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1、第35讲直线方程1、直线的倾斜角 直 线的倾斜角：0a18 0 直线的斜率：左=t an a（a。90）已 知 两点求斜率：4二%（来彳斗）2、两直线的平行与垂直 平行:/,/2,则占=质 或%、k2不存在 垂 直：Z,1Z2,则占,直=T或左=0 且左2 不存在3、直线的五种方程 点斜式：y y（）kxxQ）斜 截式：y=kx+b两点式:y 必 _ x-的必 一 必 一 玉 截 距 式：-+=1a b 一 般式：4 c +W +C =0（/、6不能同时为零）4、两直线的交点坐标 联立两直线方程，求交点坐标5、距离公式两点间距离：山 间=0 一一）2+（必一必）2点勺（须）、招）到直线/：4
2、x+8 y+C =01.(2 02 1A.3 02.(2 02 1A xa+By0+Cj T+炉题型一：直线的倾斜角和斜率北京八十中高二期中）直线J1x-y+a=0（“eR）的倾斜角为（）B.6 0*C.15 0 D.12 0 全国高二课时练习）已知直线/经过第二、四象限，则直线/的倾斜角a 的取值范围是（）.A.004a 90 B.0 a18 0 C.90Oa18 0 I）.90a18 03.（2 02 1 全国高二课时练习）直线石x-y-l =0 的倾斜角为（）.A.三 B.J C.-D.-12 6 4 34.（2 02 1 重庆市第七中学校高二月考）经过两点4（1,0+1）和 8（-1,
3、1-石）的直线/的倾斜角是（）A.3 0 B.6 0 C.12 0 I）.15 005.（2 02 1 全国高二课时练习）图中的直线人、4、4的斜率分别为左、左 2、左 3，则（)A.kx k2 k3B.k3 kx k2C.k3 k2 kx D.k k3 匕 可 C-rP 3E万 D.r On,-Ri.u.(j冗j/题型二：直线方程1.（2 02 1 全国高二课时练习）已知直线h-y-3%+l=0,当/变化时，所有直线都恒过点（）A.（0,0）B.（0,1）C.（2,1）D.（3,1）2.（2 02 1 江 北 重庆十八中高二月考）下列直线方程纵截距为2 的选项为（）A.y=x-2 B.x-y
4、+2=0 C.楙 +看=1 D.x+y+2-03.（2 02 1 江苏苏州星海实验中学高二月考）已知直线/：G+2 =0 在 X轴和卜轴上的截距相等，则实数”的值 是（）A.1 B.-1 C.-2 或-1 1）.-2 或 14.（2 02 1 安徽高二月考）不论加为何值，直线加x-2 y-3 加+1 =0 恒过定点（）5.（2 02 1 大埔县虎山中学）经过点（1,7）且一个方向向量为Q,_ 3）的直线/的方程是（）A.3 x+2 y-l =0C.2 x+3 y+1=0B.3 x+2y+=0D.x-2y-3=06.（2 02 1 济宁市兖州区第一中学高二月考）过点P（-l,2）且平行于/:2
5、x-y+l =0 的直线方程为（）A.x+2y-3=0B.x+2y-5 =0C.2x-y=0D.2x-y+4 =01.（2 02 1 深州长江中学高二月考）直线 13x-y+=02与直线6 x 2 y+1 =0 之间的位置关系是)A.平行 B.重合 C.相交不垂直 D.相交且垂直8.（2 0 2 1 深州长江中学高二月考）直线在歹轴上的截距是一2,倾斜角为0 ,则直线方程是（）A-x+2=0 B._2 =0 C.y +2=Q D.丁一2 =09.（2 0 2 1 全 国高二课时练习）无论加取何实数，直线（2 +加h+0-2 加）+4-3加=0 一 定 过（）A.第一象限B.第二象限 C.第三象
