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1、学习必备 欢迎下载 专题：万有引力与航天 一、开普勒行星运动定律 （1）所有的行星围绕太阳运动的轨道是_,太阳处在_上，这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。（2）对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的_.这就是开普勒第二定律，又称面积定律。（3）所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值_。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。若用 R表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则kTR22（k 是一个与行星无关的量）。二、万有引力定律 1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与 成正比，与它们之间 成反比 2公式：F ，其中G Nm2/kg2，叫引力常量
2、 3适用条件：公式适用于 间的相互作用当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是 间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到 间的距离【例】1、(2009浙江高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道已知太阳质量约为月球质量的 2.7 107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的 400 倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（）A太阳引力远大于月球引力 B太阳引力与月球引力相差不大 C月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D月球对不同区域海水的吸引力大
3、小有差异 2、我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T。若以R表示月球的半径，则 A.卫星运行时的向心加速度为224TR B.卫星运行时的线速度为TR2 C物体在月球表面自由下落的加速度为224TR D月球的第一宇宙速度为TRhRR3)2（三、人造卫星 1、三种宇宙速度 宇宙 速度 数值(km/s)意 义 第一宇宙速度 7.9 卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）若 7.9 km/s v11.2 km/s，物体绕 运行(环绕速度)gRRGMv1 第二宇宙速度 11.2 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度若 11.2 km
4、/s vrvm2时,卫星向近地心的轨道运动,即做向心运动;当F引rvm2时,卫星向远地心的轨道运动,即做离心运动。变轨时应从两方面考虑：一是中心天体提供的引力 F引=2rMmG，在开始变轨时 F引不变；二是飞船所需要的向心力 F向=rvm2，可以通过以改变飞船的速度来改变它所需要的向心力，从而达到使其做向心运动或离心运动而变轨的目的。(1)当v增大时，所需向心力mv2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v GMr知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加(2)当卫星的速度突然减小时，向心力mv2r减小，即万有引力
5、大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v GMr 知 运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)是开普勒第一定律又称椭圆轨道定律对于每一个行星而言太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的这就是开普勒第二定律又称面积定律所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值这就是开普勒第三定律又称周期体都相互吸引引力的大小与成正比与它们之间成反比公式其中叫引力常量适用条件公式适用于间的相互作用当两物体间的距远大于物体本身的大小时物体可视为质点均匀的球体可视为质点是间的距一个均匀球体与球外一个质点的万可
6、视为圆轨道已知太阳质量约为月球质量的倍地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力以下说法正确的是太阳引力远大于月球引力太阳引力与月球引力相差不大月学习必备 欢迎下载 轨道 地球 轨道 Q P【例】1、如图 442 所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的 3 颗人造卫星，下列说法正确的是()Ab、c的线速度大小相等，且大于a的线速度 Bb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 Cc加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c Da卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大 2、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的
7、阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2(r2r1)，用Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上的运行周期，则()AEk2Ek1，T2T1 BEk2T1 CEk2Ek1，T2Ek1，T2T1 3、人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为 200km，远地点为 340km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径R=6370km，g=9.8m/s2）（1）飞船在椭圆轨道 1 上运行，Q为近地点，P 为远地点，当飞船运动到 P 点时点火，使飞船沿圆轨
8、道 2运行，以下说法正确的是（）A飞船在 Q点的万有引力大于该点所需的向心力 B飞船在 P点的万有引力大于该点所需的向心力 C飞船在轨道上 P点的速度小于轨道上 P的速度 D、飞船在轨道上 P点的加速度小于轨道上 P的加速度（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（）A从较低轨道上加速 B.从较高轨道上加速 C.从同一轨道上加速 D.从任意轨道上加速 考向三：“双星模型”问题 在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动如图（1）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的
9、万有引力提供向心力（2）具有相同的周期 T和角速度（3）轨道半径和质量成反比LmmmrLmmmr21122121,（4）双星总质量2324MGTL总 （其中 L为双星间距，T为周期）【例】如图 446，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧引力常量为G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.
