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1、专题0 7立体几何小题常考全归类【命题规律】高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是有关空间线面位置关系的命题的真假判断；二是常见一些经典常考压轴小题，难度中等或偏上.【核心考点目录】核心考点一：球与截面面积问题核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题核心考点四：立体几何中的交线问题核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题核心考点六：空间角问题核心考点七：轨迹问题核心考点八：以立体几何为载体的情境题核心考点九：翻折问题【真题回归】1.（2022北京高考真题）已知正三棱锥P-A 8 C 的六条棱长均为6,S 是:ABC及其内部的点构
2、成的集合.设集合T=Q eS|P Q 4 5 ,则 7 表示的区域的面积为（）3万A.一 B.4 C.2兀 D.3万4【答案】B【解析】设顶点P 在底面上的投影为O,连接8 0,则。为三角形ABC的中心,LB0=-X6X=2/3,故P0=，36-12=2 63 2因为尸Q =5,故OQ=1,故S 的轨迹为以。为圆心，1 为半径的圆，而三角形ABC内切圆的圆心为0 ,半径为2 x f x 3 6 ,故S 的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为万故选：B2.（2022 浙江高考真题）如图，已知正三棱柱A B C-A 4G，AC=441,E,尸分别是棱8 c A e 上的点.记所 与 4A 所成的角
3、为a,E F 与平面ABC所成的角为夕，二面角尸-8 C-A 的平面角为/,则（）A.a p y B.P a yC.P y aD.ay,FB E D,则乂=g.E.S=g-2“；（2a）2 ,匕=；./5 板=g“；.（2a）2=#,连接切9 交AC于点“，连接易得BD_LAC,乂 D_L平面 A8C）,AC c i AB C D,则 E D L A C,又 E D、B D=D,ED,BDu 平面 B D E F ,则 A C,平面B D E F,又=DM=8。=血，过尸作FG J.O E于G,易得四边形BOGb 为矩形，则尸G=8。=2,EG=a,2则 加=J（2a+（缶）=疝，尸 M=J/
4、+（伍/=扃，所=亚+（2伍）=3a,1万EM?+F M2=EF?,则 M _LW,S EFM=-E M -F M =a2.A C =2。，2 2则匕=%一 榜+%一炉”=!4。5桢=2/，则2匕=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故 A、B 错误；C,D 正确.故选：CD.4.（多选题）（2022.全国.高考真题）已知正方体48CO4 与 口，则（）A.直线2 G 与。4 所成的角为90。B.直线8 G 与CA所成的角为90。C.直线BC|与平面BBQ。所成的角为45。D.直线BC】与平面ABCZ）所成的角为45。【答案】ABD【解析】如图，连接BC、BG，因为“A C，所以直线BG与AC所成的角
5、即为直线BG与 所 成 的角，因为四边形8瓦C。为正方形，则故直线与。A所成的角为90。，A正确；连接A C,因为44_L平面BBCC，BC|U平面8B,则4瓦，BC-因为 4CLBG，A4 B,C=BI,所以 BG，平面 AMC,又A C u平面ABC，所以8 G，CA，故B正确；连接4 G，设AG B Q 1=。,连接BO,因为8耳L平面A 4G R，C 0U平面A 4 C R,则GO1818,因为C 0,qB Q c B i B =B 1,所以6。，平面8 4。，所以ZC,B O为直线BC,与平面BBQQ所成的角，设正方体棱长为1,则。=也，,sin鬻=:，1 2 B Q 2所以，直线B
6、G与平面8BQQ所成的角为30,故C错误；因为GC_L平面ABCQ,所以NgBC为直线BG与平面ABCO所成的角，易得/G 8C =45,故D正确.故选：ABD5.（多选题）（2021全国高考真题）在正三棱柱ABC-A4G中，A8=A4,=1,点p满足BP=；LBC+Bg,其中力0，则（）A.当4=1时，ZVIB7的周长为定值B.当=1时，三棱锥尸-ABC的体积为定值C.当4 时，有且仅有一个点P,使得4/，8PD.当=；时，有且仅有一个点P,使得AB，平面AB/【答案】BD【解析】易知，点尸在矩形8CG与内 部（含边界）.对于A,当4=1时，BP=BC+juBBt=BC+juCQ.即此时P
