2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇08 函数的极值含解析.pdf

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1、2023年 高 考 数 学 专 项 练 习 导 数 解 密 通 关 基 础 篇 专 题 0 8 函 数 的 极 值 1.函 数 的 极 小 值：函 数 y=/(x)在 点 X=a 的 函 数 值/3)比 它 在 点 X=xo附 近 其 他 点 的 函 数 值 都 小，/(xo)=o；而 且 在 点 彳=羽 附 近 的 左 侧/(x)0.贝 ko叫 做 函 数 y=/&)的 极 小 值 点，TUo)叫 做 函 数 y=/w 的 极 小 值.如 图 1.2.函 数 的 极 大 值:函 数 y=/(x)在 点 X=X0的 函 数 值/的)比 它 在 点 X=xo附 近 其 他 点 的 函 数 值 都

2、 大，,，(xo)=o；而 且 在 点 x=xo附 近 的 左 侧 ra)o,右 侧 ra)o.则 均 叫 做 函 数 y=/u)的 极 大 值 点，式 M)叫 做 函 数)，=式 幻 的 极 大 值.如 图 2.3.极 小 值 点、极 大 值 点 统 称 为 极 值 点，极 小 值 和 极 大 值 统 称 为 极 值.对 极 值 的 深 层 理 解：,t(1)极 值 点 不 是 点；一/A 极 值 是 函 数 的 局 部 性 质；一.二,二 一。L O 工：H N#X(2)按 定 义，极 值 点 汨 是 区 间”，刈 内 部 的 点(如 图)，不 会 是 端 点 a,b-,(3)若 火 x)

3、在(a,份 内 有 极 值，那 么 y(x)在(a,力 内 绝 不 是 单 调 函 数，即 在 区 间 上 单 调 的 函 数 没 有 极 值.(4)根 据 函 数 的 极 值 可 知 函 数 的 极 大 值 人 粉)比 在 点 xo附 近 的 点 的 函 数 值 都 大，在 函 数 的 图 象 上 表 现 为 极 大 值 对 应 的 点 是 局 部 的“高 峰”；函 数 的 极 小 值 火 xo)比 在 点 冽 附 近 的 点 的 函 数 值 都 小，在 函 数 的 图 象 上 表 现 为 极 小 值 对 应 的 点 是 局 部 的“低 谷 一 个 函 数 在 其 定 义 域 内 可 以 有

4、 许 多 极 小 值 和 极 大 值，在 某 一 点 处 的 极 小 值 也 可 能 大 于 另 一 个 点 处 的 极 大 值，极 大 值 与 极 小 值 没 有 必 然 的 联 系，即 极 小 值 不 一 定 比 极 大 值 小，极 大 值 不 一 定 比 极 小 值 大；(5)使/(x)=0的 点 称 为 函 数,穴 彳)的 驻 点，可 导 函 数 的 极 值 点 一 定 是 它 的 驻 点.驻 点 可 能 是 极 值 点，也 可 能 不 是 极 值 点.例 如 式 外 二 X3的 导 数/CO U B J C2在 点 x=0 处 有/(0)=0,即 x=0 是 凡 1)=?的 驻 点，

5、但 从 危)在(-8,+oo)上 为 增 函 数 可 知，x=0 不 是 其 x)的 极 值 点.因 此 若/(均)=0,则 xo不 一 定 是 极 值 点，即/(沏)=0 是 r)在 X=JC O处 取 到 极 值 的 必 要 不 充 分 条 件，函 数 y=/(x)的 变 号 零 点，才 是 函 数 的 极 值 点；(6)函 数 x)在 a,b l 上 有 极 值，极 值 也 不 一 定 不 唯 一.它 的 极 值 点 的 分 布 是 有 规 律 的，如 上 图，相 邻 两 个 极 大 值 点 之 间 必 有 一 个 极 小 值 点，同 样 相 邻 两 个 极 小 值 点 之 间 必 有

6、一 个 极 大 值 点.一 般 地，当 函 数 式 X)在 a,b 上 连 续 且 有 有 限 个 极 值 点 时，函 数 负 x)在 a,b 内 的 极 大 值 点、极 小 值 点 是 交 替 出 现 的.考 点 一 根 据 函 数 图 象 判 断 极 值【方 法 总 结】由 图 象 判 断 函 数 y=/(x)的 极 值(1)y=/(x)的 图 象 与 X轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 X0，可 得 函 数 y=y(x)的 可 能 极 值 点 X0；(2)如 果 在 冽 附 近 的 左 侧 T(x)0,右 侧 F(x)=的 图 象 如 图 所 示(其 中/(X)是 定 义 域 为 R

