《2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专题08 函数的极值含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专题08 函数的极值含解析.docx（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专题08函数的极值1函数的极小值：函数yf(x)在点xx0的函数值f(x0)比它在点xx0附近其他点的函数值都小，f(x0)0；而且在点xx0附近的左侧f(x)0则x0叫做函数yf(x)的极小值点，f(x0)叫做函数yf(x)的极小值如图12023年高考数学专项练习图1图22函数的极大值：函数yf(x)在点xx0的函数值f(x0)比它在点xx0附近其他点的函数值都大，f(x0)0；而且在点xx0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0则x0叫做函数yf(x)的极大值点，f(x0)叫做函数yf(x)的极大值如图22023年高考数学专项练习3极小值点、极大值
2、点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点xi是区间a，b内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值2023年高考数学专项练习(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点
3、处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；2023年高考数学专项练习(5)使f(x)0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点驻点可能是极值点，也可能不是极值点例如f(x)x3的导数f(x)3x2在点x0处有f(0)0，即x0是f(x)x3的驻点，但从f(x)在(，)上为增函数可知，x0不是f(x)的极值点因此若f(x0)0，则x0不一定是极值点，即f(x0)0是f(x)在xx0处取到极值的必要不充分条件，函数yf(x)的变号零点，才是函数的极值点；2023年高考数学专项练习(6)函数f(x)在a，
4、b上有极值，极值也不一定不唯一它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点一般地，当函数f(x)在a，b上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在a，b内的极大值点、极小值点是交替出现的2023年高考数学专项练习考点一根据函数图象判断极值【方法总结】由图象判断函数yf(x)的极值(1)yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标为x0，可得函数yf(x)的可能极值点x0；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值2023年高考数学
5、专项练习【例题选讲】例1(1)函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()2023年高考数学专项练习A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)2023年高考数学专项练习C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)2023年高考数学专项练
6、习(3)函数f(x)x3bx2cxd的大致图象如图所示，x1，x2是函数yf(x)的两个极值点，则xx等于()2023年高考数学专项练习ABCD2023年高考数学专项练习(4)已知函数y的图象如图所示(其中f(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数)，则以下说法错误的是()2023年高考数学专项练习Af(1)f(1)0B当x1时，函数f(x)取得极大值C方程xf(x)0与f(x)0均有三个实数根D当x1时，函数f(x)取得极小值(5)(多选)函数yf(x)导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有()A(1，3)为函数yf(x)的递增区间B(3，5)为函数yf(x)的递减区间C函数yf(x)在x
7、0处取得极大值D函数yf(x)在x5处取得极小值(6) (2018全国)函数yx4x22的图象大致为()【对点训练】1如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A1B2C3D42设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数g(x)xf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立2023年高考数学专项练习的是()Af(x)有两个极值点Bf(0)为函数的极大值Cf(x)有两个极小值Df(1)为f(x)的极小值3已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()2023年高考数学专项练习ABCD2023年高考数学专项练习4已知三次函数f(x)ax3bx2c
8、xd的图象如图所示，则_2023年高考数学专项练习5(多选)函数yf(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是()A3是函数yf(x)的极值点B1是函数yf(x)的最小值点Cyf(x)在区间(3，1)上单调递增Dyf(x)在x0处切线的斜率小于零考点二求已知函数的极值【方法总结】求函数的极值或极值点的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值2023年高考数学专项练习【例题选讲】例1
