《高考数学立体几何解答题常考全归类（精讲精练）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学立体几何解答题常考全归类（精讲精练）（解析版）.pdf（84页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 8 立体几何解答题常考全归类【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深.解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论.作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度.【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等(构造全等)的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的点不好求核心考点九：创
2、新定义【真题回归】1.(2022.天津.统考高考真题)直三棱柱ABC-A耳G 中，=A B=A C =2,1 AB,A C V AB,4 为人及的中点，E 为 A 4的中点，尸为CD的中点.(1)求证：EF平面A8C；(2)求直线B E与平面CC,D所成角的正弦值；(3)求平面 C D与平面C C Q所成二面角的余弦值.【解析】(1)证明：在直三棱柱A8C-中，4 A L 平面A B C，且A C JL M,则四以点A 为坐标原点，AA、A G 所在直线分别为X、y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则 A(2,0,0)、8(2,2,0)、C(2,0,2)、A(0,0,0)、与(0,0,2)
3、、C,(0,0,2),。(0,1,0)、(1,0,0),小;J，则 E F =(0,g/j,易知平面48c的 一 个法向量为加=(1,0,0),则E F-m =0，故 所1机，所 U平面ABC,故E F平面A B C.(2)ClC =(2,0,0),C,0=(0,1,-2),E B =(1,2,0),设平面CCQ的法向量为“=(x”X，zJ,则“ff=2为;。CQ=y -2 Z =0取y=2,可得”=(0,2,1),c os=-pi=-.4因此，直线B E与平面CCQ夹角的正弦值为(3)4。=(2,0,2),A方=(0 C 0)，设平面ACD的法向量为v =(为，%,z,),则卜 子 =2占+
4、：Z 2 =0,v-A1D =y2=0u -v 1 V lO取赴=1,可得丫 =(1,0,-1),则8S E,8Eu平面3EZ),D Ec B E =E,所以A C L平面3 M,因为ACu 平面A C C,所以平面8E)_L平面ACZ).(2)连接律，由(1)知，AC_L平面3匹，因为E F u 平面BED,所以A C _ L F,所以SoFc=gA C-EF,当 律，3。时，EF 最 小,即AFC的面积最小.因为ABDzXCB。，所以 C3=AB=2,又因为NACB=60。，所 以 4 3 c 是等边三角形，因为E 为AC的中点，所以AE=EC=1,BE =6因为4),8,所以 OE=AC
5、=1.2在,EB 中，D E2+BE2=BD.所以以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-g，z,则 4(1,0,0),网0,6,0),0(0,0,1),所以4 5 =(-1,0,1),然=卜 1,收 0),设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 =(x,y,z),则n-AD=-x+z=0n AB=-x+6 y =0取 y=G ,则”=,6,3 卜又因为C(-L0,0)，F 0,亨，所以 CF=1,乎,(/厂 工 建 CF 6 4/3所以 吐胸二邛=三设C尸与平面他所成的角的正弦值为04”I所以 sin 0=|cos(,CT7 =，所以C F与平面ABD所成的角的正弦值为生叵.73.(
6、2022 浙江统考高考真题)如图，已知A8CD和CEF都是直角梯形，AB/DC,DC/EF,AB=5,DC=3,EF=,Z BAD=Z CDE=6 O ,二面角尸一C8的平面角为60。.设 M,N 分别为 AE,8c 的中点.(1)证明：FN L A D；(2)求直线B M与平面A D E所成角的正弦值.【解析】(1)过点E、。分别做宜线D C、AB的垂线EG、并分别交于点G、H.四边形 ABC。和 EFCQ都是直角梯形，AB/DC,CD/EF,AB=5,DC=3,EF=,ABAD=Z CDE=6 0 ,由平面几何知识易知，DG=A H =2,NEFC=ADCF=ADCB=Z ABC=9 0
