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1、数值计算方法复习试题 一、填空题：-V 1 一4-1 01 A=A=-1 4-1 1、】0-1 4 一，则 A 的 LU 分解为 1 -1 _4-1 0 A=-1/4 1 15/4-1 答案：】0-4/15 1_ 56/15 一 3、f(1)=-1,f(2)=2,f(3)=1，则过这三点的二次插值多项式中X2的系数为 _ 拉格朗日插值多项式为 _。L2(x)二丄(x 2)(x-3)2(x 1)(x-3)-丄(x 1)(x-2)2 2 4、近似值 x*=0.231 关于真值 0.229 有(2)位有效数字;5、设f(x)可微,求方程x二f(x)的牛顿迭代格式是()；Xn-f(Xn)xn 岀 _x
2、n _ 答案 1-f(Xn)6 对 f(xx3 x 1,差商 f0,1,2,3=(1),f0,1,2,3,4=(o)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程 f(x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n 次后的误差限为 b-a(芦)；2 10、已知 f(1)=2,f(2)=3,4)=5.9,则二次 Newton 插值多项式中 x 系数为(0.15)；解线性方程组 Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)1 达式改写为一 y=10(3(4-6t)t“芦答案：-1,11、12、为了使计算 y=10 二 x_1(x_1)6 3
3、(X-。的乘除法次数尽量地少，应将该表,为了减少舍入误差，应将表达式，迭代矩阵为_ 1 一 0.64丿，此迭代法是否收敛收敛_ -2001-1999 改写为 _ 2001 1999 _ 13、3 用二分法求方程f（x）=x*-仁0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间 为 0.5,1，进行两步后根的所在区间为 0.5,0.75 14、3x+5x2=1 求解方程组O2x1+4x2=0 的高斯塞德尔迭代格式为，严）=（15x2k）/3（k屮）（k申）/2=一禺/20 该迭 15、16、21、次。22、a=(1 代格式的迭代矩阵的谱半径（M）=12 设 f(0)=0,f(1)=16,f(2)=4
4、6 则 l1(x)=_ l1(x)=-x(x-2)_,f(x)的二次牛顿 插值多项式为N2(X)=16x 7x(x-1)_ 求积公式 b n a f(x)dx：、Akf(Xk)k=0 有（2n 1）次代数精度。如果用二分法求方程 的代数精度以（高斯型）求积公式为最高,x3 x-4=0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分（10 x3 S(x)=1 3 2(x-1)a(x-1)b(x-1)c 1 3 已知 2 3),b=(3),c=(1 0(x),1 1(x),1 n(x)是以整数点 X0,X1,n 无 Xkl j(Xk)=x(1)，心(j 是三次样条函数，则 23、n-1 k(X)=k=0
5、24、),Xn为节点的 n z(x4+)，当 n-2 时 k=0 Lagrange 插值基函数，则 X：3)lk(x)二(x4 x2 3 25、区间 26、改 a,b】上的三次样条插值函数 S（x）在a,b 1上具有直到 变函数f（X）i X 1-X（X1）的形式，使计算结果较 1 阶的连续导数。fX 1.x 1.x 27、若用二分法求方程 次。_ O f x=0在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 28、写出求:xF-1.6X)解方程组 k=0,1,X1 1.6X2=1-0.4x1 x 2 的 0-1.6 Gauss-Seidel 迭代公式 A 二 31、设 5 4
6、、I4 3丿，则 32、设矩阵 4 8 2 4 8 2 U=0 1 6 2 5 7 1 0 0-J 3 6 一 的 A=LU，则 U=-2 o-A 二 3 4 33、若 f(x)=3x 2x 1，则差商 f2,4,8,16,32=34、线性方程组 的最小二乘解为 1 2 一们 36、设矩阵 1、2、4、3 2 们 4 5分解为A=LU，则U-、单项选择题：Jacobi 迭代法解方程组 Ax=b 的必要条件是 A.A 的各阶顺序主子式不为零 C.ai-0,i=1,2/,n _2 0-31 1 一7一，则 P（A）为（C).D.C.5、A.C.6、C.7 求解线性方程组 对称阵 任意阵 舍入误差是
7、（只取有限位数 观察与测量 _ O T 1 10 3 21 7 C)。(A)-1 Ax=b 的 LU 分解法中，A 须满足的条件是（B）。B.正定矩阵 D.各阶顺序主子式均不为零）产生的误差。B.模型准确值与用数值方法求得的准确值 D.数学模型准确值与实际值 3.141580 是 n 的有(B）位有效数字的近似值。(C)f(x,x0,x1,x2,xx0)(x x1)(x x2)(xxn 1)(x xn)，7、用 i+x 近似表示 e 所产生的误差是(C)误差。A.模型 B.观测 C.截断 D.舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)A.控制舍入误差 B.减小方法误差 C.防
