《数值计算方法试题集及答案_中学教育-中考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算方法试题集及答案_中学教育-中考.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 数值计算方法复习试题 一、填空题：1、4 1 01 4 10 1 4A，则 A 的 LU 分解为 A。答案：15 561 4 150 1 41 15 4 01 4 11A 2、已 知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(f f f，则 用 辛 普 生（辛 卜 生）公 式 计 算 求 得31_)(dx x f,用三点式求得)1(f。答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(f f f，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2 x x x x x x x L 4、近似值*0.231 x
2、关于真值229.0 x有(2)位有效数字；5、设)(x f可微,求方程)(x f x 的牛顿迭代格式是()；答案)(1)(1nn nn nx fx f xx x 6、对1)(3 x x x f,差商 3,2,1,0 f(1),4,3,2,1,0 f(0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程 f(x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n 次后的误差限为(12na b)；9、求 解 一 阶 常 微 分 方 程 初 值 问 题y=f(x,y)，y(x0)=y0的 改 进 的 欧 拉 公 式 为(),(),(21 1 1 n n n n n ny x f y
3、x fhy y)；2 10、已知 f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为(0.15)；11、两点式高斯型求积公式10d)(x x f(10)3 21 3()3 21 3(21d)(f f x x f)，代数精度为(5)；12、解线性方程组 Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。13、为了使计算 3 2)1(6)1(41310 x xxy 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11,)6 4(3(10 xt t t t y，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001改写为 1999 20012。14、用
4、二分法求方程0 1)(3 x x x f在区间 0,1 内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75。15、计算积分15.0dx x,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309，梯形公式的代数精度为 1，辛卜生公式的代数精度为 3。16、求解方程组 0 4 2.01 5 32 12 1x xx x的高斯塞德尔迭代格式为 20/3/)5 1()1(1)1(2)(2)1(1k kk kx xx x，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M=121。17、设46)2(,16)1(,0)0(f f
5、f,则)(1x l)2()(1 x x x l，)(x f的二次牛顿插值多项式为)1(7 16)(2 x x x x N。18、求积公式baknkkx f A x x f)(d)(0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(1 2 n)次代数精度。19、已知 f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求51d)(x x f(12)。点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要
6、条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公3 20、设 f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三点式求)1(f(2.5)。21、如果用二分法求方程0 43 x x在区间 2,1 内的根精确到三位小数，需对分（10）次。22、已知 3 1)1()1()1(211 0)(2
7、33x c x b x a xx xx S是三次样条函数，则 a=(3)，b=（3），c=（1）。23、)(,),(),(1 0 x l x l x ln是以整数点nx x x,1 0为节点的 Lagrange 插值基函数，则 nkkx l0)(1)，nkk j kx l x0)(jx)，当2 n时)()3(204x l x xk knkk(32 4 x x)。24、解初值问题 0 0(,)()y f x yy x y 的改进欧拉法),(),(2),(0 1 1 1 0 1n n n n n nn n n ny x f y x fhy yy x hf y y是 2 阶方法。25、区间 b a,
8、上的三次样条插值函数)(x S在 b a,上具有直到 _2_阶的连续导数。26、改 变 函 数f x x x()1(x 1)的 形 式，使 计 算 结 果 较 精 确 x xx f 11。27、若用二分法求方程 0 x f在区间 1,2 内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。28、设 2 1,1 0,22 33x c bx ax xx xx S是 3 次样条函数，则 a=3,b=-3,c=1。29、若用复化梯形公式计算10dx ex，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用 477个求积节点。30、写 出 求 解 方 程 组 2 4.01 6.12 12 1x xx x
9、的 Gauss-Seidel 迭 代 公 式,1,0,4.0 26.1 11112211 kx xx xk kk k，迭代矩阵为 64.0 06.1 0，此迭代法是否收敛 收敛。31、设A 5 44 3,则A 9。32、设矩阵4 8 22 5 71 3 6A 的A LU，则U 4 8 20 1 610 02U。点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的
10、乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公4 33、若43 2 1()f x x x，则差商2 4 8 16 32,f 3。34、数值积分公式1121 8 0 19()()()()f x dx f f f 的代数精度为 2。35、线性方程组1 2 10 1 51 1 21 0 3x 的最小二乘解为 11。36、设矩阵3
11、 2 12 0 41 3 5A 分解为A LU，则U 3 2 14 1003 3210 02。二、单项选择题：1、Jacobi 迭代法解方程组b x A的必要条件是（C）。A A 的各阶顺序主子式不为零 B 1)(A C n i aii,2,1,0 D 1 A 2、设7 0 01 5 03 2 2A，则)(A 为(C)A 2 B 5 C 7 D 3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。A 2 B 5 C 3 D 4 4、求解线性方程组 Ax=b 的 LU 分解法中，A 须满足的条件是(B)。A 对称阵 B 正定矩阵 C 任意阵 D 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是(A)产生的误差。
