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1、专 题 0 7 立 体 几 何 小 题 常 考 全 归 类【命 题 规 律】高 考 对 该 部 分 的 考 查，小 题 主 要 体 现 在 两 个 方 面：一 是 有 关 空 间 线 面 位 置 关 系 的 命 题 的 真 假 判 断；二 是 常 见 一 些 经 典 常 考 压 轴 小 题，难 度 中 等 或 偏 上.【核 心 考 点 目 录】核 心 考 点 一：球 与 截 面 面 积 问 题 核 心 考 点 二：体 积、面 积、周 长、角 度、距 离 定 值 问 题 核 心 考 点 三：体 积、面 积、周 长、距 离 最 值 与 范 围 问 题 核 心 考 点 四：立 体 几 何 中 的 交
2、 线 问 题 核 心 考 点 五：空 间 线 段 以 及 线 段 之 和 最 值 问 题 核 心 考 点 六：空 间 角 问 题 核 心 考 点 七：轨 迹 问 题 核 心 考 点 八：以 立 体 几 何 为 载 体 的 情 境 题 核 心 考 点 九：翻 折 问 题【真 题 回 归】1.（2022 北 京 高 考 真 题）已 知 正 三 棱 锥 尸-ABC的 六 条 棱 长 均 为 6,S 是,C 及 其 内 部 的 点 构 成 的 集 合.设 集 合 7=Q e S|P Q M 5,则 T表 示 的 区 域 的 面 积 为（）A.B.C.27r D.37r42.（2022.浙 江 高 考
3、真 题）如 图，已 知 正 三 棱 柱 A B C-A B G，AC=A A，E,尸 分 别 是 棱 BC，4 G 上 的 点.记 E F与 AA所 成 的 角 为 a,E尸 与 平 面 ABC所 成 的 角 为 夕，二 面 角 F-B C-A 的 平 面 角 为 7,贝 U（)A.a/3y B.p a y C.P y a D.a y 03.（多 选 题）（2022全 国 高 考 真 题）如 图，四 边 形 ABC。为 正 方 形，E D l A B C D,FB ED,AB=ED=2FB,记 三 棱 锥 E-A C D,F-ABC,F-A C E的 体 积 分 别 为 匕 匕，匕，则（）EA
4、.匕=2匕 B.匕=匕 C.匕=用+匕 D.2匕=3匕 4.（多 选 题）（2022全 国 高 考 真 题）已 知 正 方 体 4 B 8-A B C Q,则（）A.直 线 B q 与 D4,所 成 的 角 为 90。B.直 线 与 C A 所 成 的 角 为 90。C.直 线 B G 与 平 面 BBQ。所 成 的 角 为 45。D.直 线 8 G 与 平 面 A B C Q 所 成 的 角 为 45。5.（多 选 题）（2021.全 国 高 考 真 题）在 正 三 棱 柱 ABC-A B C 中，AB=AAI=1,点 P 满 足 BP=4BC+BB 其 中;则（）A.当 4=1时，的 周
5、长 为 定 值 B.当=1时，三 棱 锥 P-A 8 C 的 体 积 为 定 值 C.当 几=；时，有 且 仅 有 一 个 点 尸，使 得 尸 D.当=；时，有 且 仅 有 一 个 点 尸，使 得 ABJ.平 面 6.（2020海 南 高 考 真 题）已 知 直 四 棱 柱 ABCD-A/B/GO/的 棱 长 均 为 2,ZBAD=60.以 R 为 球 心，石 为 半 径 的 球 面 与 侧 面 B C C B 的 交 线 长 为.【方 法 技 巧 与 总 结】1、几 类 空 间 几 何 体 表 面 积 的 求 法（1）多 面 体：其 表 面 积 是 各 个 面 的 面 积 之 和.（2）旋
6、转 体：其 表 面 积 等 于 侧 面 面 积 与 底 面 面 积 的 和.（3）简 单 组 合 体：应 弄 清 各 构 成 部 分，并 注 意 重 合 部 分 的 删、补.2、几 类 空 间 几 何 体 体 积 的 求 法（1）对 于 规 则 几 何 体，可 直 接 利 用 公 式 计 算.（2）对 于 不 规 则 几 何 体，可 采 用 割 补 法 求 解；对 于 某 些 三 棱 锥，有 时 可 采 用 等 体 积 转 换 法 求 解.（3）锥 体 体 积 公 式 为 丫=S h,在 求 解 锥 体 体 积 时，不 能 漏 掉 3、求 解 旋 转 体 的 表 面 积 和 体 积 时，注 意
