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1、20132013 年安徽高考文科数学试题及答案年安徽高考文科数学试题及答案详细解析一选择题选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，若复数10()3aaRi是纯虚数，则a的值为（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】D【解析】iaiaiaiiaiiiaia)3()3(10)3(109)3(10)3)(3()3(103102，所以a=3，故选择D【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.（2）已知|10,2,1,0,1Ax xB ，则()RC AB（）（A）2,1（B）2（C）1,
2、0,1（D）0,1【答案】A【解析】A：1x，1|xxACR，2,1)(BACR，所以答案选A【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A）34（B）16（C）1112（D）2524【答案】C【解析】21210,0,2ssn；434121,21,4ssn；12116143,43,6ssn1211,8sn，输出所以答案选择C【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.（4）“(21)0 xx”是“0 x”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】210,0)12(
3、或xxx，所以答案选择B【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（A）23(B)25(C)35（D）910【答案】D【解析】总的可能性有 10 种，甲被录用乙没被录用的可能性 3 种，乙被录用甲没被录用的可能性3 种，甲乙都被录用的可能性 3 种，所以最后的概率333110p【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.（6）直线2550 xy 被圆22240 xyxy截得的弦长为（A）1（B）2（C）4（D）4 6【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的
4、距离1+4-5+5=15d，半径5r，所以最后弦长为222(5)14.【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.（7）设nS为等差数列 na的前n项和，8374,2Sa a，则9a=（A）6（B）4（C）2（D）2【答案】A【解析】188333636978()4420226aaSaaaaaadaad 【考点定位】考查等差数列通项公式和前 n 项公式的应用，以及数列基本量的求解.(8)函数()yf x的图像如图所示，在区间,a b上可找到(2)n n 个不同的数12,nx xx，使得1212()()()nnf xf xf xxxx，则n的取值范围为(A)2,3
5、(B)2,3,4(C)3,4(D)3,4,5【答案】B【解析】1111()()00f xf xxx表示11(,()xf x到原点的斜率；1212()()()nnf xf xf xxxx表示1122(,()(,()(,()nnxf xxf xxf x，与原点连线的斜率，而1122(,()(,()(,()nnxf xxf xxf x，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有 3 个，故选 B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.(9)设ABC的内角,A B C所对边的长分别为,a b c，若2,3sin5sinbcaAB,则角C=(A)3(B)23(C)3
6、4(D)56【答案】B【解析】BAsin5sin3由正弦定理，所以baba35,53即；因为acb2，所以ac37，212cos222abcbaC，所以32C，答案选择 B【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.（1）已知函数32()f xxaxbxc有两个极值点12,x x，若112()f xxx，则关于x的方程23()2()0f xaf xb的不同实根个数为（A）3(B)4(C)5(D)6【答案】A【解析】2()32fxxaxb，12,x x是方程2320 xaxb的两根，由23()2()0f xaf xb，则又两个()f x使得等式成立，11()xf x，211()xxf x，
7、其函数图象如下：如图则有 3 个交点，故选 A.【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.2.填空题（11）函数21ln(1)1yxx的定义域为_.【答案】0,1【解析】2110011011xxxxx 或，求交集之后得x的取值范围0,1【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于 0，分母不为 0，偶次根式底下大于等于0.（12）若非负数变量,x y满足约束条件124xyxy，则xy的最大值为_.【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404zxy，取得最大值.【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z取最
8、大.（13）若非零向量,a b 满足32abab，则,a b 夹角的余弦值为_.【答案】13【解析】等式平方得：2222944ababa b 则22244|cosaaba b ，即22044 3|cosbb 得1cos3【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.（14）定义在R上的函数()f x满足(1)2()f xf x.若当01x时。()(1)f xxx，则当10 x 时，()f x=_.【答案】(1)()2x xf x【解析】当10 x，则01 1x，故(1)(1)(11)(1)f xxxx x 又(1)2()f xf x，所以(1)()2x xf x【考点定位】考查
