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1、学习必备 欢迎下载 万有引力与航天 一、基础知识 1.开普勒定律（1）开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆形，太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上。行星的运动轨迹必有 近日点 和 远日点。（2）开普勒第二定律（面积定律）：太阳与任何一个行星的连线在 相等时间 内扫过的面积相等。行星从近日点向远日点运动时，速率变小；从远日点向近日点运动时，速率变大。（3）开普勒第三定律（周期定律）：所有行星绕太阳运行轨道半长轴 r 的立方与其公转周期 T 的二次方的比值都相等，即 r3T2=k。k 只与被环绕天体有关，与行星无关。2.万有引力定律（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，
2、引力大小 F 与物体的质量 m1和 m2的乘积 成正比，与它们之间距离 r 的平方 成反比。（2）公式：F=Gm1m2r2，引力常量 G=6.67 10-11 Nm2/kg2，它在数值上等于两个质量都是 1kg 的物体相距 1m时的相互引力。（3）适用条件：两质点间、可视为质点的物体间、质量分布均匀的球体间的作用。3.人造地球卫星（1）卫星所受到的向心力完全由万有引力提供，由 GMmr2=mv2r=m 2r=m42rT2=ma，可推导出：v=GMr、=GMr3、T=42r3GM、a=GMr2，所以当 r 增大时，v 减小、减小、T 增大、a 减小。（2）近地卫星与同步卫星：近地卫星与赤道上物体
3、的轨道半径近似相同，同步卫星的轨道半径较大。r同 r近=r物。同步卫星与赤道上物体的运行周期相同，由 T=42r3GM 知，近地卫星周期小于同步卫星。T近 T同=T物。由 a=GMr2 知同步卫星向心加速度小于近地卫星，由 a=42rT2=2r 知同步卫星向心加速度大于赤道上物体。a近 a同 a物。注：地面上物体的运动规律不同于卫星，向心力是万有引力的分力提供。（3）近地卫星的环绕速度近似为第一宇宙速度。4.宇宙速度（1）第一宇宙速度（环绕速度）：v1=7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度。（2）第二宇宙速度（脱离速度）：v2=11.2 km/s，物体挣脱地球阴历束缚需要的最小发射速
4、度。（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7 km/s，物体挣脱太阳引力束缚需要的最小发射速度。学习必备 欢迎下载 二、常规题型 例 1.（2011重庆）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆 每过 N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示该行星与地球的公转半径比为（B）A.(N+1N)23 B.(NN-1)23 C.(N+1N)32 D.(NN-1)32 由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其周期长每过 N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明从最初在日地连线的延长线上开始，每一年地球都在行星的前面比行星多转圆周的 N分之一，N年后地球转了 N圈，比行星多转 1
5、 圈，即行星转了 N-1圈，从而再次在日地连线的延长线上所以行星的周期是NN-1年，由 开 普 勒 第 三 定 律 有r地3T地2=r行3T行2=k，所以r行r地=3T行3T地2=B 答案 练习 1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（C）A.火星与木星公转周期相等 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C.太阳位于木星运行椭圆轨道的某焦点上 D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 根据开普勒第三定律r3T2=k，火星与木星的半长轴不等，所以周期不等，A错。根据开普勒第二定律，相同时间扫过面积相等，长轴短轴半径不一样，如果速度大
6、小相等，面积必然不等，B 错。根据第一定律，C对。根据开普勒第二定律，相同时间扫过面积相等，是对于同一行星来说的，D错。练习 2.（2014浙江卷）长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1 19 600 km，公转周期 T1 6.39 天.20XX 年 3 月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径 r2 48 000 km，则它的公转周期 T2最接近于(B)A 15 天 B 25 天 C 35 天 D 45 天 根据开普勒第三定律 r13T12=r23T22=k，代入数据，得 T2 约等于 25 天，B 正确 练习 3.关于公式中常量