7、 圆 柱 的 轴 截 面 是 矩 形，圆 锥 的 轴 截 面 是 等 腰 三 角 形，圆 台 的 轴 截 面 是 等 腰 梯 形.4、球 的 截 面 问 题 球 的 截 面 的 性 质：球 的 任 何 截 面 是 圆 面；球 心 和 截 面（不 过 球 心）圆 心 的 连 线 垂 直 于 截 面；球 心 到 截 面 的 距 离 d 与 球 的 半 径 R 及 截 面 的 半 径 r 的 关 系 为 R?=r2+d2.注 意：解 决 球 与 其 他 几 何 体 的 切、接 问 题，关 键 在 于 仔 细 观 察、分 析，弄 清 相 关 元 素 的 位 置 关 系 和 数 量 关 系；选 准 最
8、佳 角 度 作 出 截 面（要 使 这 个 截 面 尽 可 能 多 地 包 含 球、几 何 体 的 各 种 元 素 以 及 体 现 这 些 元 素 之 间 的 关 系），达 到 空 间 问 题 平 面 化 的 目 的.5、立 体 几 何 中 的 最 值 问 题 有 三 类：一 是 空 间 几 何 体 中 相 关 的 点、线 和 面 在 运 动，求 线 段 长 度、截 面 的 面 积 和 体 积 的 最 值；二 是 空 间 几 何 体 中 相 关 点 和 线 段 在 运 动，求 有 关 角 度 和 距 离 的 最 值；三 是 在 空 间 几 何 体 中，已 知 某 些 量 的 最 值，确 定 点
9、、线 和 面 之 间 的 位 置 关 系.6、解 决 立 体 几 何 问 题 的 思 路 方 法：一 是 儿 何 法，利 用 几 何 体 的 性 质，探 求 图 形 中 点、线、面 的 位 置 关 系；二 是 代 数 法，通 过 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 点 的 坐 标 表 示 所 求 量 的 目 标 函 数，借 助 函 数 思 想 方 法 求 最 值；通 过 降 维 的 思 想，将 空 间 某 些 量 的 最 值 问 题 转 化 为 平 面 三 角 形、四 边 形 或 圆 中 的 最 值 问 题；涉 及 某 些 角 的 三 角 函 数 的 最 值，借 助 模 型 求 解，如
10、 正 四 面 体 模 型、长 方 体 模 型 和 三 余 弦 角 模 cos=cos a cos 为 平 面 的 斜 线 与 平 面 内 任 意 一 条 直 线/所 成 的 角，a 为 该 斜 线 与 该 平 面 所 成 的 角，夕 为 该 斜 线 在 平 面 上 的 射 影 与 直 线/所 成 的 角）.7、立 体 几 何 中 的 轨 迹 问 题，这 是 一 类 立 体 几 何 与 解 析 几 何 的 交 汇 题 型，既 考 查 学 生 的 空 间 想 象 能 力，即 点、线、面 的 位 置 关 系，又 考 查 用 代 数 方 法 研 究 轨 迹 的 基 本 思 想，培 养 学 生 的 数
11、学 运 算、直 观 想 象 等 素 养.8、解 决 立 体 几 何 中 的 轨 迹 问 题 有 两 种 方 法：一 是 几 何 法.对 于 轨 迹 为 几 何 体 的 问 题，要 抓 住 几 何 体 中 的 不 变 量，借 助 空 间 几 何 体（柱、锥、台、球）的 定 义；对 于 轨 迹 为 平 面 上 的 问 题，要 利 用 降 维 的 思 想，熟 悉 平 面 图 形（直 线、圆、圆 锥 曲 线）的 定 义.二 是 代 数 法（解 析 法）.在 图 形 中，建 立 恰 当 的 空 间 直 角 坐 标 系 或 平 面 直 角 坐 标 系.9、以 立 体 几 何 为 载 体 的 情 境 题 大
12、 致 有 三 类：（1）以 数 学 名 著 为 背 景 设 置 问 题，涉 及 中 外 名 著 中 的 数 学 名 题 名 人 等；（2）以 数 学 文 化 为 背 景 设 置 问 题，包 括 中 国 传 统 文 化，中 外 古 建 筑 等；（3）以 生 活 实 际 为 背 景 设 置 问 题，涵 盖 生 产 生 活、劳 动 实 践、文 化 精 神 等.10、以 立 体 几 何 为 载 体 的 情 境 题 都 跟 图 形 有 关，涉 及 在 具 体 情 境 下 的 图 形 阅 读，需 要 通 过 数 形 结 合 来解 决 问 题.图 形 怎 么 阅 读?一 是 要 读 特 征，即 从 图 形
13、中 读 出 图 形 的 基 本 特 征；二 是 要 读 本 质，即 要 善 于 将 所 读 出 的 信 息 进 行 提 升，实 现“图 形 一 文 字 一 符 号 的 转 化；三 是 要 有 问 题 意 识，带 着 问 题 阅 读 图 形，将 研 究 图 形 的 本 身 特 征 和 关 注 题 目 要 解 决 的 问 题 有 机 地 融 合 在 一 起；四 是 要 有 运 动 观 点，要“动 手”去 操 作，动 态 地 去 阅 读 图 形.【核 心 考 点】核 心 考 点 一：球 与 截 面 面 积 问 题【规 律 方 法】球 的 截 面 问 题 球 的 截 面 的 性 质：球 的 任 何 截
