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1、2023届数学二轮复习讲练测专题08 立体几何解答题常考全归类 【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的
2、点不好求核心考点九：创新定义【真题回归】1（2022天津统考高考真题）直三棱柱中，D为的中点，E为的中点，F为的中点(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面所成二面角的余弦值2（2022全国统考高考真题）如图，四面体中，E为的中点(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值3（2022浙江统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，二面角的平面角为设M，N分别为的中点(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值4（2022全国统考高考真题）如图，是三棱锥的高，E是的中点(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值5（2022全国
3、统考高考真题）如图，四面体中，E为AC的中点(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积6（2022全国统考高考真题）在四棱锥中，底面(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值7（2022北京统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点(1)求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分8（2022全国统考高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，平面平面，
4、求二面角的正弦值【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的（3）计算：在证明的基础上计算得出结果简称：一作、二证、三算2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求（2）等积法：公式，其中是斜线与平面
5、所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为904、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二
6、面角的平面角【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系【典型例题】例1（2022陕西安康统考一模）如图，已知为圆锥底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，平分，D是上一点，且平面平面.(1)求证：；(2)求二面角的正弦值.例2（2022安徽校联考二模）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，劣弧的长为为圆的直径.(1)在弧上是否存在点（在平面的同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面与平面夹角的余弦值.例3（2022山东东营胜利一中校考模拟预测）如图，分别是圆台上下底面的直径，且，点是下底面圆周上一
7、点，圆台的高为.(1)证明：不存在点使平面平面；(2)若，求二面角的余泫值.例4（2022河北统考模拟预测）如图，在圆台中，上底面圆的半径为2，下底面圆O的半径为4，过的平面截圆台得截面为，M是弧的中点，为母线，.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断【典型例题】例5（2022上海虹口统考一模）如图
8、，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且(1)求证：；(2)求点到侧面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由例6（2022春山东高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，.(1)求证：；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.例7（2022春黑龙江绥化高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD中，AB2，BC1，E是DC的中点，将沿AE折起，使得点D到达点P的
9、位置，且PBPC，如图2所示F是棱PB上的一点(1)若F是棱PB的中点，求证：平面PAE；(2)是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由例8（2022广东韶关统考一模）已知矩形中，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.(1)证明：；(2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质【典型例题】例9（2022春江苏南通高三期中）已知
10、梯形中，分别是，上的点，是的中点，沿将梯形翻折，使平面平面(1)当时求证：；求二面角的余弦值；(2)三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的一半？并说明理由例10（2022春辽宁高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD中，已知ABDC，E是AB的中点将BCE沿CE翻折至PCE，使得，如图2所示(1)证明：；(2)求直线DE与平面PAD所成角的正弦值例11（2022春湖南长沙高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形PABCD中，是边长为2的等边三角形，AB2BC2，将沿AD翻折成四棱锥PABCD，E是棱PD上的动点（端点除外），F，M分别是AB，CE的中点，且(1)证明：；(2)当直线E
11、F与平面PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值例12（2022四川雅安统考模拟预测）如图，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，且二面角的大小为120（如图）(1)在PC上是否存在点H，使得直线平面PBE？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由(2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值核心考点四：立体几何作图问题【规律方法】（1）利用公理和定理作截面图（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线（3）利用平面与平面垂直作平面的垂线【典型例题】例13（2022贵州校联考模拟预测）如图，已知平行六面体的底面是
12、菱形，且.(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；(2)求点到平面的距离.例14（2022秋河北石家庄高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面满足：，(1)要经过平面内的一点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若，当点是矩形的中心时，求点到平面的距离例15（2022全国高三专题练习）如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，且，分别为，的中点.（1）求二面角的余弦值；（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.例16（
13、2022全国高三专题练习）四棱锥中，底面是边长为2的菱形，.,且平面，点分别是线段上的中点，在上.且.（）求证：平面；（）求直线与平面的成角的正弦值；（）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.核心考点五：立体几何建系繁琐问题【规律方法】利用传统方法解决【典型例题】例17如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点过和的平面交于，交于（1）证明：，且平面平面；（2）设为的中心若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值例18如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，分别是，的中点（1）证明：平面（2）求二面角的余弦值例19（2022春福建南平高三校考期中）在三棱柱中，
14、平面，、分别是棱、的中点.(1)设为的中点，求证：平面；(2)若，直线与平面所成角的正切值为，求多面体的体积.核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题【规律方法】构造垂直的全等关系【典型例题】例20如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点过和的平面交于，交于（1）证明：，且平面平面；（2）设为的中心若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值例21如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，分别是，的中点（1）证明：平面（2）求二面角的余弦值核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系【典型例题】例22如图：长为3的线
15、段与边长为2的正方形垂直相交于其中心（1）若二面角的正切值为，试确定在线段的位置；（2）在（1）的前提下，以，为顶点的几何体是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由例23在四棱锥中，为棱的中点，平面，为棱的中点（）求证：平面；（）若二面角为，求直线与平面所成角的正切值例24三棱柱中，侧面为矩形，二面角的正切值为（）求侧棱的长；（）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由核心考点八：空间中的点不好求【规律方法】方程组思想【典型例题】例25（2022江苏南京模拟预测）已知三棱台的体积为，且，平面.(1)证明：平
16、面平面；(2)若，求二面角的正弦值.例26（2022春浙江高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.(1)求证：；(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.例27（2022春辽宁沈阳高三沈阳市第一二中学校考期中）如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.(1)证明；平面；(2)若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时,与所成角的余弦值.核心考点九：创新定义【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问
17、题图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形文字符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形【典型例题】例28（2022安徽合肥合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面所成角是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面都相切，记球T与平面的切点为F，直线l与平面交点为
18、A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M，(1)求证：平面SOA平面，并指出a，b，关系式；(2)求证：曲线C是抛物线例29（2022全国高三专题练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，构成的三面角，二面角的大小为，则（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱中，平面平面，求的余弦值；在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由例30（2022全国校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，再分别以，为轴将，分别向上翻转，使，三点重合为
19、点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值【新题速递】1（2022重庆沙坪坝重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，.(1)证明：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.2（2022四川达州统考一模）如图，三棱柱中，底面为等腰直角三角形，.(1)证明: ；(2)若，求与平面所成角的正弦值.
