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1、2 0 2 2 年 浙 江 省 高 考 数 学 真 题 及 答 案姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _本 试 题 卷 分 选 择 题 和 非 选 择 题 两 部 分.全 卷 共 4 页，选 择 题 部 分 1 至 3 页；非 选 择 题 部 分 3至 4 页 满 分 1 5 0 分，考 试 时 间 1 2 0 分 钟.考 生 注 意：1 答 题 前，请 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 或 钢 笔 分 别 填 写 在 试 题 卷和 答 题 纸 规 定 的 位
2、置 上.2 答 题 时，请 按 照 答 题 纸 上“注 意 事 项”的 要 求，在 答 题 纸 相 应 的 位 置 上 规 范 作 答，在 本试 题 卷 上 的 作 答 一 律 无 效.参 考 公 式：如 果 事 件 A，B 互 斥，则 柱 体 的 体 积 公 式()()()P A B P A P B V S h 如 果 事 件 A，B 相 互 独 立，则 其 中 S 表 示 柱 体 的 底 面 积，h 表 示 柱体 的 高()()()P A B P A P B 锥 体 的 体 积 公 式若 事 件 A 在 一 次 试 验 中 发 生 的 概 率 是 p，则 n 次13V S h 独 立 重
3、复 试 验 中 事 件 A 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 其 中 S 表 示 锥 体 的 底 面 积，h 表 示 锥体 的 高()(1)(0,1,2,)k k n kn nP k C p p k n 球 的 表 面 积 公 式台 体 的 体 积 公 式24 S R 1 1 2 213V S S S S h 球 的 体 积 公 式其 中1 2,S S 表 示 台 体 的 上、下 底 面 积，343V R h 表 示 台 体 的 高 其 中 R 表 示 球 的 半 径选 择 题 部 分（共 4 0 分）一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 4 分，共 4 0 分 在 每
4、 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1.设 集 合 1,2,2,4,6 A B，则 A B（）A.2 B.1,2 C.2,4,6 D.1,2,4,6 2.已 知,3 i(i)i a b a b R（i 为 虚 数 单 位），则（）A.1,3 a b B.1,3 a b C.1,3 a b D.1,3 a b 3.若 实 数 x，y 满 足 约 束 条 件2 0,2 7 0,2 0,xx yx y 则3 4 z x y 的 最 大 值 是（）A.2 0 B.1 8 C.1 3 D.64.设 x R，则“s i n 1 x”是“c os 0 x”
5、的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充分 也 不 必 要 条 件5.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示（单 位：c m），则 该 几 何 体 的 体 积（单 位：3c m）是（）A.2 2 B.8 C.223D.1 636.为 了 得 到 函 数 2 s i n 3 y x 的 图 象，只 要 把 函 数2 s i n 35y x 图 象 上 所 有 的 点（）A.向 左 平 移5个 单 位 长 度 B.向 右 平 移5个 单 位 长 度C.向 左 平 移1 5个 单 位 长 度 D.向 右 平 移1 5个
6、单 位 长 度7.已 知82 5,l o g 3ab，则34a b（）A.2 5 B.5 C.2 59D.538.如 图，已 知 正 三 棱 柱1 1 1 1,A B C A B C A C A A，E，F 分 别 是 棱1 1,B C A C 上 的 点 记 E F与1A A 所 成 的 角 为，E F 与 平 面 A B C 所 成 的 角 为，二 面 角 F B C A 的 平 面 角 为，则（）A.B.C.D.9.已 知,a b R，若 对 任 意,|4|2 5|0 x a x b x x R，则（）A.1,3 a b B.1,3 a b C.1,3 a b D.1,3 a b 1 0