14、 面 是 圆 面；球 心 和 截 面（不 过 球 心）圆 心 的 连 线 垂 直 于 截 面；球 心 到 截 面 的 距 离 d 与 球 的 半 径 R 及 截 面 的 半 径 r 的 关 系 为 8=r2+d2.【典 型 例 题】例 1.（2022 全 国 高 三 阶 段 练 习）已 知 四 棱 锥 P-ABCZ）的 底 面 ABC。是 矩 形，且 该 四 棱 锥 的 所 有 顶 点 都 在 球。的 球 面 上，抬 J_平 面 A8CD,PA=AB=6,BC=2，点 E 在 棱 心 上，且 EB=2PE，过 E 作 球 O的 截 面，则 所 得 截 面 面 积 的 最 小 值 是.例 2.（
15、2022湖 北 省 红 安 县 第 一 中 学 高 三 阶 段 练 习）球 体 在 工 业 领 域 有 广 泛 的 应 用，某 零 件 由 两 个 球 体 构 成，球 的 半 径 为 10,P,Q为 球。1表 面 上 两 动 点，尸。=16,朋 为 线 段 PQ的 中 点.半 径 为 2 的 球。2在 球。1的 内 壁 滚 动，点 A,B,C在 球 O?表 面 上，点 Q 在 截 面 4 8 c 上 的 投 影 H恰 为 A C的 中 点，若 0/=1,则 三 棱 锥 M-A 8C体 积 的 最 大 值 是.例 3.（2022江 西 高 三 阶 段 练 习（理）如 图，正 方 体 ABC。-4
16、 4 G A 的 棱 长 为 6,G E=g a R,点 F 是 C。的 中 点，则 过 用，E,F 三 点 的 平 面 a 截 该 正 方 体 所 得 截 面 的 面 积 为.例 4.（2022北 京 市 十 一 学 校 高 三 阶 段 练 习）如 图，在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABC。-4 4 G A 中，分 别 是 棱 的 中 点，点 P 在 线 段 C M上 运 动，给 出 下 列 四 个 结 论：平 面 C M N 截 正 方 体 ABC。-A 4 G p 所 得 的 截 面 图 形 是 五 边 形：直 线 B R 到 平 面 C M N 的 距 离 是 亚；2 存 在 点
17、 P,使 得 NB,尸。=90；PDR面 积 的 最 小 值 是 竽.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.核 心 考 点 二：体 积、面 积、周 长、角 度、距 离 定 值 问 题【规 律 方 法】几 类 空 间 几 何 体 体 积 的 求 法（1）对 于 规 则 几 何 体，可 直 接 利 用 公 式 计 算.（2）对 于 不 规 则 几 何 体，可 采 用 割 补 法 求 解；对 于 某 些 三 棱 锥,有 时 可 采 用 等 体 积 转 换 法 求 解.（3）锥 体 体 积 公 式 为 V=；肺，在 求 解 锥 体 体 积 时，不 能 漏 掉【典 型 例 题】例 5.（202
18、2河 南 省 实 验 中 学 高 一 期 中）如 图，在 正 方 体 A8CO-AMG。中，A B=2,M,N 分 别 为 AR,4 G 的 中 点，E,尸 分 别 为 棱 8 上 的 动 点，则 三 棱 锥 M-N E 尸 的 体 积（）A.存 在 最 大 值，最 大 值 为|B.存 在 最 小 值，最 小 值 为:4C.为 定 值 D.不 确 定，与 E,尸 的 位 置 有 关例 6.（2022 山 西 运 城 模 拟 预 测（文）如 图，正 方 体 A 8 C D-A 8 G A 的 棱 长 为 1,线 段 C。上 有 两 个 动 点 E,F,且 E尸=；,点 P,。分 别 为 4 4，
19、8片 的 中 点，G 在 侧 面 CDC上 运 动，且 满 足 B|G 平 面 C R P Q,以 下 命 题 错 误 的 是（）A.AB,EFB.多 面 体 A E F 4的 体 积 为 定 值 C.侧 面 CDRG上 存 在 点 G,使 得 4 G 1 C。D.直 线 耳 G 与 直 线 B C所 成 的 角 可 能 为 36例 7.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）如 图 所 示，在 正 方 体 ABC。-A g C Q 中，过 对 角 线 的 一 个 平 面 交 4A于 E,交 C G于 F,给 出 下 面 几 个 命 题：四 边 形 8 F R E有 可 能 是 正 方 形