12、A.只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值 C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 6、3.141580 是的有(B)位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x 近似表示 ex所产生的误差是(C)误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改
13、写为为了减少舍入误差应将表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公5 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A 控制舍入误差 B 减小方法误差 C防止计算时溢出 D 简化计算 9、用 1+3x近似表示31 x 所产生的误差是(D)误差。A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断 10、-324 7500 是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A 5 B 6
14、 C 7 D 8 11、设 f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中 x2的系数为(A)。A 0 5 B 0 5 C 2 D-2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A 3 B 4 C 5 D 2 13、(D)的 3 位有效数字是 0.236 102。(A)0.0023549 103(B)2354.82 10 2(C)235.418(D)235.54 10 1 14、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x)，则 f(x)=0 的根是(B)。(A)y=(x)与 x 轴交点的横坐标(B)y=x 与 y=(x)交点的横坐标(C
15、)y=x 与 x 轴的交点的横坐标(D)y=x 与 y=(x)的交点 15、用列主元消去法解线性方程组 1 3 40 9 21 4 33 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x，第 1 次消元，选择主元为(A)。(A)4(B)3(C)4(D)9 16、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn)，(B)!1()()()()()1(nfx P x f x Rnn n(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn)，(
16、D)()!1()()()()(1)1(xnfx P x f x Rnnn n 17、等距二点求导公式 f(x1)(A)。点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代
17、格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公6 0 10 11 01 01 00 10 10 1)()()D()()()C()()()B()()()A(x xx f x fx xx f x fx xx f x fx xx f x f 18、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值 x0 满足(A),则它的解数列 xnn=0,1,2,一定收敛到方程 f(x)=0 的根。0)()()D(0)()()C(0)()()B(0)()()A(0 0 0 0 x f x f x f x f x f x f x f x f
18、 19、为求方程 x3 x2 1=0 在区间 1.3,1.6 内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。(A)11:,1112kkxxxx 迭代公式(B)21211:,11kkxxxx 迭代公式(C)3/1 212 3)1(:,1k kx x x x 迭代公式(D)11:,12212 3 k kkkx xxx x x 迭代公式 20、求解初值问题 y x yy x f y)(),(欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是();四阶龙格库塔法的局部截断误差是(A)(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h5)21、解方程组b
19、 Ax 的简单迭代格式g Bx xk k)()1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A,(2)1)(B,(3)1)(A,(4)1)(B 22、在牛顿-柯特斯求积公式：baniinix f C a b dx x f0)()()()(中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8 n，（2）7 n，（3）10 n，（4）6 n，23、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x)-2-1.75-1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 24、若用二阶中
20、点公式),(2,2(1 n n n n n ny x fhyhx hf y y 求解初值问题1)0(,2 y y y，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（）。(1)1 0 h,(2)1 0 h,(3)1 0 h,(4)1 0 h 点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将表达式改写为用二
21、分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公7 25、取3 1 732.计算43 1()x，下列方法中哪种最好？（）(A)28 16 3；(B)24 2 3()；(C)2164 2 3()；(D)4163 1()。26、已知330 22 1 2 2 4()()()x xS xx a x b x 是三次样条函数，则,a b的值为()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。27、
22、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）ix 1.5 2.5 3.5()if x-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。28、形如1 1 2 2 3 3()()()()baf x dx A f x A f x A f x 的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（）(A)9；(B)7；(C)5；(D)3。29、计算3的 Newton 迭代格式为()(A)132kkkxxx；(B)132 2kkkxxx；(C)122kkkxxx；(D)133kkkxxx。30、用二分法求方程3 24 10 0 x x 在区间1 2,内
23、的实根，要求误差限为31102，则对分次数至少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。31、经典的四阶龙格库塔公式的局部截断误差为()(A)4()O h；(B)2()O h；(C)5()O h；(D)3()O h。32、设()il x是以0 1 9(,)kx k k 为节点的 Lagrange 插值基函数，则90()ikkl k()(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。33、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。34、已知330 22 1 2 2 4()()()x xS xx a x b x 是三次样条函数，则,a b的值为