7、.已 知 数 列 na 满 足 21 111,3n n na a a a n N，则（）A.1 0 052 1 0 02a B.1 0 051 0 0 32a C.1 0 073 1 0 02a D.1 0 071 0 0 42a 非 选 择 题 部 分（共 1 1 0 分）二、填 空 题：本 大 题 共 7 小 题，单 空 题 每 题 4 分，多 空 题 每 空 3 分，共 3 6 分 1 1.我 国 南 宋 著 名 数 学 家 秦 九 韶，发 现 了 从 三 角 形 三 边 求 面 积 的 公 式，他 把 这 种 方 法 称 为“三 斜 求 积”，它 填 补 了 我 国 传 统 数 学 的
8、 一 个 空 白 如 果 把 这 个 方 法 写 成 公 式，就 是22 2 22 214 2c a bS c a，其 中 a，b，c 是 三 角 形 的 三 边，S 是 三 角 形 的 面 积 设某 三 角 形 的 三 边2,3,2 a b c，则 该 三 角 形 的 面 积 S _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 2.已 知 多 项 式4 2 3 4 50 1 2 3 4 5(2)(1)x x a a x a x a x a x a x，则2a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，1 2 3 4 5a a a a a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 3.若
9、3 s i n s i n 1 0,2，则 s i n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，c o s 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 4.已 知 函 数 22,1,11,1,x xf xx xx 则12f f _ _ _ _ _ _ _ _；若 当,x a b 时，1()3 f x，则 b a 的 最 大 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5.现 有 7 张 卡 片，分 别 写 上 数 字 1，2，2，3，4，5，6 从 这 7 张 卡 片 中 随 机 抽 取 3 张，记 所 抽 取 卡 片 上 数 字 的 最 小 值 为，则(2)P _ _ _ _ _ _ _
10、 _ _ _，()E _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6.已 知 双 曲 线2 22 21(0,0)x ya ba b 的 左 焦 点 为 F，过 F 且 斜 率 为4ba的 直 线 交 双 曲 线 于点 1 1,A x y，交 双 曲 线 的 渐 近 线 于 点 2 2,B x y 且1 20 x x 若|3|F B F A，则 双 曲线 的 离 心 率 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 7.设 点 P 在 单 位 圆 的 内 接 正 八 边 形1 2 8A A A 的 边1 2A A 上，则2 2 21 82P A P A P A 的取 值 范 围 是 _ _ _ _ _
11、 _ _ 三、解 答 题：本 大 题 共 5 小 题，共 7 4 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 8.在 A B C 中，角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c 已 知34 5,c o s5a c C（1）求 s i n A 的 值；（2）若 1 1 b，求 A B C 的 面 积 1 9.如 图，已 知 A B C D 和 C D E F 都 是 直 角 梯 形，/A B D C，/D C E F，5 A B，3 D C，1 E F，6 0 B A D C D E，二 面 角 F D C B 的 平 面 角 为 6 0 设 M，
12、N 分 别 为,A E B C 的 中 点（1）证 明：F N A D；（2）求 直 线 B M 与 平 面 A D E 所 成 角 的 正 弦 值 2 0.已 知 等 差 数 列 na 的 首 项11 a，公 差 1 d 记 na 的 前 n 项 和 为 nS n N（1）若4 2 32 6 0 S a a，求nS；（2）若 对 于 每 个n N，存 在 实 数nc，使1 2,4,1 5n n n n n na c a c a c 成 等 比 数 列，求 d的 取 值 范 围 2 1.如 图，已 知 椭 圆22112xy 设 A，B 是 椭 圆 上 异 于(0,1)P 的 两 点，且 点 0
