《2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专题05 含参函数的单调性讨论含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专题05 含参函数的单调性讨论含解析.docx（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专专题题05含参函数的单含参函数的单调性讨论调性讨论【方法总结方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：2023 年高考数学专项练习(1)最高次幂的系数是否为 0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变
2、号零点之间的大小关系，即“大不大”牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”考点一考点一导主一次型导主一次型【例题选讲例题选讲】例例 1已知函数 f(x)xalnx(aR)，讨论函数 f(x)的单调性【对点训练对点训练】1已知函数 f(x)alnxax3(aR)讨论函数 f(x)的单调性2已知函数 f(x)lnxax(aR)，讨论函数 f(x)的单调性考点考点二二导主导主二二次型次型【方法总结方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：2023 年高考数学专项练习(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数如
3、果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；2023 年高考数学专项练习(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果 x1，x2都在定义域内，则讨论个零点 x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式0 和0 分类讨论；2023 年高考数学专项练习【例题选讲例题选讲】命题点 1是不是有没有在不在例例 2(2021全国乙节选)已知函数 f(x)x3x2ax1讨论 f(x)的单调性例例 3(2018全国节选)已知函数 f(x)1xxalnx，讨论 f(x)的单调性2023 年高考
4、数学专项练习例例 4设函数 f(x)alnxx1x1，其中 a 为常数讨论函数 f(x)的单调性2023 年高考数学专项练习【对点训练对点训练】3(2020全国节选)已知函数 f(x)x3kxk2讨论 f(x)的单调性4已知函数 f(x)x2x1alnx，a0讨论 f(x)的单调性5已知函数 f(x)(1ax2)ex1，当 a0 时，讨论函数 f(x)的单调性命题点 2是不是在不在大不大例例 5已知函数 f(x)lnxax2(2a1)x若 a0，试讨论函数 f(x)的单调性例例 6已知函数 f(x)x2eax1(a 是常数)，求函数 yf(x)的单调区间例例 7已知函数 f(x)(a1)lnx
5、1xax2(aR)讨论 f(x)的单调性2023 年高考数学专项练习例例 8已知函数 f(x)aln(x1)axx2，讨论 f(x)在定义域上的单调性例例 9(2016山东)已知 f(x)a(xlnx)2x1x2，aR讨论 f(x)的单调性2023 年高考数学专项练习【对点训练对点训练】6已知函数 f(x)12ax2(a1)xlnx，a0，试讨论函数 yf(x)的单调性2023 年高考数学专项练习7已知函数 f(x)x2eax11a(aR)，求函数 f(x)的单调区间8已知函数 f(x)(a1)lnxax21，讨论函数 f(x)的单调性9已知函数 f(x)k4k lnx4x2x，其中常数 k0
6、，讨论 f(x)在(0，2)上的单调性2023 年高考数学专项练习10已知函数 f(x)ln(x1)ax2x(x1)2，且 1a0 在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，当 a0 时，x(0，a)时，f(x)0，综上，当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增，当 a0 时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增2023 年高考数学专项练习【对点训练对点训练】1已知函数 f(x)alnxax3(aR)讨论函数 f(x)的单调性1解析函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)a(1x)x，令 f(x)0，得 x1，2023 年高考数学专项练习当 a0 时，f(x)在
7、(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当 a0)，2023 年高考数学专项练习当 a0 时，f(x)1xa0，即函数 f(x)在(0，)上单调递增2023 年高考数学专项练习当 a0 时，令 f(x)1xa1axx0，可得 x1a，2023 年高考数学专项练习当 0 x0；当 x1a时，f(x)1axx0 时，f(x)在0，1a 上单调递增，在1a，上单调递减2023 年高考数学专项练习考点考点二二导主导主二二次型次型【方法总结方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：2023 年高考数学专项练习(1)首