8、止计算时溢出 D.简化计算 x 9、用 1+3近似表示3 1 x所产生的误差是(D)误差。A.舍入 B.观测 C.模型 D.截断 10、-324.7500 是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A.5 B.6 C.7 D.8 11、设 f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中 x2的系数为(A)A.-0.5 B.0.5 C.2 D.-2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A.3 B.4 C.5 D.2 13、(D)的 3 位有效数字是 0.236X 102。(A)0.0023549 X 103(B)2354.82 X 10-2 14、用简单迭代法求方程 f
9、(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x),则 f(x)=0 的根是(B)。(A)y=(x)与 x 轴交点的横坐标(B)y=x 与 y=，(x)交点的横坐标(C)y=x 与 x 轴的交点的横坐标(D)y=x 与 y=(x)的交点|3捲-x2 4x3=1 J-x1 2x2 _9x3=0 15、用列主元消去法解线性方程组-4x3x2 x-1，第 1 次消元，选择主元为(A)(A)4(B)3(C)4(D)9 16、拉格朗日插值多项式的余项是(B)，牛顿插值多项式的余项是(C)(C)235.418(D)235.54X 10-1 Rn(x)二(B)(x)-Pn(X)二 f(n 1)()
10、(n 1)!(A)f(x,x0,x1,x2,xnx(x x2)(x xn 1)(x xn)，(C)f(x,x0,x1,x2,xx0)(x x1)(x x2)(xxn 1)(x xn)，(D)Rn E 18、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值 x0 满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,定收敛到方程 f(x)=O 的根。(B)f(xo)f(x)0(C)f(xo)f(x)0(D)f(Xo)f(x)：0 19、为求方程 x3x2仁 0 在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建 立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。X 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x)
11、-2-1.75-1 0.25 2 4.25)。(4)五次 所确定的插值多项式的次数是(1)二次；(2)三次；(3)四次;(A)f(xo)f(x)0 2 x(A)1 石,迭代公式:xk1 x(B)1=1 2,迭代公式:xk 1 x 1=1 Xk 3(C)x 二1-x2,迭代公式:xk d 2、1/3=(1 Xk)3 x(D)-1 二 x2,迭代公式：Xk.1.1 xL 2 Xk Xk 1 21、解方程组 Ax=b的简单迭代格式(1)P(A)1,(2)P(B)1,23、有下列数表(k 1)(k)x=Bx g收敛的充要条件是(3)(A)1,(4)(B)1 25、取乙1.732计算x十3-1)4，下列
12、方法中哪种最好？(16)16(C)(4 2、3)2；(D)(3 1)4。X 1 1.5 2 2.5 3 3.5 f(Xi)-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5 (A)5；29、计算 Xk 1(A)(B)4；3的 Newton 迭代格式为(2 Xk)Xk+3 Xk 1-(B)2 2Xk；(C)Xk 1 二 2 2 Xk;(D)Xk 1二牛 3 Xk。用二分法求方程 次数至少为()(A)10；(B)12 30、3 2 x 4x T0二0在区间 1 10 二 1,2】内的实根，要求误差限为 2，则对分(C)8；(D)9。(D)2。(C)3；)(A)28-16,3；(B)(4-2、.3)2；
13、27、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是(9 已知观察值(Xi，yi)(i=，2,，m),用最小二乘法求 n 次拟合多项式Pn(x)时,Pn(x)的次数 n 可以任意取。2 X 2、用 1-2 近似表示 cos(产生舍入误差。()(X-X )(X-X2)32、设h(x)是以Xk=k(k=，1，川,9)为节点的 Lagrange 插值基函数，则(A)x;(B)k；(C)i；(D)1。3 35、已知方程x-2x-5=0在x=2附近有根，下列迭代格式中在 Xo kh(k)=k=P(二2不收敛的是(_ 2 x：5 2 3八2。Xk 1 x 1 2 4 f(x)1 2 4