9、抽象函数解析式的求解.（15）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点,A P Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。当102CQ时，S为四边形当12CQ 时，S为等腰梯形当34CQ 时，S与11C D的交点R满足113C R 当314CQ时，S为六边形当1CQ 时，S的面积为62【答案】【解析】（1）12CQ，S 等腰梯形，正确，图如下：（2）1CQ，S 是菱形，面积为36222，正确，图如下：（3）34CQ，画图如下：113C R，正确（4）314CQ，如图是五边形，不正确；（5）102CQ
10、，如下图，是四边形，故正确【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。3.解答题（16）（本小题满分 12 分）设函数()sinsin()3f xxx.（）求()f x的最小值，并求使()f x取得最小值的x的集合；（）不画图，说明函数()yf x的图像可由sinyx的图象经过怎样的变化得到.【解析】（1）3sincos3cossinsin)(xxxxfxxxxxcos23sin23cos23sin21sin)6sin(3)6sin()23()23(22xx当1)6sin(x时，3)(minxf，此时)(,234,2236Zkkxkx所以，)(xf的最小值为3，此时x的集合,2
11、34|Zkkxx.(2)xysin横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得xysin3；然后xysin3向左平移6个单位，得)6sin(3)(xxf【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.（17）（本小题满分 12 分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲乙745533253385543331006069112233586622110070022233669754428115582090（）若
12、甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60 分及 60 分以上为及格）；（）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x，估计12xx的值.【解析】（1）30300.056000.05nn255306p（2）1740 1350 42460 92670 92280 5290 230 x =2084302540 1450 3 1760 103370 102080 59030 x =2069302120842069150.5303030 xx【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计
13、总体的思想性以及数据分析处理能力.（18）（本小题满分 12 分）如 图，四 棱 锥PABCD的 底 面ABCD是 边 长 为 2 的 菱 形，60BAD.已 知2,6PBPDPA.（）证明：PCBD（）若E为PA的中点，求三菱锥PBCE的体积.【解析】（1）证明：连接,BD AC交于O点PBPDPOBD又 ABCD是菱形BDAC而ACPOOBD面PAC BDPC(2)由（1）BD面PAC45sin3262121PACPECSS=32236111132322P BECB PECPECVVSBO【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理
14、论证能力和运算能力.（19）（本小题满分 13 分）设数列 na满足12a，248aa,且对任意*nN，函数1212()()cos-sinnnnnnf xaaaxax ax满足()02f()求数列 na的通项公式；（）若122nnnaba（），求数列 nb的前n项和nS.【解析】由12a 248aa1212()()cos-sinnnnnnf xaaaxax ax1212-sin-cosnnnnnfxaaaax ax（）121()-02nnnnfaaaa所以，122nnnaaa na是等差数列.而12a 34a 1d 2-1 11nann（）（2）111122121222nnnannbann（）
15、（）（）111-2 2122121-2nnnnS（）（）21=31-2131-2nnn nnn（）【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.（1）（本小题满分 13 分）设函数22()(1)f xaxax，其中0a，区间|()0Ix f x.（）求I的长度（注：区间(,)的长度定义为；（）给定常数0,1k，当11kak 时，求I长度的最小值.【解析】（1）令2()-10f xx aax（）解得10 x 221axa2|01aIxxa I的长度212-1axxa（2）0,1k 则0112kak 由（1）21aIa22210(1
16、)aIa，则01a故I关于a在(1,1)k上单调递增，在(1,1)k上单调递减.1221-1-2211-kkIkkk22111kIk（）min21-22kIkk【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.（21）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为 4，且过点(23)P，.（）求椭圆C的方程；（）设0000(,)(0)Q xyx y 为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点(0,2 2)A,连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D。点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.【解析】（1）因为椭圆过点(23)P，22231ab且222abc28a 24b 24c 椭圆 C 的方程是22184xy（2）由题意，各点的坐标如上图所示，则QG的直线方程：0000808xxyyxx化简得20000(8)80 x y xxyy又220028xy，所以00280 x xy y带入22184xy求得最后0 所以直线QG与椭圆只有一个公共点.【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力.