8、先需要考虑二次项系数是否含有参数如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；2023 年高考数学专项练习(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果 x1，x2都在定义域内，则讨论个零点 x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式0 和0 分类讨论；2023 年高考数学专项练习【例题选讲例题选讲】命题点 1是不是有没有在不在例例 2(2021全国乙节选)已知函数 f(x)x3x2ax1讨论 f(x)的单调性解析由题意知 f(x)的定义域为 R，f(x)3x22xa，对于
9、f(x)0，(2)243a4(13a)2023年高考数学专项练习当 a13时，f(x)0，f(x)在 R 上单调递增；当 a0，则 xx1或 xx2；令 f(x)0，则 x1xx2所以 f(x)在(，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增综上，当 a13时，f(x)在 R 上单调递增；当 a0讨论 f(x)的单调性4解析由题意知，f(x)的定义域是(0，)，导函数 f(x)12x2axx2ax2x2.2023 年高考数学专项练习设 g(x)x2ax2，二次方程 g(x)0 的判别式a28.当0，即 0a0 都有 f(x)0此时 f(x)是(0，)上的单调递增函数2
10、023 年高考数学专项练习当0，即 a2 2 时，仅对 x 2有 f(x)0，对其余的 x0 都有 f(x)02023 年高考数学专项练习此时 f(x)是(0，)上的单调递增函数当0，即 a22时，方程 g(x)0 有两个不同的实根 x1a a282，x2a a282，0 x10，试讨论函数 f(x)的单调性解析因为 f(x)ln xax2(2a1)x，所以 f(x)2ax2(2a1)x1x(2ax1)(x1)x2023 年高考数学专项练习由题意知函数 f(x)的定义域为(0，)，令 f(x)0 得 x1 或 x12a，2023 年高考数学专项练习若12a12，由 f(x)0 得 x1 或 0
11、 x12a，由 f(x)0 得12ax1，即 0a0 得 x12a或 0 x1，由 f(x)0 得 1x12a，2023 年高考数学专项练习即函数 f(x)在(0，1)，12a，上单调递增，在1，12a 上单调递减；2023 年高考数学专项练习若12a1，即 a12，则在(0，)上恒有 f(x)0，即函数 f(x)在(0，)上单调递增2023 年高考数学专项练习综上可得，当 0a12时，函数 f(x)在0，12a 上单调递增，在12a，1上单调递减，在(1，)上单调递增2023 年高考数学专项练习例例 6已知函数 f(x)x2eax1(a 是常数)，求函数 yf(x)的单调区间解析根据题意可得
12、，当 a0 时，f(x)x21，函数在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减2023年高考数学专项练习当 a0 时，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)因为 eax0，所以令 g(x)ax22x0，解得 x0 或 x2a(1)当 a0 时，函数 g(x)ax22x 在(，0)和2a，上有 g(x)0，即 f(x)0，函数 yf(x)单调递减；函数 g(x)ax22x 在0，2a 上有 g(x)0，即 f(x)0，函数 yf(x)单调递增2023 年高考数学专项练习(2)当 a0，即 f(x)0，函数 yf(x)单调递增；函数 g(x)ax22x 在2a，0上有 g(x)0，
13、即 f(x)0，函数 yf(x)单调递减2023 年高考数学专项练习综上所述，当 a0 时，函数 yf(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)；当 a0 时，函数 yf(x)的单调递减区间为(，0)，2a，单调递增区间为0，2a；2023 年高考数学专项练习当 a0，试讨论函数 yf(x)的单调性2023 年高考数学专项练习6解析函数的定义域为(0，)，f(x)ax(a1)1xax2(a1)x1x(ax1)(x1)x2023 年高考数学专项练习当 0a1，x(0，1)和1a，时，f(x)0；x1，1a 时，f(x)1 时，01a0；x1a，1时，f(x)0，2023 年高考数学专
14、项练习函数 f(x)在0，1a 和(1，)上单调递增，在1a，1上单调递减2023 年高考数学专项练习综上，当 0a1 时，函数 f(x)在0，1a 和(1，)上单调递增，在1a，1上单调递减2023 年高考数学专项练习7已知函数 f(x)x2eax11a(aR)，求函数 f(x)的单调区间7解析f(x)x2eax11a(aR)的定义域为(，)，f(x)x(ax2)eax12023 年高考数学专项练习当 a0 时，x0，f(x)0；x0，f(x)0 时，x，2a，f(x)0；x2a，0，f(x)0，2023 年高考数学专项练习所以函数 f(x)的单调递增区间为，2a，(0，)，单调递减区间为2
