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1、专题5 0 函数的应用聚焦考点温习理解1 .函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用.2 .利用函数知识解应用题的一般步骤：（1）设定实际问题中的变量；（2）建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；（3确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；（4）利用函数的性质解决问题；（5）写出答案.3 .利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题.名师点睛典例分类考点典例一、一次函数相关应用题【例1】（2 0 1 5.陕西省，第2 1题，7分）（本题满分7分）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日
2、游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人6 4 0元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示.，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过2 0人，每人都按九折收费，超 过2 0人，则超出部分每人按七五折收费。假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人。（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y （元）与x （人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有3 2人.，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。【答案】（1）甲旅行社：y =6 4 O x O.8 5 x=5 4 4 x.乙旅行社：
3、当x W 2 0时，y =6 4 0 x 0.9 x =5 7 6 x.当 x 2 0 时，y =6 4 0 x 0.9 x 2 0 +6 4 0 x 0.7 5（x -2 0）=4 8 0 x +1 9 2 0.（2）胡老师选择乙旅行社.【解析】试题分析：（1）首先根据优惠方案：甲总费用y=人均报价的0.8 5 倍X人数；乙总费用y=2 0 个人九折的费用+超过的人数X报价X打折率，列出y 关于x的函数关系式，（2）根据人数计算出甲乙两家的费用再比较大小，哪家小就选择哪家.试题解析：（D 甲旅行社：y =6 4 0 x 0.8 5 x=5 4 4 x.乙旅行社：当 x 4 2 0 时,y =
4、6 4 0 x 0.9 x =5 7 6 x.时，当 x 2 0；y =6 4 0 x 0.9 x 2 0 +6 4 0 x 0.7 5（x -2 0）=4 8 0 x +1 9 2 0.（2）甲旅行社：当 x=3 2 时 y =5 4 4 x 3 2=1 7 4 0 8.乙旅行社：.飞?。.当 K=32 时 y =4 8 0 x 3 2 +1 9 2 0 =1 7 2 8 0.；1 7 4 0 8 X 7 2 8 0.二胡老师选择乙旅行社.考点：一次函数的应用、分类思想的应用.【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用.解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的
5、取值，再进一步讨论.【举一反三】（2 0 1 5 黑龙江哈尔滨）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家到这条公路的距离忽略不计）。一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车.，公交车沿这条路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小明与家的距离s （单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示。已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1 2 0 0米，从上车到他到达学校共用1 0 分钟。下列说法：小明从家出发5分钟时乘上公交车 公交车的速度为4 0 0 米/分钟小明下公交车后跑向学校的速度为.
6、1 0 0 米/分钟小明上课没有有迟到。其中正确的个数是（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个【答案】D【解析】试题分析：根据x=7,y=1200;x=12,尸3200求出函数关系式为：y=400 x-1600,当尸如0B寸，则x=5,则小明从家出发5分钟乘上公交车；公交车的速度为(3200-400)4-(12-5)=400米/分钟；因为上车到他到达学校共用1。分钟，则下车到学校用了 3分钟的时间，所以他没有迟到；小明下公交车后跑向学校的速度为：(3500-3200)4-(10-7)=100 米/分钟；下车到考点：一次函数的实际应用.考点典例二、反比例函数相关应用题 例2某地计划