7、 r3T2=k，下列说法中正确的是（BD）A.对于所有星球或卫星，K值都相等 B.不同星球的行星或卫星，K值不相等 C.K 值是一个与星球无关的常量 D.K 值是一个与中心星球有关的常量 是椭圆形太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上行星的运动轨迹必有近日点和远日点开普勒第二定律面积定律太阳与任何一个行星的连线在相等时间内扫过的面积相等行星从近日点向远日点运动时速率变小从远日点向近日点运动时速 有引力定律只与被环绕天体有关与行星无关内容自然界中任何两个物体都相互吸引引力大小与物体的质量和的乘积成正比与它们之间距离的平方成反比公式引力常量它在数值上等于两个质量都是的物体相距时的相互引力适用条件两 由可
8、推导出所以当增大时减小减小增大减小近地卫星与同步卫星近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同同步卫星的轨道半径较大同近同步卫星与赤道上物体的运行周期相同由物同物近由知同步卫星向心加速度小于近地卫星由知学习必备 欢迎下载 例 2.月球绕地球运转的周期为 T1，半径为 R1；地球绕太阳运转的周期为 T2，半径为 R2，则它们运动轨道 半径的三次方和周期的二次方的比，正确的是（B）A.R13T12=R23T22 B.R13T12 R23T22 C.R13T12 R23T22 D.无法确定 万有引力提供向心力，根据向心力的周期表达式可得 GMmr2=m42T2r 解得 r3T2=GM42，由于地球质量小
9、于太阳，所以 B 正确。能看得出来，中心天体质量大的，k 值大。练习 1.在牛顿发表万有引力定律一百了年之后，卡文迪许首先精确测量了引力常量 在国际单位制中引力常量的单位是（D）A.Nkg2 B.Nm2 C.Nkg2/m2 D.Nm2/kg2 练习 2.（2011上海）小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动则经过足够长的时间后，小行星运动的（A）A.半径变大 B.速率变大 C.角速度变大 D.加速度变大 质量减小、万有引力减小、向心力减小，做离心运动，所以 A正确。v=GMr M 减小、r增大、v 减小，B错。v=r，v 减
10、小，r增大，所以 减小，C错。a=GMr2，M减小、r增大，a 减小，D错。练习 3.设太阳质量为 M，某行星绕太阳公转周期为 T，轨道可视作半径为 r 的圆 已知万有引力常量为 G，则描述该行星运动的上述物理量满足（A）A.GM=42r3T2 B.GM=42r2T2 C.GM=42r2T3 D.GM=4 r3T2 万有引力提供向心力，根据周期公式 GMmr2=m42T2r 得，A正确。是椭圆形太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上行星的运动轨迹必有近日点和远日点开普勒第二定律面积定律太阳与任何一个行星的连线在相等时间内扫过的面积相等行星从近日点向远日点运动时速率变小从远日点向近日点运动时速 有引力
11、定律只与被环绕天体有关与行星无关内容自然界中任何两个物体都相互吸引引力大小与物体的质量和的乘积成正比与它们之间距离的平方成反比公式引力常量它在数值上等于两个质量都是的物体相距时的相互引力适用条件两 由可推导出所以当增大时减小减小增大减小近地卫星与同步卫星近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同同步卫星的轨道半径较大同近同步卫星与赤道上物体的运行周期相同由物同物近由知同步卫星向心加速度小于近地卫星由知学习必备 欢迎下载 例 3.20XX年 9 月 27 日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径
12、为 r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为 2r，则可以确定（AC）A.翟志刚出舱后处于完全失重状态 B.翟志刚出舱取回外挂实验样品，若样品脱手，则样品做自由落体运动 C.“神舟七号”与卫星的加速度大小之比为 4：1 D.“神舟七号”与卫星的线速度大小之比为 1：2“神舟七号”飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船上的任意两个物体都处于完全失重状态，故 A正确。样品由于惯性继续绕地球做匀速圆周运动，故 B 错误。a=GMr2，所以 a1：a2=r22：r12=4：1，C 正确。v=GMr，所以 v1：v2=r2：r1=2：1，D错。练习 1.若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则离地面越近的卫星（
13、BC）A.向心力一定越大 F=GMmr2 B.向心加速度一定越大 a=GMr2 C.线速度一定越大 v=GMr D.周期一定越大 T=42r3GM 练习 2.我国发射的“天宫一号”和“神州八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为 350km，“神州八号”的运行轨道高度为 343km 它们的运行轨道均视为圆周，则（B）A.“天宫一号”比“神州八号”速度大 B.“天宫一号”比“神州八号”周期大 C.“天宫一号”比“神州八号”角速度大 D.“天宫一号”比“神州八号”加速度大 练习 3.“天宫一号”目标飞行器在距地面约 350km的圆轨道上运行，则飞行器（B）A.速度大于 7.9km/s 第一宇宙