7、,则四边形EFC G和四边形OCB”是矩形，.,.在 Rt.EG和 Rt_H4，EG=W=2后，；DC CF,D C L C B,凫 C F c C B =C,二QC_L平面是二面角尸DC 8的平面角，则/B C F=60,8C F是正三角形，由D C u 平面ABC。，得平面ABC。工平面BCF,：N 是 BC 的中点，,FW _LBC,又 ZX?_L 平面 8C F,FN u 平面 8 C F,可得 ENJ_CZ),而 3 C c 8 =C,FN_L平面 ABC。，而 A D u平面/W CD.1RVJL4).(2)因 为 平 面 ABC。，过点N 做 A 8平行线N K,所以以点N 为原
8、点，NK,N B、N/所 在 直线分别为x 轴、轴、z 轴建立空间直角坐标系N-乎，(百3)设 4 5,6,0),8(0,G,0),O(3,-6,0),E(1,0,3),则 M 3,-,-,:.B M=(-,A D =(-2,-273,0),DE=(-2,瓜 3)I 2 2J设平面ADE的法向量为=(x,%z)由n-AD=0 z-2 x-2月 y=0，得 r-n-DE-0-2x+V3y+3z=0取”=(8,-1,石),设直线BM与平面ADE所成角为0,4.(2022全国统考高考真题)如图，PO是三棱锥P-A B C 的高，PA=PB,A B 1 A C,E 是心的中点.p 证明：OE平面PAC
9、；(2)若 NA80=NC80=30。，P O =3,PA=5,求二面角 C的正弦值.【解析】(1)证明：连接3 0 并延长交A C于点。，连接。4、PD,因为PO 是三棱锥P A8C的高，所以PO_Z平面ABC,A O,8O u平面ABC,所以 PO_LAO、P O B O,又 PA=P B,所以POA 三P O B,即。4=0 8,所以 N 045=NOBA,又 A B/A C,即/班 C=90。，所以NO48+2 3 0 =90。，Z OBA+Z O D A =90 ,所以 N O ZM N C W所以4 0=0 0,即AO=O B,所以。为8。的中点，又E 为 所 的 中点，所以OE/
10、PD,又0 0 平面PAC,a u 平面PAC,所以0E 平面 以 C(2)过点A 作上O P,如图建立平面直角坐标系，因为尸0 =3,AP=5,所以04=4,X Z O B A =Z O B C=30,所以 3=2OA=8,贝 l AD=4,AB=，6，所以 AC=1 2,所以 0（2 6,2,0）,B（4G,0,0）,PR 6,2,3）,C（0,12,0）,所以 3 6,1 g）则=AB=（4 ,0,0）,4 0 =（0,12,0）,、n-7fE=3y/3x+y+z=0设 平 面 的 法 向 量为=（x,y,z）,贝,2,令 z=2,贝 lJy=-3,x=0,所以n AB=4A/3X=0n
11、=（0,-3,2）；设平面AEC的法向量为m=(tz,Z;,c),m AE-36a+Z?+c=0则 彳 2m-AC=12Z?=0令 a=/3，贝 ij c=6,b=0,所以帆二（G,0,-6）；/n-m-12 4/3设二面角 C-A E-B 的大小为9，则|cos0=|c o s n,=，所以sine=J l-c o s*=,即二面角C AE5 的正弦值为工.y5.(2022全国统考高考真题)如图，四面体ABC。中，A D CD,A D =CD,ZADB=Z B D C,E 为 AC的中点.(1)证明：平面BED_L平面AC。；(2)设A5=3=2,NACB=6()。，点尸在8。上，当人人7
12、的面积最小时，求三棱锥尸-A B C 的体积.【解析】(1)由于=E 是 AC的中点，所以ACLDE.A D =CD由于=。，DE,BD 平面BED，所以AC _L平面BED，由于ACu 平面AC。，所以平面8E)_L平面ACD.(2)方法一:判别几何关系依题意A8=8D=8C=2,ZACB=6 0 ,:角形ABC是等边三角形，所以 AC=2,AE=CE=1,BE=6，由于AO=C 2 A O _ L 8,所以三角形AC。是等腰直角三角形，所以。E=l.D E2+BE2=B D2.所以由于 4 C c B E=E,A C,8E u平面 A B C,所以 平面 ABC.由于AD5 三C 8,所以
13、 NF84=NF3C,BF=BF由于=所以 FBA二 m C,AB=CB所以A/=b,所以F 1A C,由于S c=；S C-E F,所以当E尸最短时，三角形AFC的面积最小过 E 作EF_LBZ),垂足为F,在 RtZBED 中，-BE DE=-BD EF,解得 EF=电,2 2 2所以 DF=卜二曰=1,BF=2-D F =|.rr IUBF所 以 矿34过 尸作尸垂足为“，则FHDE,所以尸HJ_平面A B C,且FH BF 3DE-3所以下”=:，4所以=-S AffC-FH=-x-x2xy/3x-=-.ABC 3 A B e 3 2 4 4 方法二:等体积转换AB=BC,ZACB=6
14、0,AB=2AABC是边长为2 的等边三角形，BE=y/3连接E尸SADB 三 XCDB AF=CFEF AC.在ABED41,当EF_LBZM,AAFC面积最小AD 1 CD,AD=CD,AC=2,E 为A C41 点DE=1 DE2+BE2=BD-BE 1 ED若EF BD,在4 BED 中,EF=B E D E=BBD 2BF=y13E2-EF2=-2.A 及 A D =C D =C 8 =1,A 3 =2 ,所以四边形A 8 C。为等腰梯形，所以A E=B 尸=,，2故。E =*，B D =d D E、BE2 =5所以 A C 2+8 Q 2 =所以 A/)2 3 ),因 为 叨，平面