7、用120180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方,米，工期比原计划减少了 24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？【答案】(1)y=%(2W xW 3)；(2)原计划每天运送2.5万 米:实 际 每 天 运 送3万x米二【解析】试题分析：(1)利用“每天的工作量X天数=土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系;(2)根 据“
8、工期比原计划减少了 24天”找到等量关系并列出方程求解即可；试题解析：(1)由题意得，y=-X把y=120代入y二 码,得X=3x把y=180代入y二 码,得x=2,x 自变量的取值范围为：2WxW3,360 y-x(2 W x W 3)；(2)设原计划平均每天运送土石方x万米二则实际平均每天运送土石方(x+0.5)万米:根据题意得：360 360 x x+0.5解得：x=2.5 或 x=-3经检验x=2.5 或 x=-3 均为原方程的根，但 x=-3不符合题意，故舍去，答：原计划每天运送2.5 万米,，实际每天运送3万米考点：反比例函数的应用；分式方程的应用.【点睛】本题考查了反比例函数的应
9、用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.【举一反三】甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满 20 0 减 1 0 0”的促销方式，即购买商品的总金额满20。元但不足40 0 元，少 付 1 0 0 元；满 40 0 元但不足6 0 0 元，少付20 0 元；.乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销.(1)若顾客在甲商场购买了 51 0 元的商.品，付款时应付多少元钱？(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x (40 0 W x 6 0 0)元，优惠后得到商家的优惠率优惠金额购买商品的总
10、金额为 P),写出p与 x之间的函数关系式，并说明p随 x的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x (20 0 W x 40 0)元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由.【答案】(1)顾客在甲商场购买了 51 0 元的商品，付款时应付3 1 0 元.(2)p 与 x之间的函数关系式为p=期，P 随 x的增大而减小；(3)250 Vx 4 0 0,乙商场花钱较少，20 0 WxX V 2 5 0,甲商场花钱较少，x=250,两家商场花钱一样多.【解析】试题分析：(1)根据题意直接列出算式51 0-20 0 即可；(2)根据商家的优惠率即可列出p与
11、 x之间的函数关系式，并能得出p随 x的变化情况；(3)先设购买商品的总金额为x 元，(20 0 W x 40 0),得出甲商场需花x T O O 元，乙商场需花0.6 x 元.，然后分三种情况列出不等式和方程即可.试题解析：3)根据题意得：51 0-20 0-3 1 0 (元)答：顾客在甲商场购买了 51 0 元的商品，付款时应付3 1 0 元.(2)p与 x之间的函数关系式为p=迎，p随 x的增大而减小；X(3)设购买商品的总金额为x元，(20 0 X 0.6 x,得：250 Vx ，解得“=一一X 9+3 B +C1 2 6%=2c=4所以+2x+46所以，当x =-=6时，1y最大=1
12、 0答：y =X?+2x+4,拱 顶D到地面0 A的距离为1 0米、由题知车最外侧与地面0 A的交点为（2,0）（或（1 0,0）当x=2 沃=1 0）时，y =6,所以可以通过3、令y =8,即 一L/+2X+4=8,可得x：-1 2x+24 =0,解得再=6+2括,巧=6-2、回6演-巧=4指 答：两排灯的水平距离最小是4、回 考点：二次函数的实际应用.【点睛】根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题.建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题.【举一反三】(2015.安徽省，第 22题，12分)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够
13、长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设园的长度为如，矩形区域465的面积为加2.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值,范围；(2)x为何值.时，y 有最大值？最大值是多少？3,【答案】(1)y=-f+3 0 x (0 x 40)；(2)当 x=20时，y 有最大值，最大值是300.4平方米.【解析1 3试题分析：(1)设 AE=a,由AE AD=2BE BC,AD=BC可得BE=-a,AB=-a；根据周长为2 280米得方程2x+3a+2 a=80,解得a=20 x.由 y=AB,BC代入即可求y 与 x