13、,21Q 在 线段 A B 上，直 线,P A P B 分 别 交 直 线132y x 于 C，D 两 点（1）求 点 P 到 椭 圆 上 点 的 距 离 的 最 大 值；（2）求|C D 的 最 小 值 2 2.设 函 数e()l n(0)2f x x xx（1）求()f x的 单 调 区 间；（2）已 知,a b R，曲 线()y f x 上 不 同 的 三 点 1 1 2 2 3 3,x f x x f x x f x 处 的切 线 都 经 过 点(,)a b 证 明：（）若e a，则10()12 eab f a；（）若1 2 30 e,a x x x，则2 21 32 e 1 1 2
14、ee 6 e 6 ea ax x a（注：e 2.7 1 8 2 8 是 自 然 对 数 的 底 数）浙 江 卷 数 学 试 题 解 析本 试 题 卷 分 选 择 题 和 非 选 择 题 两 部 分.全 卷 共 4 页，选 择 题 部 分 1 至 3 页；非 选 择 题 部 分 3至 4 页 满 分 1 5 0 分，考 试 时 间 1 2 0 分 钟.参 考 公 式：如 果 事 件 A，B 互 斥，则 柱 体 的 体 积 公 式()()()P A B P A P B V S h 如 果 事 件 A，B 相 互 独 立，则 其 中 S 表 示 柱 体 的 底 面 积，h 表 示 柱体 的 高()
15、()()P A B P A P B 锥 体 的 体 积 公 式若 事 件 A 在 一 次 试 验 中 发 生 的 概 率 是 p，则 n 次13V S h 独 立 重 复 试 验 中 事 件 A 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 其 中 S 表 示 锥 体 的 底 面 积，h 表 示 锥体 的 高()(1)(0,1,2,)k k n kn nP k C p p k n 球 的 表 面 积 公 式台 体 的 体 积 公 式24 S R 1 1 2 213V S S S S h 球 的 体 积 公 式其 中1 2,S S 表 示 台 体 的 上、下 底 面 积，343V R h 表 示 台 体
16、的 高 其 中 R 表 示 球 的 半 径选 择 题 部 分（共 4 0 分）一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 4 分，共 4 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1.设 集 合 1,2,2,4,6 A B，则 A B（）A.2 B.1,2 C.2,4,6 D.1,2,4,6【答 案】D【解 析】【分 析】利 用 并 集 的 定 义 可 得 正 确 的 选 项.【详 解】1,2,4,6 A B，故 选：D.2.已 知,3 i(i)i a b a b R（i 为 虚 数 单 位），则（）A.1,3 a b
17、 B.1,3 a b C.1,3 a b D.1,3 a b【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 复 数 相 等 的 条 件 可 求,a b.【详 解】3 i 1 i a b，而,a b 为 实 数，故 1,3 a b，故 选：B.3.若 实 数 x，y 满 足 约 束 条 件2 0,2 7 0,2 0,xx yx y 则3 4 z x y 的 最 大 值 是（）A.2 0 B.1 8 C.1 3 D.6【答 案】B【解 析】【分 析】在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 可 行 域，平 移 动 直 线3 4 z x y 后 可 求 最 大 值.【详 解】不 等 式 组 对 应 的 可
18、 行 域 如 图 所 示：当 动 直 线 3 4 0 x y z 过 A 时z有 最 大 值.由22 7 0 xx y 可 得23xy，故 2,3 A，故m a x3 2 4 3 18 z，故 选：B.4.设 x R，则“s i n 1 x”是“c o s 0 x”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充分 也 不 必 要 条 件【答 案】A【解 析】【分 析】由 三 角 函 数 的 性 质 结 合 充 分 条 件、必 要 条 件 的 定 义 即 可 得 解.【详 解】因 为2 2s i n c o s 1 x x 可 得
