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1、 1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)2sin0lim(13)xxx_.(2)202cosxdxt dtdx_.(3)设()2a bc,则()()()abbcca_.(4)幂级数2112(3)nnnnnx 的收敛半径R _.(5)设三阶方阵A、B满足关系式：16A BAABA,且100310041007A,则B _.二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)设有直线3210,:21030 xyzLxyz 及平面:4230 xyz,则直线L ()(A)平行于 (B)在上 (C)垂直
2、于 (D)与斜交 (2)设在0,1上()0fx,则(0)f、(1)f、(1)(0)ff或(0)(1)ff的大小顺序是()(A)(1)(0)(1)(0)ffff (B)(1)(1)(0)(0)ffff (C)(1)(0)(1)(0)ffff (D)(1)(0)(1)(0)ffff (3)设()f x可导,()()(1|sin|)F xf xx,则(0)0f是()F x在0 x 处可导的 ()(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件 (C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (4)设1(1)ln 1nnun,则级数 ()(A)1nnu与21nnu都收敛 (B)1nnu与21
3、nnu都发散 (C)1nnu收敛而21nnu发散 (D)1nnu发散而21nnu收敛 (5)设111213212223313233aaaAaaaaaa,212223111213311132123313aaaBaaaaaaaaa,1010100001P,2100010101P,则必有 ()(A)12APPB (B)21AP PB (C)12PP AB (D)21P PAB 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.)(1)设2(,),(,)0,sinyuf x y zxezyx,其中f、都具有一阶连续偏导数,且 0z,求dudx.(2)设函数()f x在区间0,1上连续,并设10(
4、)f x dxA,求 110()()xdxf x f y dy.四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.)(1)计算曲面积分zdS,其中为锥面22zxy在柱体222xyx内的部分.(2)将函数()1(02)f xxx展开成周期为 4 的余弦级数.五、(本题满分 7 分)设曲线L位于xOy平面的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已知MAOA,且L过点3 3,2 2,求L的方程.六、(本题满分 8 分)设函数(,)Q x y在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)LxydxQ x y dy与路径无关,并且对任意t恒有(,1)(1,)(0,0)(0,
5、0)2(,)2(,)ttxydxQ x y dyxydxQ x y dy,求(,)Q x y.七、(本题满分 8 分)假设函数()f x和()g x在,a b上存在二阶倒数,并且()0gx,()()()()f af bg ag b,试证：(1)在开区间(,)a b内()0g x；(2)在开区间(,)a b内至少存在一点,使()()()()ffgg.八、(本题满分 7 分)设三阶实对称矩阵A的特征值为11,231,对应于1的特征向量为 1(0,1,1)T,求A.九、(本题满分 6 分)设A是n阶矩阵,满足TAAE(E是n阶单位阵,TA是A的转置矩阵),0A,求 AE.十、填空题(本题共 2 小题
6、,每小题 3 分,满分 6 分.)(1)设X表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则2X的数学期望2()E X_.(2)设X和Y为两个随机变量,且 30,07P XY,4(0)(0)7P XP Y,则max(,)0PX Y _.十一、(本题满分 6 分)设随机变量X的概率密度为,0,()0,0,xXexfxx求随机变量XYe的概率密度()Yfy.【解析】令212(3)nnnnnax,则当n 时,有 2(1)1111212211112(3)limlim2(3)23(1)311lim,323(1)3nnnnnnnnnnnnnnnnnnxaanxnxxn 而当211
7、3x 时,幂级数收敛,即|3x 时,此幂级数收敛,当2113x 时,即|3x 时,此幂级数发散,因此收敛半径为3R.(5)【答案】300020001【解析】在已知等式16A BAABA两边右乘以1A,得16A BEB,即 1()6AE BE.因为 1300040007A,所以 116()6BAE1200030006=300020001.二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L的方向向量与平面的法向量的相互关系问题.直线L的方向向量 132281477(42)2110ijklijkijk ,平面的法向量42nijk,ln,L .