9、(1)函数f(x)x2ex的极大值为_，极小值为_(2)设函数f(x)lnx，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点2023年高考数学专项练习Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点(3)已知函数f(x)2ef(e)lnx，则f(x)的极大值点为()2023年高考数学专项练习AB1CeD2e(4)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1，2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值(5)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex
10、1的极值点，则f(x)的极小值为()A1B2e3 C5e3D1(6)设f(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f(x)xf(x)lnx，f(1)，则下列结论不正确的是()2023年高考数学专项练习Axf(x)在(0，)上单调递增Bxf(x)在(0，)上单调递减Cxf(x)在(0，)上有极大值Dxf(x)在(0，)上有极小值2023年高考数学专项练习例2给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的拐点已知f(x)axsinxcosx2023年高考数学专项练习(1)求证：函数yf(x)的拐点M
11、(x0，f(x0)在直线yax上；(2)x(0，2)时，讨论f(x)的极值点的个数例3(2021天津高考节选)已知a0，函数f(x)axxex(1)求函数yf(x)在点(0，f(0)处的切点的方程；(2)证明f(x)存在唯一极值点【对点训练】1函数f(x)2xxln x的极值是()ABCeDe22023年高考数学专项练习2函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1Bx1Cx1或1或0Dx03函数f(x)x2ln x2x的极值点的个数是()A0B1C2D无数4函数f(x)(x2x1)ex(其e2718是自然对数的底数)的极值点是 ；极大值为 2023年高考数学专项练习5已知函数f(x)ax3
12、bx2的极大值和极小值分别为M，m，则Mm()A0B1C2D46若x2是函数f(x)x3ax22x1的一个极值点，则函数f(x)的极小值为()2023年高考数学专项练习ABCD2023年高考数学专项练习7已知函数f(x)2ln xax23x在x2处取得极小值，则f(x)的极大值为()A2BC3ln 2D22ln 22023年高考数学专项练习8已知函数f(x)xlnx，则()Af(x)的单调递增区间为(e，)Bf(x)在上是减函数2023年高考数学专项练习C当x(0，1时，f(x)有最小值Df(x)在定义域内无极值2023年高考数学专项练习9(多选)已知函数f(x)，则下列结论正确的是()A函数
13、f(x)存在两个不同的零点B函数f(x)既存在极大值又存在极小值C当e0)在区间内有极大值，则a的取值范围是()2023年高考数学专项练习AB(1，)C(1，2)D(2，)2023年高考数学专项练习(6)若函数f(x)x2xalnx在1，)上有极值点，则实数a的取值范围为 ；2023年高考数学专项练习(7)已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_(8) (2021全国乙)设a0，若xa为函数f(x)a(xa)2(xb)的极大值点，则()2023年高考数学专项练习AabCaba2例2已知曲线f(x)xexax3ax2，aR(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(
14、1)处的切线方程；(2)若函数yf(x)有三个极值点，求实数a的取值范围【对点训练】1若函数f(x)(xa)ex的极值点为1，则a()A2B1C0D12已知函数f(x)x(xc)2在x2处有极小值，则实数c的值为()A6B2C2或6D03已知函数f(x)ax3bx2cx17(a，b，cR)的导函数为f(x)，f(x)0的解集为x|2x3，若f(x)的2023年高考数学专项练习极小值等于98，则a的值是()ABC2D52023年高考数学专项练习4若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为 5设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_6若函数f(x)(2
15、a)在上有极大值，则实数a的取值范围为()2023年高考数学专项练习A(，e)B(，2)C(2，e)D(e，)2023年高考数学专项练习7已知函数f(x)ax在(1，)上有极值，则实数a的取值范围为()2023年高考数学专项练习ABCD0，2023年高考数学专项练习8若函数f(x)x2xalnx有极值，则实数a的取值范围是_9若函数f(x)x2(a1)xalnx存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a的取值范围为_2023年高考数学专项练习10已知函数f(x)xlnxmex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是_2023年高考数学专项练习11已知函数f(x)xln xax2
16、2x有两个极值点，则实数a的取值范围是_2023年高考数学专项练习12已知函数f(x)a若f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是()2023年高考数学专项练习A0，1) B(0，1) CD2023年高考数学专项练习专题08函数的极值1函数的极小值：函数yf(x)在点xx0的函数值f(x0)比它在点xx0附近其他点的函数值都小，f(x0)0；而且在点xx0附近的左侧f(x)0则x0叫做函数yf(x)的极小值点，f(x0)叫做函数yf(x)的极小值如图12023年高考数学专项练习图1图22函数的极大值：函数yf(x)在点xx0的函数值f(x0)比它在点xx0附近其他点的函数值都大，f(x0)0；