7、e线段CG，AB/周长不是定值，故A错误；对于B,当=1时，82=九3。+84=3 4+/1 8 6，故此时2点轨迹为线段8 6，而8 6 8。，8 6/平面4 8。,则有P到平面4 8 c的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.对于C,当2=g时，BP=g B C +BB,取BC,B 中点分别为。，H,则BP=8Q+Q H,所以P点轨迹为线段。”，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A 乎，0，1，P（O,O,），8（o ,o ,则 P=一4,BP=(O,AP-8P=(_1)=0,所以=0 或=L 故,Q 均满足，故 C错误；对于D,当=g时，BP=%B C+；B B _ 取 BB_ C
8、C,中点为M,N.BP=B M+；L M N，所以P点轨迹为线段M N.设因为A y-AO所以A P=(-A弓,%,；,B=(fi A AJ J所以3 1 1 1+y0-=0y0=-,此时尸与N重合，故D正确.故选：BD.6.（2020 海 南 高考真题）已知直四棱柱A8C0-A/3/。/的棱长均为2,ZBAD=60.以。为球心，石为半径的球面与侧面BCCIBI的交线长为.【答案】见兀.2【解析】如图:取BC的中点为E,B q的中点为尸，C&的中点为G,因为N 5 4 D =6 0。，直四棱柱ABC。-A MG。的棱长均为2,所以 Q B1G为等边三角形，所以。狼=6,DE B C ,又四棱柱
9、ABC。-A B C。为直四棱柱，所以8月_ L平面AB C R ,所以BB,1 B,C,因为B,C,=B,所以EL侧面B C 8,设尸为侧面B C C B与球面的交线上的点，则R E _ LE P,因为球的半径为 右，DE=B所以|E P|=J|P-|E =7 5 =应,所以侧面B g C B与球面的交线上的点到E的距离为0 ,因为|E F|=|E G|=J ,所以侧面B C C B与球面的交线是扇形E F G的弧F G，7T jr因为N4 F =NG：G=w，所以NF E G=,所以根据弧长公式可得F G=x&=4 l；r.2 2故答案为：立 兀.2【方法技巧与总结】1、几类空间几何体表面
10、积的求法（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和.（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和.（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补.2、几类空间几何体体积的求法（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算.（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.（3）锥体体积公式为丫=/5/2,在求解锥体体积时，不能漏掉3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形.4、球的截面问题球的截面的性质：球的任何截面是圆面；球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d 与
11、球的半径R 及截面的半径 的关系为&=/+/.注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的.5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系.6、解决立体儿何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是
12、代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模cose=cosccos尸（0为平面的斜线与平面内任意一条直线/所成的角，a 为该斜线与该平面所成的角，夕为该斜线在平面上的射影与直线/所成的角）.7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养.8、解决立体几何