14、速度是绕地球做圆周运动的最大的运行速度 B.加速度小于 9.8m/s2地面附近加速度为 9.8m/s2，350km高度重力减小，故重力加速度也减小 C.运行周期为 24h T=42r3GM 轨道低于同步卫星，即半径小于同步卫星，所以周期小于 24h D.角速度小于地球自转的角速度=GMr3 轨道低于同步卫星，即半径小于同步卫星，所以角速度大于 是椭圆形太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上行星的运动轨迹必有近日点和远日点开普勒第二定律面积定律太阳与任何一个行星的连线在相等时间内扫过的面积相等行星从近日点向远日点运动时速率变小从远日点向近日点运动时速 有引力定律只与被环绕天体有关与行星无关内容自然界中
15、任何两个物体都相互吸引引力大小与物体的质量和的乘积成正比与它们之间距离的平方成反比公式引力常量它在数值上等于两个质量都是的物体相距时的相互引力适用条件两 由可推导出所以当增大时减小减小增大减小近地卫星与同步卫星近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同同步卫星的轨道半径较大同近同步卫星与赤道上物体的运行周期相同由物同物近由知同步卫星向心加速度小于近地卫星由知学习必备 欢迎下载 例 4.（2013浙江）如图所示，三颗质量均为 m的地球同步卫星等间隔分布在半径为 r 的圆轨道上，设地球质量为 M，半径为 R 下列说法正确的是（BC）A.地球对一颗卫星的引力大小为GMm(r-R)2应该用球心之间的距离，
16、不是表面 B.一颗卫星对地球的引力大小为GMmr2理由同上，正确 C.两颗卫星之间的引力大小为Gm23r2三个卫星构成等边三角形，边长 3r D.三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2根据几何关系，合力为 0 练习 1.火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆，已知火卫一的周期为 7 小时 39分，火卫二的周期为 30 小时 18 分，则两颗卫星相比（AC）A.火卫一距火星表面较近 T=42r3GM知，周期小的半径小，正确 B.火卫二的角速度较大=GMr3半径大的角速度小，错 C.火卫一的运动速度较大 v=GMr半径小的速度大，正确 D.火卫二的向心加速度较大 a=GMr2
17、半径大的加速度小，错 练习 2.如图，a、b、c 是在地球大气层外同一平面内圆形轨道上运动的三颗卫星，则（B）A.b、c 的角速度相等，且大于 a 的角速度 a 半径小，角速度更大，错 B.b、c 的周期相等，且大于 a 的周期 a 半径小，周期更小，对 C.b、c 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加速度 a 半径小，加速度大，错 D.b、c 的线速度大小相等，且大于 a 的线速度 a 半径小，速度小，错 练习 3.卫星电话信号需要通过地球卫星传送如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需要最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径为 3.8
18、 105km，运动周期约为 27 天，地球半径约为 6400km，无线电信号的传播速度为 3 108m/s）（B）A.0.1s 根据万有引力提供向心力 GMmr2=m42rT2 得 r=3GMT242，已知月球和同步卫星的 B.0.25s 周期比为 27：1，解得半径比为 9：1，所以同步卫星半径 r=3.8 105 9=4.2 104km，C.0.5s 所以，同步卫星距地面距离为 4.2 104-6400=3.56 104km，所以最小时间 D.1s t=2 3.56 104 3 108 2.5s 是椭圆形太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上行星的运动轨迹必有近日点和远日点开普勒第二定律面积定律
19、太阳与任何一个行星的连线在相等时间内扫过的面积相等行星从近日点向远日点运动时速率变小从远日点向近日点运动时速 有引力定律只与被环绕天体有关与行星无关内容自然界中任何两个物体都相互吸引引力大小与物体的质量和的乘积成正比与它们之间距离的平方成反比公式引力常量它在数值上等于两个质量都是的物体相距时的相互引力适用条件两 由可推导出所以当增大时减小减小增大减小近地卫星与同步卫星近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同同步卫星的轨道半径较大同近同步卫星与赤道上物体的运行周期相同由物同物近由知同步卫星向心加速度小于近地卫星由知学习必备 欢迎下载 例 5.我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥 1 号”设该卫