20、3（2022陕西宝鸡统考一模）如图在四棱锥中，底面，且底面是平行四边形.已知是中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.4（2022广东广州统考一模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为的中点，点在上，.(1)证明：平面；(2)若，且与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.5（2022上海奉贤统考一模）如图，在四面体中，已知.点是中点.(1)求证：平面；(2)已知，作出二面角的平面角，并求它的正弦值.6（2022上海浦东新统考一模）如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.(1)求证
21、：；(2)若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60，求四面体PAOC的体积.7（2022四川成都石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，是棱的中点，且平面(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.8（2022春江苏徐州高三期末）如图，四棱锥中，底面，为的中点.(1)若点M在AD上，证明：平面；(2)若，求二面角的余弦值.9（2022陕西汉中统考一模）如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.(1)求证：；(2)求二面角的大小.10（2022陕西汉中统考一模）如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.(1)求证：；(2)求点到平面的距离.11（2022四川广安广安二中校考模拟预测）是等腰直角三
22、角形，且，四边形是直角梯形，且，平面平面.(1)求证：平面；(2)若点是线段上的一个动点，问点在何位置时三棱锥的体积为.12（2022四川南充统考一模）在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形，是等边三角形现将沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥（如图2）且(1)求证：平面平面ABCD；(2)在棱EB上有点F，满足，求二面角的余弦值13（2022贵州贵阳贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥中，.(1)求证：平面.(2)设E为BC的中点，求PE与平面ABCD所成角的正弦值.14（2022春广东广州高三校考期中）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，点在侧棱上.(1)求证：平面平面；(
23、2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.专题08 立体几何解答题常考全归类 【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考
24、点八：空间中的点不好求核心考点九：创新定义【真题回归】1（2022天津统考高考真题）直三棱柱中，D为的中点，E为的中点，F为的中点(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面所成二面角的余弦值【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.（2），设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3），设平面的法向量为，则，取，可得，则，因此，平面与平面夹角的余弦值为.2（2022全国统考高考真题）如图，四面体中，E为的中点(1)
25、证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值【解析】（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为E为的中点，所以，因为，所以,在中，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又因为，所以，所以，设与平面所成的角的正弦值为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.3（2022浙江统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，二
26、面角的平面角为设M，N分别为的中点(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值【解析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、四边形和都是直角梯形，由平面几何知识易知，则四边形和四边形是矩形，在Rt和Rt，且，平面是二面角的平面角，则，是正三角形，由平面，得平面平面，是的中点，又平面，平面，可得，而，平面，而平面（2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为由，得，取，设直线与平面所成角为，4（2022全国统考高考真题）如图，是三棱锥的高，E是的中点(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值【解析】（1）证明：
27、连接并延长交于点，连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，所以所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2）过点作，如图建立平面直角坐标系，因为，所以，又，所以，则，所以，所以，所以，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以；设平面的法向量为，则，令，则，所以；所以.设二面角的大小为，则，所以，即二面角的正弦值为.5（2022全国统考高考真题）如图，四面体中，E为AC的中点(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积【解析】（1）由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平
28、面，由于平面，所以平面平面.（2）方法一：判别几何关系依题意，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小过作，垂足为，在中，解得，所以，所以过作，垂足为，则，所以平面，且，所以，所以.方法二：等体积转换， 是边长为2的等边三角形， 连接6（2022全国统考高考真题）在四棱锥中，底面(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值【解析】（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以
29、；（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.7（2022北京统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点(1)求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【解析】（1）取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，而，则，而平面，平面，故平面，而，则，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（2）因为侧面为正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因为，故平
30、面，因为平面，故，若选，则，而，故平面，而平面，故，所以，而，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.若选，因为，故平面，而平面，故，而，故，而，故，所以，故，而，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.8（2022全国统考高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，平面平面，求二面角的正弦值【解析】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；（2）取的中点E,连接AE,如图
31、，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为.【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的（3）计算：在证明的基础上计算得出结果简称：一作、二证、三算2、用定义作异
32、面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求（2）等积法：公式，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为904、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成
33、的角，就是二面角的平面角（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系【典型例题】例1（2022陕西安康统考一模）如图，已知为圆锥底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，平分，D是上一点，且平面平面.(1)求证：；(2)求二面角的正弦值.【解析】（1）证明：因为，且平分，
34、所以，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）取的中点M，连接，则两两垂直，以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图空间直角坐标系则，由（1）知平面，所以是平面的一个法向量.设平面的法向量，因为，则取，则，因此，所以二面角的正弦值为.例2（2022安徽校联考二模）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，劣弧的长为为圆的直径.(1)在弧上是否存在点（在平面的同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【解析】（1）存在，当为圆柱的母线，.连接，因为为圆柱的母线，所以平面，又因为平面，所以.因为为圆的直径，所以.