19、：当 s i n 1 x 时，c o s 0 x，充 分 性 成 立；当 c o s 0 x 时，s i n 1 x，必 要 性 不 成 立；所 以 当 x R，s i n 1 x 是 c o s 0 x 的 充 分 不 必 要 条 件.故 选：A.5.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示（单 位：c m），则 该 几 何 体 的 体 积（单 位：3c m）是（）A.2 2 B.8 C.223D.1 63【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 三 视 图 还 原 几 何 体 可 知，原 几 何 体 是 一 个 半 球，一 个 圆 柱，一 个 圆 台 组 合 成 的几 何 体，即 可
20、根 据 球，圆 柱，圆 台 的 体 积 公 式 求 出【详 解】由 三 视 图 可 知，该 几 何 体 是 一 个 半 球，一 个 圆 柱，一 个 圆 台 组 合 成 的 几 何 体，球 的半 径，圆 柱 的 底 面 半 径，圆 台 的 上 底 面 半 径 都 为 1c m，圆 台 的 下 底 面 半 径 为 2c m，所 以 该几 何 体 的 体 积 3 2 2 2 2 21 4 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 12 3 3 3V 3c m故 选：C 6.为 了 得 到 函 数 2 s i n 3 y x 的 图 象，只 要 把 函 数2 s i n 35y x 图 象 上 所 有
21、的 点（）A.向 左 平 移5个 单 位 长 度 B.向 右 平 移5个 单 位 长 度C.向 左 平 移1 5个 单 位 长 度 D.向 右 平 移1 5个 单 位 长 度【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 三 角 函 数 图 象 的 变 换 法 则 即 可 求 出【详 解】因 为 2 s i n 3 2 s i n 31 5 5y x x，所 以 把 函 数2 s i n 35y x 图 象 上的 所 有 点 向 右 平 移1 5个 单 位 长 度 即 可 得 到 函 数 2 s i n 3 y x 的 图 象 故 选：D.7.已 知82 5,l o g 3ab，则34a b（）A.2
22、 5 B.5 C.2 59D.53【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 指 数 式 与 对 数 式 的 互 化，幂 的 运 算 性 质 以 及 对 数 的 运 算 性 质 即 可 解 出【详 解】因 为2 5a，8 21l o g 3 l o g 33b，即32 3b，所 以 2232 3 2324 5 2 544 3 92aaa bbb 故 选：C.8.如 图，已 知 正 三 棱 柱1 1 1 1,A B C A B C A C A A，E，F 分 别 是 棱1 1,B C A C 上 的 点 记 E F与1A A 所 成 的 角 为，E F 与 平 面 A B C 所 成 的 角 为，二
23、 面 角 F B C A 的 平 面 角 为，则（）A.B.C.D.【答 案】A【解 析】【分 析】先 用 几 何 法 表 示 出，再 根 据 边 长 关 系 即 可 比 较 大 小【详 解】如 图 所 示，过 点 F 作 F P A C 于 P，过 P 作 P M B C 于 M，连 接 P E，则 E F P，F E P，F M P，t a n 1P E P EF P A B，t a n 1F P A BP E P E，t a n t a nF P F PP M P E，所 以，故 选：A 9.已 知,a b R，若 对 任 意,|4|2 5|0 x a x b x x R，则（）A.1,
24、3 a b B.1,3 a b C.1,3 a b D.1,3 a b【答 案】D【解 析】【分 析】将 问 题 转 换 为|2 5|4|a x b x x，再 结 合 画 图 求 解【详 解】由 题 意 有：对 任 意 的 x R，有|2 5|4|a x b x x 恒 成 立 设|f x a x b，51,252 5 4 3 9,421,4x xg x x x x xx x，即 f x 的 图 像 恒 在 g x 的 上 方（可 重 合），如 下 图 所 示：由 图 可 知，3 a，1 3 b，或 1 3 a，31 4 3 ba，故 选：D 1 0.已 知 数 列 na 满 足 21 11
