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1、高考卷,17届,北京市高考数学卷（文科） 2023年北京市高考数学试卷（文科） 一、选择题 1（5分）已知全集U=R，集合A=x|x2或x2，则UA=（）A（2，2）B（，2）（2，+）C2，2 D（，22，+）2（5分）若复数（1i）（a+i）在复平面内对应的点在其次象限，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1）C（1，+）D（1，+）3（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A2 B C D 4（5分）若x，y满意，则x+2y的最大值为（）A1 B3 C5 D9 5（5分）已知函数f（x）=3x（）x，则f（x）（）A是偶函数，且在R上是增函数 B是奇函数，且在R上是增函数 C
2、是偶函数，且在R上是减函数 D是奇函数，且在R上是减函数 6（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A60 B30 C20 D10 7（5分）设，为非零向量，则“存在负数，使得=”是0”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8（5分）依据有关资料，围棋状态空间困难度的上限M约为3361，而可观测宇宙中一般物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg30.48）A1033 B1053 C1073 D1093 二、填空题 9（5分）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若
3、sin=，则sin= 10（5分）若双曲线x2=1的离心率为，则实数m= 11（5分）已知x0，y0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是 12（5分）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（2，0），O为原点，则的最大值为 13（5分）能够说明“设a，b，c是随意实数若abc，则a+bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 14（5分）某学习小组由学生和老师组成，人员构成同时满意以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于老师人数；（iii）老师人数的两倍多于男学生人数 若老师人数为4，则女学生人数的最大值为 该小组人数的最小值为 解答题 15（13分）已知
4、等差数列an和等比数列bn满意a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5 （）求an的通项公式；（）求和：b1+b3+b5+b2n1 16（13分）已知函数f（x）=cos（2x）2sinxcosx （I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x，时，f（x） 17（13分）某高校艺术专业400名学生参与某次测评，依据男女学生人数比例，运用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30），30，40），80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，
5、试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例 18（14分）如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点 （1）求证：PABD；（2）求证：平面BDE平面PAC；（3）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积 19（14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 （）求椭圆C的方程；（）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点
6、E求证：BDE与BDN的面积之比为4：5 20（13分）已知函数f（x）=excosxx （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值 2023年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题 1（5分）（2023北京）已知全集U=R，集合A=x|x2或x2，则UA=（）A（2，2）B（，2）（2，+）C2，2 D（，22，+）1F：补集及其运算菁优网版权全部 11 ：计算题；37 ：集合思想；5J ：集合 依据已知中集合A和U，结合补集的定义，可得答案 解：集合A=x|x2或x2=（，2）（2，+），全集U=R， UA=2
7、，2， 故选：C 本题考查的学问点是集合的补集及其运算，难度不大，属于基础题 2（5分）（2023北京）若复数（1i）（a+i）在复平面内对应的点在其次象限，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1）C（1，+）D（1，+）A1：虚数单位i及其性质菁优网版权全部 35 ：转化思想；59 ：不等式的解法及应用；5N ：数系的扩充和复数 复数（1i）（a+i）=a+1+（1a）i在复平面内对应的点在其次象限，可得，解得a范围 解：复数（1i）（a+i）=a+1+（1a）i在复平面内对应的点在其次象限， ，解得a1 则实数a的取值范围是（，1） 故选：B 本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式
8、的解法，考查了推理实力与计算实力，属于基础题 3（5分）（2023北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A2 B C D EF：程序框图菁优网版权全部 5K ：算法和程序框图 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的改变状况，可得答案 解：当k=0时，满意进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2， 当k=1时，满意进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=， 当k=2时，满意进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=， 当k=3时，不满意进行循环的条件， 故输出结果为：， 故选：C 本题考查的学问点是程序
9、框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采纳模拟循环的方法解答 4（5分）（2023北京）若x，y满意，则x+2y的最大值为（）A1 B3 C5 D9 7C：简洁线性规划菁优网版权全部 11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可 解：x，y满意的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3）， 目标函数的最大值为：3+23=9 故选：D 本题考查线性规划的简洁应用，画出可行域推断目标函数的最优解是解题的关键 5（5分）（2023北京）已知函数f（x）=3x（）