14、 之间的函数2 2关系式；根据题意0BC+EF 8 0,所以x 的取值范围为0 x 40；(2)把 y 与 x 之间的函数关系式化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解.试题解析：解：（1）设 A E=a,由题意可得，AE AD=2BE-BC,AD=BC,3BE=-a,AB=a.2 2由题意，得 2x-3a-2 1 i a=SO,.a=20-x3 3 1.y=AB-BC=ax=(20 x)x,2 2 2gp v=-x +30 x(0 x 4 0可以判定小明家用水超过2 0,可以设用水位x,则 4 0+3（x-2 0）=6 4,解得 x=2 8,考点：分段函数.7.（2015 黑龙江绥化）现有甲、
15、乙两个容器，分别装有进水管和出水管，两容器的进出水速度不变，先打开乙容器.的进水管，2 分钟时再打开甲容器的进水管，又过2 分钟关闭甲容器的进水管，再过4 分钟同时打开甲容器的进、出水管.直到12分钟时，同时关闭两容器的进出水管,打开和关闭水管的时间忽略不计。容器中的水量y（升）与乙容器注水时间x（分）之间的关系如图所示：（1）求甲容器的进、出水速度.（2）甲容器进、出水管都关闭后，是否存在两容器的水量相等。若存在，求出此时的时间.（3）若使两容器第12分钟时水量相等，则乙容器6 分钟后进水速度应变为多少？.【答案】（1）5（升/分），3（升/分）；（2）存在，8 分钟；（3）升/分.3【解析
16、】试题分析：（1）根 据 点（3,10）可求出甲的进水速度是5（升/分），再结合点（8,10）可求出甲的出水速度；（2）先求出点A 的坐标，然后利用待定系数法可求出乙的函数解析式,令 y=0求出x 的值即可；（3）先求出乙6 分钟时的水量，然后根据后6 分钟的水量除以时间计算即可.试题解析：解：（1）甲的进水速度：=5（升/分），.1分4-21 Q _ Q甲的出水速度：5-旦，=3（升/分）；.1分12-6（2）存在,由图可知，甲容器在第3 分钟时水量为：5 X (3-2)=5 升，所以A(3,5).1分设 分=履+优左工0),根据题意得：3k+b=5 解得：k =,0=2 0=2所以y乙=x
17、 +2,当 y乙=1()时，x=8,所以乙容器进水管打开6分钟时两容器的水量相等.2分；(1)当 x=6 时，y 乙=8,所 以(18-8)+(12-6)=g升/分，所以乙容器6分钟后进水速度应变为3 升/分.3 分3考点：函数图象的应用.8.(2 015.山东威海，第2 1题)为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共2 1 课.已知A种树苗每棵9 0 元，B种树苗每棵7 0 元.设购买B种树苗x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元.(1)y 与x 的函数关系式为：；(2)若购买B种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.【答案】y=-2 0 x+1 8
18、 9 0；购买B.种树苗1 0 棵，A种树，苗 1 1 棵，所需费用为1 6 9 0 元.【解析】试题分析：(D 根据购买两种树苗所需费用=A 种树苗费用+B种树苗费用，即可解答；(2)根据购买B 种树苗的数量少于A种树苗的数量，列出不等式，确 定 x的取值范围，再 根 据(1 得出的 y与 x之间的函数关系式，利用一次函数的熠减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案.试题解析：1)7=9 0(2 1-x)+7 0 x=-2 0 x+1 8 9 0,故答案为：y=-2 0 x+1 8 9 0.(2)购买B种树苗的数量少于A 种树苗的数量,.*.x 2 1 -x,解得：X V 1 0.5 又X
19、2 1,.X 的取值范围为：I W x W l O,且X 为整数，V y=-2 0 x+1 8 9 0,k=-2 0 0,；.y 随x 的增大而减小，.当x=1 0 时，y 有最小值,最小值为：-2 0 X 1 0+.1 8 9 0=1 6 9 0,使费用最省的方案是购买B 种树苗1 0 棵，A种树苗H 棵，所需费用为1 6 9 0 元.考点：一次函数的应用9.（2 0 1 5 湖北衡阳，2 5 题，分）（本小题满分8分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验.测得成人服药后血液中药物深度y （微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图所示（当4 4 x 4 1
20、 0 时，y与x 成反比）.（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x 之间的函数关系式；（2）问血液中药物浓度不低于4 微克/毫升的持续时间为多少小时？（1）血液中药物浓度上升时y =2 x（0 4 x 4 4）；血液中药物浓度下降时，32，y=（4 x 4,解不等式组即可试题解析：解：（1）由图象可知，当0 4 x W 4 时，y 与 x 成正比例关系，设丫=履.由图象可知，当x =4 时，y =8,.4/=8,解得：k=2；y=2 x（0 x 4）又由题意可知：当4 4 x 4 1 0 时，y与x 成反比，设丫=.X由图象可知，当x=4 时，y =8,“2 =4 x 8 =