10、已知地球和月球的质量分别为 5.98 1024 kg 和 7.35 1022 kg.求T2与T1两者平方之比(结果保留 3 位小数)考向四：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较 角速度 周期 线速度 向心加速度 向心力 m1 m2 r1 r2 O 是开普勒第一定律又称椭圆轨道定律对于每一个行星而言太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的这就是开普勒第二定律又称面积定律所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值这就是开普勒第三定律又称周期体都相互吸引引力的大小与成正比与它们之间成反比公式其中叫引力常量适用条件公式适用于间的相互作用当两物体间的距远大于物体本身的大小时物体可视为质点均
11、匀的球体可视为质点是间的距一个均匀球体与球外一个质点的万可视为圆轨道已知太阳质量约为月球质量的倍地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力以下说法正确的是太阳引力远大于月球引力太阳引力与月球引力相差不大月学习必备 欢迎下载 赤道上 自1 自TT 1 Rv11 Ra211 11maF 近地卫星上 32RGM GMRT3224 12宇vRGM g22RGMa mgmaF22 同步卫星上 自3 33h)(RGM 自TT 3 GMRT323)h(4)(33hRv hRGM3)(233hRa 23)(hRGMa 33maF 同物比较 231 231T
12、TT 1231宇vvvv gaaa231 mgFFF231 【例】如图，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则()Av1v2v3 Bv1v2a2a3 Da1a3a2 考向五：万有引力与抛体运动的综合（万有引力与牛顿运动定律的综合）关键是：重力加速度 g（1）由黄金代换得 g （2）由抛体运动或牛顿运动定律得 g 【例】我国在 20XX年实现探月计划“嫦娥工程”同学们也对月球有了更多的关注 (1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T
13、，月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月 考向六：环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题 1、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到再次相距最近所需最短时间：据2t-小大则小大2t，而T2 则小大小大TTTTt 2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）所需最短时间：据t-小大则小大t，而T2 则小大小大TTTTt2【例 10】两颗卫星在同一轨
14、道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为 3R，则：(1)a、b两卫星周期之比TaTb是多少？(2)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？是开普勒第一定律又称椭圆轨道定律对于每一个行星而言太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的这就是开普勒第二定律又称面积定律所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值这就是开普勒第三定律又称周期体都相互吸引引力的大小与成正比与它们之间成反比公式其中叫引力常量适用条件公式适用于间的相互作用当两物体间的距远大于物体本身的大小时物体可视为质点均匀的球体可视为质点是间的距
15、一个均匀球体与球外一个质点的万可视为圆轨道已知太阳质量约为月球质量的倍地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力以下说法正确的是太阳引力远大于月球引力太阳引力与月球引力相差不大月学习必备 欢迎下载 图 447 【课时训练】1对万有引力定律的表达式FGm1m2r2，下列说法正确的是（）A公式中G为常量，没有单位，是人为规定的 Br趋向于零时，万有引力趋近于无穷大 C两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关 D两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力 2已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的 6 倍若某行
16、星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的 2.5 倍，则该行星的自转周期约为 ()A6 小时 B12 小时 C 24 小时 D 36 小时 3在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图 447 所示下列说法正确的是()A宇航员相对于地球的速度介于 7.9 km/s与 11.2 km/s之间 B若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，小球将落到“地面”上 C宇航员将不受地球的引力作用 D宇航员对“地面”的压力等于零 4“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行
17、速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 Ar、v都将略为减小 Br、v都将保持不变 Cr将略为减小，v将略为增大 D r将略为增大，v将略为减小 5天文学上曾出现几个行星与太阳在同一直线上的现象，假设地球和火星绕太阳的运动是匀速圆周运动，周期分别是T1和T2，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一水平面上若在某时刻地球和火星都在太阳的一侧，三者在一条直线上，那么再次出现这种现象(已知地球离太阳较近，火星较远)所需要的时间是（）AT1T22 BT1T2 C T21T222 DT1T2T2T1 6已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，不考虑地球自转的影响。（1）推到第一宇宙
18、速度v1的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期 T。7如图所示，火箭内平台上放有测试仪，火箭从地面启动后，以加速度g2竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的1718.已知地球半径为 R，求火箭此时离地面的高度(g 为地面附近的重力加速度)是开普勒第一定律又称椭圆轨道定律对于每一个行星而言太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的这就是开普勒第二定律又称面积定律所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值这就是开普勒第三定律又称周期体都相互吸引引力的大小与成正比与它们之间成反比公式其中叫引力常量适用条件公式适用于
19、间的相互作用当两物体间的距远大于物体本身的大小时物体可视为质点均匀的球体可视为质点是间的距一个均匀球体与球外一个质点的万可视为圆轨道已知太阳质量约为月球质量的倍地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力以下说法正确的是太阳引力远大于月球引力太阳引力与月球引力相差不大月学习必备 欢迎下载 8如右图，质量分别为 m和 M的两个星球 A和 B在引力作用下都绕 O点做匀速周运动，星球 A和 B两者中心之间距离为 L。已知 A、B的中心和 O三点始终共线，A和 B分别在 O的两侧。引力常数为 G。求两星球做圆周运动的周期。在地月系统中，若忽略其它星球
20、的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A和 B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期 T2。已知地球和月球的质量分别为5.981024kg 和 7.35 1022kg。求 T2与 T1两者平方之比。（结果保留 3 位小数）是开普勒第一定律又称椭圆轨道定律对于每一个行星而言太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的这就是开普勒第二定律又称面积定律所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值这就是开普勒第三定律又称周期体都相互吸引引力的大小与成正比与它们之间成反比公式其中叫引力常量适用条件公式适用于间的相互作用当两物体间的距远大于物体本身的大小时物体可视为质点均匀的球体可视为质点是间的距一个均匀球体与球外一个质点的万可视为圆轨道已知太阳质量约为月球质量的倍地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力以下说法正确的是太阳引力远大于月球引力太阳引力与月球引力相差不大月