20、星的轨道是圆形的，且贴近月球表面 已知月球的质量约为地球质量的181，月球的半径约为地球半径的14，地球上的第一宇宙速度约为 7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（B）A.0.4km/s B.1.8km/s C.11km/s D.36km/s 第一宇宙速度是在近地轨道环绕的速度，半径可近似看成地球半径，万有引力提供向心力 GMmr2=mv2r 可知地球上第一宇宙速度为 v1=GMr，所以该卫星绕月球的速度即为月球的第一宇宙速度，v2=181GM 14r=29v1=29 7.9 1.8 练习 1.某同学设想驾驶一辆由火箭做动力的陆航两用汽车沿赤道行驶，并且汽车相对于地球速度可以任意增加
21、，不计空气阻力当汽军速度增加到某一值时，汽车将离开地球成为绕地球做圆周运动的“航天汽车”，则此时汽车的速度大小约为（B）A.6.1 km/s B.7.9 km/s C.8.9 km/s D.11.2 km/s 练习 2.关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是（A）A.第一宇宙速度又叫环绕速度 B.第一宇宙速度又叫逃逸速度 第二宇宙速度叫逃逸速度 C.第一宇宙速度跟地球的质量无关 v1=GMr，与地球质量和半径有关 D.第一宇宙速度跟地球的半径无关 v1=GMr，与地球质量和半径有关 练习 3.一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上已知万有引力常量 G，若由于天体自转使物体对天体表面压力
22、恰好为零，则天体自转周期为（D）A.43G B.3 4 G C.G D.3G 万有引力提供向心力，GMmr2=m42rT2，M=V=43 r3，代入得，T=3G 是椭圆形太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上行星的运动轨迹必有近日点和远日点开普勒第二定律面积定律太阳与任何一个行星的连线在相等时间内扫过的面积相等行星从近日点向远日点运动时速率变小从远日点向近日点运动时速 有引力定律只与被环绕天体有关与行星无关内容自然界中任何两个物体都相互吸引引力大小与物体的质量和的乘积成正比与它们之间距离的平方成反比公式引力常量它在数值上等于两个质量都是的物体相距时的相互引力适用条件两 由可推导出所以当增大时减小减小
23、增大减小近地卫星与同步卫星近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同同步卫星的轨道半径较大同近同步卫星与赤道上物体的运行周期相同由物同物近由知同步卫星向心加速度小于近地卫星由知学习必备 欢迎下载 三、重点难点 例 1.（2010，安徽）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于 20XX年 10 月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为 h1和 h2的圆轨道上运动时，周期分别为 T1和 T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为 G。仅利用以上数据，可以计算出（A）A 火星的密度和火星表面的重力加速度 B火星的质量和火星对“萤火一号”
24、的引力 C火星的半径和“萤火一号”的质量 D 火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力 设火星质量 M，探测器质量 m，火星半径 R，万有引力提供向心力，有 GMm(R+h1)2=m42(R+h1)T12 GMm(R+h2)2=m42(R+h2)T22，m可以约掉，两个方程，M、R两个未知数，可以求得。火星密度=M43 R3可求，g=GMR2 可求,A 正确。m不可求所以火星对“萤火一号”的引力不可求，BCD 错。练习 1.（2014，新课标）假设地球可视为质量均匀分布的球体已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引力常量为 G.地球的密度为
25、(B)A.3GT2 g0 gg0 B.3GT2 g0g0 g C.3GT2 D.3GT2g0g 两极没有自转，所受重力等于万有引力，即GMmR2=mg0，赤道的物体做圆周运动的周期等于地球自转周期 T，则GMmR2 mg=m42T2R，m可以约掉，两个方程两个未知数 M、R可求，密度=3M4 R3，代入，求得 B 正确。练习 2.（2014，广东卷）如图所示，飞行器 P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为，下列说法正确的是(AC)A 轨道半径越大，周期越长 T=42r3GM，正确 B轨道半径越大，速度越大 v=GMr，错误 C若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D 若测得周期和
26、轨道半径，可得到星球的平均密度 M=42R3GT2，如果知道张角，则该星球半径为 r=Rsin2，所以 M=42R3GT2=43(Rsin2)3，C 正确。不知道张角无法计算出星球半径，所以无法求出密度，D错。是椭圆形太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上行星的运动轨迹必有近日点和远日点开普勒第二定律面积定律太阳与任何一个行星的连线在相等时间内扫过的面积相等行星从近日点向远日点运动时速率变小从远日点向近日点运动时速 有引力定律只与被环绕天体有关与行星无关内容自然界中任何两个物体都相互吸引引力大小与物体的质量和的乘积成正比与它们之间距离的平方成反比公式引力常量它在数值上等于两个质量都是的物体相距时的相
