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1、1 数值计算方法复习试题一、填空题：1、410141014A，则 A 的 LU 分解为A。答案：15561415014115401411A2、 已 知3.1)3(,2 .1)2(,0 .1) 1(fff， 则 用 辛 普 生 （ 辛 卜 生 ） 公 式 计 算求 得31_)(dxxf,用三点式求得)1 (f。答案： 2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1 (fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案： -1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL4、近似值*0.231x关于真值229.0 x有( 2 )位有效数字；
2、5、设)(xf可微, 求方程)(xfx的牛顿迭代格式是 ( )；答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx6、对1)(3xxxf,差商3 ,2 ,1 ,0f( 1 ),4, 3, 2, 1 ,0f( 0 )；7、计算方法主要研究 ( 截断)误差和( 舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f (x)=0 在区间 (a,b)内的根时，二分n 次后的误差限为( 12nab)；9、 求 解 一 阶 常 微 分 方 程 初 值 问 题y= f (x,y) ， y(x0)=y0的 改 进 的 欧 拉 公 式 为( ),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy)；精选学习资料 - - - - - - -
3、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页2 10、 已知 f(1)2， f(2)3， f(4)5.9， 则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为 ( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式10d)(xxf(10)3213()3213(21d)(ffxxf)，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零 )。13、为了使计算32) 1(6)1(41310 xxxy的乘除法次数尽量地少， 应将该表达式改写为11,)64(3(10 xtttty，为了减少舍入误差，应将表达式19992001
4、改写为199920012。14、 用二分法求方程01)(3xxxf在区间 0,1内的根 ,进行一步后根的所在区间为0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75 。15、 计算积分15.0dxx,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309 ，梯形公式的代数精度为1 ，辛卜生公式的代数精度为3 。16、 求解方程组042 . 01532121xxxx的高斯塞德尔迭代格式为20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx， 该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M= 121。17、 设46)2(,16)1(,0)0(
5、fff,则)(1xl)2()(1xxxl，)(xf的二次牛顿插值多项式为) 1(716)(2xxxxN。18、 求积公式baknkkxfAxxf)(d)(0的代数精度以 ( 高斯型)求积公式为最高，具有( 12n)次代数精度。19、已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求51d)(xxf( 12 )。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页3 20、设 f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求)1(f( 2.5 )。21、如果用二分法求方程043xx在区间2, 1内的根
6、精确到三位小数，需对分（10 ）次。22、已知31)1()1()1(2110)(233xcxbxaxxxxS是三次样条函数，则a=( 3 )，b=（3 ） ，c=（1 ） 。23、)(,),(),(10 xlxlxln是以整数点nxxx,10为节点的Lagrange 插值基函数，则nkkxl0)( 1 )，nkkjkxlx0)(jx)， 当2n时)()3(204xlxxkknkk( 324xx)。24、解初值问题00( , )()yf x yy xy的改进欧拉法),(),(2),(011101nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy是2阶方法。25、区间ba,上的三次样条插值函数)(
7、xS在ba,上具有直到 _2_阶的连续导数。26 、 改 变 函 数f xxx( )1(x1) 的 形 式 ， 使 计 算 结 果 较 精 确xxxf11。27、若用二分法求方程0 xf在区间 1,2 内的根，要求精确到第3 位小数，则需要对分10 次。28、设21,10,2233xcbxaxxxxxS是 3 次样条函数，则a= 3 , b= -3 , c= 1 。29、若用复化梯形公式计算10dxex，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。30、写出求解方程组24 .016.12121xxxx的Gauss-Seidel迭代公式, 1 ,0,4. 026. 11111
8、2211kxxxxkkkk，迭代矩阵为64. 006.10，此迭代法是否收敛收敛。31、设A5443,则A9 。32、设矩阵482257136A的ALU，则U4820161002U。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页4 33、若4321( )f xxx，则差商2 4 8 16 32 , , ,f3 。34、数值积分公式11218019( )()( )( )f x dxfff的代数精度为2 。35、线性方程组121015112103x的最小二乘解为11。36、设矩阵321204135A分解为ALU，则U3214100