20、;四 边 形 8 F R E一 定 是 平 行 四 边 形 平 面 B F R E有 可 能 垂 直 于 平 面 8B Q；设 R F 与。C 的 延 长 线 交 于 M,A E 与 D 4的 延 长 线 交 于 N,则 M、N、8 三 点 共 线;四 棱 锥 B BFD.E的 体 积 为 定 值.以 上 命 题 中 真 命 题 的 个 数 为（）A.2 B.3 C.4 D.5核 心 考 点 三：体 积、面 积、周 长、距 离 最 值 与 范 围 问 题【规 律 方 法】几 何 法，利 用 几 何 体 的 性 质，探 求 图 形 中 点、线、面 的 位 置 关 系；二 是 代 数 法，通 过
21、建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 点 的 坐 标 表 示 所 求 量 的 目 标 函 数，借 助 函 数 思 想 方 法 求 最 值【典 型 例 题】例 8.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，正 方 形 EFG”的 中 心 为 正 方 形 A 8C O的 中 心，AB=2四,截 去 如 图 所 示 的 阴 影 部 分 后，翻 折 得 到 正 四 棱 锥 P-E F G”（A,B,C,D 四 点 重 合 于 点 P）,则 此 四 棱 锥 的 体 积 的 最 大 值 为（）DA BA 128 6 R 128 后 r 4 n V15375 375 3 3例 9.（2022江
22、 西 南 昌 三 模（理）已 知 长 方 体 中，AB=2,BC=2叵,M=3,P为 矩 形 A B C R 内 一 动 点，设 二 面 角 P-A O-C 为 a,直 线 尸 8 与 平 面 ABCD所 成 的 角 为/，若。=6，则 三 棱 锥 P-A 8 G 体 积 的 最 小 值 是（）A.72 B.3 0-1 C.D.2 2例 10.（2022浙 江 高 三 阶 段 练 习）如 图，在 四 棱 锥 Q-E F G”中，底 面 是 边 长 为 2拉 的 正 方 形，QE=QF=Q G=QH=4,为 如 的 中 点.过 作 截 面 将 此 四 棱 锥 分 成 上、下 两 部 分，记 上、
23、下 两 部 分 的 体 积 分 别 为 匕，%,则）的 最 小 值 为（）*2C.D.4 5例 11.（2022河 南 省 实 验 中 学 高 一 期 中）如 图，在 正 方 体 中，AB=2,M,N 分 别 为 A Q,4 G 的 中 点，E,尸 分 别 为 棱 A 5,上 的 动 点，则 三 棱 锥 N E E的 体 积（B.存 在 最 小 值，最 小 值 为|4C.为 定 值 三 D.不 确 定，与 E,尸 的 位 置 有 关)核 心 考 点 四：立 体 几 何 中 的 交 线 问 题【规 律 方 法】几 何 法【典 型 例 题】例 12.（2022.浙 江 宁 波.一 模）在 棱 长
24、均 相 等 的 四 面 体 ABCO中，P 为 棱 AO（不 含 端 点）上 的 动 点，过 点 A的 平 面 a 与 平 面 平 行.若 平 面 a 与 平 面 A8Z）,平 面 AC的 交 线 分 别 为 a，n,则”所 成 角 的 正 弦 值 的 最 大 值 为.例 13.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 一 个 正 四 面 体 的 棱 长 为 2,则 其 外 接 球 与 以 其 一 个 顶 点 为 球 心，1为 半 径 的 球 面 所 形 成 的 交 线 的 长 度 为.例 14.（2022.福 建 福 州.三 模）已 知 正 方 体 ABC。-A B C Q 的 棱
25、 长 为 右，以 A 为 球 心，半 径 为 2 的 球 面 与 底 面 A 3C D的 交 线 的 长 度 为.例 15.（2022.陕 西 武 功 县 普 集 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习（理）如 图，在 四 面 体 A 8 C 3中，DA,D B,。两 两 垂 直，DA=DB=D C=6,以。为 球 心，1为 半 径 作 球，则 该 球 的 球 面 与 四 面 体 A8C O各 面 交 线 的 长 度 和 为 一.核 心 考 点 五：空 间 线 段 以 及 线 段 之 和 最 值 问 题【规 律 方 法】几 何 法，利 用 几 何 体 的 性 质，探 求 图 形 中 点、线、面