10、x，则f（x）（）A是偶函数，且在R上是增函数 B是奇函数，且在R上是增函数 C是偶函数，且在R上是减函数 D是奇函数，且在R上是减函数 3N：奇偶性与单调性的综合菁优网版权全部 2A ：探究型；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用 由已知得f（x）=f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”“减”=“增”可得答案 解：f（x）=3x（）x=3x3x， f（x）=3x3x=f（x）， 即函数f（x）为奇函数， 又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数， 故函数f（x）=3x（）x为增函数， 故选：B 本题考查的学问点是函数的奇偶性，函数的单调
11、性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题 6（5分）（2023北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A60 B30 C20 D10 L!：由三视图求面积、体积菁优网版权全部 31 ：数形结合；35 ：转化思想；5F ：空间位置关系与距离 由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示 解：由三视图可知：该几何体为三棱锥， 该三棱锥的体积=10 故选：D 本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理实力与计算实力，属于基础题 7（5分）（2023北京）设，为非零向量，则“存在负数，使得=”是0”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也
12、不必要条件 2L：必要条件、充分条件与充要条件的推断菁优网版权全部 35 ：转化思想；5A ：平面对量及应用；5L ：简易逻辑 ，为非零向量，存在负数，使得=，则向量，共线且方向相反，可得0反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满意0，而=不成立即可推断出结论 解：，为非零向量，存在负数，使得=，则向量，共线且方向相反，可得0 反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满意0，而=不成立 ，为非零向量，则“存在负数，使得=”是0”的充分不必要条件 故选：A 本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理实力与计算实力，属于基础题 8（5分）（2023北京）依据有关资料，围棋状态空
13、间困难度的上限M约为3361，而可观测宇宙中一般物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg30.48）A1033 B1053 C1073 D1093 4G：指数式与对数式的互化菁优网版权全部 11 ：计算题 依据对数的性质：T=，可得：3=10lg3100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果 解：由题意：M3361，N1080， 依据对数性质有：3=10lg3100.48， M3361（100.48）36110173， =1093， 故本题选：D 本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简洁题 二、
14、填空题 9（5分）（2023北京）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin=，则sin= GI：三角函数的化简求值菁优网版权全部 11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；56 ：三角函数的求值 推导出+=+2k，kZ，从而sin=sin（+2k）=sin，由此能求出结果 解：在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称， +=+2k，kZ， sin=， sin=sin（+2k）=sin= 故答案为： 本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础学问，考查推理论证实力、运算求解实力、空间想象实力，考查数形
15、结合思想、化归与转化思想，是基础题 10（5分）（2023北京）若双曲线x2=1的离心率为，则实数m=2 KC：双曲线的简洁性质菁优网版权全部 11 ：计算题；35 ：转化思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程 利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可 解：双曲线x2=1（m0）的离心率为， 可得：， 解得m=2 故答案为：2 本题考查双曲线的简洁性质，考查计算实力 11（5分）（2023北京）已知x0，y0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是，1 3W：二次函数的性质菁优网版权全部 11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用 利用已知条件转化所求表达
16、式，通过二次函数的性质求解即可 解：x0，y0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1x）2=2x22x+1，x0，1， 则令f（x）=2x22x+1，x0，1，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f（）= 最大值为：f（1）=22+1=1 则x2+y2的取值范围是：，1 故答案为：，1 本题考查二次函数的简洁性质的应用，考查转化思想以及计算实力 12（5分）（2023北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（2，0），O为原点，则的最大值为6 9R：平面对量数量积的运算菁优网版权全部 35 ：转化思想；56 ：三角函数的求值；5A ：平面对量及应用；5B ：直线与圆
17、 设P（cos，sin）可得=（2，0），=（cos+2，sin）利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出 解：设P（cos，sin）.=（2，0），=（cos+2，sin） 则=2（cos+2）6，当且仅当cos=1时取等号 故答案为：6 本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程，考查了推理实力与计算实力，属于中档题 13（5分）（2023北京）能够说明“设a，b，c是随意实数若abc，则a+bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为1，2，3 FC：反证法菁优网版权全部 11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑 设a，b，c是随意实
18、数若abc，则a+bc”是假命题，则若abc，则a+bc”是真命题，举例即可，本题答案不唯一 解：设a，b，c是随意实数若abc，则a+bc”是假命题， 则若abc，则a+bc”是真命题， 可设a，b，c的值依次1，2，3，（答案不唯一）， 故答案为：1，2，3 本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题 14（5分）（2023北京）某学习小组由学生和老师组成，人员构成同时满意以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于老师人数；（iii）老师人数的两倍多于男学生人数 若老师人数为4，则女学生人数的最大值为6 该小组人数的最小值为12 7C：简洁线性规划菁优网版权全