14、 T-5 1、(D)2+；3 5 k；(C)xk 1 二 xk _ Xk-5；确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打)(A)人 1 2 兀 5；(B)36、由下列数据 x 严 J(11 2x2k)x3k)4.x2k+l(1x1(k2x3k)4 xr1(22xrxr)k(k)X1(k)X2(k)X3 0 0 0 0 1 2.7500 3.8125 2.5375 2 0.20938 3.1789 3.6805 3 0.24043 2.5997 3.1839 4 0.50420 2.4820 3.7019 2、已知 Xi
15、 1 3 4 5 f(Xi)2 6 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 f(x)的三次插值多项式p3(x)，并求f(2)的近似值(保留四位小数)。L(x)_2(x _3)(x _4)(x _5)6(X_1)(X_4)(X _5)答案：3(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5).5(X-1)(X-3)(X-5).4(X-1)(X-3)(X-4)(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)差商表为 Xi yi 一阶均差 二阶均差 三阶均差 1 2 3 6 2 4 5-1-1 5 4-1 0 14 P3(x)二 N3(x)=2 2(x-1)(x 1)(x-
16、3)(x 1)(x 3)(x-4)4 f(2)：P3(2)=5.5 Xi-2-1 0 1 2 f（Xi）4 2 1 3 5 求f(x)的二次拟合曲线 P2(x)，并求f(0)的近似值 答案：解:i Xi yi 2 Xi 3 Xi 4 Xi Xi yi 2 Xi yi 0-2 4 4-8 16-8 16 1 1-1 2 1-1 1-2 2 2 0 1 0 0 r 0 r 0 0 3 1 3 1 1 1 3 3 4 2 5 4 8 16 r 10 20 E 0 15 10 0 34 3 41 5a0 10a2=15 10a,=3 正规方程组为 J0%+34无=41 3+11 P2（x）x 210
17、7 f（0）：P2（0H-|10 6、已知 sinx 区间0.4，0.8的函数表 xi 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Yi 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求 sin0.63891 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似 值 答案：解：应选三个节点，使误差|R2（X）口晋|3（X）1 尽量小，即应使3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 5、已知 10 a 二,ai=10,a2 11 14 P2（X）dXX2 2 7 10 14 O.5。6。7最好，实际计算结果 sin0.63891：0.5
18、96274,sin 0.63891-0.596274 兰一|(0.63891 0.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7)3!0.55032 10*7、构造求解方程 ex J0 x-2=0 的根的迭代格式x1二-(xn),n二0,1,2,讨论其收敛 _4 性，并将根求出来，|Xn 1-Xn卜：10 答案：解：令 f(x)二 ex 10 x-2,f(0-2 0,f(1)=10 e 0 f(x)=0变形为 则当 x (0,1)时 故迭代格式 Xn1=10(2-exn 收敛。取 X。=0.5，计算结果列表如下:n 0 1 2 3 Xn 0.5 0.035 127 872 0.09
19、6 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 X 0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足|x7 X6 戶 0.000 000 95V106 所以 x 0.090 525008|Xi 2x2 3x3=14*2x+5x2+2x3=18 8、利用矩阵的 LU 分解法解方程组3治+X2+5X3=20。且 f(x)二 ex 10-0 对-x，(=)，故 f(x)=0在(0,1)内有唯一实根.将方程(x)(2-ex)L(x)F 10，x e 10 哈1 _1 2 3 A=LU=2 1 1-4 答案：解：3