26、 的 位 置 关 系；二 是 代 数 法，通 过 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 点 的 坐 标 表 示 所 求 量 的 目 标 函 数，借 助 函 数 思 想 方 法 求 最 值【典 型 例 题】例 16.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 正 三 棱 锥 S-A B C的 底 面 边 长 为 近，外 接 球 表 面 积 为 3万，SA 0，点 M，N 分 别 是 线 段 A8,A C的 中 点，点 P,。分 别 是 线 段 SN和 平 面 SCM上 的 动 点，贝 IJ4P+P Q的 最 小 值 为（）A 2 7 6-7 2 R 后+&3 0 八 五 4 4 4
27、2例 17.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）在 棱 长 为 3 的 正 方 体 A B C D-A M G R中，点 E满 足 4 E=2E&,点 尸 在 平 面 3 C Q 内，则|4 日+|斯|的 最 小 值 为（）A./29 B.6 C.向 D.7例 18.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)如 图 所 示，在 直 三 棱 柱 A 8 C-A B 中，AA,=1,AB=BC=5cosZABC=,尸 是 A 3 上 的 一 动 点,则 A P+P G 的 最 小 值 为(c.i+G D.3核 心 考 点 六：空 间 角 问 题【规 律 方 法】1、用 综 合 法 求 空
28、间 角 的 基 本 数 学 思 想 主 要 是 转 化 与 化 归，即 把 空 间 角 转 化 为 平 面 角，进 而 转 化 为 三 角 形 的 内 角，然 后 通 过 解 三 角 形 求 得.求 解 的 一 般 步 骤 为：(1)作 图：作 出 空 间 角 的 平 面 角.(2)证 明：证 明 所 给 图 形 是 符 合 题 设 要 求 的.(3)计 算：在 证 明 的 基 础 上 计 算 得 出 结 果.简 称：一 作、二 证、三 算.2、用 定 义 作 异 面 直 线 所 成 角 的 方 法 是“平 移 转 化 法“，可 固 定 一 条，平 移 另 一 条；或 两 条 同 时 平 移
29、到 某 个 特 殊 的 位 置，顶 点 选 在 特 殊 的 位 置 上.3、求 直 线 与 平 面 所 成 角 的 常 见 方 法(1)作 角 法：作 出 斜 线、垂 线、斜 线 在 平 面 上 的 射 影 组 成 的 直 角 三 角 形，根 据 条 件 求 出 斜 线 与 射 影 所 成 的 角 即 为 所 求.(2)等 积 法：公 式 sin吟,其 中。是 斜 线 与 平 面 所 成 的 角，6 是 垂 线 段 的 长，是 斜 线 段 的 长，其 中 求 出 垂 线 段 的 长(即 斜 线 上 的 点 到 面 的 距 离)既 是 关 键 又 是 难 点，为 此 可 构 造 三 棱 锥，利
30、用 等 体 积 法 来 求垂 线 段 的 长.（3）证 垂 法：通 过 证 明 线 面 垂 直 得 到 线 面 角 为 90。.4、作 二 面 角 的 平 面 角 常 有 三 种 方 法（1）棱 上 一 点 双 垂 线 法：在 棱 上 任 取 一 点，过 这 点 分 别 在 两 个 面 内 作 垂 直 于 棱 的 射 线，这 两 条 射 线 所 成 的 角，就 是 二 面 角 的 平 面 角.（2）面 上 一 点 三 垂 线 法：自 二 面 角 的 一 个 面 上 一 点 向 另 一 面 引 垂 线，再 由 垂 足 向 棱 作 垂 线 得 到 棱 上 的 点（即 垂 足），斜 足 与 面 上
31、一 点 连 线 和 斜 足 与 垂 足 连 线 所 夹 的 角，即 为 二 面 角 的 平 面 角.（3）空 间 一 点 垂 面 法：自 空 间 一 点 作 与 棱 垂 直 的 平 面，截 二 面 角 得 两 条 射 线，这 两 条 射 线 所 成 的 角 就 是 二 面 角 的 平 面 角.【典 型 例 题】例 19.（2022浙 江 金 华 高 三 期 末）已 知 正 方 体 ABC。-A A G 中，P 为 ACQ内 一 点，且 心”，设 直 线 P D与 A G所 成 的 角 为 凡 贝 Ijcos。的 取 值 范 围 为（）A.0,与 B.冬 1 C.0,1 D.p l例 20.（2