6、限 D.第四象限1 0.（2 0 2 1 苏州大学附属中学高二月考）直线4：二-。=1 和=1 在同一平面坐标系中的图象可以是（）a b b aA.a 0,/）0 B.a 0,b 0 C.a 0 D.a 0,i 01 2.（2 0 2 1 全国高二课时练习）直线质_ y +i _ 3%=0,当左变动时，所有直线都通过定点（）A.（3,1）B.（0,1）C.（0,0）D.（2,1）1 3.（2 0 2 1 四川闽中中学高二月考（文）若直线y=b+2（k e R）不过第三象限，则人的取值范围是（）A.（o o,0）B.（c o,0 C.(0,4-0 0)D.0,+o o)题型三：直线的平行关系和垂
7、直关系1.（2 0 2 1 江苏省苏州第十中学校高二月考）直线2 x +（m +l）y-2 =0 与直线m x +3y-2 =0 平行，那么，w的值是（）A.2 B.-3 C.2 或-3 D.-2 或一32.（2 0 2 1 全国高二课时练习）若直线4：2 x-a y-l=0 与直线%：x +2 y=0 垂直，则a=（）.A.0 B.1 C.。或 1 D.1 或23.（2 0 2 1 武汉市育才高级中学高二月考）已知过点”（-2,和点8（加,4）的直线为；直线2 x +y-1 =0为小 直线x +y+l =0 为6，若I Q h，则实数加+的值为（）A.-1 0 B.-2 C.0 D.84.（
8、2 0 2 1 广东龙华 厚德书院高二月考）已知直线/1：2 +尸 2 =0,/2：办+4 了+1 =0,若/1/2，则。的值为（）A.8 B.2 C.D.-225.（2 0 2 1 江苏南京高二月考）若直线a x +y-a +l =0 与直线（4-2）x-3y+a =0 垂直，则实数。的值为（）A.-1 或 3 B.1 或一3 C.-1 或-3 D.1 或 36.（2 0 2 1 深州长江中学高二月考）直线o x +y-3 =0与直线y=；x-l垂直，则。=（）A.2 B.-2 C.g D.-v7.（2 0 2 1 全国）已知直线4：x +/y+4 =0,/2:（w-l）x +2 -8=0
9、,若 用”则 加 的 值 是（）A.-B.y C.2 D.18.（2 0 2 1 天津红桥高一学业考试）若直线4：x-y=0 与直线4：x +q y+2 =0 互相垂直，则 的 值 为（）A.-1B.1C.-2 D.29.（2 0 2 1 全国高二专题练习）/P人为两条直线，则下列说法正确的是（）A.若直线4 与直线的斜率相等，则 z B.若 直 线 则 两 直 线 的 斜 率 相 等C.若直线4，4的斜率均不存在，则D.若两直线的斜率都存在且不相等，则两直线不平行1 0.（2 0 2 1 全国高二专题练习）下列各组直线中，互相垂直的一组是（）A.2x 3y 5 =0 与4 x 6 y 5 =
10、0 B.2 x 3y 5 =0 与 4 x +6 y+5 =0C.2x+3y 6 =0 与 3x 2 y+6 =0 D.2 x +3y 6 =0 与 2 x 3y 6 =01 1.（2 0 2 1 全国高二课时练习）已知直线4 的倾斜角为6 0,，直线4 经过点”（1，6）、5（-2,-2 7 3）,则直线4、4的位置关系是（）A.平行或重合 B.平行C.垂直 D.重合1 2.（2 0 2 1 四川巴中高一期末（理）若直线4：2 x +y=0 与直线4：x +叩+1=0 互相平行，则实数（）A.-B.C.2 1）.21 3.（2 0 2 1 邹城市第二中学高二月考）“a =1”是“直线2 x+