8、应选(C).(2)【答案】(B)【解析】由()0fx可知()fx在区间0,1上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)ffxfx 由微分中值定理,(1)(0)(),(01)fff.所以(1)(1)(0)()(0)fffff,(01)故应选择(B).(3)【答案】(A)【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f,所以 0000()(1sin)()(0)()()(0)limlimlimlim(0)xxxxf xxF xFf xf xffxxxx,由此可得 ()F x在0 x 处可导.必要性:设()F x在0 x 处可导,则()
9、sinf xx在0 x 处可导,由可导的充要条件知 00()sin()sinlimlimxxf xxf xxxx.根据重要极限0sinlim1xxx,可得 00sinsinlimlim1xxxxxx ,00sinsinlimlim1xxxxxx,结合,我们有(0)(0)ff,故(0)0f.应选(A).(4)【答案】(C)【解析】这是讨论1nnu与21nnu敛散性的问题.111(1)ln 1nnnnun是交错级数,显然1ln(1)n单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数22111ln1nnnun中,222111ln1nunnn.根据正项级数的比较判别法以及11nn发散,21nn
10、u发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1nnu和1nnv都是正项级数,且lim,nnnvAu则 当0A 时,1nnu和1nnv同时收敛或同时发散；当0A 时,若1nnu收敛,则1nnv收敛；若1nnv发散,则1nnu发散；当A 时,若1nnv收敛,则1nnu收敛；若1nnu发散,则1nnv发散.(5)【答案】(C)【解析】1P是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B是由A先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此 12PP AB,故应选(C).三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10
11、 分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,)0yxez,其中sinyx确定()zz x,并求dzdx.将方程两边对x求导得 1232cos0ydzxexdx,解得 12312cosydzxexdx.现再将(,)uf x y z对x求导,其中sinyx,()zz x,可得 123cosdudzffxfdxdx.将式代入得 213321cos12cosyduffxfdxxex.【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)ux y vx y都在点(,)x y具 有对x及对y的偏导数,函数(,)zf u
12、v在对应点(,)u v具有连续偏导数,则复合函数(,),(,)zfx yx y在点(,)x y的两个偏导数存在,且有 12zzuzvuvffxuxv xxx ；12zzuzvuvffyuyv yyy .(2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分110()()xIdxf x f y dy表成二重积分()()DIf x f y dxdy,其中D如右图所示.交换积分次序 100()()yIdyf x f y dx.由于定积分与积分变量无关,改写成 100()()xIdxf y f x dy.1110002()()()()xxIdxf x f y dydxf x f y dy 111120000
13、()()()().dxf x f y dyf x dxf y dyA 212IA.方法二：用分部积分法.注意1()()xdf y dyf x dx,将累次积分I写成 111110012120()()()()11().22xxxxxxIf xf y dy dxf y dydf y dyf y dyA 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.)(1)【解析】将曲面积分I化为二重积分(,)xyDIf x y dxdy.首先确定被积函数 2222(,)12xyf x yzzzxy,对锥面22zxy而言,22222222112xyxyzzxyxy.x y O D 1 yx 其次确定积分区
14、域即在xOy平面的投影区域xyD(见右图),按题意：22:2xyDxyx,即22(1)1xy.222xyDIxy dxdy.作极坐标变换cos,sinxryr,则:02cos,22xyDr,因此 2cos2cos322000213222 2239Idr rdrrd.(2)【解析】这就是将()f x作偶延拓后再作周期为 4 的周期延拓.于是得()f x的傅氏系数：0(1,2,3,)nbn 2002200222220222()cos2(1)cos222(1)sinsin2244cos(1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,lnnn xnaf xdx lxxdxllnnxdxxdxnnnx
15、nnnkkknk 2222000021()(1)(1)022af x dxxdxx.由于(延拓后)()f x在 2,2分段单调、连续且(1)1f.于是()f x有展开式 22181(21)()cos,0,2(21)2nnf xx xn.五、(本题满分 7 分)【解析】设点M的坐标为(,)x y,则M处的切线方程为()Yyy Xx.令0X,得Yyxy,切线与y轴的交点为(0,)Ayxy.由MAOA,有 O y x 1 xyD 22()xxyyxy.化简后得伯努利方程 212,yyyxx 221yyxx.令2zy,方程化为一阶线性方程 1zzxx.解得 ()zx cx,即 22ycxx,亦即 2y