13、中的轨迹问题有两种方法：一是几何法.对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义.二是代数法（解析法）.在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系.9、以立体几何为载体的情境题大致有三类：（1）以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；（2）以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；（3）以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等.10、以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数
14、形结合来解决问题.图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形一文字一符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形.【核心考点】核心考点一：球与截面面积问题【规律方法】球的截面问题球的截面的性质：球的任何截面是圆面；球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r的关系为A?=/+d2.【典型例题】例 1.（2022 全国高三阶段练习）已知四棱锥PA 8CQ 的底面
15、ABC。是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球。的球面上，抬，平面ABC。，PA =A B=E BC=2，点 E 在棱尸8 上，且 E8=2PE，过 E 作球O的截面，则 所 得 截 面 面 积 的 最 小 值 是.47 T【答案】y【解析】如图，将四棱锥PA 8CQ补为长方体，则此长方体与四棱锥的外接球均为球。，则球O 半径=4PA i+6+竺=出+2+4=亚。位于p c中点处.2 2因底面A8CO是矩形，则因 以 _L平面A8CD,B C u 平面48C Q,则又P A u 平面B,ABu平面用8,PA HA B=A,则BC_Z平面以8.因 尸 B u 平面以8,则8 C L P 8 取P B
16、的中点为F,则 O F BC,O F =BC=,O F 工 P B.PF=L PB=引 +=1，2 2 21 2 1因 EB=2PE,则 PE=PB=,得 EF=PF-PE=-.则在直角三角形OEF中，O E =4 O F2+E F-=当 E。与截面垂直时，截面面积最小，例 2.（2 0 2 2 湖北省红安县第一中学高三阶段练习）球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成,球 的 半 径 为 1 0,RQ为球0,表面上两动点，尸。=1 6,M 为线段P。的中点.半径为2的球02在 球 的 内 壁滚动，点A,B,C 在球O?表面上，点。2 在截面A 8 C 上的投影H恰为AC的中点，若 Q
17、，=l，则三棱锥A B C 体积的最大值是,【答案】1 5【解析】如图一所示：在圆。2 中，因为点。2 在截面A B C 上的投影H恰为AC的中点，且。=1，所以 M C 为直角三角形，且 N A B C =9 0。，又因为0 2 A =2,所以可得A H=百,A C =2 行，设 4 B =?,B C =,，则有m2+n2=A C2=1 2 ,所以 1 2 =m2+n2 2 m n 所以当=时,等号成立，所以s C 4 3；如图二所示:图二因为球。1 的半径为1 0,P Q =1 6,M 为线段P Q 的中点，所以 q M=J 1 O 2-8 2 =6,当 三 点 共 线 且 为 如 图 所
18、 示 的 位 置 时，点M 为到平面A B C 的距离最大，即此时三棱锥M -A B C 的高h最大，此时h=A/O,+Q O,+02/=6 +8 +1 =1 5 ,所以此时 VM.A B C=1-S4 B C-1 5 1-3-1 5 =1 5.即三棱锥M-A8C体积的最大值是1 5.故答案为：1 5.例 3.（2 0 2 2.江西.高三阶段练习（理）如图，正方体A B C D-A 禺GR的棱长为6,C,E =CXD,F ,C D的中点，则过4，E,F三点的平面a 截 该 正 方 体 所 得 截 面 的 面 积 为.【答案】6a【解析】如图，过点尸作尸尸 E/连接与P,由面面平行的性质可得：四