9、3321002。二、单项选择题：1、 Jacobi迭代法解方程组bxA的必要条件是（C ） 。AA 的各阶顺序主子式不为零B1)(ACniaii, 2, 1,0D1A2、设700150322A，则)(A为( C )A 2 B 5 C 7 D 3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。A 2 B5 C 3 D 4 4、求解线性方程组Ax=b的 LU 分解法中， A 须满足的条件是 ( B )。A 对称阵B 正定矩阵C 任意阵D 各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是 ( A )产生的误差。A.只取有限位数B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量D数学模型准确值与实际值6、3.14
10、1580是的有 ( B )位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x 近似表示 ex所产生的误差是 ( C )误差。A 模型B 观测C 截断D 舍入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页5 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。A控制舍入误差B 减小方法误差C防止计算时溢出D 简化计算9、用 1+3x近似表示31x所产生的误差是 ( D )误差。A 舍入B 观测C 模型D 截断10、-3247500 是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。A 5 B 6 C 7 D
11、8 11、设 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为 ( A )。A 05 B 05 C 2 D -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。A 3 B 4 C 5 D 2 13、( D )的 3 位有效数字是 0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.54101 14、用简单迭代法求方程f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x= (x)，则 f(x)=0 的根是( B )。(A) y=(x)与 x 轴交点的横坐标(B) y=x 与 y= (x)交
12、点的横坐标(C) y=x 与 x 轴的交点的横坐标(D) y=x 与 y= (x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组134092143321321321xxxxxxxxx，第1 次消元，选择主元为( A ) 。(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D)9 16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn)，(B) )!1()()()()() 1(nfxPxfxRnnn(C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn)，(D) )()!
13、1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn17、等距二点求导公式f (x1) ( A )。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页6 0101101010010101)()()D()()()C()()()B()()()A(xxxfxfxxxfxfxxxfxfxxxfxf18、 用牛顿切线法解方程f(x)=0， 选初始值 x0 满足( A ),则它的解数列 xnn=0,1,2, 一定收敛到方程f(x)=0 的根。0)()()D(0)()()C(0)()()B(0)()()A(0000 xfxfxfxfxfxfx
14、fxf19、为求方程x3x21=0 在区间 1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。(A)11:,1112kkxxxx迭代公式(B)21211:,11kkxxxx迭代公式(C)3/12123)1(:,1kkxxxx迭代公式(D)11:,122123kkkkxxxxxx迭代公式20、求解初值问题yxyyxfy)(),(欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是();四阶龙格库塔法的局部截断误差是( A ) (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5) 21、解方程组bAx的简单迭代格式gBxxkk)(
15、)1(收敛的充要条件是（） 。（1）1)(A, (2) 1)(B, (3) 1)(A, (4) 1)(B22、在牛顿 -柯特斯求积公式：baniinixfCabdxxf0)()()()(中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿 -柯特斯求积公式不使用。（1）8n，（2）7n，（3）10n，（4）6n，23、有下列数表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的次数是（） 。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次24、 若用二阶中点公式),(2,2(1nnnnnnyxfhy
16、hxhfyy求解初值问题1)0(,2yyy，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（） 。(1)10h, (2)10h, (3)10h, (4)10h精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页7 25、取31 732.计算431()x，下列方法中哪种最好？（）(A)28 16 3；(B)242 3()；(C) 21642 3()；(D) 41631()。26、已知330221224( )()()xxS xxa xbx是三次样条函数，则,a b的值为 ( ) (A )6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8， 8。
