面平行实现方法二用面面平行实现方法三用线面垂直实现若则方法四用向量方法若向量和向量共线且不重合则线面平行方法一用线线平行实现方法二用面面平行实现方法三用平面法向量实现若为平面的方法一用线线垂直实现方法二用面面垂直实现面面垂直方法一用线面垂直实现方法二计算所成二面角为直角线线垂直方法一用线面垂直实现方法二三垂线定理及其逆定理方法三用向量方法余弦定理计算结果可能是其补角方法二向量为直线与面所成的角的射影范围当时或当时求法方法一定义法若向量和向量的数量积为则步骤作出线面角并证明三夹角问题一异面直线所成的角范围求法方法一定义法步骤平移使它们相交找到夹角步骤解三角形求出线面角三二面角