32、022 浙 江 效 实 中 学 模 拟 预 测）在 等 腰 梯 形 ABC。中，A D/BC,AB=AD=CD=B C,A C交 8。于 0 点，ABD沿 着 直 线 B Z）翻 折 成.A/。，所 成 二 面 角 A-的 大 小 为 6,则 下 列 选 项 中 错 误 的 A.A B C eC.D C eD.ABC+A D C e例 21.（2022.浙 江 湖 州 中 学 高 三 阶 段 练 习）如 图，A BC中，Z C=90,AC=1,B C f,D 为 A B 边 上 的 中 点，点 M 在 线 段 8。（不 含 端 点）上，将 8 c M 沿 C M向 上 折 起 至 C M,设
33、平 面*C M与 平 面 ACM所 成 锐 二 面 角 为 a,直 线 M厅 与 平 面 AMC所 成 角 为 夕，直 线 M C与 平 面 所 成 角 为 7,则 在 翻 折 过 程 中，下 列 三 个 命 题 中 正 确 的 是（）t a n/v g a n a,（）/.A.B.C.D.例 22.（2022浙 江 高 三 专 题 练 习）己 知 等 边 A B C,点 分 别 是 边 AB,A C 上 的 动 点，且 满 足 EF B C,将/1户 沿 着 EF 翻 折 至 P 点 处，如 图 所 示，记 二 面 角 P-EF-8 的 平 面 角 为 a,二 面 角-爪-8 的 平 面 角
34、 为 夕，直 线 尸 户 与 平 面 EFCB所 成 角 为/，则（）a y P C.P a y D.Pya例 23.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）设 三 棱 锥 V-ABC 的 底 面 是 正 三 角 形，侧 棱 长 均 相 等，P 是 棱 以 上 的 点（不 含 端 点），记 直 线 PB与 直 线 AC 所 成 的 角 为 a,直 线 尸 8与 平 面 ABC所 成 的 角 为 夕，二 面 角 P-AC-8 的 平 面 角 是 7 则 三 个 角 a,P，/中 最 小 的 角 是（）A.a B.P C./D.不 能 确 定 核 心 考 点 七：轨 迹 问 题【规 律 方 法
35、】解 决 立 体 几 何 中 的 轨 迹 问 题 有 两 种 方 法：一 是 几 何 法.对 于 轨 迹 为 几 何 体 的 问 题，要 抓 住 几 何 体 中 的 不 变 量，借 助 空 间 几 何 体（柱、锥、台、球）的 定 义；对 于 轨 迹 为 平 面 上 的 问 题，要 利 用 降 维 的 思 想，熟 悉 平 面 图 形（直 线、圆、圆 锥 曲 线）的 定 义.二 是 代 数 法（解 析 法）.在 图 形 中，建 立 恰 当 的 空 间 直 角 坐 标 系 或 平 面 直 角 坐 标 系.【典 型 例 题】例 24.（2022.北 京.昌 平 一 中 高 三 阶 段 练 习）设 正
36、方 体 的 棱 长 为 1,E,尸 分 别 为 45,BD,的 中 点，点 M 在 正 方 体 的 表 面 上 运 动，且 满 足 尸 河 _LE,则 下 列 命 题：点 M 可 以 是 棱 AD的 中 点；点 M 的 轨 迹 是 菱 形；点”轨 迹 的 长 度 为 2+行；点 M 的 轨 迹 所 围 成 图 形 的 面 积 为 好.2其 中 正 确 的 命 题 个 数 为（）A.1 B.2 C.3 D.4例 25.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 正 方 体 A B S-A B C R 的 边 长 为 2,点 E,F 分 别 为 棱 C D,。口 的 中 点，点 P 为 四
37、 边 形 8 0 G 内（包 括 边 界）的 一 动 点，且 满 足 与 尸 平 面 8 E F,则 点 P 的 轨 迹 长 为（）6A.夜 B.2 C.D.12例 26.（2022全 国 模 拟 预 测（理）如 图，在 四 棱 锥 尸-钻 8 中，底 面 ABC。是 边 长 为 2 的 正 方 形，7341平 面 ABC。，且 上 4=2,点 E,F,G 分 别 为 棱 AB,AD,P C的 中 点，下 列 说 法 错 误 的 是（）A.AG_L平 面 B.直 线 F G和 直 线 A C所 成 的 角 为 gC.过 点 E,F,G 的 平 面 截 四 棱 锥 P-4 3 C D 所 得 的