7、的 函 数/()的 导 函 数)，则 以 下 说 法 错 误 的 是()A./(l)=/(-l)=O B.当 x=-l 时，函 数/(x)取 得 极 大 值 C.方 程 小 x)=0与 x)=0均 有 三 个 实 数 根 D.当 x=l时，函 数 版)取 得 极 小 值(5)(多 选)函 数)，=式 劝 导 函 数 的 图 象 如 图 所 示，则 下 列 选 项 正 确 的 有()A.(1,3)为 函 数 y=/(x)的 递 增 区 间 C.函 数 y=y(x)在 x=0处 取 得 极 大 值 B.(3,5)为 函 数)，=/(x)的 递 减 区 间 D.函 数 在 x=5处 取 得 极 小

8、值(6)(2018.全 国 III)函 数 y=一 炉+/+2的 图 象 大 致 为(【对 点 训 练】A.I1.如 图 是/(x)的 导 函 数 的 图 象,B.2 D.42.设 函 数/(x)在 R 上 可 导，其 导 函 数 为 八)，且 函 数 g(x)=(x)的 图 象 如 图 所 示，则 下 列 结 论 中 一 定 成 立 的 是()A.y(x)有 两 个 极 值 点 B.*0)为 函 数 的 极 大 值 C.y(x)有 两 个 极 小 值 D.1)为 成 x)的 极 小 值 3.已 知 函 数/(x)=x3+加+cx的 图 象 如 图 所 示，则 x2+x2等 于()5.(多 选

9、)函 数 y=r)的 导 函 如 的 图 象 如 图 所 示，则 以 下 命 题 错 误 的 是()A.-3是 函 数 y=r)的 极 值 点 B.1是 函 数 y=_/(x)的 最 小 值 点 C.y=/(x)在 区 间(-3,1)上 单 调 递 增 D.y=_/(x)在 x=0处 切 线 的 斜 率 小 于 零 考 点 二 求 已 知 函 数 的 极 值【方 法 总 结】求 函 数 的 极 值 或 极 值 点 的 步 骤(1)确 定 函 数 的 定 义 域；(2)求 导 数/；(3)解 方 程/(x)=0,求 出 函 数 定 义 域 内 的 所 有 根：检 查 广 在 方 程/(x)=0的

10、 根 的 左 右 两 侧 的 符 号.如 果 左 正 右 负，那 么;(X)在 这 个 根 处 取 得 极 大 值；如 果 左 负 右 正，那 么 x)在 这 个 根 处 取 得 极 小 值.【例 题 选 讲】例 1(1)函 数/W)=x2ef的 极 大 值 为，极 小 值 为.2(2)设 函 数 段)=q+lm:,贝 l j()A.为 A幻 的 极 大 值 点 B.x=T为 人 幻 的 极 小 值 点 C.x=2为/)的 极 大 值 点 D.x=2为/U)的 极 小 值 点 x(3)已 知 函 数/5)=24e)瓜 1丁 则 儿 1)的 极 大 值 点 为()A.1 B.1 C.e D.2e

11、e(4)已 知 e为 自 然 对 数 的 底 数，设 函 数/a)=(e，-la-l)比:=1,2),贝 1()A.当=1 时，段)在 x=l处 取 到 极 小 值 B.当%=1 时，段)在 x=l处 取 到 极 大 值 C.当 左=2时，危)在 x=l处 取 到 极 小 值 D.当%=2 时，/)在 x=l处 取 到 极 大 值(5)若 x=-2是 函 数/(=+依-l)e*r的 极 值 点，则/(x)的 极 小 值 为()A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1 设/(x)为 函 数/(x)的 导 函 数，已 知 疗(犬)+状 x)=lnx,X1)=2,则 下 列 结 论 不 正 确

12、 的 是()A.碉 x)在(0,+oo)上 单 调 递 增 B.犹 x)在(0,+oo)上 单 调 递 减 C.状 x)在(0,+8)上 有 极 大 值;D.在(0,+8)上 有 极 小 值 g 例 2 给 出 定 义：设 了(X)是 函 数 y=兀)的 导 函 数，/(x)是 函 数/V)的 导 函 数，若 方 程/3=0 有 实 数 解 xo，则 称 点(知，於 0)为 函 数 y=/(x)的 拐 点.已 知 y(x)=ax+小 siiucosx.求 证：函 数 y=_/(x)的 拐 点 M(xo，%)在 直 线 y=ar上；(2)xG(0,2兀)时，讨 论 次 x)的 极 值 点 的 个