11、4 =0 与直线（7）x+y +2 =0 平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件1 4.（2 0 2 1 浙江）已知直线=l 与直线4：x-n y，-l =0 相互垂直，则实数加的值是（）A.0 B.1 C.-1 D.1第35讲直线方程1、直线的倾斜角直线的倾斜角：0 a 1 80 直线的斜率：左=t a n a（a。90）已知两点求斜率：4二%一%（来 w x j2、两直线的平行与垂直 平 行：/2，则占=七 或k、k2不存在 垂 直：则左 2 =T或占=0且左2 不存在3、直线的五种方程 点 斜 式：y y（）kxxQ）斜 截 式：y=kx
12、+b两点式:y 必 _ X-的%一必 X2-Xt 截 距 式：-+=1a b 一 般 式：4 c +取+C =0 （/、8 不能同时为零）4、两直线的交点坐标联立两直线方程，求交点坐标5、距离公式两点间距离：山 间=0一一）2+（必一必）2点勺（须）、招）到直线/：4x+8y+C =0距离d=A xa+Bya+CJA2+B2题型一：直线的倾斜角和斜率1.（2 0 2 1 北京八十中高二期中）直线J-y +a =0（“eR）的倾斜角为（A.3 0 B.60。C.1 50。【答案】B【详解】由 gx-y+a =0 可得 y=也x+a,所以直线的斜率为左=由，设直线的倾斜角为。，则上=ta n a
13、=，D.1 2 0 因为0 4 a1 80,所以a =60 故直线的倾斜角为：60 ,故选：B.2.（2 0 2 1 全 国高二课时练习）已知直线/经过第二、四象限，则直线/的倾斜角a的取值范 围 是（).A.0 tz 90 B.0 a 1 80 C.90 4 a 1 80 D.90 a 1 80【答案】D【详解】直线倾斜角的取值范围是OY a 1 80 ,又直线/经过第二、四象限，二直线I的倾斜角a的取值范围是90 a 1 80 ,故选：D.3.（2 0 2 1 全国高二课时练习）直线Ji x-y-l =O 的倾斜角为（）.A.B.C.-I）.-12 6 4 3【答案】D【详解】依题意可知所
14、求直线的斜率 为 百，设直线的倾斜角为a,则 ta n a =6，T T因为白 0,乃），所以a =7 T即直线的倾斜角为，故选：D.4.（2 0 2 1 重庆市第七中学校高二月考）经过两点+和 的 直 线/的 倾 斜 角 是（）A.3 0 B.60 C.1 2 0 D.1 50,【答案】B【详解】设直线/的倾斜角为a,直线/的斜率为“=色电!二）=6，1 +1v 0 0 a 1 80，故a =60 .故选：B.5.（2 0 2 1 全国高二课时练习）图中的直线A、A、4 的斜率分别为左、左 2、J则（）C.k.k2 kx D.左 勺 左 2【答案】D【详解】由题可得，直线力的倾斜角为钝角，.
15、直线乙的斜率 k30,k k工 k”故选：D.6.（2 0 2 1 南昌市第八中学（文）若直线经过两点4（5,-加），例-巩2 -1）且倾斜角为45。，则加的值为（）3A.2 B.3 C.1 D.2【答案】C【详解】由题意，可 知 直 线 的 斜 率 存 在，g.,f l=2 f f l-1+/W=ta n 45a=l ,-m-5解得m-1.故选：C.7.（2 0 2 1 江苏）已知点4（2,0）,B（36）,则直线Z8 的倾斜角为（）A.3 0 B.45 C.1 2 0 1）.1 3 5【答案】C【详解】点力（2,0）,川 3,-6），则直线小的斜木 =_ 石，则直线的倾斜角1 2 0 ,故
16、选：C.8.（2 0 2 1 全国高二课时练习）“a =l”是“直线（。+1*+（/-1）歹+3 =0 的斜率不存在”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】直线（a +D x+G?-l）y+3 =O 的斜率不存在，则/-1=0,4+1 片0,解得a =l.。=1”是“直线（。+1）*+（/-1 亚+3 =0 的斜率不存在”的充要条件，故选：C.29.（2 0 2 1 全国（文）点尸在曲线y=d-x+百 上移动，设点尸处切线的倾斜角为a ,则 a的取值范围是（）【答案】B 4）3 4D.（工,至v2 4【详解】V/=3 炉一 1 2