27、互引力适用条件两 由可推导出所以当增大时减小减小增大减小近地卫星与同步卫星近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同同步卫星的轨道半径较大同近同步卫星与赤道上物体的运行周期相同由物同物近由知同步卫星向心加速度小于近地卫星由知学习必备 欢迎下载 练习 3.（2013，大纲卷）“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 200 km的圆形轨道上运行，运行周期为 127 分钟。已知引力常量 G 6.671011 Nm2/kg2，月球的半径为 1.74103 km。利用以上数据估算月球的质量约为（D）A 8.11010 kg B 7.41013 kg C5.41019 kg D 7.410
28、22 kg 由 GMm(R+h)2=m42T2(R+h),解得月球质量 M=42R3GT2,代入数据得，D正确。例 2.同步卫星离地心距离 r，运行速度为 v1，加速度为 a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a2，第一宇宙速度为 v2，地球半径为 R，则以下正确的是（AD）A.a1a2=rR B.a1a2=(rR)2 C.v1v2=rR D.v1v2=Rr 设地球质量为 M，同步卫星的质量为 m1，地球赤道上的物体质量为 m2，在地球表面附近飞行的物体的质量为 m2，a1=12r，a2=22R，1=2，所以a1a2=rR，A正确。由万有引力有 GMm1r2=m1v12r，GMm2R2=
29、m2 v22R，成反比，所以v1v2=Rr，D正确。练习 1.（2014，天津）研究表明，地球自转在逐渐变慢，3 亿年前地球自转的周期约为 22 小时假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(A)A 距地面的高度变大 B 向心加速度变大 C 线速度变大 D 角速度变大 卫星运行特点：高轨、低速、长周期，可知周期变长轨道高度变大，v、a、变小，A正确。练习 2.（2013，海南）“北斗”卫星屏声息气定位系统由地球静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的 6
30、倍和 3.4 倍，下列说法中正确的是（A）A 静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的 2 倍 B静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的 2 倍 C静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的 1/7 D 静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的 1/7 设地球半径 R，由题意知静止轨道卫星半径 r1=7R，中轨道卫星 r2=4.4R，v=GMr、=GMr3、T=42r3GM、a=GMr2，可得 A正确。是椭圆形太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上行星的运动轨迹必有近日点和远日点开普勒第二定律面积定律太阳与任何一个行星的连线在相等时间内扫过的面积相等行星从近日点向远日点运动时速率变小从远日点向近日点运
31、动时速 有引力定律只与被环绕天体有关与行星无关内容自然界中任何两个物体都相互吸引引力大小与物体的质量和的乘积成正比与它们之间距离的平方成反比公式引力常量它在数值上等于两个质量都是的物体相距时的相互引力适用条件两 由可推导出所以当增大时减小减小增大减小近地卫星与同步卫星近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同同步卫星的轨道半径较大同近同步卫星与赤道上物体的运行周期相同由物同物近由知同步卫星向心加速度小于近地卫星由知学习必备 欢迎下载 例 3.美国宇航局 20XX年 12 月 5 日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的星星“开普勒-226”，其直径约为地球的 2.4 倍。至今其确切
32、质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于（D）A.3.3 103m/s B.7.9 103m/s C.1.2 104m/s D.1.9 104m/s 设地球密度为，半径为 R，第一宇宙速度为 v1，该星球第一宇宙速度为 v2，则有 G 43 R3mR2=mv12R，G 43(2.4R)3m(2.4R)2=mv222.4R,得 v2=2.4v1=1.9 104m/s 练习 1.（2014，福建卷）若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的 p 倍，半径为地球的 q 倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的(C)A.pq倍 B.qp倍 C.pq