35、，所以平面，因为平面，所以.（2）以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.，因为的长为，所以，设平面的法向量，令，解得，所以.因为轴垂直平面，所以设平面的法向量.所以.所以平面与平面夹角的余弦值为.例3（2022山东东营胜利一中校考模拟预测）如图，分别是圆台上下底面的直径，且，点是下底面圆周上一点，圆台的高为.(1)证明：不存在点使平面平面；(2)若，求二面角的余泫值.【解析】(1)假设存在这样的点使平面平面，是底面直径，故，作，垂足为，由于平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理，平面，又平面，故，又，平面，故平面，故，同理可证，又平面 于是平面，又圆台上下
36、底面圆心连线垂直于底面，但显然上下底的圆心连线不和平行，于是假设矛盾，故不存在点使平面平面.(2)过作，垂足为，下以为原点，为轴，过垂直于且落在底面的射线为轴，建立空间直角坐标系.列出各点坐标，设平面的法向量，可得，不妨取；，设平面的法向量，可得，不妨取.于是法向量的夹角为.由图所示二面角的大小是钝角，故二面角大小的余弦值是.例4（2022河北统考模拟预测）如图，在圆台中，上底面圆的半径为2，下底面圆O的半径为4，过的平面截圆台得截面为，M是弧的中点，为母线，.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，设OO1的长度为t，则，由题知，解得，又，OM，OA1
37、在平面内所以平面；(2)设平面MBN的法向量为，平面ABN的法向量为，则，设二面角为锐二面角，故二面角的正弦值为.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断【典型例题】例5（2022上海虹口统考一模）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且(1)求证：；(2)求点到侧面的距离；(3
38、)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由【解析】（1）证明：由点在底面ABC上的投影为AC的中点，知平面ABC，又平面ABC，故，因是以AC为斜边的等腰直角三角形，故，而，平面，故平面，由平面，得（2）由点，为AC的中点，侧面为菱形，知，由是以AC为斜边的等腰直角三角形，可得，由（1）知直线，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，又，故点到平面的距离为：（3）假设存在满足条件的点E，并，则，于是，由直线DE与侧面所成角的正弦值为，可得，即，解得又，故因此存在满足条
39、件的点，且例6（2022春山东高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，.(1)求证：；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接与相交于点，连接，如图所示：四边形为菱形，为的中点，有，为等边三角形，有，平面，平面，平面，四边形为菱形，平面，平面，平面，（2）分别为的中点，连接，由（1）可知，又，平面，平面，平面，为等边三角形，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由，设，则，有,，设平面的一个法向量，则有，令，则，即，平面的一个法向量为的方向上
40、的单位向量，若平面与平面的夹角的余弦值为，则有，由，解得.所以，点存在， .例7（2022春黑龙江绥化高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD中，AB2，BC1，E是DC的中点，将沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PBPC，如图2所示F是棱PB上的一点(1)若F是棱PB的中点，求证：平面PAE；(2)是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）如下图，在上取中点，链接、.由题意知，所以四边形为平行四边形，所以.又因为分别为中点，所以，且，在平面内，则平面平行于平面，而,则（2）如下图，以为原点，为轴正向，为轴正方向，垂直平面于的为轴，
41、建立空间直角坐标系.由图可知，设，则，设平面的法向量为，则，令解得，即，平面的法向量设为，则，令，得，即.，根据题意，则，又，即，得,代入上式，解得,将、代入式，解得.，故存在点.例8（2022广东韶关统考一模）已知矩形中，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.(1)证明：；(2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）依题意矩形，是中点，所以，又，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.则，设是的中点，因为，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，假设存在满足题意的，则由.可得，.设平面的一个法向量为，则，令，可得，即，设与平面所成的角为，所以解得（舍去），综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为.核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质【典型例题】例9（2022春江苏南