17、而且在点xx0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0则x0叫做函数yf(x)的极大值点，f(x0)叫做函数yf(x)的极大值如图22023年高考数学专项练习3极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点xi是区间a，b内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值2023年高考数学专项练习(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局
18、部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；2023年高考数学专项练习(5)使f(x)0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点驻点可能是极值点，也可能不是极值点例如f(x)x3的导数f(x)3x2在点x0处有f(0)0，即x0是f(x)x3的驻点，但从f(x)在(，)上为增函数可知，x0不是f(x)的极值点因此若f(x0)0，则x
19、0不一定是极值点，即f(x0)0是f(x)在xx0处取到极值的必要不充分条件，函数yf(x)的变号零点，才是函数的极值点；2023年高考数学专项练习(6)函数f(x)在a，b上有极值，极值也不一定不唯一它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点一般地，当函数f(x)在a，b上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在a，b内的极大值点、极小值点是交替出现的2023年高考数学专项练习考点一根据函数图象判断极值【方法总结】由图象判断函数yf(x)的极值(1)yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标为x0，可得函数yf(x)的可能极值点
20、x0；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值2023年高考数学专项练习【例题选讲】例1(1)函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4当xx1时，f(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点
21、，xx2，xx4为极小值点，故选C2023年高考数学专项练习(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()2023年高考数学专项练习A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)2023年高考数学专项练习C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)2023年高考数学专项练习答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值故选D
22、2023年高考数学专项练习(3)函数f(x)x3bx2cxd的大致图象如图所示，x1，x2是函数yf(x)的两个极值点，则xx等于()2023年高考数学专项练习ABCD2023年高考数学专项练习答案C解析因为函数f(x)的图象过原点，所以d0又f(1)0且f(2)0，即1bc0且84b2c0，解得b1，c2，所以函数f(x)x3x22x，所以f(x)3x22x2由题意知x1，x2是函数f(x)的极值点，所以x1，x2是f(x)0的两个根，所以x1x2，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x2，故选C2023年高考数学专项练习(4)已知函数y的图象如图所示(其中f(x)是定义域为R的函数f(x
23、)的导函数)，则以下说法错误的是()2023年高考数学专项练习Af(1)f(1)0B当x1时，函数f(x)取得极大值C方程xf(x)0与f(x)0均有三个实数根D当x1时，函数f(x)取得极小值答案C解析由图象可知f(1)f(1)0，A说法正确当x1时，0；当1x0，此时f(x)0，故当x1时，函数f(x)取得极大值，B说法正确当0x1时，0，此时f(x)1时，0，此时f(x)0，故当x1时，函数f(x)取得极小值，D说法正确故选C2023年高考数学专项练习(5)(多选)函数yf(x)导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有()A(1，3)为函数yf(x)的递增区间B(3，5)为函数yf(x)
24、的递减区间C函数yf(x)在x0处取得极大值D函数yf(x)在x5处取得极小值答案ABD解析由函数yf(x)导函数的图象可知，f(x)的单调递减区间是(，1)，(3，5)，单调递增区间为(1，3)，(5，)，所以f(x)在x1，5取得极小值，在x3取得极大值，C错误故选A、B、D2023年高考数学专项练习(6) (2018全国)函数yx4x22的图象大致为()答案D解析当x0时，y2，排除A，B由y4x32x0，得x0或x，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D2023年高考数学专项练习【对点训练】1如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小
25、值点的个数为()A1B2C3D41答案A解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正2设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数g(x)xf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立2023年高考数学专项练习的是()Af(x)有两个极值点Bf(0)为函数的极大值Cf(x)有两个极小值Df(1)为f(x)的极小值2答案BC解析由题图知，当x(，2)时，g(x)0，f(x)0，当x(2，0)时，g(x)0，当x(0，1)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0f(x)在(，2)，(0，1)上单调递减，在(2，0)，(1，)上单调递增故AD错误，BC正确2023年高考数学专