33、倍 D.pq3倍 由 GMmR2 mv2R可知，卫星的环绕速度 vGMR，由于“宜居”行星的质量为地球的 p 倍，半径为地球的 q倍，则有v宜v地M宜M地R地R宜p11qpq，故 C 项正确 练习 2.（2014，江苏卷）已知地球的质量约为火星质量的 10 倍，地球的半径约为火星半径的 2 倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为(A)A 3.5 km/s B 5.0 km/s C 17.7 km/s D 35.2 km/s 万有引力提供向心力，GMmR2 mv2R知 vGMR，当航天器在地球表面附近绕地球做圆周运动时有 v地 7.9 km/s，v火v地GM火R火GM地R地M火
34、M地R地R火55，故 v火55v地55 7.9 km/s 3.5 km/s，A正确 是椭圆形太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上行星的运动轨迹必有近日点和远日点开普勒第二定律面积定律太阳与任何一个行星的连线在相等时间内扫过的面积相等行星从近日点向远日点运动时速率变小从远日点向近日点运动时速 有引力定律只与被环绕天体有关与行星无关内容自然界中任何两个物体都相互吸引引力大小与物体的质量和的乘积成正比与它们之间距离的平方成反比公式引力常量它在数值上等于两个质量都是的物体相距时的相互引力适用条件两 由可推导出所以当增大时减小减小增大减小近地卫星与同步卫星近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同同步卫星的轨道
35、半径较大同近同步卫星与赤道上物体的运行周期相同由物同物近由知同步卫星向心加速度小于近地卫星由知学习必备 欢迎下载 例 4.（2012，天津）一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减小为原来的12，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（C）A.向心加速度大小之比为 4：1 B.角速度大小之比为 2：1 C.周期之比为 1：8 D.轨道半径之比为 1：2 v=GMr，速度变为12，r 变为原来的 4 倍，a=GMr2，a 变为116，=GMr3，变为18，T=42r3GM，T变为 8 倍，所以 C 正确。练习 1.（2013福建）设太阳质量为 M，某行星绕太阳公转
36、周期为 T，轨道可视作为 r 的圆，已知万有引力常量为 G，则描述该行星运动的上述物理量满足(A)A GM 23 2 4Tr B GM 22 2 4Tr C GM 32 2 4Tr D GM 23 4Tr 设行星的质量为 m，根据万有引力提供行星绕太阳运动的向心力有：FnGMmr2，根据牛顿第二定律有：Fnm42rT2，联立以上两式解得：GM 42r3T2，故选项 A正确。练习 2.（2013，广东）.如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为 M和 2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（A）A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期比乙的小 C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速
37、度比乙的大 GMmr2=mv2r=m 2r=m42rT2=ma 小结：熟记人造卫星的关系式，v=GMr、=GMr3、T=42r3GM、a=GMr2 是椭圆形太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上行星的运动轨迹必有近日点和远日点开普勒第二定律面积定律太阳与任何一个行星的连线在相等时间内扫过的面积相等行星从近日点向远日点运动时速率变小从远日点向近日点运动时速 有引力定律只与被环绕天体有关与行星无关内容自然界中任何两个物体都相互吸引引力大小与物体的质量和的乘积成正比与它们之间距离的平方成反比公式引力常量它在数值上等于两个质量都是的物体相距时的相互引力适用条件两 由可推导出所以当增大时减小减小增大减小近地卫
38、星与同步卫星近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同同步卫星的轨道半径较大同近同步卫星与赤道上物体的运行周期相同由物同物近由知同步卫星向心加速度小于近地卫星由知学习必备 欢迎下载 例 5.（2010，江苏卷）20XX年 5 月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在 A点从圆形轨道进入椭圆轨道，B 为轨道上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（ABC）A.在轨道上经过 A的速度小于经过 B 的速度 B.在轨道上经过 A的速度小于在轨道上经过 A的速度 C.在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期 D.在轨道上经过 A的加速度小于在轨道上经过 A的加速度 由 v=GMr
