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1、2023年高考数学强基计划模拟题(十三)(满分1 00分，测试时间：60 分钟)一 填空题。(每小题1 0分)1.设集合S=1,2,1 5 ,A=%,。2，%是5 的子集，且(,。2，。3)满足 1 a1 a2 a3 1 5,a3-a2 1 .设函数/：Qi-R 对于任意心y G Q1 满足不等式|f(%+y)-/(x)-/(y)|b 0),直线h：y=k x +与椭圆G 交于4 8 两点,直 线，2：y=依+7 门 2(7 7 2 1 Hg)与椭圆G 交于C,D 两 点,且|AB|=|C D|.(1)证明：m1+m2=0;(2)求四边形A8 C。的面积S的最大值.答案.h2+c2 1 a c
2、、2当且仅当b=c 时取等号.故Si n4 争.1.【答案】3 7 1【解析】当2V a zV 9时，（h，az）有点种选择方法，有6种选择方法，所以（即的,。3）共有6 x量=2 1 6种选择方法;当1 0 a2 1 4 时，一旦。2 取定，%有。2 -1 种选择方法，。3 有1 5 -。2 种选择方法，所以选择（%,。2，。3）的方法有 E 恐 1（。2 -1）（1 5 -a2）=9 x 5 4-1 0 x 4 +l l x 3 +1 2 x 2 +1 3 x l =1 5 5 种.综上所述，满足条件的子集共有3 7 1 个.5.r 答案】(l)as 不是有理数.引理：若X C Q,y f
3、 E Q,则 万 任 Q.证明：x =*(m,n)=1,若不然J x +y=；,(p,q)=1,贝 I jy=即:3,(m,n)=1.(p,q)=1.所以(mp?-ng2,m g2)=1,y E Q,矛盾.因为遥任Q,所 以 C Q.(2)因为2.【答案】g【解析】易知S B C是直角三角形，取斜边PC 的中点为0,因为|研二团8|=“|所以点4 在平面PBC 上的射影为宜角 P8 C 的外心。.连接力0,即有力。1 平面P8 C.在 R t A A O P 中，Vp-ABC=VA-PBC=1 .S&P 8 C|4 l=g .6 VlT.所以“为严格单调递增数列.又3.【答案】a=1 或。0【
4、解析】二 =In x -=x+.a a xe-令f(%)=写 竺，则,住)=土、普.由尸(%)=。得X=1.当0 V#V 1 时，/(X)0；当X 1 时，/(%)0(%T +8),所以当方程有唯 解时，：=1或：0,即Q =1 或Q V 0.4.【答案】等(解析】=3=+7)=t an 4 “片?=3 t an 4s i i L4=3s i n Bs i n C =s i M4=tano tanC vsin sinC smosinc3s i n Fs i n C co s/l故6 为一个上界.【解析】略6.【答案】(1)AB=y/(x1-x2)2+(y1-y2)2=/l-k2 +小一 一 4
5、必 a2=3/JCCOSA.又a?=b2+c2-2bccosA,于是可得)-I 2 a 2 k m i、a2m?a2b2Jl.(-)-4-5-J b2+dik2 臣+a 2 k 2/2abja2k2-m?+b25+短同理,-2abja2k2-m22+b2因为|48|=|C D|,所以_ _ lazk2-m?+b2 _ _ Ja2k2-ml+b22ab!1 +/c2-5 =2a6 Vl+k2-+a2k 2/+a2F因为7 7 1 1装瓶2，所以卅1+巾2=。(2)由题意得四边形4BC D是平行四边形，设两条平行线力8,C D间的距离为d,则4_ 1 2m li因为拼1+机2=0，所以 一北 言，
6、故因此/(2/f2-m2+&2)m2&2k 2f ”+由：4ab-5-T 2.-4ab-?2?=2abd2+a2f c2/+02必当且仅当a2k 2+/=2 m：时，四边形A BC Z?的面积S取得最大值2ab.将此式与式结合，可知m/(l)(m-1)(7 i 1)7 i/()m/(l)+(m 1)+(n 1)E,即m/(l)(m +n 2)s nf 需)m/(l)+(m+n 2)e,两边除以m,得_ 叫一吵|J1+必,f -(i+黑)”版令 /(i)+a+詈尤.喏=x,则有隋-/(1)|(1 +詈)e (1 +1)2e.所以，令g =f(l)即可知结论成立.【解析】略【解析】略7.【答案】设
7、/是满足上述条件的函数，原 式 为 ，首先证明对于任意n e A T及xn/(x)-(n-1*/(n x)n/(x)+(n-l)w 当n =l时，式显然成立.设式对r i成立.在式中取y =m v,得/(X)+f(nx)一 /(n +2)x)/(x)+n/(x)一(n -1)一 =(n +l)/(x)-n ,/(x)+/(7 i x)+f (x)+n/(x)+(n -l)e +=(n +l)/(x)+ns,从而式对”+l成立，在 式 中，令x=l,得n/(l)-(n -1)/(n)nf(l)+(n -1).在式中令 =T，mN 7 2，n E Nx,得叭9-(n-1)-f (m)n f +(n -1)“即f(m)-(n-l)喈)/(m)+(n-1).1，都有