25、1,3n n na a a a n N，则（）A.1 0 052 1 0 02a B.1 0 051 0 0 32a C.1 0 073 1 0 02a D.1 0 071 0 0 42a【答 案】B【解 析】【分 析】先 通 过 递 推 关 系 式 确 定 na 除 去1a，其 他 项 都 在()0,1 范 围 内，再 利 用 递 推 公 式变 形 得 到11 1 1 13 3n n na a a，累 加 可 求 出1 1(2)3nna，得 出100100 3 a，再 利 用11 1 1 1 1 1133 3 132n n na a a nn，累 加 可 求 出 1 1 1 1 1 11 1
26、3 3 2 3nna n，再 次 放 缩 可 得 出10051002a【详 解】11 a，易 得 220,13a，依 次 类 推 可 得 0,1na 由 题 意，1113n n na a a，即 11 3 1 13 3n n n n na a a a a，11 1 1 13 3n n na a a，即2 11 1 13 a a，3 21 1 13 a a，4 31 1 13 a a，11 1 1,(2)3n nna a，累 加 可 得 1 11 13nna，即1 1(2),(2)3nn na，3,22na nn，即100134a，100100100 334a,又11 1 1 1 1 11,(2
27、)33 3 132n n nna a a nn，2 11 1 1 113 2 a a，3 21 1 1 113 3 a a，4 31 1 1 113 4 a a，11 1 1 11,(3)3n nna a n，累 加 可 得 1 1 1 1 1 11 1,(3)3 3 2 3nn na n，1 0 01 1 1 1 1 1 1 11 3 3 3 3 4 9 4 3 93 2 3 9 9 3 2 6 a，即100140a，1 0 014 0a，即10051002a；综 上：1 0 051 0 0 32a 故 选：B【点 睛】关 键 点 点 睛：解 决 本 题 的 关 键 是 利 用 递 推 关
28、系 进 行 合 理 变 形 放 缩.非 选 择 题 部 分（共 1 1 0 分）二、填 空 题：本 大 题 共 7 小 题，单 空 题 每 题 4 分，多 空 题 每 空 3 分，共 3 6 分 1 1.我 国 南 宋 著 名 数 学 家 秦 九 韶，发 现 了 从 三 角 形 三 边 求 面 积 的 公 式，他 把 这 种 方 法 称 为“三 斜 求 积”，它 填 补 了 我 国 传 统 数 学 的 一 个 空 白 如 果 把 这 个 方 法 写 成 公 式，就 是22 2 22 214 2c a bS c a，其 中 a，b，c 是 三 角 形 的 三 边，S 是 三 角 形 的 面 积
29、设某 三 角 形 的 三 边2,3,2 a b c，则 该 三 角 形 的 面 积 S _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2 34.【解 析】【分 析】根 据 题 中 所 给 的 公 式 代 值 解 出【详 解】因 为22 2 22 214 2c a bS c a，所 以24 2 3 1 234 2 44 2 S 故 答 案 为：2 34.1 2.已 知 多 项 式4 2 3 4 50 1 2 3 4 5(2)(1)x x a a x a x a x a x a x，则2a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，1 2 3 4 5a a a a a _ _ _ _ _ _
30、_ _ _ _ _【答 案】.8.2【解 析】【分 析】第 一 空 利 用 二 项 式 定 理 直 接 求 解 即 可，第 二 空 赋 值 去 求，令 0 x 求 出0a，再 令 1 x 即 可 得 出 答 案【详 解】含2x的 项 为：3 23 2 2 2 2 24 4C 1 2 C 1 4 1 2 8 x x x x x x，故28 a；令 0 x，即02 a，令 1 x，即0 1 2 3 4 50 a a a a a a，1 2 3 4 52 a a a a a，故 答 案 为：8；2 1 3.若 3 s i n s i n 1 0,2，则 s i n _ _ _ _ _ _ _ _ _
31、 _，c o s 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】.3 1010.45【解 析】【分 析】先 通 过 诱 导 公 式 变 形，得 到的 同 角 等 式 关 系，再 利 用 辅 助 角 公 式 化 简 成 正 弦 型函 数 方 程，可 求 出，接 下 来 再 求【详 解】2，s i n c o s，即3 s i n c os 10，即3 10 1010 s i n c os 1010 10，令1 0s i n1 0，3 1 0c o s1 0，则 10 s i n 10，22k k Z，即 22k，3 10s i n s i n 2 c os2 10k，则2 24c os 2 2