13、 数.例 3(2021 天 津 高 考 节 选)已 知 a 0,函 数/(x)=ar-xe.(1)求 函 数 y=/(x)在 点(0,负 0)处 的 切 点 的 方 程；证 明 於)存 在 唯 一 极 值 点.【对 点 训 练】1.函 数/伏）=标 一 X也 苫 的 极 值 是（）A-B.2e e2.函 数/U）=（x21）2+2的 极 值 点 是（）A.x=i B.x=-13.函 数/（x）=%2+in X2x的 极 值 点 的 个 数 是（A.0 B.1C.eC.%=1 或-1 或 0)C.2D.e2D.x=0D.无 数 4.函 数 危 0=（3 一%一 1）式 其 e=2.718是 自

14、然 对 数 的 底 数）的 极 值 点 是；极 大 值 为 5.已 知 函 数 信）=以 3法+2的 极 大 值 和 极 小 值 分 别 为 M,m,则 M+/n=（）A.0 B.1 C.2 D.46.若 X=-2是 函 数 凡）=$3-4入 2 您+1的 一 个 极 值 点，则 函 数）的 极 小 值 为（）A.y B.C.t D.当 7.已 知 函 数/U）=21nx+ox23x在 1=2处 取 得 极 小 值，则 次 0的 极 大 值 为（）A.2 B.C.3+ln 2 D.-2+21n 28.已 知 函 数/（x）=xlru,则（）A./U）的 单 调 递 增 区 间 为（e,+oo）

15、c.当 x c（o,i 时,y（x）有 最 小 值 一：B.凡）在（0,上 是 减 函 数 D.y w 在 定 义 域 内 无 极 值 9.（多 选）已 知 函 数/0=最，则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.函 数/U）存 在 两 个 不 同 的 零 点 B.函 数 八 x）既 存 在 极 大 值 又 存 在 极 小 值 C.当 一 e&W0时，方 程/U）=A有 且 只 有 两 个 实 根 D.若+8）时，40max=V，贝 卜 的 最 小 值 为 210.若 函 数 Z（x）=（l）（炉+依+6）的 图 象 关 于 点（一 2,0）对 称，X”X2分 别 是/（X）的 极 大 值

16、点 与 极 小 值 点,则 冷 一 乃=11.已 知 函 1)一；ex2,a l,k eZ),已 知 x=Z:是 函 数 Ax)的 极 大 值 点，贝 味=.(4)设 函 数/(x)=lnx-T办 2-法，若 x=l是/U)的 极 大 值 点，贝 必 的 取 值 范 围 为.(5)若 函 数 形)=等 一(l+2a)x+21nx(a0)在 区 间，有 极 大 值，则“的 取 值 范 围 是()A.B.(1,+8)C.(1,2)D.(2,+8)(6)若 函 数/)=/x+Hnx在 1,+8)上 有 极 值 点，则 实 数 的 取 值 范 围 为；(7)已 知 函 数/(x)=x(lnx-ox)有

17、 两 个 极 值 点,则 实 数 a的 取 值 范 围 是.(8)(2021全 国 乙)设 存 0,若 x=a为 函 数 危 0=。一。)2。一 份 的 极 大 值 点，则()A.ab C.aba2 D.abxi2一 2 例 2 已 知 曲 线/(x)=xeJ ar3or2,a R.当 a=0时，求 曲 线 y=/(x)在 点(1,4)处 的 切 线 方 程；(2)若 函 数 y=/(x)有 三 个 极 值 点，求 实 数 的 取 值 范 围.【对 点 训 练】1.若 函 数 Ax)=(x+n)e*的 极 值 点 为 1,则=()A.-2 B.-1 C.0 D.12.已 知 函 数 Z(x)=

18、x(xc)2在 x=2处 有 极 小 值，则 实 数 c的 值 为()A.6 B.2 C.2或 6 D.03.己 知 函 数/伏)=av3+bx2+cx-17(m b,cR)的 导 函 数 切(x),/(x)式 的 解 集 为 x|-2能 3,若 於)的 极 小 值 等 于 一 98,则“的 值 是()8 1A.-22 B.C.2 D.54.若 函 数 代 工)=如 一 252+工 有 极 值 点，则 实 数 c的 取 值 范 围 为.5.设 Q R,若 函 数 x R 有 大 于 零 的 极 值 点，则 实 数。的 取 值 范 围 是.6.若 函 数/)=(2)依-2)*5*2+2*在(；，

19、1)上 有 极 大 值，则 实 数 的 取 值 范 围 为()A.(正，e)B.(枳，2)C.(2,e)D.(e,+oo)Y7.己 知 函 数 ax在(1,+8)上 有 极 值，则 实 数。的 取 值 范 围 为()A.(-00)1 B.1一 8,J C.(0,1 D.0,18.若 函 数/U)=/x+alnx有 极 值，则 实 数 的 取 值 范 围 是.9.若 函 数/(x)=N+3 l)xalnx存 在 唯 一 的 极 值，且 此 极 值 不 小 于 1,则 实 数 a的 取 值 范 围 为.10.已 知 函 数/(x)=xlnx+炉(e为 自 然 对 数 的 底 数)有 两 个 极 值