19、部 11 ：计算题；5L ：简易逻辑；5M ：推理和证明 设男学生女学生分别为x，y人，若老师人数为4，则，进而可得答案；设男学生女学生分别为x，y人，老师人数为z，则，进而可得答案；解：设男学生女学生分别为x，y人， 若老师人数为4， 则，即4yx8， 即x的最大值为7，y的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6 设男学生女学生分别为x，y人，老师人数为z， 则，即zyx2z 即z最小为3才能满意条件， 此时x最小为5，y最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12 本题考查的学问点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档 三、解答题 15（13分）（2023北京）已知等差
20、数列an和等比数列bn满意a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5 （）求an的通项公式；（）求和：b1+b3+b5+b2n1 8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合菁优网版权全部 11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列 （）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求an的通项公式；（）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可 解：（）等差数列an，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2， 所以an的通项公式：an=1+（n1）2=2n1 （）由（）可得a5=a1+4d=9， 等比数列bn满意b1=1，b2b4
21、=9可得b3=3，或3（舍去）（等比数列奇数项符号相同） q2=3， b2n1是等比数列，公比为3，首项为1 b1+b3+b5+b2n1= 本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算实力 16（13分）（2023北京）已知函数f（x）=cos（2x）2sinxcosx （I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x，时，f（x） H1：三角函数的周期性及其求法；GA：三角函数线；GL：三角函数中的恒等变换应用菁优网版权全部 11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；56 ：三角函数的求值；57 ：三角函数的图像与性质 （）依据两角差的余弦公式和两角和正弦公式
22、即可求出f（x）sin（2x+），依据周期的定义即可求出， （）依据正弦函数的图象和性质即可证明 解：（）f（x）=cos（2x）2sinxcosx， =（co2x+sin2x）sin2x， =cos2x+sin2x， =sin（2x+）， T=， f（x）的最小正周期为， （）x， 2x+， sin（2x+）1， f（x） 本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于基础题 17（13分）（2023北京）某高校艺术专业400名学生参与某次测评，依据男女学生人数比例，运用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30），30，40），
23、80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例 B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版权全部 11 ：计算题；27 ：图表型；5I ：概率与统计 （）依据频率=组距高，可得分数小于70的概率为：1（0.04+0.02）10；（）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间40，50）内的频率，可估计总体中分数在区
24、间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等进而得到答案 解：（）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1（0.04+0.02）10=0.4 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05， 则分数在区间40，50）内的频率为：1（0.04+0.02+0.02+0.01）100.05=0.05， 估计总体中分数在区间40，50）内的人数为4000.05=20人， （）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于
25、70的男女生人数相等 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70， 故男生的频率为：0.6， 即女生的频率为：0.4， 即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2 本题考查的学问点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题 18（14分）（2023北京）如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点 （1）求证：PABD；（2）求证：平面BDE平面PAC；（3）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积 LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质；LY：平面与平面垂直
26、的判定菁优网版权全部 35 ：转化思想；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距离 （1）运用线面垂直的判定定理可得PA平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE平面PAC，可证BD平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BDAC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PADE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值 解：（1）证明：由PAAB，PABC， AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBC=B， 可得PA平面ABC， 由B
27、D平面ABC， 可得PABD；（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点， 可得BDAC， 由PA平面ABC，PA平面PAC， 可得平面PAC平面ABC， 又平面ABC平面ABC=AC， BD平面ABC，且BDAC， 即有BD平面PAC， BD平面BDE， 可得平面BDE平面PAC；（3）PA平面BDE，PA平面PAC， 且平面PAC平面BDE=DE， 可得PADE， 又D为AC的中点， 可得E为PC的中点，且DE=PA=1， 由PA平面ABC， 可得DE平面ABC， 可得SBDC=SABC=22=1， 则三棱锥EBCD的体积为DESBDC=11= 本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的
28、推断，主要是平行和垂直的关系，留意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象实力和推理实力，属于中档题 19（14分）（2023北京）已知椭圆C的两个顶点分别为A（2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 （）求椭圆C的方程；（）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E求证：BDE与BDN的面积之比为4：5 KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程菁优网版权全部 31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程 （）由题意设