19、边形E 8/F 为平行四边形，又因为正方体A B C。-4月。的棱长为6,CE=；CR ,点尸是C 的中点，所以点B P=1,所以PF =M+6?=2 回，因为平行四边形E B/F的高为理,V 1 0所以 SB、EFP=2 而=6向,故答案为：6曲.例 4.（2 0 2 2.北京市十一学校高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体A B C 0-A g G。中，”，N分别是棱A 4，AA的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：平面cm v截正方体488-A4cA所得的截面图形是五边形；直线BR到平面CM N的 距 离 是 更；2存在点P,使得N B F R=90；P D A 面 积 的 最
20、 小 值 是 半.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】对于，如图直线MN与G4C。的延长线分别交于必，乂，连接CM，CM分别交片用QR 丁%，%,连 接 加%,%生，则五边形MM2CNN2即为所求的截面图形，故正确；对于，由题知M N/BQ,M N u 平面C M N ,耳。2平面CMN,所以4。/平面CMN,所以点B,到平面C M N的距离即为直线e,D,到平面C M N的距离,设 点 到 平 面OWN的距离为 人 由 正方体A B C D-A Q D）的棱长为2可得,所以-CMN=；S.cMN.h=；x与xh=h,v3“J 1 ”1V c BMN,C CI =3
21、X 2X 2=3,所以由力-CMN=%_ 则只，可得力=9所以直线4q到平面CM/V的距离是 马 叵，故错误;17对于，如图建立空间直角坐标系,则 4(2,0,2),D(0,2,2),C(2,2,0),A/(1,0,2),T：PC=AMC,0Z1(舍去)，或2 =上2叵，9 9所以存在点P使得=90,故正确：对于，由 矢 口 P(2-2,2-2 42/1),所以点尸(2 -4 2 -2 2,2 A)在。的射影为(0,2,2 2),所以点尸(2-4 2-2九2 2)到。的距离为d=7(2-/l)2+(-2/l)2=J5/P-42 +4=j 5(/l-|)2+y,当右1时，%=w，所以/)面积的最
22、小值是x 2 x生叵=拽，故正确；2 5 5故答案为：核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题【规律方法】几类空间几何体体积的求法(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.（3）锥体体积公式为V =/s，在求解锥体体积时，不能漏掉【典型例题】例 5.（2 0 2 2.河南省实验中学高一期中）如图，在正方体A B CO-A B CR中，A B=2,M ,N分别为4%,的中点，E,尸分别为棱A8,CD上的动点，则三棱锥”-N E 户的体积（）Q0A.存在最大值，最大值为 B.存在最小值，最小值为:4C.为
23、定值 D.不确定，与E,尸的位置有关【解析】如下图，连接A ,8N,在正方体A B CD-A B CQ中，M,N分别为A A，与 G的中点，可得MN/A B/CD,DC/平面M E N ,所以当尸在棱C 移动时，F到平面MEN的距离为定值，当E在棱A 3 移动时，E到M N的距离为定值,所以S MEN为定值,则三棱锥M-N E F的体积为定值.平面M E N即平面M A B N,作C H 工B N 于H ,由于A 8 _ L C H,可得C H _ L 平面由9阴 N _CHB,可得BB C H 2 C H 4后 ,_ 1 ._ 1 、匕 _ 匕-=-k=C H =,i n S MEN=-xM
24、 Nx B N x 2 x/5=/5,B N B C y/5 2 5 2 214“M-NEF=%-MEN=SM EN X CH=.故选：C.例 6.（2 0 2 2.山西运城.模拟预测（文）如图，正方体A B CQ-A B CR的棱长为1,线段C2上有两个动点E,F,且 EF=g,点 P,。分别为AA，B用的中点，G 在侧面CD2G上运动，且满足 G 平面C R P Q,以下命题错误的是（）B CA.A Bt 1 EFB.多面体AEF%的体积为定值C.侧面CD6上存在点G,使得B|G_LCQ.直 线 5 G 与直线8 C 所成的角可能为?【解析】对 4连接G。，作图如下：因为A B C O-A
25、 B C R 为正方体，故可得。G AB 又。G_LCR,E尸与C R 是同一条直线,故可得。则 A B|_L E F,故A 正确；对 所 根 据 题 意，E F =l,且线段E尸在C R 上运动，且点A 到直线C R 的距离不变，故 A所 的 面积为定值，又点4 到平面4 C R 的距离力也为定值，故三棱锥AEFB1的体积匕冏=g S.所x/?为定值，故 B 正确；对 C取C Q,C C 的中点分别为M,N,连接B、M,MN,NB、,作图如下:容易知在 G R C 中，M N H C D ,又 PDJ/BM,M N c B、M =M ,CD、c P j =D、,M N,与“u 面 B、MN,