20、 一5 1匸 _24J 令 Ly=b 得 y=(14,_10,_72)T,Ux=y 得 x=(1,2,3)T.3xi 2x2 10X3=15 10X1 4x2-X3=5 9、对方程组、2X1+10X2-4X3=8(1)试建立一种收敛的 Seidel 迭代公式，说明理由；(2)取初值x(O)=(0,0,0)T，利用(1)中建立的迭代公式求解，要求|X(k 计)一 X(k)|：:：1 ；。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 1 X-4x2-x3=5 2X+10 x2-4x3=8、3X+2x2+10 x3=15 故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛迭代格式为 4xk)xk)5)(-2x1k 10
21、 1(-3x1k应1 10 1 取X()=(0,0,0)T,经 7 步迭代可得:x*：x=(0.999 991 459,0.999 95 326,1.000 010)T 10、已知下列实验数据 Xi 1.36 1.95 2.16 f(Xi)16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据 1 解：当 X1 时，L(x)=eX,则 L(x)2e，且 dx有一位整数.4x3k)8)15)要求近似值有 5 位有效数字，只须误差 R(n)(竹誉丄4 2 61067OT 12、取节点X。=0,X1=0.5,X2胡,求函数f(x)二e*在区间。上的二次插值多项式 B(x)
22、，并估计误差。x(x-ORx-1)飞心(x-)(x-(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1).訂(x-0)(x-0.5)(1-0)(1-0.5)_0 5 1=2(x-0.5)(x-1)-4e.x(x1)2e x(x0.5)(f)(b-a)3 12n2 f()，只要 R1(n)(ex)13 5 _ 1 5 1 5 2 5 79 5 8 5-4-12 1 回代得 13 5 1 5 5 13 79 5 5 13 X3-1,X2=6,X1=3。解:0 1 1 又 f(x)&x,f(xrm-maxjf)日|R2(x)|=|e-R(x)任 g|x(x-0.5)(x-1)|15、用牛顿(切线)法
23、求3的近似值 取 xo=1.7,计算三次，保留五位小数。故截断误差 解：、.3 是 f(x)=x2-3=0 的正根,f(x)=2x，牛顿迭代公式为 XnXn X：3 Xn 3(十)n 1 2 3 Xn 1.73235 1.73205 1.73205 16、已知 f(-1)=2,f(1)=3，f(2)=-4,求拉格朗日插值多项式 L2(X)及 f(1,5)的近似值,取五位小数。L2(X)=2(x)(x-2)3&睑-2)&心)解：(-1-1)(-1-2)(1 1)(1-2)(2 1)(2-1)2 3 4(x-1)(2)(x 1)(x-2)(x(x-1)3 2 3 1 f(1.5):L2(1.5)0
24、.04167 24 18、用 Gauss-Seide 迭代法求解线性方程组 取 x(0)=(0,0,0)T，列表计算三次，保留三位小数。3 0 1 5 1-3 1 X2 -1 J 一1 4 C8J x(k 1)-x3k)-5)x2k 1)1(-X(3 J(-xL1)x21)-8)4(k-1)3 1 0 3 系数矩阵 取 x(0)=(0,0,0)T，列表计算如：1 1 4严格对角占优，故 Gauss-Seidel 迭代收敛.2Xn 2Xn 取 X0=1.7,列表如下:k x1k)x2k)x3k)1 1.667 0.889-2.195 2 2.398 0.867-2.383 3 2.461 0.3
25、59-2.526 2 20、（8 分）用最小二乘法求形如 y=a bx的经验公式拟合以下数据:Xi 19 25 30 38 yi 19.0 32.3 49.0 73.3 xn_；1+_3点 X=J1+_对应迭代格式Xn 2 3 Xn 1；（2）X对应迭代格式-Xn；（3）迭代格式Xn1二X；-1。判断迭代格式在X。=1.5的收敛性，选一种收敛格式计算X=1.5附近的根,精确到小数点后第三位。2 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。3 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径。2：-span1,x 1111-192 252 312 382 解方程组 A AC二A
26、T y T 4 3391 A A=1(3391 3529603 C 09255577 解:AT 其中=19.0 32.3 49.0 73.3】173.6*79980.7 一 解得：b0501025 所以 a=0.9255577,b=0.0501025 22、(15 分)方程X3-x-1=0在x=1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式 1+乂佔=X对应迭代格式 23、（8 分）已知方程组 AX=f，其中 4 3 1 24 1 A=3 41 f=30 T 4 _ -24 解:(1)（X）1 (x)(x 1)3 3 1；：（1.5）18 J 故收敛;(2)(3)：(x)选择（1）:宀1 JQ