15、A B C ,3 u 平面A B C。，所以P D V B D,又 P D c A D D,所 以 工 平 面 P A O,又因为R4u平 面 皿 ，所以 8 _ L P 4；（2）如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，BD=6则 A（1,O,O）,8（O,O）,P（O,O,则 4尸=（一 1,0,6）,8尸=（0,后,6）,）尸=（0,0,6），设 平 面 的 法 向 量 =（x,y,z）,则有n-AP=-x+A/3Z=0n-BP=-6）,+/3z=0可取则 8 S（/nPD）=啊n-DP=石T 7.（2022北京 统考高考真题）如图，在三棱柱A BC-A 用G 中，侧面B CC 为正方形，
16、平面BCC禺，平面A阴 A，AB=BC=2,M,N 分别为A%A C的中点.(1)求证：MN平面BCG用；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线4 2 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.条件：A B工M N ；条件：B M =M N .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】(1)取 A 3的中点为K,连接由三棱柱ABC-A 5 G 可得四边形AB8M为平行四边形，而耳M=MA,8K=必，则 MK/BB,而例K 0 平面BCC.B,BBt u平面B C 3 B、,故MK平面BCC,B),而 C N =NA,BK=K A,则 NK/8C,同理可得 NK
17、平面 BCC.B,而 NK M K =K,N K,M K u平面M K N,故平面M K N H平面B C Q B、,而MN u 平面M K N,故MN/平面B CC国,(2)因为侧面5 C G 4 为正方形，故C 8L 8耳,而CB u 平面B C G B、，平面CB4G L 平面ABB,AX,平面C B B g c平面A网 A=BB、,故C 8，平面A B B ,因为 NK/BC,故 NK J_平面 ABB,A,因为 A 8 u 平面 ABB|A,故 NK_LA8,若选，则 A 8_LM N,而 NKJ.AB,N K M N =N ,故AB4 平面M N K,而M K u 平面M N K,
18、故AB_LMK,所以而C B上BBi,C B c A B =B,故8月，平面ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则8(0,(),0),4(0,2,0),N(l,l,。),()/,2),故 BA=(0,2,0),BN=(1,1,0),=(0,1,2),设平面B N M的法向量为 =(x,y,z),则n-BN=0 BM=Q,从而x+y=0y+2z=0取 z=-l,则”=(-2,2,-1),设宜线A B与平面B N M所成的角为6,则sin 6=|cos AB,=.若选，因为NK B C,故NK_L平面AB81A，而K M u平面MKN,故 N K L K M ,而 4M =BK=1,NK=1,
19、故 B、M =N K ,而 B1 B=M K =2,M B =M N,故 BBtM =M K N ,所以 N B B M =Z.MKN=90,故 4蜴 1 BBt,而C B 1 BB,C B c A B =B,故 84_1,平面 ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则B(aO,O),A(O,2,O),N(l,l,O),M(O,l,2),故 8A=(0,2,0),8N=(l,l,0),8A/=(0,l,2),设平面BNM的法向量为 =(x,y,z),则(八，从而(c 八，取 z=-l，则”=(-2,2,-1),n-BM=0 1y+2z=0 设直线A 8与平面BMW所成的角为凡 则8.（202
20、2全国统考高考真题）如图，直三棱柱A B C-A B C 的体积为4,ABC的面积为2夜.(1)求 4 到平面A 8C 的距离；(2)设。为4。的中点，A A,=A B,平面A 8C，平面ABBM，求二面角A-8)C 的正弦值.【解析】在直三棱柱ABC-Ag C 中,设 点 A 到平面ABC的距离为儿则%,BC=S ABc,h =h =V.A B C=-S A B C-AtA=-V.BC,cA-/1|D C 3 ri|D C 3 A y A o i-3/lot l 3/loC -3解得h =6,所以点A 到平面ABC的距离为0；(2)取 A B的中点E,连接AE,如图，因为M=A B,所以AE
21、1.AB.又平面AtBC 1平面A8B1A,平面A B C c平面A B B =.且 AE u 平面ABB,A,所以AE，平面A BC,在直三棱柱ABC-AM G中，平面ABC,由8 C u 平面ABC,8。匚平面4 8。可得隹_ 18。，BBt 1 BC,又u平面ABBM且相交，所以BC4 平面ABBA,所以8C,B A,84两两垂直，以 8 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得 4E=夜，所以 A41=A8=2,4 3 =2 0,所以 8C=2,则 A（0,2,0）,A（0,2,2）,3（0,0,0）,C（2,0,0），所以 AC 的中点 0（1,1,1）,则 3 0 =（1/），