32、 c os 1 2 s i n 15 故 答 案 为：3 1010；451 4.已 知 函 数 22,1,11,1,x xf xx xx 则12f f _ _ _ _ _ _ _ _；若 当,x a b 时，1()3 f x，则 b a 的 最 大 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】.3 72 8.3 3#3+3【解 析】【分 析】结 合 分 段 函 数 的 解 析 式 求 函 数 值，由 条 件 求 出a的 最 小 值,b 的 最 大 值 即 可.【详 解】由 已 知21 1 7()22 2 4f，7 7 4 3 7()14 4 7 2 8f，所 以1 3 7()2 2 8
33、f f，当 1 x 时，由 1()3 f x 可 得21 2 3 x，所 以 1 1 x，当 1 x 时，由 1()3 f x 可 得11 1 3 xx，所 以1 2 3 x，1()3 f x 等 价 于1 2 3 x，所 以,1,2 3 a b，所 以 b a 的 最 大 值 为3 3.故 答 案 为：3 72 8，3 3.1 5.现 有 7 张 卡 片，分 别 写 上 数 字 1，2，2，3，4，5，6 从 这 7 张 卡 片 中 随 机 抽 取 3 张，记 所 抽 取 卡 片 上 数 字 的 最 小 值 为，则(2)P _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，()E _ _ _ _ _
34、_ _ _ _【答 案】.1635，.1 27#517【解 析】【分 析】利 用 古 典 概 型 概 率 公 式 求(2)P，由 条 件 求 分 布 列，再 由 期 望 公 式 求 其 期 望.【详 解】从 写 有 数 字 1,2,2,3,4,5,6 的 7 张 卡 片 中 任 取 3 张 共 有37C 种 取 法，其 中 所 抽 取 的卡 片 上 的 数 字 的 最 小 值 为 2 的 取 法 有1 1 24 2 4C C C 种，所 以1 1 24 2 437C C C 16(2)C 35P，由 已 知 可 得 的 取 值 有 1，2，3，4，2637C 15(1)C 35P，16(2)3
35、5P，233 37 7C 3 1 13 4C 35 C 35P P，所 以1 5 1 6 3 1 1 2()1 2 3 43 5 3 5 3 5 3 5 7E,故 答 案 为：1635，1 27.1 6.已 知 双 曲 线2 22 21(0,0)x ya ba b 的 左 焦 点 为 F，过 F 且 斜 率 为4ba的 直 线 交 双 曲 线 于点 1 1,A x y，交 双 曲 线 的 渐 近 线 于 点 2 2,B x y 且1 20 x x 若|3|F B F A，则 双 曲线 的 离 心 率 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】3 64【解 析】【分 析】联 立 直 线 A
36、 B 和 渐 近 线2:bl y xa 方 程，可 求 出 点 B，再 根 据|3|F B F A 可 求得 点 A，最 后 根 据 点 A 在 双 曲 线 上，即 可 解 出 离 心 率【详 解】过 F 且 斜 率 为4ba的 直 线:()4bA B y x ca，渐 近 线2:bl y xa，联 立()4by x caby xa，得,3 3c b cBa，由|3|F B F A，得5,9 9c bcAa 而 点 A 在 双 曲 线 上，于 是2 2 22 2 22 518 1 8 1c b ca a b，解 得：228124ca，所 以 离 心 率3 6e4.故 答 案 为：3 641 7
37、.设 点 P 在 单 位 圆 的 内 接 正 八 边 形1 2 8A A A 的 边1 2A A 上，则2 2 21 82P A P A P A 的取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _【答 案】1 2 2 2,1 6【解 析】【分 析】根 据 正 八 边 形 的 结 构 特 征，分 别 以 圆 心 为 原 点，3 7A A 所 在 直 线 为x轴，5 1A A 所 在直 线 为y轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，即 可 求 出 各 顶 点 的 坐 标，设(,)P x y，再 根 据 平 面 向 量 模的 坐 标 计 算 公 式 即 可 得 到 2 2 22 21 2 8 8 8
