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1、第一节分类加法计数原理与分步第一节分类加法计数原理与分步乘法乘法 计数计数原理原理第十一第十一章章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的意义.2.会用这两个计数原理解决一些简单的实际问题.1.分类加法计数原理2.分步乘法计数原理3.两个计数原理的综合应用1.数学建模2.逻辑推理3.数学运算强强基础基础 增增分策略分策略1.两个计数原理 名称类类独立,不重不漏分类加法计数原理步步相依,缺一不可分步乘法计数原理条件完成一件事,可以有.在第一类办法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法,在第
2、n类办法中有mn种方法完成一件事需要经过,做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法,做第n步有mn种方法结论完成这件事共有N=m1+m2+mn种方法完成这件事共有N=m1m2mn种方法依据能否独立完成整个事件能否逐步完成整个事件n类办法n个步骤微点拨1.分类加法计数原理中的每类方法都能独立完成这件事;各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.2.分步乘法计数原理中的每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,只有各个步骤都完成了才能完成这件事;各步之间是相互依存的,并且既不能重复也不能遗漏.2.两个计数原理的区别与联系 名称分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方
3、法种数不同点分类、相加分步、相乘每类办法中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一分分类加法加法计数原理数原理典例突破例1.(1)三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有()A.4种B.6种C.10种D.16种(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)B(2)240解析:(1)分两类:甲第一次踢
4、给乙时,满足条件的有3种传递方式(如图),同理,甲先传给丙时,满足条件的也有3种传递方式.由分类加法计数原理可知,共有3+3=6(种)传递方式.(2)若a2=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0,“凸数”为120与121,共2个.若a2=3,则百位数字有两种选择,个位数字有三种选择,则“凸数”有23=6(个).若a2=4,满足条件的“凸数”有34=12(个),若a2=9,满足条件的“凸数”有89=72(个).故所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧使用分类加法计数原理应遵循的原则分类的标准可能有多个,但不论是以哪一
5、个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则,且完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,不能同时属于两类.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练1(1)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数为.(2)已知椭圆的焦点在y轴上,且m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)36(2)20解析:(1)按十位数字分类,十位可为1,2,3,4,5,6,7,8,共分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个,则共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)两位
6、数.(2)焦点在y轴上的椭圆满足mm的n有6种选择;第二类:当m=2时,使nm的n有5种选择;第三类:当m=3时,使nm的n有4种选择;第四类:当m=4时,使nm的n有3种选择;第五类:当m=5时,使nm的n有2种选择.由分类加法计数原理知,符合条件的椭圆共有20个.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二分步乘法分步乘法计数原理数原理典例突破例2.(1)(2021甘肃兰州一模)两位同学同时去乘坐地铁,一列地铁有6节车厢,两人进入车厢的方法共有()A.15种B.30种C.36种D.64种(2)(2021陕西咸阳二模)已知集合M=5,N=2,4,Q=1,2,5,从集合M,N,Q中各取一个
7、元素依次作为空间直角坐标系O-xyz中向量a的横坐标x,纵坐标y和竖坐标z,则可确定不同向量a的个数为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)C(2)6解析:(1)根据题意,第一位同学进入车厢,可以在6节车厢中任选1个,有6种选法,同理,第二位同学进入车厢,有6种选法,则两人进入车厢的方法共有66=36(种).(2)集合M=5只有一个元素,因此横坐标为5一种情况,N=2,4有两个元素,因此纵坐标为2或4两种情况,Q=1,2,5有三个元素,因此竖坐标为1或2或5三种情况,由分步乘法计数原理得,共有123=6(种)选择方法,故可确定不同向量a的个数为6.考点一考点一考点二考点二考点三考点
8、三突破技巧利用分步乘法计数原理的原则利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件发生的过程合理分步,并且分步必须满足两个条件:一是完成一件事的各个步骤是相互依存的,二是只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练2(1)(2021辽宁铁岭六校一模)某校有4个社团向高一学生招收新成员,现有3名同学,每人只选报1个社团,恰有2个社团没有同学选报的报法有种.(2)某人想从01至10的编号中选3个连续的号,从11至20的编号中选2个连续的号,从21至30的编号中选1个号,从31至36的编号中选1个号,共有选法的种数为()A.1680元B.3360元C.2160元D.4