17、一 1,，ta n。N 1.v e o,方），八兀、3兀、。0,）3 彳 .故选：B.1 0.（2 0 2 1 江苏）若直线/过点z（4,l）,8（3,力）（/?）,则直线的倾斜角取值范围是（）A 国乃 乃乃 /乃 FA彳 3 4 D，乃 /5冗刁【答案】D【详解】解：设直线的倾斜角 为,则因为 火，所以1 一 2 1,即ta n O W l,T T 元因为。0,左），所以0 4。4 工或土。（万，4 2所以直线的倾斜角取值范围是0,?故选：D题型二：直线方程1.（2 0 2 1 全国高二课时练习）已知直线b-y-3%+l=0,当变化时，所有直线都恒过点（）A.（0,0）B.（0,1）C.（2
18、,1）D.（3,1）【答案】D【详解】任-丫-3 4+1=0 可化为（x-3）-（y-l）=0,.直线过定点（3,1）,故 选:D.2.（2 0 2 1 江 北 重庆十八中高二月考）下列直线方程纵截距为2 的选项为（）A.y=x-2 B.x-y+2=0 C.+=1 D.x+y+2=02 4【答案】B直线x+y+2 =0 的纵截距为一2,直 线 9=1的纵截距为4,直线x-y+2 =0的纵截距为2,直线y=x-2 的纵截距为-2.故选：B.3.（2 0 2 1 江苏苏州星海实验中学高二月考）已知直线/：内+旷 _ 2 =0在、轴和；;轴上的截距相等，则实数“的值 是（）A.1B.-1C.-2 或
19、-1D.-2 或 1【答案】A解：根据题意当。=0 时，不符题意,当x =0 时，尸 2,2当，=0 时，x =-,a因为直线/：&r+/-2 =0在 x 轴和y 轴上的截距相等,2所以一 =2,所以a故 选:A.4.（2 0 2 1 安徽高二月考）不论加为何值，直线”?x-2 y-3 m+1=0 恒过定点（）A.13 缶B-i IC.（3.4）【答案】D.【详解】D.陷因为加x _ 2 y _ 3 加+1=0,所以 m（x-3）+（1 -2y）=0 ,令x-3 =0,l-2y=0,得 x =3,j =即定点为（3,g）故选：D.5.（2 0 2 1 大埔县虎山中学）经过点（1）且一个方向向量
20、为（2,_ 3）的直线/的方 程 是（）【详解】A.3 x +2 y-l =0B.3 x +2 y+l =0C.2 x +3 y+l =0【答案】AD.x-2 y-3 =0T.因为直线的一个方向向量为（2,-3）,所 以 直 线 的 斜 率 为 又 因 为 直 线 过 点（1,T）,由点斜式可得直线的方程为3 x +2 y-l =0.故 选:A.6.（2 0 2 1 济宁市兖州区第一中学高二月考）过点尸（-1,2）且平行于/:2 x-y +l =0 的直线方程为（）A.x+2y-3=0B.x+2y-5 =0C.2x-y=0【答案】DD.2x-y+4 =0【详解】因为直线/：2 工-y +1 =
21、0 的斜率为2 ,所以所求直线的斜率也为2,由点斜式可得所求直线方程为y -2 =2（x +1）,即2 x-y +4 =0.故选：D3 x-y+=0 2C.相交不垂直 1）.相交且垂直7.（2021 深州长江中学高二月考）直线 1 与直线6 x _ 2 v +l=0之间的位置关系是（）A.平行 B.重合【答案】B【详解】由宜线3尸产 g=0得6尸2产1=0,直线3尸y+g=0与直线6尸2方1=0之间的位置关系是重合.故选：B.8.（2021 深州长江中学高二月考）直线在夕轴上的截距是一2,倾斜角为0,则直线方程是（）A-x+2=0 B-x-2 =0 c-y +2=0 D-y-2 =0【答案】C