20、 点，则 实 数，”的 取 值 范 围 是.11.已 知 函 数/(犬)=犬 111 一%2一 标 有 两 个 极 值 点，则 实 数”的 取 值 范 围 是.Y12.已 知 函 数 a.苟 有 两 个 零 点，则 实 数 的 取 值 范 围 是()CXA.0,1)B.(0,1)C.(0,)D.0,5专 题 0 8 函 数 的 极 值 1.函 数 的 极 小 值：函 数 y=Ax)在 点 彳=为 的 函 数 值/(X0)比 它 在 点 X=xo附 近 其 他 点 的 函 数 值 都 小，/(xo)=o；而 且 在 点 附 近 的 左 侧/(x)vo,右 侧/(x)0.贝 卜 0叫 做 函 数

21、y=/(x)的 极 小 值 点，儿 To)叫 做 函 数 y=/(x)的 极 小 值.如 图 1.2.函 数 的 极 大 值：函 数 y=火)在 点 X=Xo的 函 数 值/缶 0)比 它 在 点 X=Xo附 近 其 他 点 的 函 数 值 都 大，/(xo)=O；而 且 在 点 x=xo附 近 的 左 侧 广(x)0,右 侧/(x)0.贝 ho叫 做 函 数)，=/(x)的 极 大 值 点，.小 叫 做 函 数)，=/(x)的 极 大 值.如 图 2.3.极 小 值 点、极 大 值 点 统 称 为 极 值 点，极 小 值 和 极 大 值 统 称 为 极 值.对 极 值 的 深 层 理 解：(

22、1)极 值 点 不 是 点；zrx/T：(2)极 值 是 函 数 的 局 部 性 质；_ J _(2)按 定 义，极 值 点 川 是 区 间 a,刈 内 部 的 点(如 图)，不 会 是 端 点 a,b 若 於)在(。，份 内 有 极 值，那 么 段)在(，份 内 绝 不 是 单 调 函 数，即 在 区 间 上 单 调 的 函 数 没 有 极 值.(4)根 据 函 数 的 极 值 可 知 函 数 的 极 大 值 火 须)比 在 点 期 附 近 的 点 的 函 数 值 都 大，在 函 数 的 图 象 上 表 现 为 极 大 值 对 应 的 点 是 局 部 的“高 峰”；函 数 的 极 小 值 八

23、 m)比 在 点 xo附 近 的 点 的 函 数 值 都 小，在 函 数 的 图 象 上 表 现为 极 小 值 对 应 的 点 是 局 部 的“低 谷 一 个 函 数 在 其 定 义 域 内 可 以 有 许 多 极 小 值 和 极 大 值，在 某 一 点 处 的 极 小 值 也 可 能 大 于 另 一 个 点 处 的 极 大 值，极 大 值 与 极 小 值 没 有 必 然 的 联 系，即 极 小 值 不 一 定 比 极 大 值 小，极 大 值 不 一 定 比 极 小 值 大；(5)使/(x)=0的 点 称 为 函 数.穴 x)的 驻 点，可 导 函 数 的 极 值 点 一 定 是 它 的 驻

24、点.驻 点 可 能 是 极 值 点，也 可 能 不 是 极 值 点.例 如 4 三 好 的 导 数/(x)=3 在 点 x=0 处 有/(0)=0,即 x=0 是 的 驻 点，但 从 危)在(-8,+oo)上 为 增 函 数 可 知，x=0 不 是 y(x)的 极 值 点.因 此 若 了(均)=0,则 X0不 一 定 是 极 值 点，即/(xo)=0 是 兀 0在=为 处 取 到 极 值 的 必 要 不 充 分 条 件，函 数 y=/(x)的 变 号 零 点，才 是 函 数 的 极 值 点；(6)函 数 次 x)在 a,刈 上 有 极 值，极 值 也 不 一 定 不 唯 一.它 的 极 值 点

25、 的 分 布 是 有 规 律 的，如 上 图，相 邻 两 个 极 大 值 点 之 间 必 有 一 个 极 小 值 点，同 样 相 邻 两 个 极 小 值 点 之 间 必 有 一 个 极 大 值 点.一 般 地，当 函 数 犬 X)在 a,M 上 连 续 且 有 有 限 个 极 值 点 时，函 数 负 x)在 a,6 内 的 极 大 值 点、极 小 值 点 是 交 替 出 现 的.考 点 一 根 据 函 数 图 象 判 断 极 值【方 法 总 结】由 图 象 判 断 函 数 y=/(x)的 极 值(1)y=f(x)的 图 象 与 x轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 xo,可 得 函 数 y=/