9、320元(3)(2021江苏高考模拟)下图是某项工程的网络图,则从开始节点到终止节点的路径共有()A.14条B.12条C.9条D.7条考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)36(2)D(3)B解析:(1)由题意只有2个社团有人报名,完成选报社团分3步进行:第一步先在4个社团中任选2个,有6种选法,第二步将3名学生分为2组,有3种分法,第三步将2组学生分到两个社团,有2种情况,由分步乘法计数原理,得恰有2个社团没有同学选报的报法有632=36(种).考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)从01至10中选3个连续的号有8种选法;从11至20中选2个连续的号有9种选法;从21至30中选
10、1个号有10种选法;从31至36中选1个号有6种选法.由分步乘法计数原理,知共有89106=4320(种)选法,要花43202=8640(元).(3)由图可知,由有3条路径,由有2条路径,由有2条路径,根据分步乘法计数原理可得从共有322=12(条)路径.故选B.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三两个两个计数原理的数原理的综合合应用用(多考向探究多考向探究)考向考向1.与数字有关的与数字有关的问题典例突破例3.从集合1,2,3,4,10中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有个.答案:32解析:由题意,将和等于11的数放在一组:1和10,2
11、和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个数,分别有2种情况,则共有22222=32(个)子集.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.与几何有关的与几何有关的问题典例突破例4.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有()A.8种B.12种C.16种D.20种答案:B解析:正方体共有3组对面互不相邻.与正方体的每组对面相邻的面有4个,所以有34=12(种)选法.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向3.与涂色、种植有关的与涂色、种植有关的问题典例突破例5.用5种不同颜色给图中A,B,C,D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则不同的涂
12、色方法种数为()A.120B.160C.180D.240答案:C解析:根据题意,可分步进行,区域A有5种涂法,B有4种涂法,D有3种涂法,C有3种涂法,所以共有5433=180(种)不同的涂色方法.故选C.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向4.与与实际生活有关的生活有关的问题典例突破例6.(2021云南昆明一模)小华在学校里学习了二十四节气歌,打算在网上搜集一些与二十四节气有关的诗,他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气,若冬季节气和春季节气各至少选出1个,则小华选取节气的不同方法种数是()A.90B.
13、180C.220D.360考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:B解析:选取节气分2类方法,第一类选2个冬季节气和1个春季节气,第二类选1个冬季节气和2个春季节气.在第一类中又分两步完成,第一步选出2个冬季节气有15种选法,第二步选出1个春季节气有6种选法,由分步乘法计数原理得共有156=90(种)选法,同理第2类也有90种选法,由分类加法计数原理得小华选取节气的不同方法共有90+90=180(种).考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧求解较为复杂计数问题的方法技巧 考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练3(1)甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,0,2,1,5,
14、为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为()A.5B.24C.32D.64(2)(2021安徽滁州期末)在“学宪法、讲宪法”活动中,将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到A,B,C,D四个班级进行宣讲,每个班级分配一位老师.若甲不分配到A班,丁不分配到D班,则分配方案的种数为()A.12B.14C.16D.24考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)D(2)B解析:(1)5日至9日,即5,6,7,8,9,有3天奇数日,2天偶数日,第一步安排
15、奇数日出行,每天都有2种选择,共有23=8(种);第二步安排偶数日出行分两类:第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有22=4(种),第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,共有22=4(种),共计4+4=8(种).根据分步计数原理,不同的用车方案种数为88=64.故选D.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)根据题意,分2类情况进行分配:若甲分配到D班,剩下三人分配到A,B,C三个班,共有321=6(种)情况,若甲不分配到D班,甲的分配方法有2种,丁不能分配到D班,其分配方法有2种,剩下2人安排到剩下的2个班级,有2种分配方法,此时有222=8(种)分配方法.则一共有6+8=14(种)不同的分配方法,故选B.