39、得，距离越远速度越小，A正确。飞机从轨道 I 想要进入轨道，必须在 A点加速，所以 B 正确。低轨道卫星周期小高轨道周期大可知，C 正确。由万有引力定律可知，距离一定，引力也一定，D错。练习 1.（2013，新课标）20XX年 6 曰 18 日，神州九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面 343km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是（BC）A.为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B.如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的速度可能会增加 C.如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低 D.航天员在
40、天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 受到万有引力 绕地球匀速圆周运动的卫星最大速度不能大于第一宇宙速度，A错。由于有稀薄大气，所以会有阻力，卫星速度将减小，于是万有引力大于所需向心力，做向心运动，轨道半径减小，根据 v=GMr，半径减小过程中速度不断增大，增大到向心力等于万有引力时，轨道固定，r 比之前小，速度更大，BC正确。练习 2.（2013，上海）小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后，小行星运动的（A）(A)半径变大(B)速率变大(C)角速度变大(D)加速度变大 恒星质量减小，导
41、致万有引力减小，万有引力小于向心力，行星做离心运动，轨道半径变大，A正确。v=GMr M变小，R变大，速度 v 也逐渐变小，B 错。=GMr3 角速度变小，C 错。a=GMr2 加速度变小，D错。小结：正向点火提高高度、反向点火降低高度 是椭圆形太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上行星的运动轨迹必有近日点和远日点开普勒第二定律面积定律太阳与任何一个行星的连线在相等时间内扫过的面积相等行星从近日点向远日点运动时速率变小从远日点向近日点运动时速 有引力定律只与被环绕天体有关与行星无关内容自然界中任何两个物体都相互吸引引力大小与物体的质量和的乘积成正比与它们之间距离的平方成反比公式引力常量它在数值上等于
42、两个质量都是的物体相距时的相互引力适用条件两 由可推导出所以当增大时减小减小增大减小近地卫星与同步卫星近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同同步卫星的轨道半径较大同近同步卫星与赤道上物体的运行周期相同由物同物近由知同步卫星向心加速度小于近地卫星由知学习必备 欢迎下载 例 6.（2012重庆）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为 7 1，同时绕它们连线上某点 O做匀速圆周运动由此可知，冥王星绕 O点运动的(A)A 轨道半径约为卡戎的17 B 角速度大小约为卡戎的17 C线速度大小约为卡戎的 7 倍 D 向心力大小约为卡戎的 7 倍 双星系统互相的万有引力提供各自的向心力，所以
43、D错、且 m12r1=m22r2，得 m1：m2=r2：r1，A正确。双星系统周期一样，角速度一样，B 错误。由 v=r 可知冥王星的线速度为卡戎的17，C 错。练习 1.（2013，山东）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T,经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为（B）TknA23.TknB3.TknC2.TknD.双星系统互相的万有引力提供各自的向心力
44、，Gm1m2L2=m1r142T2=m2r242T2，L=r1+r2，M=m1+m2，联立可得T2=42L3GM，当两恒星总质量变为 kM，两星距离变为 nL 时，周期 T变为 n2kT，B 正确。小结：双星问题几个重要结论，T1=T2、1=2、m1m2=r1r2、r1+r2=L、m1+m2=42L3GT2、T=2 L3G（m1+m2）是椭圆形太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上行星的运动轨迹必有近日点和远日点开普勒第二定律面积定律太阳与任何一个行星的连线在相等时间内扫过的面积相等行星从近日点向远日点运动时速率变小从远日点向近日点运动时速 有引力定律只与被环绕天体有关与行星无关内容自然界中任何两个物体都相互吸引引力大小与物体的质量和的乘积成正比与它们之间距离的平方成反比公式引力常量它在数值上等于两个质量都是的物体相距时的相互引力适用条件两 由可推导出所以当增大时减小减小增大减小近地卫星与同步卫星近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同同步卫星的轨道半径较大同近同步卫星与赤道上物体的运行周期相同由物同物近由知同步卫星向心加速度小于近地卫星由知