17、27、由下列数表进行Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）ix1.5 2.5 3.5 ()ifx-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5 (A)5；(B)4；(C) 3；(D) 2。28、形如112233( )()()()bafx dxA f xA f xA fx的高斯（ Gauss）型求积公式的代数精度为（）(A)9；(B)7；(C) 5；(D) 3。29、计算3的 Newton 迭代格式为 ( ) (A) 132kkkxxx；(B)1322kkkxxx；(C) 122kkkxxx；(D) 133kkkxxx。30、用二分法求方程324100 xx在区间1 2 , 内的
18、实根，要求误差限为31102，则对分次数至少为 ( ) (A )10；(B)12 ；(C)8；(D)9。31、经典的四阶龙格库塔公式的局部截断误差为( ) (A)4()O h；(B)2()O h；(C) 5()O h；(D) 3()O h。32、设( )ilx是以0 19(, , )kxk k为节点的Lagrange 插值基函数，则90( )ikkl k( ) (A)x；（ B）k；（ C）i；（D）1。33、5 个节点的牛顿 -柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度(A )5；(B)4；(C)6；(D)3。34、已知330221224( )()()xxS xxa xbx是三次样条函数，则,
19、a b的值为 ( ) (A )6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8， 8。35、已知方程3250 xx在2x附近有根，下列迭代格式中在02x不收敛的是 ( ) (A)3125kkxx； (B)152kkxx； (C)315kkkxxx； (D)3122532kkkxxx。36、由下列数据x0 1 2 3 4 ()fx1 2 4 3 -5 确定的唯一插值多项式的次数为( ) (A ) 4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5 个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8 ；(B)9；(C)10；(D)11。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
20、- - - - - - -第 7 页，共 28 页8 三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、已知观察值)210()(miyxii，,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(xPn时，)(xPn的次数 n 可以任意取。( ) 2、用 1-22x近似表示 cosx 产生舍入误差。( ) 3、)()(210120 xxxxxxxx表示在节点 x1的二次 (拉格朗日 )插值基函数。( ) 4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。( ) 5、矩阵 A=521352113具有严格对角占优。( ) 四、计算题：1、用高斯 -塞德尔方法解方程组2252182411
21、24321321321xxxxxxxxx， 取T)0,0 ,0()0(x， 迭代四次 (要求按五位有效数字计算 )。答案：迭代格式)222(51)218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxxk )(1kx)(2kx)(3kx0 0 0 0 1 2.7500 3.8125 2.5375 2 0.20938 3.1789 3.6805 3 0.24043 2.5997 3.1839 4 0.50420 2.4820 3.7019 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
22、 -第 8 页，共 28 页9 2、求 A、B 使求积公式11)21()21()1 ()1()(ffBffAdxxf的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求211dxxI(保留四位小数 )。答案：2, 1)(xxxf是精确成立，即32212222BABA得98,91BA求积公式为)21()21(98)1()1(91)(11ffffdxxf当3)(xxf时，公式显然精确成立；当4)(xxf时，左 =52，右=31。所以代数精度为 3。6 9 2 8 6. 014097321132/119831131191311113221dttdxxxt3、已知ix1 3 4 5 )(ixf2 6 5 4
23、 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(xf的三次插值多项式)(3xP，并求)2(f的近似值（保留四位小数） 。答案：) 53)(43)(13() 5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3xxxxxxxL)45)(35)(15()4)(3)(1(4) 54)(34)(14()5)(3)(1(5xxxxxx差商表为ixiy一阶均差二阶均差三阶均差1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页10 3 6 2 4 5 -1 -1 5 4 -1 0 41)4)(3)(1(41)3)(1()1(22
24、)()(33xxxxxxxNxP5 .5)2()2(3Pf4、取步长2.0h，用预估 -校正法解常微分方程初值问题1)0(32yyxy)10(x答案：解：)32()32(1 .0)32(2 .0)0(111)0(1nnnnnnnnnnyxyxyyyxyy即04.078. 152. 01nnnyxyn 0 1 2 3 4 5 nx0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ny1 1.82 5.8796 10.7137 19.4224 35.0279 5、已知ix-2 -1 0 1 2 )(ixf4 2 1 3 5 求)(xf的二次拟合曲线)(2xp，并求)0(f的近似值。答案：解：iixiy2