26、(x)的 可 能 极 值 点 沏；(2)如 果 在 松 附 近 的 左 侧 人 外 0,右 侧/(x)V0,那 么 火 xo)是 极 大 值；如 果 在 M)附 近 的 左 侧/(x)W0,右 侧/(x)0,那 么 兀 vo)是 极 小 值.【例 题 选 讲】例 1(1)函 数 x)的 定 义 域 为 R，导 函 数/收)的 图 象 如 图 所 示，则 函 数*x)()无 极 大 值 点、有 四 个 极 小 值 点 有 两 个 极 大 值 点、两 个 极 小 值 点 有 三 个 极 大 值 点、一 个 极 小 值 点 有 四 个 极 大 值 点、无 极 小 值 点 答 案 C 解 析 设 了(

27、X)的 图 象 与 X 轴 的 4 个 交 点 从 左 至 右 依 次 为 Xl,X2,X3,X4.当 时，/(x)0,段)为 增 函 数，当 X1XX2时，/(X)O,段)为 减 函 数，则 X=X1为 极 大 值 点，同 理，X=X3为 极 大 值 点，X=X2,X=X4为 极 小 值 点，故 选 C.(2)设 函 数/(x)在 R上 可 导，其 导 函 数 为(X),且 函 数 y=(l x/(x)的 图 象 如 图 所 示，则 下 列 结 论 中 一 定 成 立 的 是()A.函 数/U)有 极 大 值 42)和 极 小 值 穴 1)B.函 数/(x)有 极 大 值 4 一 2)和 极

28、 小 值 人 1)C.函 数 x)有 极 大 值 人 2)和 极 小 值/(一 2)D.函 数 穴 力 有 极 大 值/(2)和 极 小 献 2)答 案 D 解 析 由 题 图 可 知，当 x 0；当 一 2 a 1时，/(x)0；当 la2时，/(x)2时，/(x)0.由 此 可 以 得 到 函 数 _/(x)在*=2 处 取 得 极 大 值，在 x=2 处 取 得 极 小 值.故 选 D.(3)函 数/(用 二 3+加+5+的 大 致 图 象 如 图 所 示，xi,M 是 函 数 y=_/(x)的 两 个 极 值 点，则 x2+x2等 于()答 案 C 解 析 因 为 函 数 於)的 图

29、象 过 原 点，所 以 4=0.又 五-1)=0且 4 2)=0,即 一 l+8c=0 且 8+4/?+2c=0,解 得 6=1,c2,所 以 函 数 应 打 二%3x22x,所 以/(A O M B%22x2.由 题 意 知 xi,X22 2是 函 数/(X)的 极 值 点，所 以 X|,必 是/(X)=O 的 两 个 根，所 以 X|+X2=,XX2=-y 所 以 X2+A 2=(X1+X 2)22XIX 2=+=，故 选 C(4)已 知 函 数=当。的 图 象 如 图 所 示(其 中/(X)是 定 义 域 为 R 的 函 数/U)的 导 函 数)，则 以 下 说 法 错 误 的 是()A

30、./=/(1)=0 B.当 x=-1时，函 数/取 得 极 大 值 C.方 程 项 x)=0与 加)=0均 有 三 个 实 数 根 D.当 x=l时，函 数/U)取 得 极 小 值 答 案 C 解 析 由 图 象 可 知/(1)=/(1)=0,A 说 法 正 确.当 X1 时，乎 o；当 一lr 0，此 时/(x)0,故 当 x=-1 时，函 数 於)取 得 极 大 值，B 说 法 正 确.当 0cx1时，*。，此 时 了(x)l时，0,此 时/(x)0,故 当 x=l 时，函 数/(x)取 得 极 小 值，D 说 法 正 确.故 选 C.(5)(多 选)函 数 y=/(x)导 函 数 的 图

31、 象 如 图 所 示，则 下 列 选 项 正 确 的 有()fM/5 xA.(1,3)为 函 数 y=/(x)的 递 增 区 间 C.函 数 y=/(x)在 x=0处 取 得 极 大 值 B.(3,5)为 函 数 y=/(x)的 递 减 区 间 D.函 数 y=/(x)在 x=5处 取 得 极 小 值 答 案 ABD 解 析 由 函 数 y=/(x)导 函 数 的 图 象 可 知，的 单 调 递 减 区 间 是(一 8,-1),(3,5),单 调 递 增 区 间 为(一 1,3),(5,+),所 以/(x)在 x=-1,5 取 得 极 小 值，在 x=3 取 得 极 大 值，C 错 误.故 选