16、cxx.又由3322y,得3c,L的方程为 23(03)yxxx.六、(本题满分 8 分)【解析】在平面上LPdxQdy与路径无关(其中,P Q有连续偏导数),PQyx,即 2Qxx.对x积分得 2(,)()Q x yxy,其中()y待定.代入另一等式得对t,(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22ttxydxdyxydxdxyyxy.下面由此等式求()y.方法一：易求得原函数 0222202()()2()().yyxydxdyydxdyd x yddxyxsd xdyyssyds 于是由式得 (,1)(1,)2200(0,0)(0,0)()()ttyyx ydsx ydsss.即
17、 1200()()ttdstdsss,亦即 21()tsttds.求导得 )2(1tt,即 ()21tt.因此 2(,)21Q x yxy.方法二：取特殊的积分路径：对式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.O x y O y x t(,1)t 1(1,)t 于是得 1200()1()ttdydyyy.即 1200()()ttdytdyyy,亦即 21()tyttdy.其余与方法一相同.七、(本题满分 8 分)【解析】(1)反证法.假设(,)ca b,使()0g c.则由罗尔定理,1(,)a c与2(,),c b 使12()()0gg；从而由罗尔定理,12(,)(,)a b ,()0g.这与
18、()0gx矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？”这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x gxfx g x在(,)a b存在零点.方法一：注意到 ()()()()()()()()f x gxfx g xf x g xfx g x,考察()()()()f x gxfx g x的原函数,令()()()()()xf x g xfx g x,()x在,a b可导,()()0ab.由罗尔定理,(,)a b,使()0.即有()()()()0fgfg,亦即 ()()()()ffgg.方法二：若不能像前面那样观察到()()(
19、)()f x gxfx g x的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：()()()()(?)()()()()?f x gxfx g xf x gxfx g xdx.()()()()()()()()f x gxfx g xdxf x dg xg x dfx()()()()()()()()f x g xg x fx dxfx g xfx g x dx()()()()f x g xfx g x(取0C).令()()()()()xf x g xfx g x,其余与方法一相同.八、(本题满分 7 分)【解析】设对应于231的特征向量为123(,)Tx xx,因为A为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值
20、所对应的特征向量相互正交,故10T,即230 xx.解之得 23(1,0,0),(0,1,1)TT.于是有 1231 12233(,)(,)A ,所以 11 12233123(,)(,)A 1010010100101101001101101010.九、(本题满分 6 分)【解析】方法一：根据TAAE有|()|TTAEAAAA EAA EAAAE,移项得 (1|)|0AAE.因为0A,故1|0A.所以|0AE.方法二：因为()TTTTAE AAAAEAEA,所以 AE AEA,即 (1|)|0AAE.因为0A,故1|0A.所以|0AE.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.
21、)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X服从10,0.4np的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有()4,()(1)2.4E XnpD Xnpp,根据方差性质有 22()()()18.4E XD XE X.(2)【解析】令0,0AXBY,则 max(,)01max(,)010,0PX YPX YP XY .由概率的广义加法公式 ()()()()P ABP AP BP AB,有 max(,)01 1()()()()()PX YP ABP ABP Ap BP AB 4435.7777 十一、(本题满分 6 分)【解析】方法 1：用分布函数法先求Y的分布函数()YFy.当1y
22、时,()0;YFy 当1y 时,()()XYFyP YyP eylnP Xy lnln0011,yyxxe dxey 所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得 21,1,()()0,1.YYyyfyFyy 或者直接将ln0yxe dx对y求导数得lnln2011.yxyde dxedyyy 方法 2：用单调函数公式直接求Y的概率密度.由于xye在0,内单调,其反函数()lnxh yy在1,内可导且其导数为 10yxy,则所求概率密度函数为 ln1,1,1,0,1.0,1.yXYeyhyfh yyyfyyy 21,1,0,1.yyy【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()F ttfttft.