25、ix3ix4ixiiyxiiyx20 -2 4 4 -8 16 -8 16 1 -1 2 1 -1 1 -2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 3 1 3 1 1 1 3 3 4 2 5 4 8 16 10 20 0 15 10 0 34 3 41 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页11 正规方程组为4134103101510520120aaaaa1411,103,710210aaa221411103710)(xxxpxxp711103)(2103)0()0(2pf6、已知xsin区间0.4，0.8的函数表ix
26、0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 iy0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求63891. 0sin的近似值， 如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差| )(|!3|)(|332xMxR尽量小，即应使|)(|3x尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点7 .0,6.0 ,5 .0最好，实际计算结果596274.063891.0sin，且41055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(! 31596274.063891.0sin7、构造求解方程0
27、210 xex的根的迭代格式, 2, 1 , 0),(1nxxnn，讨论其收敛性，并将根求出来，4110|nnxx。答案：解：令010)1(, 02)0(,210e)(effxxfx. 且010e)(xxf)(，对 x，故0)(xf在(0,1)内有唯一实根.将方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页12 0)(xf变形为)e2(101xx则当)1 , 0(x时)e2(101)(xx，110e10e|)(|xx故迭代格式)e2(1011nxnx收敛。取5. 00 x，计算结果列表如下：n 0 1 2 3 nx0.5
28、0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 nx0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足6671095000000.0|xx.所以008525090.0*x. 8利用矩阵的 LU 分解法解方程组2053182521432321321321xxxxxxxxx。答案：解：2441321153121LUA令byL得T)72,10,14(y，yxU得T)3,2, 1(x. 9对方程组841025410151023321321321xxxxxxxxx（1） 试建立一种
29、收敛的Seidel迭代公式，说明理由；（2） 取 初 值T)0, 0 ,0()0(x， 利 用 （ 1 ） 中 建 立 的 迭 代 公 式 求 解 ， 要 求3)()1(10|kkxx。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页13 151023841025410321321321xxxxxxxxx故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxx
30、xxxx取T)0, 0 ,0()0(x,经 7 步迭代可得：T)010000. 1,326950999.0,459991999.0()7(*xx. 10、已知下列实验数据xi1.36 1.95 2.16 f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当 0 x1 时，)(xfex，则e)(xf，且xxde10有一位整数 . 要求近似值有 5 位有效数字，只须误差4)(11021)( fRn. 由)(12)()(23)(1fnabfRn，只要422)(1102112e12e)e(nnRxn即可，解得30877.67106e2n所以68n，因此
31、至少需将0,1 68 等份。11、用列主元素消元法求解方程组11124112345111321xxx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页14 解：111124111123451111212345411121rr5852510579515130123455795151305852510123455251321312rrrrrr13513505795151301234513123rr回代得3, 6, 1123xxx。12、取节点1, 5. 0,0210 xxx,求函数xxfe)(在区间 0,1 上的二次插值多项式)(
32、2xP,并估计误差。解：) 15.0)(05. 0() 1)(0()10)(5 .00()1)(5 .0()(5. 002xxexxexP)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)5 .01)(01()5.0)(0(15.01xxexxexxxxe又1|)(|max,)(,)(1 ,03xfMexfexfxxx故截断误差|)1)(5 .0(|!31|)(|)(|22xxxxPexRx。13、用欧拉方法求xttxy0de)(2在点0.2,5 .1,0 .1,5.0 x处的近似值。解：xttxy0de)(2等价于0)0(e2yyx(0 x) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