15、a，02023 年高考数学专项练习当 a0 时，x(，0)，f(x)0；x2a，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增；(2)当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减；(3)当 0a1 时，令 f(x)0，解得 x1a2a，则当 x0，1a2a时，f(x)0，2023 年高考数学专项练习故 f(x)在0，1a2a上单调递减，在(1a2a，)上单调递增2023 年高考数学专项练习9已知函数 f(x)k4k lnx4x2x，其中常数 k0，讨论 f(x)在(0，2)上的单调性2023 年高考数学专项练习9解因为 f(x)k4kx4x21k4k x4x2x2xkx4kx2(x
16、0，k0)2023 年高考数学专项练习当 0kk0，且4k2，所以当 x(0，k)时，f(x)0，2023 年高考数学专项练习所以函数 f(x)在(0，k)上是减函数，在(k，2)上是增函数；当 k2 时，4kk2，f(x)2 时，04k4k，所以当 x0，4k 时，f(x)0，2023 年高考数学专项练习所以函数 f(x)在0，4k 上是减函数，在4k，2上是增函数2023 年高考数学专项练习综上可知，当 0k2 时，f(x)在0，4k 上是减函数，在4k，2上是增函数2023 年高考数学专项练习10已知函数 f(x)ln(x1)ax2x(x1)2，且 1a12023 年高考数学专项练习当1
17、2a30，即 1a32时，当1x0 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 2a3x0 时，f(x)0，即32a2 时，当1x2a3 时，f(x)0，则 f(x)在(1，0)，(2a3，)上单调递增2023 年高考数学专项练习当 0 x2a3 时，f(x)0，则 f(x)在(0，2a3)上单调递减综上，当 1a32时，f(x)在(1，2a3)，(0，)上单调递增，在(2a3，0)上单调递减；当 a32时，f(x)在(1，)上单调递增；当32a0，则由 f(x)0，得 xln a当 x(，ln a)时，f(x)0.2023年高考数学专项练习故 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上
18、单调递增若 a0，则由 f(x)0，得 xlna2 当 x，lna2时，f(x)0；故 f(x)在，lna2上单调递减，在 lna2，上单调递增2023 年高考数学专项练习例例 11已知 f(x)(x2ax)lnx32x22ax，求 f(x)的单调递减区间2023 年高考数学专项练习解析易得 f(x)的定义域为(0，)，f(x)(2xa)ln xxa3x2a(2xa)ln x(2xa)(2xa)(lnx1)，2023 年高考数学专项练习令 f(x)0 得 xa2或 xe当 a0 时，因为 x0，所以 2xa0，令 f(x)0 得 xe，所以 f(x)的单调递减区间为(0，e)2023 年高考数
19、学专项练习当 a0 时，若a2e，即 0a2e，当 x0，a2 时，f(x)0，当 xa2，e时，f(x)0，当 x(e，)时，f(x)0，2023 年高考数学专项练习所以 f(x)的单调递减区间为a2，e；2023 年高考数学专项练习若a2e，即 a2e，当 x(0，)时，f(x)0 恒成立，f(x)没有单调递减区间；2023 年高考数学专项练习若a2e，即 a2e，当 x(0，e)时，f(x)0，当 xe，a2 时，f(x)0，当 xa2，时，f(x)0，2023 年高考数学专项练习所以 f(x)的单调递减区间为e，a2 2023 年高考数学专项练习综上所述，当 a0 时，f(x)的单调递
20、减区间为(0，e)；当 0a2e 时，f(x)的单调递减区间为a2，e；当a2e 时，f(x)无单调递减区间；当 a2e 时，f(x)的单调递减区间为e，a2 2023 年高考数学专项练习【对点训练对点训练】11已知函数 f(x)exax1 的定义域为(0，)，讨论函数 f(x)的单调性11解析f(x)exax1，f(x)exa易知 f(x)exa 在(0，)上单调递增2023 年高考数学专项练习当 a1 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增；当 a1 时，由 f(x)exa0，得 xln a，当 0 xln a 时，f(x)0，当 xln a 时，f(x)0，2023年高考数学专
21、项练习f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上，当 a1 时，f(x)在(0，)上单调递增；当 a1 时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增2023 年高考数学专项练习12已知函数 f(x)(x22ax)ln x12x22ax(aR)(1)若 a0，求 f(x)的最小值；(2)求函数 f(x)的单调区间12解析(1)若 a0，f(x)x2ln x12x2，定义域为(0，)，f(x)2xln xx21xx2xln x，2023 年高考数学专项练习由 f(x)0 可得 x1，由 f(x)0 可得 0 x1，所以 f(x)在(0，1)单调递减，在
22、(1，)单调递增，所以 f(x)的最小值为 f(1)122023 年高考数学专项练习(2)f(x)(2x2a)ln x(x22ax)1xx2a(2x2a)ln x，2023 年高考数学专项练习当 a0 时，2x2a0，由 f(x)0 可得 x1，由 f(x)0 可得 0 x1，此时 f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)；当 0a1 时，由 f(x)0 可得 0 xa 或 x1，由 f(x)0 可得 ax1，此时 f(x)的单调递减区间为(a，1)，单调递增区间为(0，a)和(1，)；当 a1 时，f(x)0 恒成立，此时 f(x)的单调递增区间为(0，)；当 a1 时，由