22、【详解】直线在y轴上的截距是一2,倾斜角为0,直线方程为y+2=0.故选：C.9.（2021 全国高二课时练习）无论用取何实数，直线（2+?）x+（l-2 5）y+4-3机=0一 定 过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【详解】（2+m）x+（-2m）y+4-3m=0,则（x-2 y-3 ”+2x+y+4=0.峨一 一 了,解 得 故 直 线 过 定 点（-1,-2）,必过第三象限.2x+y+4=0 尸一2故选：C1 0-（2必 苏州大学附属中学高二月考）直线口和吟-3在同一平面坐标系中的图象可以是（）【答案】A【详解】解：由截距式方程可得直线人 的横、纵截距
23、分别为。，-b,直线，2 的横、纵截距分别为6,a,选项A,由4 的图象可得a 0,由4的图象可得。，故正确：选 项 B,由4 的图象可得。0，b 0,由6的图象可得。0,显然矛盾，故错误；选项C,由4 的图象可得a 0,b 0,由4的图象可得“0,矛盾，故错误；选项D,由4 的图象可得a 0,b 0,可得直线4的横截距为正数，纵截距为负数，但是图象不对应，故错误.故选：A.1 1.(2 0 2 1 全国高二课时练习)若直线+=1 过第一、三、四象限，则()a bA.a 0,6 0 B.a 0,b 0 C.a 0 D.a 0,Z)0,/，0.故选：B1 2.(2 0 2 1 全国高二课时练习)
24、直线依_”+1 一3 左=()，当左变动时，所有直线都通过定点()A.(3,1)B.(0,1)C.(0,0)D.(2,1)【答案】A【详解】直线可化为仪x-3)-y +l =0,令x =3,解得夕=1,所以直线恒过定点(3,1).故选：A1 3.(2 0 2 1 四川阚中中学高二月考(文)若直线y =b+2(k e R)不过第三象限，则k的取值范围是()A.(-，0)B.(-8,0 C.(0,+o o)D.0,+o o)【答案】B【详解】y =A x +2 过点(0,2),若直线不过第三象限，则&V0.故选：B题型三：直线的平行关系和垂直关系1.(2 0 2 1 江苏省苏州第十中学校高二月考)
25、直线2 x +(/n +l)y-2 =0 与直线加x +3 y-2 =0 平行，那么加的值是)A.2B.-3C.2 或-31).-2 或 3【答案】B【详解】因为直线2 x +（加+l）y 2 =0 与直线机x +3 y-2 =0 平行,所以2 x 3 =w(/n +1)-2(m+l)w-2 x 3解得：m =-3,故选：B.2.（2 0 2 1 全国高二课时练习）若直线4：2 x-令-1=0 与直线（：x +2 y =0 垂直，则。=（）.A.0 B.1 C.0 或 1 I）.1 或2【答案】B【详解】两直线垂直满足2 x l +（-a）x 2 =0 ,解得a =l,故选：B.3.（2 0
26、2 1 武汉市育才高级中学高二月考）已知过点”（-2,和点8（机,4）的直线为小 直线2 x +y-l =0为给 直线x+y+i=o 为4，若“2，A,A，则实数?+的 值 为（）A.-1 0 B.-2 C.0 1）.8【答案】A【详解】由题意可得直线4，2,4 的斜率存在，可分别设为K，&，与，因为/2,所以占=%2，即一 二=一2,解得：加=8,团+2因为乙，,所以质收=T，即=解得：=-2,所以加+=-8 +（-2）=-1 0,故选：A.4.（2 0 2 1 广东龙华厚德书院高二月考）已知直线4：2 x+y-2=0 4：a x+4y+l=0,若ljl2,则。的值为（）A.8 B.2 C.