27、二3仿1，故发散。x1=1.3572 x2=1.3309 X3=1.3259 x4=1.3249?A(1.5)=01，故收敛;=3x2 Xo=1.5 x5=1.32476 x6=1.32472 Xi(5 J(243x2k)4 Jxri(33xr+x3k)x3k41)(24+x2k)4 解：Jacobi 迭代法：L k=，123,XiJ(24 3x2k)4 Jx2k+1(33xrx3k)x3=1(24+x2)4 Gauss-Seidel 迭代法：k=0,1,2,3,34 0 31、（12 分）以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 用 Newton 插值方法：差分表:100 121
28、 144 10 11 12 0.0476190 0.0434783-0.0000941136 :10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555 f()R=(115 100 1115121 好15-144)3!1 3 史 100 2 15 6 29:0.00163 68（10 分）用 Gauss 列主元消去法解方程组 x1 4x2 2x3=24 3x1 x2 5x3=二 34 1 2x1 6x2 x3=27 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.66
29、67 0.0000 5.3333-2.3333 4.3333 1 Bj D(L U)=34 4（Bj）(或 二)=0.790569 4 115的近似值，并利用余项估计误差。J15 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333-2.3333 4.3333 0.0 0000 1.9375 9.6875 x 二 2.0000,3.0000,5.0000 T 解：（1）Jacobi 迭代法的分量形式 x；k 制=1-2 x2k）+2 x3k）“x2k 十）=2-x（k）-x3k）;k=0,1,2，川 乂=3-2 x；k）-2x2k）Gauss-Seidel 迭代
30、法的分量形式 x；k 1)=1-2 x2k)2 x3k)x2k制=2-x；k十)x3k);k=0,1,2,川 工宀=3-2 x1k也-2 x 2k谢(2)Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 0-2 2 B=D，(L+U)=0 i-2-2 0丄 3、2|=2 1 102 的最小二乘解。3 6 8 (AT AX=ATb 6 込2 丿 (1.3333、x=12.0000/1.73205-3.46410(A,bR 0-0.36603 0-1.36603 4.61880-1.52073-2.52073.J 1.73205-3.4641(0-4.61880)T 0 1.41421 2.82843 1 0 0
31、 0.81650 丿 最小 二乘解：(-1.33333 2.00000)T.37、（1）（15 分）已知方程组 Ax=b，其中 1 1 2-2 1 5 迭代法的分量形式;写出该方程组的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快;34、（8 分）求方程组 若用 Householder 变换，则:i-2-3=0,r(B)二 0 1,Jacobi 迭代法收敛 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为 0-2 2 G=(D L)U=0 2-3 i 0 0 2 J，1=0,匕二3 二2,B)二 2 1,Gauss-Seidel
32、 迭代法发散 40、(10 分)已知下列函数表:x 0 1 2 3 f(x)1 3 9 27(1)写出相应的三次 Lagra nge 插值多项式；作均差表，写出相应的三次 Newt on 插值多项式，并计算 f(15)的近似值。解:(1)N3(x)=12x 2x(x-1)4 x(x 1)(x 一 2)3 f(1.5)N 3(15)=53、(X1-X0)(X1-X2)表示在节点 X1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()*3 1 1 -2 5 3 5、矩阵2 4 5丿具有严格对角占优。()四、计算题：(x-1)(x-2)(x-3)(x-0)(x-2)(x-3)(x-0)(x-1)(x-3)3 _(0-1)(0 _2)(0 _3)4 3=-x 3 -+-:(1 _ 0)(1 _ 2)(1-3)(2 _0)(2_1)(2_3)(x-0)(x-1)(x-2)(3_0)(3_1)(3_2)(2)均差表:-2x2 8x 1 3 27 18 4x1 2x2 x3=11 X 4X2 2X3=18 1、用高斯-塞德尔方法解方程组 2X1 X2 5x 22，取x0)=(0,0,0)T，迭代四次(要 求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式