29、椭圆方程，由a=2，依据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2c2=1，即可求得椭圆的方程；（）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联马上可求得E点坐标，依据三角形的相像关系，即可求得=，因此可得BDE与BDN的面积之比为4：5 解：（）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（ab0）， 则a=2，e=，则c=， b2=a2c2=1， 椭圆C的方程；（）证明：设D（x0，0），（2x02），M（x0，y0），N（x0，y0），y00， 由M，N在椭圆上，则，则x02=44y02， 则直线AM的斜率kAM=，直线DE的斜率kDE=， 直线DE的方程：y=（xx0）， 直线BN的斜率kBN=，直
30、线BN的方程y=（x2）， ，解得：， 过E做EHx轴，BHEBDN， 则丨EH丨=， 则=， ：BDE与BDN的面积之比为4：5 本题考查椭圆的标准方程及简洁几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相像三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题 20（13分）（2023北京）已知函数f（x）=excosxx （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值 6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数探讨曲线上某点切线方程菁优网版权全部 34 ：方程思想；48 ：分析法；53 ：导数的综合应用 （1）求出f（x）的导数，可
31、得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间0，的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值 解：（1）函数f（x）=excosxx的导数为f（x）=ex（cosxsinx）1， 可得曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为k=e0（cos0sin0）1=0， 切点为（0，e0cos00），即为（0，1）， 曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=excosxx的导数为f（x）=ex（cosxsinx）1， 令g（x）=ex（cosxsinx）
32、1， 则g（x）的导数为g（x）=ex（cosxsinxsinxcosx）=2exsinx， 当x0，可得g（x）=2exsinx0， 即有g（x）在0，递减，可得g（x）g（0）=0， 则f（x）在0，递减， 即有函数f（x）在区间0，上的最大值为f（0）=e0cos00=1；最小值为f（）=ecos= 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算实力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题 参加本试卷答题和审题的老师有：豫汝王世崇；沂蒙松；qiss；zlzhan；whgcn；双曲线；铭灏2023（排名不分先后）菁优网 2023年8月1日 考点卡片 1补集及其
33、运算 一般地，假如一个集合含有我们所探讨问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U（通常把给定的集合作为全集） 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的全部元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA=x|xU，且xA其图形表示如图所示的Venn图 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事务，否命题，反证法 通常状况下以小题出现，高考中干脆求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现 2必要条件、充分条件与充要条件的推断 正确理解和推断充分条件、必要条件、充要条件
34、和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；驾驭逻辑推理实力和语言互译实力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点 1充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即假如p成立，那么q肯定成立，记作“pq”，称p为q的充分条件意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件如p：x6，q：x2，p是q成立的充分条件，而r：x3，也是q成立的充分条件 必要条件：假如q成立，那么p成立，即“qp”，或者假如p不成立，那么q肯定不成立，也就是“若非p则非q”，记作“pq”，这是就说条件p是q的必要条件，意思是说条件p是q成立的必需
35、具备的条件 充要条件：假如既有“pq”，又有“qp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“pq” 2从集合角度看概念：假如条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示，那么 “pq”，相当于“PQ”即：要使xQ成立，只要xP就足够了有它就行 “qp”，相当于“PQ”，即：为使xQ成立，必需要使xP缺它不行 “pq”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物 3当命题“若p则q”为真时，可表示为，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件这里由，得出p为q的充分条件是简单理解的但为什么说q是p的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”它的意义是
36、：若q不成立，则p肯定不成立这就是说，q对于p是必不行少的，所以说q是p的必要条件 4“充要条件”的含义，事实上与初中所学的“等价于”的含义完全相同也就是说，假如命题p等价于命题q，那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立；同时有命题q成立的充要条件是命题p成立 1借助于集合学问加以推断，若PQ，则P是Q的充分条件，Q是的P的必要条件；若P=Q，则P与Q互为充要条件 2等价法：“PQ”“QP”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的 3对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种状况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“”
37、连接 充要条件主要是探讨命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的中学乃至高校数学推理学习的基础在每年的高考中，都会考查此类问题 3奇偶性与单调性的综合 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般状况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要驾驭奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯穿，敏捷运用在重复一下它们的性质 奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内随意一个x，都有f（x）=f（x），其图象特点是关于（0，0）对称偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内随意一个x，都有f（x）=f（x），其图象特点是关于y轴对称 参照奇偶函数的性质