32、 A、B,D.(6)(2018 全 国 IID函 数 尸 一 的 图 象 大 致 为()答 案 D 解 析 当 x=0 时，y=2,排 除 A,B.由 y=-4 3+2=0,得 x=0 或 工=片,结 合 三 次 函 数 的 图 象 特 征，知 原 函 数 在(-1,1)上 有 三 个 极 值 点，所 以 排 除 C,故 选 D.【对 点 训 练】1.如 图 是/(X)的 导 函 数 1(X)的 图 象，则 大 X)的 极 小 值 点 的 个 数 为()1.答 案 A 解 析 由 题 意 知 在 X=-1处/(-1)=0,且 其 左 右 两 侧 导 数 符 号 为 左 负 右 正.2.设 函

33、数 ZU)在 R 上 可 导，其 导 函 数 为 r(x),且 函 数 g(x)=_yHx)的 图 象 如 图 所 示，则 下 列 结 论 中 一 定 成 立 的 是(y y=g(x)A.y(x)有 两 个 极 值 点 C.4 x)有 两 个 极 小 值 B.犬 0)为 函 数 的 极 大 值 D.1 一 1)为 火 工)的 极 小 值 2.答 案 BC 解 析 由 题 图 知，当 xG(oo,2)时，g(x)0,当(一 2,0)时，g(x)0,当 xC(0,1)时，g(x)0,：.f(x)0,，/(x)0.，段)在(一 oo,-2),(0,1)上 单 调 递 减，在(一 2,0),(1,+8

34、)上 单 调 递 增.故 A D 错 误，B C 正 确.3.己 知 函 数/()=炉+历 i+cx的 图 象 如 图 所 示，则;d+x2等 于()7 2 x3.答 案 C 解 析 由 题 中 图 象 可 知 次 幻 的 图 象 经 过 点(1,0)与(2,0),为，12是 函 数/U)的 极 值 点，所 以 1+fe+c0,8+4/?+2c0,解 得 人=3,c2,所 以 凡)=R3/+2乂 所 以/(x)=3f6x+2,x,2 2 8是 方 程 3x26x+2=o 的 两 根，所 以 即+彳 2=2,xX2=y Ax2+x2=(xi+x2)22XIX2=4 2x-=.4.已 知 三 次

35、函 数 式 x)=c*+京+cx+4的 图 象 如 图 所 示，则 黑=.4.答 案 1 解 析 f(x)=3ax1+2bx+c,由 图 象 知，方 程/(x)=0的 两 根 为 一 1和 2,则 有 3a+2b=0,6a+c=0,.f(Q)f(l)3a+2b+c c5.(多 选)函 数 y=/(x)的 导 函 数/(x)的 图 象 如 图 所 示，则 以 下 命 题 错 误 的 是()y43-2-1 O 1 xA.-3 是 函 数.y=_/(x)的 极 值 点 B.-1 是 函 数、=段)的 最 小 值 点 C.丫=段)在 区 间(-3,1)上 单 调 递 增 D.y=/(x)在 x=0处

36、切 线 的 斜 率 小 于 零 5.答 案 BD 解 析 根 据 导 函 数 的 图 象 可 知 当 xW(-8,-3)时，当 x e(3,+s)时，/(x)K),二 函 数 y=/(x)在(一 8,-3)上 单 调 递 减，在(-3,+8)上 单 调 递 增，则 一 3 是 函 数 y=/(x)的 极 值 点，函 数 y=/(x)在(-3,+oo)上 单 调 递 增，；.一 1 不 是 函 数 y=/(x)的 最 小 值 点，：函 数 y=_/(x)在 x=0 处 的 导 数 大 于 0,在 x=0 处 切 线 的 斜 率 大 于 零.故 错 误 的 命 题 为 BD.考 点 二 求 已 知

37、 函 数 的 极 值【方 法 总 结】求 函 数 的 极 值 或 极 值 点 的 步 骤(1)确 定 函 数 的 定 义 域；(2)求 导 数/(x)；(3)解 方 程/a)=o,求 出 函 数 定 义 域 内 的 所 有 根；检 查 尸(x)在 方 程 1(x)=0的 根 的 左 右 两 侧 的 符 号.如 果 左 正 右 负，那 么 _/(x)在 这 个 根 处 取 得 极 大 值；如 果 左 负 右 正，那 么 式 x)在 这 个 根 处 取 得 极 小 值.【例 题 选 讲】例 1(1)函 数/U)=x2ef的 极 大 值 为，极 小 值 为.答 案 4 2 0 解 析 y(x)的 定