22、&4=（0,2,0）,8C =（2,0,0）,设平面A BD的一个法向量加=（x,y,z）,则卜,3。=：+y：z-0,m -BA=2 y=0可取加=（1,0,-1）,设平面BDC的一个法向量 =(a,4 c),则 n-BD=a+h+c=On-BC=2 a =0可取;?=（0,1,-1）,/m n 1 1则8sM力丽=E T 5,所以二面角A Q C的正弦值为J l-(g j=等.【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.求解的一般步骤为：(1)作图：作出空间角的平面角.(2)证明：证明所给图形是
23、符合题设要求的.(3)计算：在证明的基础上计算得出结果.简称：一作、二证、三算.2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法“，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.3、求直线与平面所成角的常见方法(1)作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求.(2)等积法：公式si n。=生，其中6是斜线与平面所成的角，九是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长.(3)证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为9 0。.4
24、、作二面角的平面角常有三种方法(1)棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角.(2)面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即垂足)，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角.(3)空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系.【典型例题】例 1.(20 22陕西安康统考一模)如图，已知A/3为
25、圆锥S O 底面的直径，点 C在圆锥底面的圆周上,T TBS=AB=2,Z B A C =-,8 E 平分 N S 8 A,。是 S C 上一点，且平面 平面 S A B.6求证：S A L B D；(2)求二面角E-BD C的正弦值.【解析】(1)证明：因为S 4 =S B =M =2,且 8 E 平分N S R 4.所以BE,必，乂 因 为 平 面 _ L 平面S A B，且平面D B E 1 平面SAB=B E,S A u 平面SAB,所以S A _ L 平面3O E,乂因为3 u平面8 E,所以S A J.B Z).(2)取A B的中点M，连接O,则O M,O S,O A 两两垂直，以
26、 0为坐标原点，Q M为 x轴，0 4 为 y 轴，O S为 z轴建立如图空间直角坐标系则。(0,0,0),A(),1,0),6(0,1,0),C-，,0 ,5(0,0,/3),由(1)知S A J _ 平面8 E,所以A S =(0,-1,g)是 平 面 的 一 个 法 向 量.设平面B D C的法向量m =(x,y,z),因为 B S =(0,1,6),CS=,5/3m-BS=y+6z=0,则m-CS=-x-2 2y+3 z=0,取 z=0,则?=(6,-3,y/3)9因 小 匕 c o s m,A S =5m -AS _ 6|z n|A S|2 x V 1 5所 以 湎 角E-8 9-C
27、的正弦值为 画.例2.（2022安徽校联考二模）如图，将长方形0AAG（及其内部）绕 旋 转 一 周 形 成 圆 柱，其中04=1,0,0=2,劣弧4月的长为9，A 8为圆0的直径.6（1）在弧A 3上是否存在点C（C,用在平面0441a的同侧），使若存在，确定其位置，若不存在,说明理由；（2）求平面4。乃 与平面BQiB夹角的余弦值.【解析】（1）存在，当8（为圆柱。的母线，BC1AB,.连接8 c A e,8（,因为8 c为圆柱。1的母线，所 以 平 面ABC,乂因为B C u平面A B C,所以4 C,8c.因为A 3为圆。的直径，所以8C _LAC.BC _L AC,BQ _ L BC
28、,ACc B|C=C,所以 B C 1 平面 AB、C,因为A81U平面ABC，所以（2）以。为原点，O A O Q分别为y,z轴，垂直于y,z轴直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示.A（0,1,2）,a（0,0,2）,8（0,-1,0）,；，咚2,0,5=（0,-1,-2）,设平面。耳B的法向量帆=(x,y,z),-y-2z=0,1 6 令 x=-3，解得 y=6,z =-x+y=0,212 2所以2=3,/3,因为X轴垂直平面4 0声，所以设平面A Q 5的法向量7=(1,0,0).所以 cos=-3 _ 2 所以平面4。乃 与平面B 0 Q夹角的余弦值 为 粤.例3.(2022山东东营