24、()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。35、已知方程32 5 0 x x 在2 x 附近有根，下列迭代格式中在02 x 不收敛的是()(A)312 5k kx x；(B)152kkxx；(C)315k k kx x x；(D)31 22 53 2kkkxxx。36、由下列数据 x0 1 2 3 4()f x1 2 4 3-5 确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5 个节点的 Gauss 型求积公式的最高代数精度为()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有
25、效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公8 三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、已知观
26、察值)2 1 0()(m i y xi i，,用最小二乘法求 n 次拟合多项式)(x Pn时，)(x Pn的次数 n 可以任意取。()2、用 1-22 x近似表示 cosx 产生舍入误差。()3、)()(2 1 0 12 0 x x x xx x x x 表示在节点 x1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()5、矩阵 A=5 2 13 5 21 1 3具有严格对角占优。()四、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组 22 5 218 2 411 2 43 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x，取T
27、)0,0,0()0(x，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式)2 22(51)2 18(41)2 11(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k kk k kk k kx x xx x xx x x k)(1kx)(2kx)(3kx0 0 0 0 1 2.7500 3.8125 2.5375 2 0.20938 3.1789 3.6805 3 0.24043 2.5997 3.1839 4 0.50420 2.4820 3.7019 点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对
28、差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公9 2、求 A、B 使求积公式 11)21()21()1()1()(f f B f f A dx x
29、f的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求211dxxI(保留四位小数)。答案：2,1)(x x x f 是精确成立，即 322122 2 2B AB A 得98,91 B A 求积公式为)21()21(98)1()1(91)(11f f f f dx x f 当3)(x x f 时，公式显然精确成立；当4)(x x f 时，左=52，右=31。所以代数精度为 3。6 9 2 8 6.0140973 2 113 2/11983 113 119131 1113 221 dttdxxx t 3、已知 ix1 3 4 5)(ix f2 6 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f的
30、三次插值多项式)(3x P，并求)2(f的近似值（保留四位小数）。答案：)5 3)(4 3)(1 3()5)(4)(1(6)5 1)(4 1)(3 1()5)(4)(3(2)(3 x x x x x xx L)4 5)(3 5)(1 5()4)(3)(1(4)5 4)(3 4)(1 4()5)(3)(1(5 x x x x x x 差商表为 ixiy 一阶均差 二阶均差 三阶均差 1 2 点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为
31、解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公10 3 6 2 4 5-1-1 5 4-1 0 4 1)4)(3)(1(41)3)(1()1(2 2)()(3 3 x x x x x x x N x P 5.5)2()2(3 P f 4、取步长
32、2.0 h，用预估-校正法解常微分方程初值问题 1)0(3 2yy x y)1 0(x 答案：解：)3 2()3 2(1.0)3 2(2.0)0(1 1 1)0(1n n n n n nn n n ny x y x y yy x y y 即 04.0 78.1 52.01 n n ny x y n 0 1 2 3 4 5 nx 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ny 1 1.82 5.8796 10.7137 19.4224 35.0279 5、已知 ix-2-1 0 1 2)(ix f4 2 1 3 5 求)(x f的二次拟合曲线)(2x p，并求)0(f的近似值。答案：解：iix
33、iy 2ix3ix4ixi iy xi iy x20-2 4 4-8 16-8 16 1-1 2 1-1 1-2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 3 1 3 1 1 1 3 3 4 2 5 4 8 16 10 20 0 15 10 0 34 3 41 点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将
34、表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公11 正规方程组为 41 34 103 1015 10 52 012 0a aaa a 1411,103,7102 1 0 a a a 221411103710)(x x x p x x p711103)(2 103)0()0(2 p f 6、已知x sin区间 0.4，0.8的函数表 ix0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 i
35、y0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求63891.0 sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差|)(|!3|)(|332xMx R 尽量小，即应使|)(|3x 尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 7.0,6.0,5.0 最好，实际计算结果 596274.0 63891.0sin，且 410 55032.0)7.0 63891.0)(6.0 9 63891.0)(5.0 63891.0(!31596274.0 63891.0sin 7、构造求解方程0 2 10 x ex的根
36、的迭代格式,2,1,0),(1 n x xn n，讨论其收敛性，并将根求出来，4110|n nx x。答案：解：令 0 10)1(,0 2)0(,2 10 e)(e f f x x fx.且0 10 e)(xx f)(，对 x，故0)(x f在(0,1)内有唯一实根.将方程点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为
37、了减少舍入误差应将表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公12 0)(x f变形为)e 2(101xx 则当)1,0(x时)e 2(101)(xx，110e10e|)(|xx 故迭代格式)e 2(1011nxnx 收敛。取5.00 x，计算结果列表如下：n 0 1 2 3 nx0.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n
