数值计算方法试题集及答案.pdf

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1、一、填空题：1、410141014A，则 A的 LU分解为A 。答案：15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(fff，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得31_)(dxxf,用三点式求得)1(f。3、1)3(,2)2(,1)1(fff，则过这三点的二次插值多项式中的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL 4、近似值*0.231x 关于真值229.0 x有(2 )位有效数字；5、设)(xf可微,求方程)(xfx 的牛顿迭代格式是()；答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx 6

2、、对1)(3xxxf,差商3,2,1,0f(1 ),4,3,2,1,0f(0 )；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f(x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n次后的误差限为(12nab )；9、求解一阶常微分方程初值问题=f(x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为(),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy )；10、已知 f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次Newton 插值多项式中 x2系数为()；11、两点式高斯型求积公式10d)(xxf(10)3213()3213(21d)(ffxxf)，代数精度为(5)；12、解

3、线性方程组 Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。13、为了使计算32)1(6)1(41310 xxxy的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,)64(3(10 xtttty，为了减少舍入误差，应将表达式19992001 改写为199920012。14、用二分法求方程01)(3xxxf在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1,进行两步后根的所在区间为。15、计算积分15.0dxx,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为 1，辛卜生公式的代数精度为 3。16、求解方程组042

4、.01532121xxxx的高斯塞德尔迭代格式为20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M=121。17、设46)2(,16)1(,0)0(fff,则)(1xl)2()(1xxxl，)(xf的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2xxxxN。18、求积公式baknkkxfAxxf)(d)(0的代数精度以(高斯型 )求积公式为最高，具有(12 n )次代数精度。19、已知 f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求51d)(xxf(12 )。20、设 f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三点式求)1(f()。2

5、1、如果用二分法求方程043 xx在区间2,1 内的根精确到三位小数，需对分（10）次。22、已知31)1()1()1(2110)(233xcxbxaxxxxS是三次样条函数，则=(3)，=（3），=（1）。23、)(,),(),(10 xlxlxln是以整数点nxxx,10为节点的 Lagrange 插值基函数，则 nkkxl0)(1)，nkkjkxlx0)()，当2n时)()3(204xlxxkknkk(324 xx )。24、解初值问题00(,)()yf x yy xy的改进欧拉法),(),(2),(011101nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy是 2 阶方法。25、区间

6、ba,上的三次样条插值函数)(xS在ba,上具有直到_2_阶的连续导数。26、改变函数f xxx()1 (x 1)的形式，使计算结果较精确 xxxf11。27、若用二分法求方程 0 xf在区间1,2内的根，要求精确到第 3位小数，则需要对分 10次。28、设 21,10,2233xcbxaxxxxxS是 3 次样条函数，则 a=3,b=-3,c=1。29、若用复化梯形公式计算10dxex，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用 477 个求积节点。30、写出求解方程组24.016.12121xxxx的 Gauss-Seidel迭代公式,1,0,4.026.111112211kxxxxk

7、kkk，迭代矩阵为64.006.10，此迭代法是否收敛收敛。31、设A 5443,则A9。32、设矩阵482257136A的ALU，则U 4820161002U。33、若4321()f xxx，则差商2 4 8 16 32,f3。34、数值积分公式11218019()()()()f x dxfff的代数精度为 2。35、线性方程组121015112103x 的最小二乘解为11 。36、设矩阵321204135A分解为ALU，则U 32141003321002。二、单项选择题：1、Jacobi 迭代法解方程组bx A的必要条件是（C）。AA的各阶顺序主子式不为零 B1)(A Cniaii,2,1

8、,0 D 1A 2、设700150322A，则)(A为(C )A 2 B5 C 7 D 3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为(B )。A 2 B5 C 3 D 4 4、求解线性方程组 Ax=b 的 LU分解法中，A须满足的条件是(B )。A对称阵 B正定矩阵 C任意阵 D各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是(A )产生的误差。A.只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值 C观察与测量 D数学模型准确值与实际值 6、3.141580是的有(B )位有效数字的近似值。A 6 B5 C 4 D 7 7、用 1+x近似表示 ex所产生的误差是(C )误差。A模型 B观测 C截断 D舍入