38、 P A P A P A x y，然 后 利 用c o s 2 2.5|1 O P 即 可 解 出【详 解】以 圆 心 为 原 点，3 7A A 所 在 直 线 为x轴，5 1A A 所 在 直 线 为y轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，如 图 所 示：则1 3 4 5 7 2 62 2 2 2 2 2(0,1),(1,0),(0,1),(1,0)2 2 2 2 2 2A A A A A A A,82 2,2 2A，设(,)P x y,于 是 2 2 22 21 2 8 8 8 P A P A P A x y，因 为 c o s 2 2.5|1 O P，所 以2 21 c o s 4 5
39、12x y，故2 2 21 2 8 P A P A P A 的 取 值范 围 是 1 2 2 2,1 6.故 答 案 为：1 2 2 2,1 6 三、解 答 题：本 大 题 共 5 小 题，共 7 4 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 8.在 A B C 中，角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c 已 知34 5,c o s5a c C（1）求 s i n A 的 值；（2）若 1 1 b，求 A B C 的 面 积【答 案】（1）55；（2）22【解 析】【分 析】（1）先 由 平 方 关 系 求 出 s i n C，再 根 据
40、正 弦 定 理 即 可 解 出；（2）根 据 余 弦 定 理 的 推 论2 2 2c os2a b cCab 以 及4 5 a c 可 解 出a，即 可 由 三 角 形 面积 公 式 i n12s S ab C 求 出 面 积【小 问 1 详 解】由 于3c o s5C，0 C，则4s i n5C 因 为4 5 a c，由 正 弦 定 理 知4 s i n 5 s i n A C，则5 5s i n s i n4 5A C【小 问 2 详 解】因 为4 5 a c，由 余 弦 定 理，得22 22 2 21 61 2 1 1 135 5c o s2 2 2 2 5aa aa b cCa b a
41、 a，即26 5 5 0 a a，解 得 5 a，而4s i n5C，1 1 b，所 以 A B C 的 面 积1 1 4s i n 5 1 1 2 22 2 5S a b C 1 9.如 图，已 知 A B C D 和 C D E F 都 是 直 角 梯 形，/A B D C，/D C E F，5 A B，3 D C，1 E F，6 0 B A D C D E，二 面 角 F D C B 的 平 面 角 为 6 0 设 M，N 分 别 为,A E B C 的 中 点（1）证 明：F N A D；（2）求 直 线 B M 与 平 面 A D E 所 成 角 的 正 弦 值【答 案】（1）证 明
42、 见 解 析；（2）5 71 4【解 析】【分 析】（1）过 点 E、D 分 别 做 直 线 D C、A B 的 垂 线 E G、D H 并 分 别 交 于 点 G、H，由 平 面 知 识 易 得 F C B C，再 根 据 二 面 角 的 定 义 可 知，6 0 B C F，由 此 可 知，F N B C，F N C D，从 而 可 证 得 F N 平 面 A B C D，即 得 F N A D；（2）由（1）可 知 F N 平 面 A B C D，过 点 N 做 A B 平 行 线 N K，所 以 可 以 以 点 N 为 原点，N K，N B、N F 所 在 直 线 分 别 为x轴、y轴、
43、z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 N x y z，求出 平 面 A D E 的 一 个 法 向 量，以 及B M，即 可 利 用 线 面 角 的 向 量 公 式 解 出【小 问 1 详 解】过 点 E、D 分 别 做 直 线 D C、A B 的 垂 线 E G、D H 并 分 别 交 于 点 交 于 点 G、H 四 边 形 A B C D 和 E F C D 都 是 直 角 梯 形，/,/,5,3,1 A B D C C D E F A B D C E F，6 0 B A D C D E，由 平 面 几 何 知 识 易 知，2,9 0 D G A H E F C D C F D C B