38、 义 域 为(-8,4-00),f(x)e xx(x2).当 xG(8,0)或 xd(2,+oo)时，/(x)0.所 以 式 x)在(-8,0),(2,+oo)上 单 调 递 减，在(0,2)上 单 调 递 增.故 当 x=0 时，；(x)取 得 极 小 值，极 小 值 为.穴 0)=0；当 x=2 时，./U)取 得 极 大 值，极 大 值 为 火 2)=4e 42(2)设 函 数/(x)=+hir,贝 1()A.为/(x)的 极 大 值 点 B.为 应 x)的 极 小 值 点 C.x=2为 以)的 极 大 值 点 D.尸 2为 左)的 极 小 值 点 2 x2答 案 D 解 析/W=-+x

39、=T(x 0)当 0 x2 时，/(x)2 时，/(x)0,所 以 x=2 为 y(x)的 极 小 值 点.(3)已 知 函 数 仆)=2呢 e)lnx3，则”)的 极 大 值 点 为()A._ B.1 C.e D.2ee2ef(e)1 1 x 2 1答 案 D 解 析 f(x)=-故/(e)=故 於)=2山 一 令/(x)=1*0,解 得 042e,令/(x)2e,故 y(x)在(0,2e)上 递 增，在(2e,+oo)上 递 减，；.x=2e时，火 x)取 得 极 大 值 21n 2,则 负 x)的 极 大 值 点 为 2e.(4)已 知 e为 自 然 对 数 的 底 数，设 函 数/)=

40、1(一 1)%1=1,2),则()A.当 A=1时，x)在 x=l处 取 到 极 小 值 B.当 A=1时，y(x)在 x=l处 取 到 极 大 值 C.当 k=2时，危)在 x=l处 取 到 极 小 值 D.当%=2 时，#x)在 x=l处 取 到 极 大 值 答 案 C 解 析 因 为 八 x)=(x-l)Le(x-l+Z)-Z,当 k=l 时，/(1)0,故 1 不 是 函 数./(X)的 极 值 点.当 人=2 时，当 xoxl(xo为/U)的 极 大 值 点)时，/(x)1时，/(x)0,函 数 负 x)单 调 递 增.故 y(x)在 x=i 处 取 到 极 小 值.故 选 c.(5

41、)若*=-2 是 函 数/(#=(/+以 一 l)e”T 的 极 值 点，则 心:)的 极 小 值 为()A.-1 B.2e-3 C.5e-3 D.1答 案 A 解 析 了(jOmZx+GeLi+T+o x l)eLi=x2+(a+2)x+。-l eLi.=2 是#x)的 极 值 点，：.f(-2)=0,即(42a4+a-l)e-3=0,得”=一 1.：.j(x)-(x2-x 1)ex1,f(x)-(x2+x2)er1.由 f(x)0,得*l；由/(x)0,得 一 2x0,则 项%)+於)=-,即 犹 x)=W，设 g(x)=xf(x)9In Y即 g(x)=M，由 g(x)0得 X 1,由

42、gx)0得 0 x l,即 求 X)在(1,+8)上 单 调 递 增，在(0,1)上 单 调 递 减，即 当 x=l 时，函 数 g(x)=M(x)取 得 极 小 值 g(l)=y(l)=；.故 选 ABC.例 2 给 出 定 义：设 了(x)是 函 数 y=/(x)的 导 函 数，广 是 函 数/(X)的 导 函 数，若 方 程 1(x)=0有 实 数 解 xo，则 称 点(xo，式)为 函 数 产 危)的 拐 点.已 知 心)=办+siarcosx.(1)求 证：函 数 y=_/(x)的 拐 点 M(xo，y(xo)在 直 线 y=ar上；(2)xG(0,2时 时，讨 论 於)的 极 值

43、点 的 个 数.解 析(1)./(A-)=ax+V3sinx一 cosx,/./(x)=a+小 cosx+siar,=-Vsiav+cosx,丁(x o)=O,一 小 siao+cosA：o=0.而 犬 沏)二 的+Ssinx)cosxo=axo.点 颂 沏，人 沏)在 直 线 y=ax上.(2)令/(x)=0,得=2sin(x+,作 出 函 数 y=-2sin(x+,%e(0,2冗)与 函 数 y=a 的 草 图 如 下 所 示:由 图 可 知，当 或 H-2 时，人 的 无 极 值 点；当 a=一 小 时，./U)有 一 个 极 值 点;当 一 2。一 小 或 一 审“0,函 数 仆)=以

44、 一(1)求 函 数 y=/5)在 点(0,八 0)处 的 切 点 的 方 程；(2)证 明 区 外 存 在 唯 一 极 值 点.解 析(1)因 为 次 0)=0,/(x)=a(x+l)ev,所 以/(0)=一 1,所 以 函 数 在(0,_/(0)处 的 切 线 方 程 为(alxy=0.(2)若 证 明 外)仅 有 一 个 极 值 点，即 证/(%)=一。+1)=0,只 有 一 个 解，即 证 只 有 一 个 解，令 g(x)=(无+l)e只 需 证 g(x)=(元+l)e，的 图 象 与 直 线 y=(a0)仅 有 一 个 交 点，gx)=(x+2)ex,当”=2 时，g a)=o,当