26、CD,P R u 面 PD.CQ,故面 B、M N 面 P R C Q ,乂 G在侧面C D C 上运动，且满足4 G 平面CD/Q,故G的轨迹即为线段MN；乂因为A 8 8-A B CQ为正方体，故co,而 B CG4,4 Nu面B CCg,故B N L C D,则当G 与N重合时，B.G 1 C D,故 C正确；对。：因为8 c 与G，故直线与G与8。所成角即为直线与G与片4 所成角，即N G B|G,2,在&中，GGM=G N=；C G，M;：N=宠邛T故 ta n N G 8 Q =g=GGe4 c l,而当直线gG与直线8C 所成的角为1 时,6t a n g =W/W，：,故直线用
27、G与直线BC 所成的角不可能为2,故 错误.6 3 4 2J o故选：D.例 7.（20 22全国高三专题练习）如图所示，在正方体A3C C-ABC Q中，过对角线8。的一个平面交于 E,交C G于凡 给出下面几个命题：四 边 形 一 定 是 平 行 四 边 形;四边形8 F 0 E 有可能是正方形;平面BFRE有可能垂直于平面B B Q .设0 F 与。C 的延长线交于M,R E 与 D 4 的延长线交于N,则 M、N、B 三点共线；四棱锥B B F D、E的体积为定值.以上命题中真命题的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【解析】因为平面9与平面BC G S平行，截面与它们交于。F，B
28、 F,可得A E/8F,同样可得B E/R F,所以四边形BFRE是一个平行四边形，故正确；如果四边形8FR E 是正方形，则因为BE 1 A R,所以B E,平面又BAL平面A R E,E 与 A 重合，此时8 F 0 E 不是正方形，故错误；当两条梭上的交点是中点时，四 边 形 为 菱 形，EF_L平面88QO,此时四边形BFRE垂直于平面B B R D,故正确：由A F 与。C 的延长线交于M,可得M e R F,且M eO C.又因为R F u 平面BFRE,D C u 平面A8CD,所以M e 平面BFC|E,M e 平面ABCQ,又因为B e 平面8叫 E,B e 平面A8CZ）,
29、所以平面B F Q E平面A B C D=B M ,同理平面BFRE 平面A B C D=B N,所以BN都是平面BFQE与平面A8CO的交线，所以8,M,N 三点共线，故正确；由于 V*-BEDF=VE-BBR+VF_BBR C C J I A A 平面 B B、D、,则 E,尸到平面8 8 a 的距离相等，且为正方体的棱长，三角形88四 的面积为定值，所 以 四 棱 锥 的 体 积 为 定 值，故正确.故选：C.核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题【规律方法】几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目
30、标函数，借助函数思想方法求最值【典型例题】例 8.（2022 全国高三专题练习）如图，正方形EFG”的中心为正方形ABC。的中心，AB=2夜，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥P-EFG”（A,B,C,。四点重合于点尸），则此四棱锥的体积的最大值为（）A 128 6 R 128 石 r 4 门屈3 7 5 3 7 5 3 3【答案】B【解析】设 EF =2x(0 x /1 x,其体枳为：V=1X(2X)2X 2=|X2 J(l-x)=g j x 4(l _ x)|x 44XX X X X 一 +(1 x)4 4 4 4 _ _ _ _ _ _ _5当且仅当=x =l-x,x =E4时等
31、号成立,故选：B.例 9.（20 22江西南昌三模（理）已知长方体ABC O-ABC Q中，A B =2,B C =2 近,M =3,P 为矩形 A B C Q i 内一动点，设二面角P-4D-C 为a ,直线依与平面A B C。所成的角为夕，若a =Q,则三棱锥体积的最小值是（）A.7 2 B.3 虚-1 C.D.2 2【解析】如图，作 PO _ L 平面A 8 CZ）,垂足为。，再作。E _ L A D,垂足为E，连 接 由 题 意 可 知，Z P EO=ZP BO,所以E 0 =3 0,由抛物线定义可知，。的轨迹为抛物线一部分，所以产的轨迹为抛物线一部分,当点P到线段A G距离最短时，三