33、总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页15 记2e),(xyxf,取5.0h,0 .2, 5.1, 0. 1, 5. 0, 043210 xxxxx. 则由欧拉公式0),(01yyxhfyynnnn, 3, 2, 1 ,0n可得8 8 9 4 0.0)0 .1(, 5.0)5.0(21yyyy, 12604. 1)0 .2(,07334.1)5 .1(43yyyy14、给定方程01e) 1()(xxxf1) 分析该方程存在几个根；2) 用迭代法求出这些根，精确到5 位有效数字；3) 说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程01e)1(xx（1）改写为xxe1（2）作函数1
34、)(1xxf，xxfe)(2的图形（略）知（ 2）有唯一根)2, 1(*x。2) 将方程（ 2）改写为xxe1构造迭代格式5 .1e101xxkxk),2, 1 ,0(k计算结果列表如下：k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 3) xxe1)(，xxe)(当2, 1x时，2, 1)1(),2()(x，且1e|)(|1x所以迭代格式),2 , 1 , 0()(1kxxkk对任意2, 10 x均收敛。15、用牛顿 (切线)法求3的近似值。取 x0=
35、1.7, 计算三次，保留五位小数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页16 解：3是03)(2xxf的正根，xxf2)(，牛顿迭代公式为nnnnxxxx2321，即),2, 1 ,0(2321nxxxnnn取 x0=1.7, 列表如下：n1 2 3 nx1.73235 1.73205 1.73205 16、已知 f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2xL及 f (1，5)的近似值，取五位小数。解：)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2
36、)(1(2)(2xxxxxxxL)1)(1(34)2)(1(23)2)(1(32xxxxxx04167.0241)5.1()5.1(2Lf17、n=3,用复合梯形公式求xxde10的近似值（取四位小数） ,并求误差估计。解：7342.1e)ee(2e3201de132310310Txxxxxfxfe)(,e)(，10 x时，e|)(|xf05. 0025.0108e312e|e|23TRx至少有两位有效数字。18、用 Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组411131103321xxx=815，取 x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格
37、式为：)8(41)1(31)5(31)1(2)1(1)1(3)(3) 1(1)1(2)(3)1(1kkkkkkkkxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页17 系数矩阵411131103严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛 . 取 x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下 : k)(1kx)(2kx)(3kx1 1.667 0.889 -2.195 2 2.398 0.867 -2.383 3 2.461 0.359 -2.526 19、用预估校正法求解1)0( yyxy(0 x 1)，h=
38、0。2，取两位小数。解：预估校正公式为),(),()(21121211kyhxhfkyxhfkkkyynnnnnn,2, 1 ,0n其中yxyxf),(，10y，h=0.2，4 ,3 ,2, 1 ,0n，代入上式得：n1 2 3 4 5 nx0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ny1.24 1.58 2.04 2.64 3.42 20、 （ 8分）用最小二乘法求形如2bxay的经验公式拟合以下数据：ix19 25 30 38 iy19.0 32.3 49.0 73.3 解：, 12xspan2222383125191111TA3.730 .493.320.19Ty解方程组yAACATT其中
39、3529603339133914AAT7 .1799806.173yAT解得：0501025.09255577.0C所以9255577.0a，0501025.0b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页18 21、 （15 分）用8n的复化梯形公式（或复化Simpson 公式）计算dxex10时，试用余项估计其误差。用8n的复化梯形公式（或复化Simpson 公式）计算出该积分的近似值。解：001302.0768181121)(12022efhabfRT )()(2)(2)8(71kkbfxfafhT36787947.
40、0)41686207.047236655. 05352614.060653066.07788008.08824969.0(211616329434. 022、（15 分） 方程013xx在5 .1x附近有根， 把方程写成三种不同的等价形式（1）31xx对应迭代格式311nnxx； (2)xx11对应迭代格式nnxx111； （3）13xx对应迭代格式131nnxx。 判断迭代格式在5. 10 x的收敛性， 选一种收敛格式计算5.1x附近的根，精确到小数点后第三位。解： （1）321(31)(）xx，118.05. 1 ）（，故收敛；（2）xxx1121)(2，117.05.1 ）（，故收敛；（
41、3）23)(xx，15. 135.12）（，故发散。选择（ 1） ：5.10 x，3572. 11x，3309.12x，3259.13x，3249. 14x，32476.15x，32472.16x23、 （ 8分）已知方程组fAX，其中4114334A，243024f（1）列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。（2）求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径。解： Jacobi 迭代法：, 3, 2, 1 , 0)24(41)330(41)324(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1kxxxxxxxkkkkkkk精选学习资料 - - - - - -