9、8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A )。A控制舍入误差 B减小方法误差 C防止计算时溢出 D简化计算 9、用 1+3x近似表示31x所产生的误差是(D )误差。A舍入 B 观测 C模型 D截断 10、-3247500 是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A 5 B6 C 7 D 8 11、设 f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中 x2的系数为(A )。A 05 B 05 C 2 D-2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A 3 B 4 C 5 D 2 13、(D)的 3位有效数字是102。103 102 (C)235.418 (

10、D)101 14、用简单迭代法求方程f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x)，则 f(x)=0 的根是(B )。(A)y=(x)与 x 轴交点的横坐标(B)y=x 与 y=(x)交点的横坐标(C)y=x 与 x 轴的交点的横坐标 (D)y=x 与 y=(x)的交点 15、用列主元消去法解线性方程组134092143321321321xxxxxxxxx，第 1次消元，选择主元为(A )。(A)4 (B)3 (C)4 (D)9 16、拉格朗日插值多项式的余项是(B ),牛顿插值多项式的余项是(C )。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xx

11、n)，(B)!1()()()()()1(nfxPxfxRnnn(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D)()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn 17、等距二点求导公式 f(x1)(A)。0101101010010101)()()D()()()C()()()B()()()A(xxxfxfxxxfxfxxxfxfxxxfxf 18、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值 x0 满足(A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程 f(x)=0 的根。0)()()D(0)()()C(0)()()B(0)()(

12、)A(0000 xfxfxfxfxfxfxfxf 19、为求方程 x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。(A)11:,1112kkxxxx迭代公式(B)21211:,11kkxxxx迭代公式(C)3/12123)1(:,1kkxxxx迭代公式(D)11:,122123kkkkxxxxxx迭代公式 20、求解初值问题yxyyxfy)(),(欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是();四阶龙格库塔法的局部截断误差是(A)(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h5)21、解方程组bAx

13、的简单迭代格式gBxxkk)()1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A,(2)1)(B,(3)1)(A,(4)1)(B 22、在牛顿-柯特斯求积公式：baniinixfCabdxxf0)()()()(中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8n，（2）7n，（3）10n，（4）6n，23、有下列数表 x 0 1 2 f(x)-2 -1 2 所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 24、若用二阶中点公式),(2,2(1nnnnnnyxfhyhxhfyy求解初值问题1)0(,2yyy，

14、试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。(1)10 h,(2)10 h,(3)10 h,(4)10 h 25、取31 732.计算431()x，下列方法中哪种最好？（）(A)28 16 3；(B)242 3()；(C)21642 3()；(D)41631()。26、已知330221224()()()xxS xxa xbx是三次样条函数，则,a b的值为()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。27、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）()if x-1 (A)；(B)；(C)；(D)。28、形如112233()()()()baf x d

15、xA f xA f xA f x的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（）(A)；(B)；(C)；(D)。29、计算的 Newton 迭代格式为()(A)132kkkxxx；(B)1322kkkxxx；(C)122kkkxxx；(D)133kkkxxx。30、用二分法求方程324100 xx在区间1 2,内的实根，要求误差限为31102，则对分次数至少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。31、经典的四阶龙格库塔公式的局部截断误差为()(A)4()O h；(B)2()O h；(C)5()O h；(D)3()O h。32、设()il x是以019(,)kxk k为节点的 Lagr

16、ange 插值基函数，则90()ikkl k()(A)；（B）；（C）；（D）。33、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。34、已知330221224()()()xxS xxa xbx是三次样条函数，则,a b的值为()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。35、已知方程3250 xx在2x 附近有根，下列迭代格式中在02x 不收敛的是()(A)3125kkxx；(B)152kkxx；(C)315kkkxxx；(D)3122532kkkxxx。36、由下列数据 0 1 2 3 4()f x 1 2 4 3-5 确定的

17、唯一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5 个节点的 Gauss 型求积公式的最高代数精度为()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、已知观察值)210()(miyxii，,用最小二乘法求 n次拟合多项式)(xPn时，)(xPn的次数n 可以任意取。()2、用 1-22x近似表示 cosx产生舍入误差。()3、)()(210120 xxxxxxxx表示在节点 x1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()5、矩阵 A=5213521