32、角形PA G面积最小，三棱锥B-PA G体积最小,建立如图所示直角坐标系，则直线A G的方程为&x-y+夜=0,抛物线的方程为y 2=4 x n y =2（0 4 y 4 2）,=，由题意，=夜，得x =g,代入y =24,得丫=夜，d =孝-夜+夜所以点p的坐标为，所以P到直线A G的最短距离为_7 6 .因为4 G =2 0)6：+2?=2技所以 Vp _ABc=/-&?=x x 2/3 x x 3 =,rj 3 2 6 2所以三棱锥P-4BG体积的最小值 为 也.2故选：CB例 10.（2022浙江高三阶段练习）如图，在四棱锥Q-EFG”中，底面是边长为2血的正方形，Q E =Q F =
33、Q G =Q H=4,M 为QG的中点.过&W作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为匕，匕，则在的最小值为（）y2Q过。作平面EFG的垂线，垂足为O,连设M,QO的交点为A,在中过A 作直线。交Q H Q F于B,C两点，由相交直线确定平面，则四边形E C M B为过E M的截面.由计算可得E G =4,得乙。EG为正三角形，QO=2 g,所以A 为八QEG的重心，设QB=xQH,QC=yQ/7,由向量运算可得QA=：QO=g Q +g Q F,又 QB=xQH,QC=），Q F,可得 Q H=jQ 氏 QF=（Q C,所以 QA=2 Q B +&QC,由三点共线，得;+
34、；=1,即L =3,易得E 到平面。麻 的距离为OE=2,M 到平面QKF的距离为1,3x 3y x y因为5 眄=；8 0 八呜=4百 孙，所以乂=-c +Vs=：S 3c.（1 +2）=：Q8 QC 呜=4&y,2R 16 K _ 4 乖txy _ 4VQEFGH=丁9吟，得匕=曝FGH-吊=可 6-4 向 y,匕 一 更 石 _4岛+4-3xy-由11cli FT 4 2 乂=_+-_+4=-一+=3,3,+与2、二，得孙琮，当且仅当 工=尸；取等号，所以匕 4一 3盯一*4 2，x y x y xy 9 3 2 J 4-即 才V.的最小值为，i故 选:A.例 11.（2022河南省实验
35、中学高一期中）如图，在正方体A 8 8-A 4 C Q 中，A B =2,M,N 分别为A Q,8 c 的中点，E,尸分别为棱AB,C。上的动点，则三棱锥M-N 户的体积（)A.存在最大值，最大值为g B.存在最小值，最小值为1C.为定值三4D.不确定，与 E,F 的位置有关【解析】如下图，连接A,B N,在正方体A 5C D-A 4G A 中，M,N 分别为A。，的中点，可得M N H A B H C D ,D C 平面M E N ,所以当尸在棱CD移动时，尸到平面MEN的距离为定值，当E 在棱A 8移动时，E到M N的距离为定值，所以S MEN为定值，则三棱锥M-N EF的体积为定值.平面
36、M EN即平面M A B N,作CH上B N 于H,由于A B _ L C,可得C_L平面M48M 由C H B ,可得B B.B/VC H 2正=忑H=4 6=-x M N x B N =-x2 xy/5 =y/5 ,2 2而S.”硒_ _ 1 _ 4V M-NEF=VF-MEN=Sv MEN X C H =故选：c.核心考点四：立体几何中的交线问题【规律方法】几何法【典型例题】例12.(2022.浙江宁波.一模)在棱长均相等的四面体ABCQ中，P为棱AO(不含端点)上的动点，过点A的平面a与 平 面 平 行.若 平 面a与平面ABD,平面AC。的交线分别为m n,则相，所成角的正弦值的最大
37、值为.【答案】辿3【解析】过点4的平面a与平面PBC平行.若平面a与 平 面 平 面4 c o的 交 线 分 别 为n,由于平面a 平面P 8 C,平面PBCC平面平面PBCc平面ACQ=P C所以m B P jt“PC,所以/B PC或其补角即为?，所成的平面角，设正四棱锥A8CO的棱长为1,AP=x,0 x l,则PD=l r,在,.ABP 中，由余弦定理得：BP=J AB?+AP?-2 AB APcos 60=J l+f-2 x Ixxx：=Jl+f-x ,同理PC=4CD2+PD2-2CD-PZ)cos60=Jl+(l-x)2-2xlx(l-x)x1=&-x+l,故 在PBC中,cos