27、D.一 22【答案】D【详解】由题：直线 :2x+y-2=0,l2:a x+4y+l=0 相互垂直，所以2 a +4=0,解得：a =-2.故选：D.5.（2 0 2 1 江苏南京高二月考）若直线以+夕-a +1=0 与直线（4-2）x-3 y +a =0 垂直，则实数a的值为（）A.-1 或 3 B.1 或一3 C.一 1 或一3 D.1 或 3【答案】A【详解】由题设，a（a -2）+lx（-3）=0,即/-2 3 =0,解得a =T 或a =3.当 =一1时，直线分别为x-y-2 =0、3 x +3 y +l=0,符合题设;当。=3时，直线分另I 为3 x +y-2=0、x-3 y +3
28、 =0,符合题设.故 选:A6.（2 0 2 1 深州长江中学高二月考）直线a x +y 3 =0与直线y =g x l垂直，则。=（）A.2 B,-2 C.i D,-1【答案】A【详解】因为已知两直线垂直，所以=a=2.2故选：A.7.（2 0 2 1 全 国）己知直线 4：x +”?y +4=O,/2:（m-l）x +2 ；-8 =0 ,若/j,则加的 值 是（）A.1 B.y C.2 D.-1【答案】A【详解】解：因为所以（机-1）+2加=0,解得吁;.故选：A.8.（2 0 2 1 天津红桥高一学业考试）若直线4：x-y =0与直线/2：X+少+2 =0互相垂直，则。的 值 为（）A.
29、-1 B.1C.-2D.2【答案】B【详解】解：因为直线4：x-N =0与直线，2：x +a y +2 =0互相垂直，所以lx l+（T）x”=0解得a =1;故选：B9.（2 0 2 1 全 国高二专题练习）卜4为两条直线，则下列说法正确的是（）A.若直线4与直线4的斜率相等，则%B.若 直 线 则 两 直 线 的 斜 率相等C.若直线4，。的斜率均不存在，则”2 D.若两直线的斜率都存在且不相等，则两直线不平行【答案】D【详解】解：对于A,直线乙与斜率相等时，/2或 人 与4重合，错误；对于B,直 线44时，&=色或它们的斜率不存在，错误；对于C,直 线4、人的斜率不存在时，4 A或/，与
30、 重合，C错误；对于D,直 线4与&的斜率不相等时，/与 不平行，；.D正确.故选：D.1 0.（2 0 2 1 全国高二专题练习）下列各组直线中，互相垂直的一组是（）A.2 x 3y 5=0 与 4 x 6 y 5=0 B.2 x 3y 5=0 与 4 x+6 y+5=0C.2 x +3 y 6 =0 与 3 x 2 y +6 =0 D.2 x +3 y 6 =0 与 2 x 3 y 6 =0【答案】C【详解】2 4 4对于A,左 色=7、二=二工一1,因此Z 与 4 不垂直；3 6 92 ，4、4对于B,女色=彳、一 W=一个工一 1,因 此 与乙不垂直；3 V 6；92 3对于 C,A|
31、A；.=x =1,因此 7 _ L 1?；2 2 4对于D,kk2=-=-1,因 此 Z 与心不垂直.故选：C.1 1.（2 0 2 1 全国高二课时练习）已知直线4 的倾斜角为6 0、直线4 经过点工（1，行）、5（-2,-2 7 3）,则直线4、12的位置关系是（）A.平行或重合 B.平行C.垂直 D.重合【答案】A【详解】由题意可知直线A 的斜率k、=t a n 6 0 =百，直线4 的斜率&=士二益=省.-2 1因为匕=何，所以 2,或 为，2 重合.故选：A.1 2.（2 0 2 1 四川巴中高一期末（理）若直线4：2 x +y =O 与直线4：x +m y +l =0互相平行，则
32、实 数%=（）A.B.g C.2 I）.22 2【答案】B【详解】直线4：2 x +y =O 的斜率为一 2,由 2 知：直线4 的斜率一,=-2,所以?=Lm 2故选：B.1 3.（2 0 2 1 邹城市第二中学高二月考）“a =-l”是“直线2 x +砂+4=0 与直线5-l）x+y +2 =0 平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】解：当两直线平行，1 x 2 （a 1 州=0,解得。=2 或a =1,当。=2,两直线重合，舍去；当“=-1 时，两直线平行.所 以“a =1”是“直线2 x+4=0 与直线（a l）x+y +2 =0 平行”的充要条件.故选：C1 4.（2 0 2 1 浙江）已知直线4：%x-y =l与直线右：-即-1 =0 相互垂直，则实数加的值是（）A.0 B.1 C.-1 D.1【答案】A【详解】解：因为直线4：=l 与直线4：-吵-1 =0 相互垂直，所以?+，=0,解得/M =0.故答案为：A.