18、13具有严格对角占优。()四、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组225218241124321321321xxxxxxxxx，取T)0,0,0()0(x，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式)222(51)218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx k)(1kx)(2kx)(3kx 0 0 0 0 1 3.8125 2 0.20938 3 4 2、求 A、B使求积公式11)21()21()1()1()(ffBffAdxxf的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求211dxxI(保留四位

19、小数)。答案：2,1)(xxxf是精确成立，即 32212222BABA得98,91BA 求积公式为)21()21(98)1()1(91)(11ffffdxxf 当3)(xxf时，公式显然精确成立；当4)(xxf时，左=52，右=31。所以代数精度为3。69286.014097321132/119831131191311113221dttdxxxt 3、已知 1 3 4 5)(ixf 2 6 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(xf的三次插值多项式)(3xP，并求)2(f的近似值（保留四位小数）。答案：)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(

20、3(2)(3xxxxxxxL)45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5xxxxxx 差商表为 一阶均差 二阶均差 三阶均差 1 2 3 6 2 4 5-1-1 5 4-1 0 )4)(3)(1(41)3)(1()1(22)()(33xxxxxxxNxP 5.5)2()2(3 Pf 4、取步长2.0h，用预估-校正法解常微分方程初值问题 1)0(32yyxy)10(x 答案：解：)32()32(1.0)32(2.0)0(111)0(1nnnnnnnnnnyxyxyyyxyy 即04.078.152.01nnnyxy n 0 1 2 3 4 5 0 1

21、 5、已知 -2-1 0 1 2)(ixf 4 2 1 3 5 求)(xf的二次拟合曲线)(2xp，并求)0(f 的近似值。答案：解：iiyx iiyx2 0-2 4 4-8 16-8 16 1-1 2 1-1 1-2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 3 1 3 1 1 1 3 3 4 2 5 4 8 16 10 20 0 15 10 0 34 3 41 正规方程组为4134103101510520120aaaaa 1411,103,710210aaa 221411103710)(xxxpxxp711103)(2 103)0()0(2pf 6、已知xsin区间0.4，0.8的函数表 0.4

22、 0.5 0.6 0.7 0.8 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求63891.0sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差|)(|!3|)(|332xMxR 尽量小，即应使|)(|3x尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点7.0,6.0,5.0最好，实际计算结果 596274.063891.0sin，且 41055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!31596274.063891.0sin 7、构造求解方程0210 xex的

23、根的迭代格式,2,1,0),(1nxxnn，讨论其收敛性，并将根求出来，4110|nnxx。答案：解：令010)1(,02)0(,210e)(effxxfx.且010e)(xxf)(，对 x，故0)(xf在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(xf变形为)e2(101xx 则当)1,0(x时)e2(101)(xx，110e10e|)(|xx 故迭代格式)e2(1011nxnx 收敛。取5.00 x，计算结果列表如下：n 0 1 2 3 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 0.090 595 993 0.090 517 340 0

24、.090 525 950 0.090 525 008 且满足6671095000000.0|xx.所以008525090.0*x.8利用矩阵的 LU分解法解方程组2053182521432321321321xxxxxxxxx。答案：解：2441321153121LUA 令by L得T)72,10,14(y，yx U得T)3,2,1(x.9对方程组841025410151023321321321xxxxxxxxx（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；（2）取初值T)0,0,0()0(x，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求3)()1(10|kkxx。解：调整方程组的位置，使系数矩

25、阵严格对角占优 151023841025410321321321xxxxxxxxx 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx 取T)0,0,0()0(x,经 7 步迭代可得：T)010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*xx.10、已知下列实验数据 xi 1.36 1.95 2.16 f(xi)16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当 0 x1时，)(xfex，则e

26、)(xf，且xxde10有一位整数.要求近似值有 5 位有效数字，只须误差4)(11021)(fRn.由)(12)()(23)(1fnabfRn，只要 422)(1102112e12e)e(nnRxn 即可，解得 30877.67106e2n 所以68n，因此至少需将 0,1 68 等份。11、用列主元素消元法求解方程组11124112345111321xxx。解：111124111123451111212345411121rr 5852510579515130123455795151305852510123455251321312rrrrrr 135135057951513012345131