38、 ZBPC=PB?+PC。-BC?2PBPC当x=；时取等号,故 cosZBPC 的最小值 为!，进而 sin NBPC=Jl-cos?NBPC 2+8D2=2,所以“A B C 是边长为2的等边三角形,所以边长为2的等边三角形的高为：庐 工 二 应,所以5&=3乂2、石=6，设。到平面4 B C的距离为d,S&BCD=；X无 x 丘=1,所以所以x A D x Z B e E x d x S M c，解得d ，则d=l，3 3 3 3所以以O为球心，1为半径的球与平面A B。，平面A C。，平面88的交线为1个半径4为1的圆的弧线，与面A B C的交线为个圆，且圆的半径为J-/=昱，3所以交
39、线总长度为：x 2 x l x 3+2-x =+n.4 3 6故答案为：9+4汽6核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题【规律方法】几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系：二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值【典型例题】例16.（2 02 2全国高三专题练习）已知正三棱锥S-4 8 C的底面边长为0,外接球表面积为加，SAd.4/,且 ACCAA=A,则 8O_L平面 A 4C,所以8。，A C,同 理 得 平 面 a q c,所以B G A q c,而 8。BC=B,所以4 0，平面8 6 力，记A C 与平面BG。
40、交于点”，连接A C，GO,A C,且 AC BD=O,则桨=第=：，易得lAM=2|q，/IC（JC 1从而得点A（3,0,3）关于平面8C Q 对称的点为G（-l,4,-1）,所以1 4 尸|+|日的最小值为|EG|=J（3+l）2+（2-0+（3+炉=6故选：B.例 18.（2022 全国高三专题练习）如图所示，在直三棱柱A B C-A/C 中，叫cosZABC=1,P 是 AB上的一动点，则 A P+PG 的最小值为（）=1 ,AB=BC=B【解析】连接BG，得V A B Q,以AB所在直线为轴，将V A/C 所在平面旋转到平面ABBM，设点C 1 的新位置为C,连接A C ,则有4
41、P+P G 2 4 C.当A、P、。三点共线时，则AC即为A P +PC的最小值.在三角形4 B C 中，A B =B C =6 COSZABC=1,由余弦定理得：A C =J A B2+B C2-2 A B.B C c o s B =3 +3-2 x3 x =2 ,所以 AG=2,即 A C =2在 三 角 形 中，A A =1,A B =y f i 由勾股定理可得：A B =-A A i2+A B2=J l +3=2 ,且N A A,B =6 0。.同理可求：C、B =2因为A B =B6=AG=2,所以VA/G为等边三角形，所以N B A G=6 0。，所以在三角形例。中，ZA A,C
42、=+1 2 0 ,A A,=,C =2,由余弦定理得：A C =J l+4-2 xl x2 x(-g)=V 7.故 选&核心考点六：空间角问题【规律方法】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.求解的一般步骤为：(1)作图：作出空间角的平面角.(2)证明：证明所给图形是符合题设要求的.(3)计算：在证明的基础上计算得出结果.简称：一作、二证、三算.2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法“，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.3、求直线与平面所成角的常见方法(1)作
43、角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求.（2）等积法：公式sinM=/,其中。是斜线与平面所成的角，6 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长.（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90。.4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角.（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足）
44、，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角.（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.【典型例题】例 19.（2022.浙江金华.高三期末）已知正方体4B C O-A B C Q 中，为ACR内一点，且 S 9。=京4，设 直 线 与 A C 所成的角为。，则cos。的取值范围为（）【答案】C【解析】如 图 1,设耳。与平面ACR相 交 于 点 连 接 8 0 交4 c 于点。，连接BQ,:_L 平面 A B C D.AC u 平面 A B C D，则 BBy 1 A C,A CJ.BD,B D c B B