38、那一考点，有：奇函数：假如函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量；奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）=f（x）解相关参数；偶函数：在定义域内一般是用f（x）=f（x）这个去求解；对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一样，而偶函数的单调性相反 例题：假如f（x）=为奇函数，那么a= 解：由题意可知，f（x）的定义域为R， 由奇函数的性质可知，f（x）=f（x）a=1 奇偶性与单调性的综合 不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多，肯定要重视这一个学问点 4二次函数的性质 其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定
39、、韦达定理以及中学学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移 以y=ax2+bx+c为例：开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a0（0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=；最值为：f（）；判别式=b24ac，当=0时，函数与x轴只有一个交点；0时，与x轴有两个交点；当0时无交点 根与系数的关系若0，且x1、x2为方程y=ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=，x1x2=；二次函数其实也就是抛物线，所以x2=2py的焦点为（0，），准线方程为y=，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离 平移：当y=a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a（x1+b）2+c；例题：y=2x2+x
40、3 那么由20，可知抛物线开口向上，对称轴为x=，最小值为f（）=，；=1+24=250，故方程2x2+x3=0有两个根，其满意x1+x2=；x1x2=；另外，方程可以写成（y+）=2（x+）2，当沿x轴向右，在向下平移时，就变成y=2x2； 重点关注中学所学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移另外在解析几何当做要敏捷运用韦达定理 5指数式与对数式的互化 ab=NlogaN=b； alogaN=N；logaaN=N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）af（x）=bf（x）=logab；logaf（x）=bf（x）=ab（定义法）（2）af（x）=ag（x）f（x）=g（x）；logaf（
41、x）=logag（x）f（x）=g（x）0（同底法）（3）af（x）=bg（x）f（x）logma=g（x）logmb；（两边取对数法）（4）logaf（x）=logbg（x）logaf（x）=；（换底法）（5）Alogx+Blogax+C=0（A（ax）2+Bax+C=0）（设t=logax或t=ax）（换元法）6利用导数求闭区间上函数的最值 一、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数f（x）在点x0旁边有定义，假如对x0旁边的全部的点，都有f（x）f（x0），就说f（x0）是函数的一个极大值，记作y极大值=f（x0），是极大值点 2、微小值 一般地，设函数f（x）在x0旁边有定义
42、，假如对x0旁边的全部的点，都有f（x）f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个微小值，记作y微小值=f（x0），是微小值点 3、极大值与微小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请留意以下几点：（）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它旁边点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的完全的定义域内最大或最小 （）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或微小值可以不止一个 （）极大值与微小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于微小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是微小值点，而f（x4）f（
43、x1） （）函数的极值点肯定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4、判别f（x0）式极大值、微小值的方法：若x0满意f（x0）=0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且假如f（x）在x0两侧满意“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；假如f（x）在x0两侧满意“左负右正”，则x0是f（x）的微小值点，f（x0）是微小值 5、求可导函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f（x）；（2）求方程f（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点
44、，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f（x）在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f（x）在这个根处取得微小值；假如左右不变更符号，那么f（x）在这个根处无极值 二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值 视察图中一个定义在闭区间a，b上的函数f（x）的图象图中f（x1）与f（x3）是微小值，f（x2）是极大值函数f（x）在a，b上的最大值是f（b），最小值是f（x1） 一般地，在闭区间a，b上连续的函数f（x）在a，b上必有最大值与最小值 说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不肯定有最大值与
45、最小值如函数f（x）=在（0，+）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点旁边函数值得出的 （3）函数f（x）在闭区间a，b上连续，是f（x）在闭区间a，b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件 （4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数全部的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了 设函数f（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在a，b上的最值 在理解极值概念时要留意以下几点：（1）