38、 截 面 为 五 边 形 D.当 点 T在 平 面 A 8C O内 运 动，且 满 足 A G T的 面 积 为 g 时，动 点 T 的 轨 迹 是 圆 例 27.（2022浙 江 温 州 高 三 开 学 考 试）如 图，正 方 体 A G，P 为 平 面 旦 8。内 一 动 点，设 二 面 角 的 大 小 为 a,直 线 A P与 平 面 4 8,所 成 角 的 大 小 为 尸.若 cos=s i n a,则 点 P 的 轨 迹 是（）B.抛 物 线 C.椭 圆 D.双 曲 线 例 28.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，正 方 体 ABCD-ABC。中，为 8 c 边 的
39、中 点，点 P 在 底 面 AEC。和 侧 面 CDDC上 运 动 并 且 使 ZMAC=NPAC,那 么 点 P 的 轨 迹 是（）A.两 段 圆 弧 B.两 段 椭 圆 弧 C.两 段 双 曲 线 弧 D.两 段 抛 物 线 弧 核 心 考 点 八：以 立 体 几 何 为 载 体 的 情 境 题【规 律 方 法】以 立 体 几 何 为 载 体 的 情 境 题 都 跟 图 形 有 关，涉 及 在 具 体 情 境 下 的 图 形 阅 读，需 要 通 过 数 形 结 合 来 解 决 问 题.图 形 怎 么 阅 读？一 是 要 读 特 征，即 从 图 形 中 读 出 图 形 的 基 本 特 征；二
40、 是 要 读 本 质，即 要 善 于 将 所 读 出 的 信 息 进 行 提 升，实 现“图 形 一 文 字-符 号 的 转 化；三 是 要 有 问 题 意 识，带 着 问 题 阅 读 图 形，将 研 究 图 形 的 本 身 特 征 和 关 注 题 目 要 解 决 的 问 题 有 机 地 融 合 在 一 起；四 是 要 有 运 动 观 点，要“动 手”去 操 作，动 态 地 去 阅 读 图 形.【典 型 例 题】例 29.（2022宁 夏 平 罗 中 学 高 三 阶 段 练 习（理）设 尸 为 多 面 体 M 的 一 个 顶 点，定 义 多 面 体 M在 P 处 的 离 散 曲 率 为+N 4
41、 P Q J其 中 2，（i=1.2,3火 2 3）为 多 面 体”的 所 有 与 点 尸 相 邻 的 27顶 点，且 平 面 QEQz，Q.PQy。，尸 2 遍 及 多 面 体 例 的 所 有 以 尸 为 公 共 点 的 面 如 图 是 正 四 面 体、正 八 面 体、正 十 二 面 体 和 正 二 十 面 体，若 它 们 在 各 顶 点 处 的 离 散 曲 率 分 别 是 m b,c,d,则 a,b,c,的 大 小 关 系 是（）正 四 面 体 正 八 面 体 正 十 二 面 体 正 二 十 面 体 A.a b c c lC.b a d cB.a b d cD.c d b a例 30.（2
42、022广 东 广 州 市 从 化 区 第 三 中 学 高 三 阶 段 练 习）北 京 大 兴 国 际 机 场 的 显 著 特 点 之 一 是 各 种 弯 曲 空 间 的 运 用，在 数 学 上 用 曲 率 刻 画 空 间 弯 曲 性.规 定：多 面 体 的 顶 点 的 曲 率 等 于 2万 与 多 面 体 在 该 点 的 面 角 之 和 的 差（多 面 体 的 面 的 内 角 叫 做 多 面 体 的 面 角，角 度 用 弧 度 制），多 面 体 面 上 非 顶 点 的 曲 率 均 为 零，多 面 体 的 总 曲 率 等 于 该 多 面 体 各 顶 点 的 曲 率 之 和.例 如：正 四 面 体
43、 在 每 个 顶 点 有 3个 面 角，每 个 面 角 是 鼻，所 以 正 四 TT面 体 在 每 个 顶 点 的 曲 率 为 2万-3 X=%，故 其 总 曲 率 为 4-给 出 下 列 三 个 结 论:TT 正 方 体 在 每 个 顶 点 的 曲 率 均 为 任 意 四 棱 锥 的 总 曲 率 均 为 4万；若 某 类 多 面 体 的 顶 点 数 V,棱 数 E,面 数 F 满 足 V-E+F=2,则 该 类 多 面 体 的 总 曲 率 是 常 数.其 中，所 有 正 确 结 论 的 序 号 是（）A.B.C.D.例 31.（2022辽 宁 沈 阳 二 十 中 三 模）我 国 南 北 朝
44、时 期 的 著 名 数 学 家 祖 晒 原 提 出 了 祖 晅 原 理：“累 势 既 同，则 积 不 容 异 意 思 是，夹 在 两 个 平 行 平 面 之 间 的 两 个 几 何 体，被 平 行 于 这 两 个 平 面 的 任 意 一 个 平 面 所 截，若 截 面 面 积 都 相 等，则 这 两 个 几 何 体 的 体 积 相 等.运 用 祖 晅 原 理 计 算 球 的 体 积 时，构 造 一 个 底 面 半 径 和 高 都 与 球 的 半 径 相 等 的 圆 柱，与 半 球（如 图）放 置 在 同 一 平 面 上，然 后 在 圆 柱 内 挖 去 一 个 以 圆 柱 下 底 面 圆 心 为