27、23rr 回代得3,6,1123xxx。12、取节点1,5.0,0210 xxx,求函数xxf e)(在区间0,1上的二次插值多项式)(2xP,并估计误差。解：)15.0)(05.0()1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002xxexxexP)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)5.01)(01()5.0)(0(15.01xxexxexxxxe 又1|)(|max,)(,)(1,03 xfMexfexfxxx 故截断误差|)1)(5.0(|!31|)(|)(|22xxxxPexRx。13、用欧拉方法求 xttxy0de)(2 在点0.2,5.1,0.1,5.0 x处的近似

28、值。解：xttxy0de)(2等价于 0)0(e2yyx (0 x)记2e),(xyxf,取5.0h,0.2,5.1,0.1,5.0,043210 xxxxx.则由欧拉公式 0),(01yyxhfyynnnn,3,2,1,0n 可得88940.0)0.1(,5.0)5.0(21yyyy,12604.1)0.2(,07334.1)5.1(43yyyy 14、给定方程01e)1()(xxxf 1)分析该方程存在几个根；2)用迭代法求出这些根，精确到5 位有效数字；3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程01e)1(xx（1）改写为 xxe1（2）作函数1)(1 xxf，xxf e)(2的图形

29、（略）知（2）有唯一根)2,1(*x。2)将方程（2）改写为xxe1 构造迭代格式5.1e101xxkxk),2,1,0(k 计算结果列表如下：k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 3)xxe1)(，xxe)(当2,1 x时，2,1)1(),2()(x，且 1e|)(|1x 所以迭代格式),2,1,0()(1kxxkk对任意2,1 0 x均收敛。15、用牛顿(切线)法求的近似值。取 x0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：是03)(2 xxf的正根，xxf2)(，牛顿迭代公式为 nnnnxxxx2321，即),2,1,0(2321nxxxnnn 取 x0=1.7,列表如下：1 2 3

30、 16、已知 f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2xL及 f(1，5)的近似值，取五位小数。解：)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2xxxxxxxL)1)(1(34)2)(1(23)2)(1(32xxxxxx 04167.0241)5.1()5.1(2 Lf 17、n=3,用复合梯形公式求xxde10的近似值（取四位小数）,并求误差估计。解：7342.1e)ee(2e 3201de132310310Txx xxxfxfe)(,e)(，10 x时，e|)(|xf 05.0025.0108e312e|e

31、|23TRx 至少有两位有效数字。18、用 Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组411131103321xxx=815，取 x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel 迭代格式为：)8(41)1(31)5(31)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)1(1kkkkkkkkxxxxxxxx 系数矩阵411131103严格对角占优，故 Gauss-Seidel 迭代收敛.取 x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:)(1kx)(2kx)(3kx 1 2 3 19、用预估校正法求解1)0(yyxy(0 x1)，h=0。2，取两位小数

32、。解：预估校正公式为),(),()(21121211kyhxhfkyxhfkkkyynnnnnn,2,1,0n 其中yxyxf),(，10y，h，4,3,2,1,0n，代入上式得：1 2 3 4 5 20、（8分）用最小二乘法求形如2bxay的经验公式拟合以下数据：19 25 30 38 解：,12xspan 2222383125191111TA3.730.493.320.19Ty 解方程组 yAACATT 其中 3529603339133914AAT7.1799806.173yAT 解得：0501025.09255577.0C 所以 9255577.0a，0501025.0b 21、（15

33、分）用8n的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算dxex10时，试用余项估计其误差。用8n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。解：001302.0768181121)(12022 efhabfRT )()(2)(2)8(71kkbfxfafhT 36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21 161 6329434.0 22、（15 分）方程013 xx在5.1x附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31xx对应迭代格式311nnxx；(2)xx11对

34、应迭代格式nnxx111；（3）13 xx对应迭代格式131nnxx。判断迭代格式在5.10 x的收敛性，选一种收敛格式计算5.1x附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1）321(31)(）xx，118.05.1）（，故收敛；（2）xxx1121)(2，117.05.1）（，故收敛；（3）23)(xx，15.135.12）（，故发散。选择（1）：5.10 x，3572.11x，3309.12x，3259.13x，3249.14x，32476.15x，32472.16x 23、（8分）已知方程组fAX，其中 4114334A，243024f（1）列出 Jacobi迭代法和 Gauss-Seid