42、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页19 Gauss-Seidel迭代法：, 3, 2, 1 , 0)24(41)330(41)324(41)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1kxxxxxxxkkkkkkk0430430430430)(1ULDBJ，790569.0)410(85)(或JB24、1、 （15 分）取步长1. 0h，求解初值问题1)0(1yydxdy用改进的欧拉法求)1 .0(y的值；用经典的四阶龙格库塔法求)1.0(y的值。解：改进的欧拉法：095.0905.0),(),(21.09.0),()0(111)0(1nnn
43、nnnnnnnnnyyxfyxfhyyyyxhfyy所以1) 1. 0(1yy；经典的四阶龙格库塔法：),()2,2()2,2(),(226342312143211hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyynnnnnnnnnn04321kkkk，所以1)1 .0(1yy。25、数值积分公式形如10)1 ()0()1 ()0()()(fDfCBfAfxSdxxxf试确定参数DCBA,使公式代数精度尽量高；（2）设 1 , 0)(4Cxf，推导余项公式10)()()(xSdxxxfxR，并估计误差。解：将32, 1)(xxxxf分布代入公式得：201,301,207,203D
44、BBA构造 Hermite 插值多项式)(3xH满足1 , 0)()()()(33ixfxHxfxHiiii其中1,010 xx则有：103)()(xSdxxxH，22)4(3) 1(! 4)()()(xxfxHxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页20 dxxxfdxxSxfxxR2103)4(10)1(!4)( )()()(1440)(60! 4)()1(! 4)()4()4(1023)4(ffdxxxf26、用二步法),()1(),(111101nnnnnnnyxfyxfhyyy求解常微分方程的初值问题00
45、)(),(yxyyxfy时，如何选择参数,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的解：)(! 3)(! 2)()()(1 ()()(! 3)(! 2)()()()(! 3)(! 2)()()()4(3232103211,nnnnnnnnnnnnnnnnhnxyhxyhxyhxyxyhxyhxyhxyhxyxyxyhxyhxyhxyyxyR)()()21661()()1221()()11()()1(41312110hOxyhxyhxyhxynnnn所以012210011110230110主项：)(1253nxyh该方法是二阶的。27、 （10 分）已知数值积分公式为：)(
46、)0()()0(2)(20hffhhffhdxxfh，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：1)(xf显然精确成立；xxf)(时， 11 022220hhhhxdxh；2)(xxf时，1212220023322302hhhhhhhdxxh；3)(xxf时，30121024223403hhhhhdxxh；4)(xxf时，6401210255324504hhhhhhdxxh；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页21 所以，其代数精确度为3。28、 （ 8 分）已知求)0(aa的迭代
47、公式为：2 ,1 ,00)(2101kxxaxxkkk证明：对一切axkk, 2, 1，且序列kx是单调递减的，从而迭代过程收敛。证明：2 , 1 , 0221)(211kaxaxxaxxkkkkk故对一切axkk,2 , 1。又1)11(21)1 (2121kkkxaxx所以kkxx1，即序列kx是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、 （ 9 分）数值求积公式30)2()1 (23)(ffdxxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为)(xf在基点 1、2 处的插值多项式为)2(121)1 (212)(fxfxxp30)2()1(23)(ffdxxp。其代数精度为1
48、。30、(6 分 ) 写出求方程1cos4xx在区间 0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6 分)nnnxxxcos1411，n=0,1,2,141sin41xx 对任意的初值 1 , 00 x, 迭代公式都收敛。31、(12 分) 以 100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分表：100 121 144 10 11 12 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.72
49、27555 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页22 2583 xxf00163.0296151008361144115121115100115! 3 25fR32、 (10 分) 用复化 Simpson 公式计算积分10sindxxxI的近似值，要求误差限为5105. 0。0.9461458812140611fffS0.94608693143421241401212fffffS5-12210933.0151SSSI94608693.02SI或利用余项：! 9! 7! 5! 31sin8642xxxxxxxf!49
50、!275142)4(xxxf51)4(xf54)4(45105.05288012880nfnabR，2n，2SI33、(10 分 ) 用 Gauss列主元消去法解方程组：276234532424321321321xxxxxxxxx 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.00000 1.9375 9.6875 Tx0000. 5,0000.3,