21、3 2；32*-y =（4 x 1 0）BP：血液中药物浓度上升时y =2 x（0 K x K 4）；血液中药物浓度下降下32,、y=（4 x 4,2 x 2 4 且%24,解 得 丘 2 且X 4 8;X即持续时间为6小时.考点：待定系数法；一次函数与反比例函数的综合应用；不等式1 0.某种上屏每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间满足关系：y=ax、b x-7 5.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于1 6 元？【答案】（1）销售单价为1 0 元时，该种商品每天的销售利润最大，
22、最大利润为2 5 元；（2）销售单价不少于7元且不超过1 3 元时，该种商品每天的销售利润不低于1 6 元.【解析】试题分析：（1）由已知，应用待定系数法，可得二次函数解析式，根据二次函数顶点坐标的性质，可得答案.（2）根据函数值大于或等于1 6,可得不等式的解集，可得答案.试题解析：解：（1）y=ax +bx -7 5 图象过点（5,0）（7,1 6）,.2 5 a+5 b-7 5 =0 ,（a=-l 4 9 a+7 b-7 5-1 6 （b=2 0；.y 与 x 之间的函数关系为y =-x 2+2 0 x-7 5./y =-x2+2 0 x-7 5 =-（x-1 0）2+2 5.,.当 x
23、=1 0 时，y 城 大=2 5,答：销售单价为1 0 元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为2 5 元.（2）函数y =f2+2 0 x -7 5 图象的对称轴为直线x=1 0,.点（7,1 6.）关于对称轴的对称点是（1 3,1 6）.又.函数y=-x，2 0 x -7 5 图象开口向下，.当 7 W x W 1 3 时,y 2 1 6.答：销售单价不少于7 元且不超过1 3 元时，该种商品每天的销售利润不低于1 6元.考点：1.二次函数的应用：2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.待定系数法的应用；4.二次函数的性质；5.数形结合思想的应用.1 1.某经销商销售一种产品，这种产品的成
24、本价为1 0 元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于1 8 元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式.当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得1 5 0 元的销售利润，销售价应定为多少？产（千 克）4 0.K2 4,0 1 0 1 8 千 克）.【答案】（1）y=-2 x+60 （1 0 W x 1 8）；（2）销售价为1 8
25、 元时，每天的销售利润最大，最大利润是1 9 2 元.（3）1 5 元.【解析】试题分析：（1）设函数关系式y=k x+b,把（1 0,4 0）,（1 8,2 4）代入求出k和 b即可，由成本价为1 0 元/千克，销售价不高于1 8 元/千克，得出自变量x的取值范围；（2）根据销售利润=销售量义每一件的销售利润得到w 和 x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；（3）先把y=1 5 0 代 入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值.试题解析：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式y=k x+b,把（1 0,4 0）（1 8,2 4）代入得i（U+=4 01
26、 8 2+6=2 4 仅=-2解得 ，,=60；.y 与 x之间的函数关系式y=-2 x+60 （1 0 W x 这 ；（2）W=（x-1 0）（-2 x-t 0）=-2 x；坨0 x-60 0,对称轴x=2 O,在对称轴的左侧y随 着 x的增大而增大，.当x=1 8 时，W最大，最大为1 9 2.即当销售价为1 8 元时，每天的销售利润最大，最大利润是1 9 2 元.（3）由 1 5 0=-2 x:+8 0 x-60 0,解 得 x：=1 5,x：=2 5（不合题意,舍去）答：该经销商想要每天获得1 5。元的销售利润，销售价应定为1 5 元.考点：二次函数的应用.1 2.将油箱注满k 升油后
27、，轿车科行驶的总路程S （单位：千米）与平均耗油量a （单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=X （k 是常数，k#0）.已知某轿车油箱注满油后，以平均a耗油量为每千米耗油0.1 升的速度行驶，可行驶7 0 0 千 一 米.（1）求该轿车可行驶的总路程S 与平均耗油量a 之间的函数解析式（关系式）；（2）当平均耗油量为0.0 8 升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？【答案】（1）s=；（2）8 7 5.a【解析】试题分析：（1）将 a=0.1,s=7 0 0 代入到函数的关系S=&中 即 可 求 得 k的值，从而确定解a析式；（2）将 a=0.0 8 代入求得的函数的解析式即可求得s的值.试题解析：（1）由题意彳导：a=0.1,s=7 0 0,代入反比例函数关系S=（中，a解得：k=s a=7 0,70所以函数关系式为：a70 70 70（2）将 a=0.0 8 代入s=得：s=尸-=8 7 5 千米，a a 0.08故该轿车可以行驶多8 7 5 米；考点：反比例函数的应用.