35、el迭代法的分量形式。（2）求出 Jacobi迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi 迭代法：,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1kxxxxxxxkkkkkkk Gauss-Seidel 迭代法：,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1kxxxxxxxkkkkkkk 0430430430430)(1ULDBJ，790569.0)410(85)(或JB 24、1、（15分）取步长1.0h，求解初值问题1)0(1yydxdy用改进的欧拉法求)1.0(y的值；用经典的四

36、阶龙格库塔法求)1.0(y的值。解：改进的欧拉法：095.0905.0),(),(21.09.0),()0(111)0(1nnnnnnnnnnnnyyxfyxfhyyyyxhfyy 所以1)1.0(1 yy；经典的四阶龙格库塔法：),()2,2()2,2(),(226342312143211hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyynnnnnnnnnn04321kkkk，所以1)1.0(1 yy。25、数值积分公式形如 10)1()0()1()0()()(fDfCBfAfxSdxxxf试确定参数DCBA,使公式代数精度尽量高；（2）设 1,0)(4Cxf，推导余项公式10

37、)()()(xSdxxxfxR，并估计误差。解：将32,1)(xxxxf分布代入公式得：201,301,207,203DBBA 构造 Hermite 插值多项式)(3xH满足1,0)()()()(33ixfxHxfxHiiii其中1,010 xx 则有：103)()(xSdxxxH，22)4(3)1(!4)()()(xxfxHxf dxxxfdxxSxfxxR2103)4(10)1(!4)()()()(1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ffdxxxf 26、用二步法),()1(),(111101nnnnnnnyxfyxfhyyy 求解常微分方程的初值问题00)()

38、,(yxyyxfy时，如何选择参数,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的 解：)(!3)(!2)()()(1()()(!3)(!2)()()()(!3)(!2)()()()4(3232103211,nnnnnnnnnnnnnnnnhnxyhxyhxyhxyxyhxyhxyhxyhxyxyxyhxyhxyhxyyxyR)()()21661()()1221()()11()()1(41312110hOxyhxyhxyhxynnnn 所以012210011110230110 主项：)(1253nxyh 该方法是二阶的。27、（10 分）已知数值积分公式为：)()0()()0

39、(2)(20hffhhffhdxxfh，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：1)(xf显然精确成立；xxf)(时，11 022220hhhhxdxh；2)(xxf时，1212220023322302hhhhhhhdxxh；3)(xxf时，30121024223403hhhhhdxxh；4)(xxf时，6401210255324504hhhhhhdxxh；所以，其代数精确度为 3。28、（8 分）已知求)0(aa的迭代公式为：2,1,00)(2101kxxaxxkkk 证明：对一切axkk,2,1，且序列 kx是单调递减的，从而迭代过程收敛。证明：2,1,

40、0221)(211kaxaxxaxxkkkkk 故对一切axkk,2,1。又1)11(21)1(2121kkkxaxx所以kkxx1，即序列 kx是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、（9 分）数值求积公式30)2()1(23)(ffdxxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为)(xf在基点 1、2 处的插值多项式为)2(121)1(212)(fxfxxp 30)2()1(23)(ffdxxp。其代数精度为 1。30、(6 分)写出求方程 1cos4xx在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6 分)nnnxxxcos1411，n=0,1,2,141si

41、n41xx 对任意的初值 1,00 x,迭代公式都收敛。31、(12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分表：100 121 144 10 11 12 115 2583 xxf 00163.0296151008361144115121115100115!3 25fR 32、(10 分)用复化 Simpson 公式计算积分 10sindxxxI的近似值，要求误差限为5105.0。0.9461458812140611fffS 0.94608693143421241401212fffffS 5-12210933.