45、 顶 点，圆 柱 上 底 面 为 底 面 的 圆 锥 后 得 到 一 新 几 何 体（如 图），用 任 何 一 个 平 行 于 底 面 的 平 面 去 截 它 们 时，可 1 1 1 o证 得 所 截 得 的 两 个 截 面 面 积 相 等，由 此 可 证 明 新 几 何 体 与 半 球 体 积 相 等，即 5喉=乃 朋 万 R=耳.现 将 椭 圆 立+片=1绕 y 轴 旋 转 一 周 后 得 一 橄 榄 状 的 几 何 体（如 图），类 比 上 述 方 法，运 用 祖 瞄 原 理 可 求 4 9得 其 体 积 等 于（）例 32.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）将 地 球 近 似
46、 看 作 球 体.设 地 球 表 面 某 地 正 午 太 阳 高 度 角 为。，6 为 此 时 太 阳 直 射 纬 度（当 地 夏 半 年 取 正 值，冬 半 年 取 负 值），。为 该 地 的 纬 度 值，如 图.已 知 太 阳 每 年 直 射 范 围 在 南 北 回 归 线 之 间，即 5 4-2 3。26,23。2 6.北 京 天 安 门 广 场 的 汉 白 玉 华 表 高 为 9.57米，北 京 天 安 门 广 场 的 纬 度 为 北 纬 39。54,27”，若 某 天 的 正 午 时 刻,测 得 华 表 的 影 长 恰 好 为 9.57米，则 该 天 的 太 阳 直 射 纬 度 为（
47、）A.北 纬 5。527 B.南 纬 5。527C.北 纬 5。5,33”D.南 纬 5。533核 心 考 点 九：翻 折 问 题【规 律 方 法】1、处 理 图 形 翻 折 问 题 的 关 键 是 理 清 翻 折 前 后 长 度 和 角 度 哪 些 发 生 改 变，哪 些 保 持 不 变.2、把 空 间 几 何 问 题 转 化 为 平 面 几 何 问 题，把 握 图 形 之 间 的 关 系，感 悟 数 学 本 质.【典 型 例 题】例 33.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，己 知 四 边 形 ABC。，BCD是 以 B 3 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形,Af
48、i。为 等 边 三 角 形，B D=2,将 ABO沿 对 角 线 BO翻 折 到 尸 在 翻 折 的 过 程 中，下 列 结 论 中 不 正 确 的 是（）A.BD1.PC B.尸 与 B C可 能 垂 直 C.直 线 与 平 面 8 8 所 成 角 的 最 大 值 是 45 D.四 面 体 尸 8 8 的 体 积 的 最 大 是 走 3例 34.（2022浙 江 杭 州 高 级 中 学 模 拟 预 测）如 图，已 知 矩 形 A3。的 对 角 线 交 于 点 E,M=x,3C=l,将 沿 8。翻 折，若 在 翻 折 过 程 中 存 在 某 个 位 置，使 得 则 x 的 取 值 范 围 是（
49、）A.0 xy/3 B.0 xV2C.0 x l D.0 x相 交 D.三 棱 锥 8-A D C的 体 积 为 定 值 例 36.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 直 角 梯 形 满 足：ADHEC,C D L D A,且 ABC为 正 三 角 形.将 ADC 沿 着 直 线 AC 翻 折 至 ADC 如 图，且 AZyV B D V C。，二 面 角。-43-。、）-B C-A.。-的 平 面 角 大 小 分 别 为。，B，丫,直 线 oA，DB,O C 与 平 面 A B C 所 成 角 分 别 是。/,仇，仇,则（）A.a y pB.0,02 p yc.a OyD.q
50、vqv%a B y【新 题 速 递】1.（2022安 徽 高 三 阶 段 练 习）如 图，在 棱 长 为。的 正 四 面 体 A 8 C O 中，点 稣 C”2 分 别 在 棱 A8,AC,4 3 上,且 平 面 B C。，平 面 BCD,A为 BQ）内 一 点，记 三 棱 锥 A 一 旦 G 的 体 积 为 V,设 黑=，关 于 函 数 ADV=/（%）,下 列 说 法 正 确 的 是（）A.VX1（）,gJ,加 使 得/（）=/（西）B.函 数/（x）在（；/）上 是 减 函 数 C.函 数/）的 图 象 关 于 直 线 x=g 对 称 D.玉 b0,l）,使 得/（%），%,/）（其 中