38、4 5 6 7 nx0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足 66 710 95 000 000.0|x x.所以008 525 090.0*x.8 利用矩阵的 LU 分解法解方程组 20 5 318 2 5 214 3 23 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x。答案：解：244 13 2 11 5 31 21LU A 令b y L得T)72,10,14(y，y x U得T)3,2,1(x.9 对方程组 8 4 10 25 4 1015 10 2 33 2 13 2 13 2 1x x xx x
39、 xx x x（1）试建立一种收敛的 Seidel迭代公式，说明理由；（2）取 初 值T)0,0,0()0(x，利 用（1）中 建 立 的 迭 代 公 式 求 解，要 求3)()1(10|k kx x。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将表达式改
40、写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公13 15 10 2 38 4 10 25 4 103 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为)15 2 3(101)8 4 2(101)5 4(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k kk k kk k kx x xx x xx x x 取
41、T)0,0,0()0(x,经 7 步迭代可得：T)010 000.1,326 950 999.0,459 991 999.0()7(*x x.10、已知下列实验数据 xi 1.36 1.95 2.16 f(xi)16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当 0 x1 时，)(x fex，则 e)(x f，且x xd e10有一位整数.要求近似值有 5 位有效数字，只须误差 4)(11021)(f Rn.由)(12)()(23)(1 fna bf Rn，只要 42 2)(1102112e12e)e(n nRx n 即可，解得 30877.67 106
42、e2n 所以 68 n，因此至少需将 0,1 68 等份。11、用列主元素消元法求解方程组 111241 1 23 4 51 1 1321xxx。点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为
43、求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公14 解：11 1 1 24 1 1 112 3 4 511 1 1 212 3 4 54 1 1 12 1r r 585251057951513012 3 4 5579515130585251012 3 4 552513 21 31 2 r rr rr r 135135057951513012 3 4 51312 3r r 回代得 3,6,11 2 3 x x x。12、取节点1,5.0,02 1 0 x x x,求函数xx f e)(在
44、区间 0,1 上的二次插值多项式)(2x P,并估计误差。解：)1 5.0)(0 5.0()1)(0()1 0)(5.0 0()1)(5.0()(5.0 02 x xex xe x P)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)5.0 1)(0 1()5.0)(0(1 5.01 x x e x x e x xx xe 又 1|)(|max,)(,)(1,0 3 x f M e x f e x fxx x 故截断误差|)1)(5.0(|!31|)(|)(|2 2 x x x x P e x Rx。13、用欧拉方法求 xtt x y0d e)(2 在点0.2,5.1,0.1,5.0 x处的近似值。解：
45、xtt x y0d e)(2等价于 0)0(e2yyx(0 x)点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式
46、为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公15 记 2e),(xy x f,取 5.0 h,0.2,5.1,0.1,5.0,04 3 2 1 0 x x x x x.则由欧拉公式 0),(01yy x hf y yn n n n,3,2,1,0 n 可得 8 8 9 4 0.0)0.1(,5.0)5.0(2 1 y y y y,12604.1)0.2(,07334.1)5.1(4 3 y y y y 14、给定方程0 1 e)1()(xx x f 1)分析该方程存在几个根；2)用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字；3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将
47、方程 0 1 e)1(xx（1）改写为 xx e 1（2）作函数1)(1 x x f，xx f e)(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*x。2)将方程（2）改写为 xx e 1 构造迭代格式 5.1e 101xxkxk),2,1,0(k 计算结果列表如下：k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 3)xx e 1)(，xx e)(当 2,1 x时，2,1)1(),2()(x，且 1 e|)(|1 x 所以迭代格式),2,1,0()(1 k
48、x xk k对任意 2,1 0 x均收敛。15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取 x0=1.7,计算三次，保留五位小数。点的二次插值多项式中的系数为拉格朗日插值多项式为答案近似值关于真值有位有效数字设可微求方程的牛顿迭代格式是答案对差商计算方法主要研究截断误差和舍入误差用二分法求非线性方程在区间内的根时二分次后的误差限为 度为解线性方程组的高斯顺序消元法满足的充要条件为的各阶顺序主子式均不为零为了使计算的乘除法次数尽量地少应将该表达式改写为为了减少舍入误差应将表达式改写为用二分法求方程在区间内的根进行一步后根的所在区间为 值为梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为求解方程组的高斯塞德尔迭代
49、格式为该迭代格式的迭代矩阵的谱半径设则的二次牛插值多项式为求积公式的代数精度以高斯型求积公式为最高具有次代数精度已知用辛普生求积公16 解：3是 0 3)(2 x x f的正根，x x f 2)(，牛顿迭代公式为 nnn nxxx x2321，即),2,1,0(2321 nxxxnnn 取 x0=1.7,列表如下：n 1 2 3 nx1.73235 1.73205 1.73205 16、已知 f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L及 f(1，5)的近似值，取五位小数。解：)1 2)(1 2()1)(1(4)2 1)(1 1()2)(1(3)2 1)(1
50、1()2)(1(2)(2 x x x x x xx L)1)(1(34)2)(1(23)2)(1(32 x x x x x x 04167.0241)5.1()5.1(2 L f 17、n=3,用复合梯形公式求xxd e10的近似值（取四位小数）,并求误差估计。解：7342.1 e)e e(2 e 3 20 1d e1 3 2 3 1 0310 T xx x xx f x f e)(,e)(，1 0 x时，e|)(|x f 05.0 025.0108e3 12e|e|23 T Rx 至少有两位有效数字。18、用 Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 4 1 11 3 11 0 332