45、x V 2 时，gCOVO,g(x)单 调 递 减,当 2一 2 时,gx)09 g(x)单 调 递 增,当=2 时，g(2)=e-2 V o.当 x+oo时，g(x)+8,当 x8 时，g(x)-0一,画 出 函 数 g(x)=(x+l)e的 图 象 大 致 如 下，因 为。0,所 以 ga)=a+l)e的 图 象 与 直 线 y=30)仅 有 一 个 交 点.即 於)存 在 唯 一 极 值 点.【对 点 训 练】1.函 数/U)=2xxlnx的 极 值 是()C.e D.e21.答 案 C 解 析 因 为/(x)=2(ln x+l)=l ln 乂 当/(x)0时，解 得 OVxVe；当/(

46、幻 0 时，解 得xe,所 以 x=e 时，y(x)取 到 极 大 值，/(x)极 大 d=/(e)=e.故 选 C.2.函 数/)=(/-1+2的 极 值 点 是()A.x=l B.x=-l C.x=l或 一 1 或 0 D.x=02.答 案 C 解 析 fx)2(1)-2x4x(x+1)(x 1),令/(x)=0,解 得 x=0 或 x=1 或 x=1.3.函 数 2x的 极 值 点 的 个 数 是()A.0 B.1 C.2 D.无 数 i x22x+1 fv n?3.答 案 A 解 析 函 数 定 义 域 为(0,+oo),且/(x)=x+；-2=；=y NO,即 _/(x)在 定 义

47、域 上 单 调 递 增，无 极 值 点.4.函 数/a)=(f-xl)e*(其 e=2.718是 自 然 对 数 的 底 数)的 极 值 点 是；极 大 值 为.4.答 案 1 或 一 2 卷 解 析 由 已 知 得/()=(/xl+2x 2)e1=(x+2)(x1)巴 因 为 e*0,令/(x)=0,可 得=2 或 x=l,当 x 0,即 函 数 4x)在(一 8,2)上 单 调 递 增；当 一 2Vxl 时，/(x)0,即 函 数,/(X)在 区 间(1,+oo)上 单 调 递 增.故 7U)的 极 值 点 为 一 2 或 1,且 极 大 值 为 4-2)=卷.5.己 知 函 数/)=以

48、3-云+2的 极 大 值 和 极 小 值 分 别 为 M,%,则 M+m=()A.0 B.1 C.2 D.45.答 案 D 解 析 f(x)=3ajc2-b=0,由 题 意，知 该 方 程 有 两 个 根，设 该 方 程 的 两 个 根 分 别 为 耳，及，故 人 外 在 X,处 取 到 极 值，M-VmaxlZ?XI+2+QX36x2+2=b(xa(x+%2)(xi+X2)23xX2卜+4,又 Xi+i2=o,X1M=一 二，所 以 M+m=4,故 选 D.6.若 x=-2是 函 数 的 一 个 极 值 点，则 函 数/(x)的 极 小 值 为()A.g B.-T c.2 D.g3 6 6

49、36.答 案 B 解 析 由 题 意，得/(x)=/2ar2.又 x=-2 是 函 数 7U)的 一 个 极 值 点，所 以/(2)=2+4a=0,解 得。=一；.所 以 於)=京+2工+1,所 以，(工 尸/+工 一 2=(x+2)(x1).当 x 1 时，/(x)0；当 一 2VxVl时，/(x)V0.所 以 函 数 丁=/(1)的 单 调 递 增 区 间 为(一 8,-2),(1,+oo),单 调 递 减 区 间 为(一 2,1).当 x=l 时，函 数=%)取 得 极 小 值，为 y(l)=g+；2+1=一/故 选 B.7.己 知 函 数/互)=2111工+d-3;3=|.8.已 知

50、函 数/(x)=x ln x,则()A./(X)的 单 调 递 增 区 间 为(e,+oo)B.Wx)在(0,上 是 减 函 数 c.当 x e(o,1 时，y(x)有 最 小 值 一；D.y(x)在 定 义 域 内 无 极 值 8.答 案 BC 解 析 因 为/(x)=l n x+l(x 0),令/(x)=0,所 以 x=当 时，/(x)0,所 以 兀 V)在(o,3 上 单 调 递 减，在 Q,+8)上 单 调 递 增，尤=：是 极 小 值 点，所 以 A 错 误，B 正 确；当 XC(O,1 时，根 据 单 调 性 可 知，_/(X)m i n=O=T，故 C 正 确；显 然,/(X)有