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1、2023年高一下数学必修二：平面与平面垂直的性质一、基础巩固L已知平面a_L平面夕，直线0，4则（）A aua B.a/aC.a_La D.aua或 a a答案:D2.如图，在三棱锥P-A BC中，平面2 4 8，平面/6。1 4=。8么。=。8,则（）A/O u平面 A BCB.PDJ_ 平面 N8CC.P D与 平 面 相 交 但 不 垂 直D.P。平面/8 C解析：|因为P A=P B,A D=D B,所以P D上A B.因为平面P 4 8,平面N8C,平面754 8 n平面4BC=4B,P D u平面P 4B,所以平面A BC.答案:|B3.已知m,n,l是直线,a/是平面,a_l_p
2、,an4=/,是等边三角形，所以PG_LZD又平面R4Z_L平面4BC D,平面平面4 B C D _ 4 D,P G u平 面P A D,所以PG _L平面AB CD/PB G是PB与平面A B C D所成的角8.在A P B G 中,PG，8G,8G=PG,所以 NP8G=45，即。=45.国 冤45。9.如图，在三棱台 A BC-D E F 中，平面 8CFE_L平面 Z8C,N/CB=90,BE=E F=F C=,BC=24C=3.(1)求证:瓦1平面A C F D;(2)求直线B D与平面A C F D所成角的余弦值.(1火正明：|如图，延长A D,BE,C F相交于一点K.因为平面
3、8CEEJ_平面48C,且NC_L8C,所以NCJ_平面BC K.因此BF 1.A C.又因为 E F/BC,BE=E F=F C=1 ,BC=2,所以 8CK为等边三角形，且E为CK的中点，则B FLCK.因为ZCnCK=C，所以B FL平面 A C F D.(2)凰因为 瓦口_ 平面ZCK,所以N3Z)厂是直线8。与平面A C F D所成的角.在RSFD中，麻=V3,D F=|,得c o s Z B D F=亨.故 直 线 与 平 面A C F D所成角的余弦值为亨.二、能力提升1.在空间中，下列命题正确的是()A.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B.若直线 与平面a内的一条直
4、线平行，则m/aC.若平面a_L及且aCl夕=/，则过。内一点P与 I垂直的直线垂直于平面D.若直线且直线则解析：|选 项 A 中，若有3 个交点，则确定一个平面,若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如 在 正 方 体 山 心。1中441,两两相交，但 由A A,A B J D不能确定一个平面，所以A 不正确;选项B 中，缺少条件加是平面a 外的一条直线，所 以 B 不正确;选项 C 中，不满足面面垂直的性质定理的条件,必须是a 内垂直于/的直线，所以C 不正确;由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所 以D正确.答案:D2.如图，三棱锥P-A BC的
5、底面在平面a 内，且/C_LPC,平 面 PZC1.平 面 P8C,点PAB是定点,则动点。的轨迹是（）A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆，但要去掉两个点解析：|因为平面平面平面P/C O 平面P8C=PC,ZCu平面P/C,所以平面 P BC.因为BCu平面P8C,所以/C J_8C.所以N/C8=90.所以动点。的轨迹是以4 5 为直径的圆，除去Z 和 8 两点.答案:|D 3.如图，平面a,平面夕 Ga,与两平面”所成的角分别为:和过点4 B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A,歹则：4 9 等于（）OA.2 7 1B.3；1C.3/2D.4：3|解析：|如图，连 接%则 由
6、 已 知 得44 平面,BB，上平面a,N A B A =,A BA B=:.设 4S=a,则 BA=a,BB=a.在R tA BZB中 45=装,故 而=7g g A4.将正方形A B C D沿对角线B D折成直二面角48D C,有如下三个结论.A C 1 B D;4 ACD是等边三角形;物3与平面B CD成6 0 的角.结 论 正 确 的 序 号 是.|解析：|如图，取B D的中点E,连接A E,C E,B D 上A E,BD 工C E,而 A E D C E=E,平面4EC.又N C u 平面故正确.设正方形的边长为a,则A E=C E=y a.易知NNEC=90是直二面角4 8 D。的
7、平面角，/A C=a,4 C D是等边三角形，故正确.由题意及知平面BC D,则N4 B E是 AB与平面8C。所成的角，而NA BE=45，故不正确.奉 5.在三棱柱/3C-Z5。中，侧面NNCC是 垂 直 于 底 面 的 菱 形 则，8与ZU所成角的大小为.解析:因为/C,所以因为平面ZNCC_L平面/8C,平面ZNCCn平面A BC=A C,所以8CJ_平面NNCC,所以 8UL/C.因为四边形ZNCU为菱形,所以/C_L4C因为 8CCbTC=C,所以 C_L平面 C B,所以/C lA B.所 以 与 所 成 的 角 等 于90.答案：90。6.如图，正 方 形 尸 与 梯 形/8C
8、。所在的平面互相垂直C D=A,M为CE的中点.求证：(1)8平面ZOER(2)平面平面BE C.诋哩如图，取 的 中 点N,连接M N 2N.在2EDC中,M,N 分别为EC,ED的中点,所以 MN/C。,且 MN=|CD.因为 ABCD/B=CD,所以 MN/AB,L MN=AB,所以四边形48 跖V为平行四边形.所以8/及因为NNu平面4DEF,且平面ADEF,所 以 平面(2)因为四边形ADEF为正方形,所以E O L 4 D因为平面ADEF平面N 6 C。,且平面ADEFC平面ABCD=AD,EDu平面ADEF,所以。_ 1_ 平面ABCD.所以E 0_ L 8 C在直角梯形ABCD
9、中4 8=/O=2,C 0=4,可得5 C=2V 2.在ABCD 中,BD=BC=2CD=4,所以又BDCED=D，所以平面BDE.因为8 C u 平面BEC,所以平面BDE1.平面BEC.7.如图，在四棱锥A-BCDE中，平面N 8 C _ L 平面BCDE,NCDE=NBED=9Q,AB=CD=2,DE=BE=JC=V 2.BE(1)证明:N C U 平面 BCDE-,(2)求直线AE与平面N 8C所成的角的正切值.证明:如图，连接3 D在直角梯形BCDE中，由DE=BE=l,CD=2,得 BD=BC=V 2.由 AC=近,AB=2,得 ABAt+BC2,ACLBC.又平面4 8 C,平面BCDE从而平面BCDE.(2)凰在直角梯形 BCDE 中，由 BD=BC=y2,DC=2,得 BD1BC.又 平 面 平 面 BCDE,所以8。，平面ABC.作EFBD,与CB的延长线交于点尺连接ZE,则EE_L平面ABC.所以N E 4 F是直线4 E与平面Z 8 C所成的角.在 RtABEF 中，由 8=1,/EBF=45，得 EF=,B F =.在R t4/C/中，由AC=V2.CF=乎，得AF=亭.在 RtAAEF 中，由 EF=y,AF=亨，得 tanZEAF=黑.所以直线Z E与平面NBC所成的角的正切值是答.