26、项练习3已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()2023年高考数学专项练习ABCD2023年高考数学专项练习3答案C解析由题中图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以12023年高考数学专项练习bc0，84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2，x1，x2是方程3x26x20的两根，所以x1x22，x1x2，xx(x1x2)22x1x2422023年高考数学专项练习4已知三次函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则_2023年高考数学专项练习4答案1解析f(x)3ax22bxc
27、，由图象知，方程f(x)0的两根为1和2，则有2023年高考数学专项练习即12023年高考数学专项练习5(多选)函数yf(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是()A3是函数yf(x)的极值点B1是函数yf(x)的最小值点Cyf(x)在区间(3，1)上单调递增Dyf(x)在x0处切线的斜率小于零5答案BD解析根据导函数的图象可知当x(，3)时，f(x)0，解得0x2e，令f(x)2e，故f(x)在(0，2e)上递增，在(2e，)上递减，x2e时，f(x)取得极大值2ln 2，则f(x)的极大值点为2e2023年高考数学专项练习(4)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1
28、)(x1)k(k1，2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值答案C解析因为f(x)(x1)k1ex(x1k)k，当k1时，f(1)0，故1不是函数f(x)的极值点当k2时，当x0x1(x0为f(x)的极大值点)时，f(x)1时，f(x)0，函数f(x)单调递增故f(x)在x1处取到极小值故选C2023年高考数学专项练习(5)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1B2e3 C5e3D1答案A解析f(x)(2xa)ex1(x2ax1)e
29、x1x2(a2)xa1ex1x2是f(x)的极值点，f(2)0，即(42a4a1)e30，得a1f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1由f(x)0，得x2或x1；由f(x)0，得2x1f(x)在(，2)上单调递增，在(2，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)的极小值点为1，f(x)的极小值为f(1)12023年高考数学专项练习(6)设f(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f(x)xf(x)lnx，f(1)，则下列结论不正确的是()2023年高考数学专项练习Axf(x)在(0，)上单调递增Bxf(x)在(0，)上单调递减Cxf(x)在(0，)上有极大值Dxf(x)在(
30、0，)上有极小值2023年高考数学专项练习答案ABC解析由x2f(x)xf(x)ln x得x0，则xf(x)f(x)，即xf(x)，设g(x)xf(x)，即g(x)，由g(x)0得x1，由g(x)0得0x1，即xf(x)在(1，)上单调递增，在(0，1)上单调递减，即当x1时，函数g(x)xf(x)取得极小值g(1)f(1)故选ABC2023年高考数学专项练习例2给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的拐点已知f(x)axsinxcosx2023年高考数学专项练习(1)求证：函数yf(
31、x)的拐点M(x0，f(x0)在直线yax上；(2)x(0，2)时，讨论f(x)的极值点的个数解析(1)f(x)axsinxcosx，f(x)acosxsinx，2023年高考数学专项练习f(x)sinxcosx，f(x0)0，sinx0cosx002023年高考数学专项练习而f(x0)ax0sinx0cosx0ax0点M(x0，f(x0)在直线yax上2023年高考数学专项练习(2)令f(x)0，得a2sin，2023年高考数学专项练习作出函数y2sin，x(0，2)与函数ya的草图如下所示：2023年高考数学专项练习由图可知，当a2或a2时，f(x)无极值点；当a时，f(x)有一个极值点；
32、2023年高考数学专项练习当2a或a2时，f(x)有两个极值点例3(2021天津高考节选)已知a0，函数f(x)axxex(1)求函数yf(x)在点(0，f(0)处的切点的方程；(2)证明f(x)存在唯一极值点解析(1)因为f(0)0，f(x)a(x1)ex，所以f(0)a1，所以函数在(0，f(0)处的切线方程为(a1)xy0(2)若证明f(x)仅有一个极值点，即证f(x)a(x1)ex0，只有一个解，即证a(x1)ex只有一个解，令g(x)(x1)ex，只需证g(x)(x1)ex的图象与直线ya(a0)仅有一个交点，g(x)(x2)ex，2023年高考数学专项练习当x2时，g(x)0，当x
33、2时，g(x)0，g(x)单调递减，当x2时，g(x)0，g(x)单调递增，当x2时，g(2)e20当x时，g(x)，当x时，g(x)0，画出函数g(x)(x1)ex的图象大致如下，因为a0，所以g(x)(x1)ex的图象与直线ya(a0)仅有一个交点即f(x)存在唯一极值点2023年高考数学专项练习【对点训练】1函数f(x)2xxln x的极值是()ABCeDe22023年高考数学专项练习1答案C解析因为f(x)2(ln x1)1ln x，当f(x)0时，解得0xe；当f(x)0时，解得2023年高考数学专项练习xe，所以xe时，f(x)取到极大值，f(x)极大值f(e)e故选C2函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1Bx1Cx1或1或0Dx02答案C解析f(x)2(x21)2x4x(x1)(x1)，令f(x)0，解得x0或x1或x12023年高考数学专项练习3函数f(x)x2ln x2x的极值点的个数是()A0B1C2D无数3答案A解析函数定义域为(0，)，且f(