45、、=B,平面8。石4?_1_平面8。力出，由第。u 平面 BDD,B、,则 AC，。，同理可证：AD J B Q ,A D,A C =A ,AD1,ACu平面 ACR,二 BQ _L 平面 AC。，V A C =A Dt=CQ=A4=AR=BC,由正三棱锥的性质可得：E 为AC。的中心，连接。A，:。为AC的中点，交与。于点E,连接PE,由4_L平面A C Q,尸 E u 平面A C%,则与CP E,即PE 是 尸 与。的高，设 PE=d，则 BQ=6a,AC =W，且AC。的内切圆半径 =0E=直 ，16则S=gB、D.PE=今ad,S9 =；（缶 卜（缶 卜 母=孝/,丁 S/P S,。=
46、I即=g x,则 d=铲 =CZ）=g 8 C,AC交8。于。点，沿着直线B。翻折成二,8。，所成二面角A-8 O-C 的大小为，则下列选项中错误的A.ZAtBC0C.ZAtDC eD.AA,BC+ADCe【解析】等腰梯形 A3。中，AD/BC,A8=AO=8=8 6,可知：ZACB=ZACD=30,BD1 DC取 3。中点N.B C 中点M 连接AMMW厕 AN_LBO,NM A.BC,所以ZA,NM为二面角A BD-C 的平面角，即NANM=。设 A8=A)=C)=gBC=2,则 4N =1,MN=1,=2,AQ=2：.COS0=A,N2+NM-M12A.N-NM1+1-4M2,1 ，=丁
47、 =1-A W-,?.cos ZAjBC=B-+BM2-A,M2 22+22-A/22A.BBM-2x2x2因为在 0,同 匕余弦函数单调递减,乂 l-AM2 2 i_ lA M 2=c o s4 B C N c o se =N 4B C 4。，故 A 对.8 2/.cos Z2410 c =A。、oc2-2D C D2?+2?-AC22x2x2=I4AC?cos NA OC=O2+PC2-C22AtOOC当0=0 时,A与M 重合，此时ZA,DC=6 0，故 c 不对.N 4Q C 在翻折的过程中，角度从120减少到60NAOC在翻折的过程中，角度从180减少到30BD选项根据图形特征及空间
48、关系，可知正确.故选:CB4C例 21.（2022浙江 湖州中学高三阶段练习）如图,ABC 中，ZC=90,AC=1,BC=y/3,D 为 AB 边上的中点，点 M 在线段B（不含端点）上，将BCM沿 CM向上折起至8,C M,设 平 面 与 平 面ACM所成锐二面角为a,直线MB，与平面AMC所成角为夕，直线MC与平面9 C 4 所成角为7,则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，设直线B N与宜线C M垂直相交于点N,在折叠图里，线段B T与平面AC M垂直相交于点T,ZBCM=0,0,30),由图象知：NBNT=a;NEM T=B,BN=BN=,
49、BT=V3sin 6*sin a;BM=Gsin 8/sin（300+6）,NT=G sin9*cosa,MN=瓜 也 6*tan（60。6）,CM=G/（2sin（30+e）,c BT sin a I tan p=-i=/yjMN2+NT2 Jtan2（60）+cos2 a，c tan a ,tan a,tanatan P=-，4sin（3O+0）l-c o s（0.5a）sin 20Sin 弘 gMCn26*sma 而 p =X _=sin（30。+6）*sin a21-cos4（0.5a）sin210 B Msin y _ sin 20 sin 20 tan 20 ）cos26 2sin
50、（30+6）-由s in/4 sin/7得y 尸；.sin 26*sin a sin r sin 2。sin/=/：n-=/；2/1-cos4（0.5a）sin2 26 sin a 25/1-cos4（0.5a）sin2 20 m贝,IiJ sin y -s-i-n-2-0-=-t-a-n-2-0-J3，即nr l sin./y /3C.0 a YD.P Y a【解析】在等边一A B C 中，取 8c边中点。，连接AO,交EF于0,连接P 0,则 所 J_ P 0,F _ L 0,POcDO=O,POu平面尸O。，O u 平面尸故平面尸O。，又 所 u平面瓦C8,则平面P O O _ L 平面