23、 f(x)0 可得 0 x1 或 xa，由 f(x)0 可得 1xa，此时 f(x)的单调递减区间为(1，a)，单调递增区间为(0，1)和(a，)综上所述：当 a0 时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)；当 0a1 时，f(x)的单调递减区间为(a，1)，单调递增区间为(0，a)和(1，)；当 a1 时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当 a1 时，f(x)的单调递减区间为(1，a)，单调递增区间为(0，1)和(a，)考点考点四四导主正余型导主正余型【例题选讲例题选讲】例例 12(2017 山东理)已知函数 f(x)x22cosx，g(x)ex(co
24、sxsinx2x2)，其中 e 是自然对数的底数2023 年高考数学专项练习(1)求函数 g(x)的单调区间；(2)讨论函数 h(x)g(x)af(x)(aR)的单调性解析(1)g(x)(ex)(cos xsin x2x2)ex(cos xsin x2x2)2023 年高考数学专项练习ex(cos xsin x2x2sin xcos x2)2ex(xsin x)记 p(x)xsin x，则 p(x)1cos x因为 cos x1，1，所以 p(x)1cos x0，所以函数 p(x)在 R 上单调递增而 p(0)0sin 00，所以当 x0 时，p(x)0，g(x)0 时，p(x)0，g(x)0
25、，函数 g(x)单调递增综上，函数 g(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)(2)因为 h(x)g(x)af(x)ex(cos xsin x2x2)a(x22cos x)，2023 年高考数学专项练习所以 h(x)2ex(xsin x)a(2x2sin x)2(xsin x)(exa)2023 年高考数学专项练习由(1)知，当 x0 时，p(x)xsin x0；当 x0 时，p(x)xsin x0，所以 x0 时，h(x)0，函数 h(x)单调递增；x0 时，h(x)0 时，令 h(x)2(xsin x)(exa)0，解得 x1ln a，x20若 0a1，则 ln a0，所以
26、x(，ln a)时，exa0，函数 h(x)单调递增；2023 年高考数学专项练习x(ln a，0)时，exa0，h(x)0，h(x)0，函数 h(x)单调递增若 a1，则 ln a0，所以 xR 时，h(x)0，函数 h(x)在 R 上单调递增若 a1，则 ln a0，所以 x(，0)时，exa0，函数 h(x)单调递增；2023 年高考数学专项练习x(0，ln a)时，exa0，h(x)0，h(x)0，函数 h(x)单调递增综上所述，当 a0 时，函数 h(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减；当 0a1 时，函数 h(x)在(，0)，(ln a，)上单调递增，在(0，ln a)
27、上单调递减【对点训练对点训练】13(2017山东)已知函数 f(x)13x312ax2，其中参数 aR2023 年高考数学专项练习(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数 g(x)f(x)(xa)cosxsinx，讨论 g(x)的单调性13解析(1)由题意得 f(x)x2ax，所以当 a2 时，f(3)0，f(x)x22x，所以 f(3)3，2023 年高考数学专项练习因此曲线 yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是 y3(x3)，即 3xy90(2)因为 g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以 g(x)f(x)cos x(xa)sin
28、 xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)2023 年高考数学专项练习令 h(x)xsin x，则 h(x)1cos x0，所以 h(x)在 R 上单调递增因为 h(0)0，所以当 x0 时，h(x)0；当 x0 时，h(x)0当 a0 时，g(x)(xa)(xsin x)，当 x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当 x(a，0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增当 a0 时，g(x)x(xsin x)，当 x(，)时，g(x)0，所以 g(x)在(，)上单调递增2023年高考数学专项练习当 a0 时，g(x)(xa)(xsin x)，当 x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当 x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增综上所述，当 a0 时，函数 g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减2023 年高考数学专项练习