44、 A B C，则 四 边 形 E F C G 和 四 边 形D C B H 是 矩 形，在 R t E G D 和 R t D H A，2 3 E G D H，,D C C F D C C B，且 C F C B C，D C 平 面,B C F B C F 是 二 面 角 F D C B 的 平 面 角，则6 0 B C F，B C F 是 正 三 角 形，由 D C 平 面 A B C D，得 平 面 A B C D 平 面 B C F，N 是 B C 的 中 点，F N B C，又 D C 平 面 B C F，F N 平 面 B C F，可 得F N C D，而 B C C D C，F N
45、 平 面 A B C D，而 A D 平 面 A B C D F N A D【小 问 2 详 解】因 为 F N 平 面 A B C D，过 点 N 做 A B 平 行 线 N K，所 以 以 点 N 为 原 点，N K，N B、N F 所 在 直 线 分 别 为x轴、y轴、z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 N x y z，设(5,3,0),(0,3,0),(3,3,0),(1,0,3)A B D E，则3 33,2 2M，3 33,(2,2 3,0),(2,3,3)2 2B M A D D E 设 平 面 A D E 的 法 向 量 为(,)n x y z 由00n A Dn D E
46、，得2 2 3 02 3 3 0 x yx y z，取(3,1,3)n，设 直 线 B M 与 平 面 A D E 所 成 角 为，3 3 33 32 2|5 3 5 7s i n c o s,1 4|3 9 7 2 33 1 3 94 4n B Mn B Mn B M 2 0.已 知 等 差 数 列 na 的 首 项11 a，公 差 1 d 记 na 的 前 n 项 和 为 nS n N（1）若4 2 32 6 0 S a a，求nS；（2）若 对 于 每 个n N，存 在 实 数nc，使1 2,4,1 5n n n n n na c a c a c 成 等 比 数 列，求 d的 取 值 范
47、 围【答 案】（1）23 5(N)2nn nS n（2）1 2 d【解 析】【分 析】（1）利 用 等 差 数 列 通 项 公 式 及 前n项 和 公 式 化 简 条 件，求 出 d，再 求nS；(2)由 等 比 数 列 定 义 列 方 程，结 合 一 元 二 次 方 程 有 解 的 条 件 求 d 的 范 围.【小 问 1 详 解】因 为4 2 3 12 6 0 1 S a a a，所 以 4 6 2 1 1 2 6 0 d d d，所 以23 0 d d，又 1 d，所 以 3 d，所 以 3 4na n，所 以 213 52 2nna a nn nS，【小 问 2 详 解】因 为n na
48、 c，14n na c，215n na c 成 等 比 数 列，所 以 21 24 1 5n n n n n na c a c a c，21 4 1 1 1 5n n nn d c n d d c n d d c，2 2(1 4 8 8)0n nc d n d c d，由 已 知 方 程2 2(1 4 8 8)0n nc d n d c d 的 判 别 式 大 于 等 于 0，所 以 221 4 8 8 4 0 d n d d，所 以 1 6 8 8 1 2 8 8 0 d n d d n d 对 于 任 意 的nN恒 成 立，所 以 2 1 2 3 2 0 n d n d 对 于 任 意 的
49、nN恒 成 立，当 1 n 时，2 1 2 3 2 1 2 0 n d n d d d，当 2 n 时，由 2 2 1 4 3 2 0 d d d d，可 得 2 d当 3 n 时，2 1 2 3 2(3)(2 5)0 n d n d n n，又 1 d 所 以 1 2 d 2 1.如 图，已 知 椭 圆22112xy 设 A，B 是 椭 圆 上 异 于(0,1)P的 两 点，且 点 0,21Q 在 线段 A B 上，直 线,P A P B 分 别 交 直 线132y x 于 C，D 两 点（1）求 点 P 到 椭 圆 上 点 的 距 离 的 最 大 值；（2）求|C D 的 最 小 值【答
50、案】（1）1 2 1 11 1；（2）6 55【解 析】【分 析】（1）设(2 3 c o s,s i n)Q 是 椭 圆 上 任 意 一 点,再 根 据 两 点 间 的 距 离 公 式 求 出2|P Q，再 根 据 二 次 函 数 的 性 质 即 可 求 出；（2）设 直 线1:2AB y kx 与 椭 圆 方 程 联 立 可 得1 2 1 2,x x x x，再 将 直 线132y x 方 程 与 P A P B、的 方 程 分 别 联 立，可 解 得 点,C D 的 坐 标，再 根 据 两 点 间 的 距 离 公 式 求 出C D，最 后 代 入 化 简 可 得23 5 1 6 12 3