42、0151SSSI94608693.02 SI 或利用余项：!9!7!5!31sin8642xxxxxxxf !49!275142)4(xxxf 51)4(xf 54)4(45105.05288012880nfnabR，2n，2SI 33、(10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组：276234532424321321321xxxxxxxxx 0.0 Tx0000.5,0000.3,0000.2 34、(8 分)求方程组 12511213121xx 的最小二乘解。bAxAATT，2081466321xx，0000.23333.1x 若用 Householder 变换，则：52073.236

43、603.1052073.136603.0061880.446410.373205.1,bA 81650.00082843.241421.1061880.446410.373205.1 最小二乘解：(-1.33333，2.00000)T.35、(8 分)已知常微分方程的初值问题：2)1(2.11,yxyxdxdy 用改进的 Euler 方法计算y(.)12的近似值，取步长2.0h。5.0,001yxfk，0.52380955.02.021.1,1012hkyxfk 1071429.25238095.05.01.0222101kkhyy 36、(6 分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出

44、其代数精度：1211010fAfAdxxxf 取 f(x)=1,x，令公式准确成立，得：2110 AA，312110 AA310A，611A f(x)=x2时，公式左右=1/4;f(x)=x3时，公式左=1/5,公式右=5/24 公式的代数精度=2 37、（15 分）已知方程组Axb，其中122111221A，123b ，（1）写出该方程组的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式；（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；解：（1）Jacobi 迭代法的分量形式 11231213131212220 1 2322()()()()()()

45、()()();,kkkkkkkkkxxxxxxkxxx Gauss-Seidel 迭代法的分量形式 11231121311131212220 1 2322()()()()()()()()();,kkkkkkkkkxxxxxxkxxx （2）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 1022101220()BDLU，1230，01()B，Jacobi 迭代法收敛 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为 1022023002()GDLU，12302,，21()B，Gauss-Seidel 迭代法发散 38、（10分）对于一阶微分方程初值问题201()dyxydxy，取步长0 2.h，分别用 Eule

46、r 预报校正法和经典的四阶龙格库塔法求0 2(.)y的近似值。解：Euler 预报校正法 01011110 2 20 40 80 1 220 160 20 82()().().().nnnnnnnnnnnnnnnyyxyxyyyxyxyxxy10 20 2 0 20 82 10 86(.).yy 经典的四阶龙格库塔法 1123412132430 2226220 10 120 10 120 20 2.()(.)(.)(.)(.)(.)(.)nnnnnnnnnnyykkkkkxykxykkxykkxyk 10 20 8562(.).yy(12341 50411 55371 54871 5943.;

47、.;.;.kkkk)39、（10分）用二步法1112(,)(,)nnnnnnhyyf xyf xy求解一阶常微分方程初值问题00(,)()yf x yy xy，问：如何选择参数,的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。解：局部截断误差为 11112()()(,()(,()nnnnnnnhTy xy xf xy xf xy x 2341232()()()()()()()()!nnnnnnnhhhy xhy xyxyxO hy xy xy x 2342323222()()()()()()()!()()()()!nnnnnnnnnhhhy xhy xyxy

48、xO hy xy xhhy xhyxyxO h 23341122234()()()()()()()!nnnhhhhy xyxyxO h 因此有10221031 局部截断误差主项为3512()nhyx，该方法是 2 阶的。40、(10 分)已知下列函数表：0 1 2 3()f x 1 3 9 27(1)写出相应的三次 Lagrange 插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次 Newton 插值多项式，并计算15(.)f的近似值。解：（1）312302301301201 02 0310 12 1320 21 2330 3 1 32()()()()()()()()()()()()()()()()

49、()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxL x32482133xxx（2）均差表：01132932726182643 341221123()()()()Nxxx xx xx 31 51 55(.)(.)fN 41、(10 分)取步长0 2.h，求解初值问题83002()()dyyxdxy，分别用欧拉预报校正法和经典四阶龙格库塔法求0 2(.)y的近似值。解：（1）欧拉预报-校正法：0110 2 831 60 40 1 8383 1 60 41 120 58().().(.).nnnnnnnnnyyyyyyyyy 10 22 28(.).yy（2）经典四阶龙格-库塔法：112

50、3412132430 222683830 1830 1830 2.()(.)(.)(.)nnnnnnyykkkkkykykkykkyk 10 22 3004(.).yy 42、(10 分)取 5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分220112dxx的近似值（保留4 位小数）。解：5 个点对应的函数值2112()f xx xi 0 1 2 f(xi)1 -（2 分）(1)复化梯形公式（）：40 5120 6666670 3333330 1818180 1111112.(.).T 0 868687.(2)复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：21140 6666670 1818