29、 胜利一中校考模拟预测)如图，分别是圆台上、下底面的直径，且AB CD,点E是下底面圆周上一点，AB=25/2，圆台的高为(1)证明：不存在点E使平面AEC L平面AE；(2)若QE=CE=4,求二面角D AE3的余注值.【解析】(1)假设存在这样的点E使平面AECJ_平面 3,8 是底面直径，故 EC 工D E,作 WA E,垂足为H,由于平面45CJ平面AZE,平面A E C I平面A D E=AE,ZWU平面AE,根据面面垂直的性质定理，D H L平面4E C,又ECu平面AEC,故，EC,又DH?DE D,D H,D E 平面相 羽，故E C,平面A D E,故同理可 证 印_ L A
30、 E,又DE c CE=E,DE,CE u平面C D E于是AE_L平面EC。，又圆台上下底面圆心连线垂直于底面，但显然上下底的圆心连线不和A E平行，于是假设矛盾，故不存在点E使平面AEC，平面ADE.（2）过B作B F LC D,垂足为尸，下以尸为原点，EB,FD为x,z轴，过尸垂直于8。且落在底面的射线为V轴,建立空间直角坐标系.列出各点坐标。（3五,0,0）,A（2&,0,E）,E（&,2应,0）,8（0,0,V14）AE=（-五,2及,-A），DE=（-2叵,2凡0）,设平面 ADE 的法向量 =（x,y,z）,n-AE=0,zi,f-/2jc+2/2y-Vi4z=0可得”n-AF=
31、0 1-2衣x+2 0 y =O不妨取 =(,1);AE=(-叵2近，-耐,43=(-2应,0,(),设平面 ABE的法向量”7 =(“,b,c),m-AE=0,-!lx +2y/2y-V14z=0可得Vm-AB=0-2V2x=0不妨取机=(0,77,2).于是法向量m,的夹角为g（见力m-n _ 9 _ 3A/165|/W|H|VL5-Vn 55由图所示二面角的大小是钝角，故二面角大小的余弦值是一 噜.例4.（2022河北统考模拟预测）如图，在圆台O R中，上底面圆。1的半径为2,下底面圆。的半径为4,过。的平面截圆台得截面为A B B/,M是弧A 8的中点，M N为母线,cos NNMB=
32、显.(1)证明：ABJ平面AOM；求二面角M-NB-A的正弦值.【解析】如图建立空间直角坐标系，设 0 0 1 的长度为f,则 A(0,-4,0),8(0,4,0),4(0,2,。，/(4,0,0),N(2,0,f),0(0,0,0),M N=(-2,0,r),M B =(-4,4,0)由题知8s 一?+；x 4：f x,=q,解得7 =2 百 /V(-2)2+r2.7(-4)2+42 4AB】=(0,6,26),。例=(4,0,0),3=(0,-2,2 白)，做 O M=0 x 4+6 x 0+2&x 0 =0,/.ABt L O M的力=0 x 0+6 x(-2)+2 6 x 2 石=0,
33、；.ABt又 OM c O A =O ,OM,0 4/在平面 AOM 内所以J 平面AOM；(2)设平面MSN的法向量为4 =(x yl,z1),平面4 8 N 的法向量 为%=(,%，2 2)，则n-M B=(-4)x)+4 y =0nl-MN=(-2)xl+2 y/3 zl=0n2-AB=0XX2+8%+0 x z2=0n-A N =2X2+4 y 2 +2 G z 2 =0.,.=(,0,-1)设二面角M-N B-A为锐二面角e,/.cos 0 -/|百 x G +百 xO+lx(-l)cos(、nprtj/1 =1 V/3 +3+1-7/3-+0+1 -2 币一 2 不一 7.n 74
34、2sin =-7故二面角M-N B-A 的正弦值为 四.7核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中己给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.【典型例题】例 5.(2022 上海虹口统考一模)如图，在三棱柱A B C-A 4G 中，底面A8C是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面A 4C C 为菱形，点4 在底面上的投影为AC的中点O,且 AB=2.(1)求证：BD 工 CCi；(2
35、)求点C到侧面相 4 8 的距离；(3)在线段A声上是否存在点E,使得直线O E与侧面A A B/所成角的正弦值为远？若存在，请求出4遂的7长；若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明：由点A 在底面ABC上的投影为AC的中点 ,知 AOJ平面48C,又 3u平面 A 8 C,故 AQ_L8。，因，ABC是以4 c 为斜边的等腰直角三角形，故AC 1 8。，而A。，A C u 平面ACGA，A O cA C =D,故 8 0 2 平面ACGA，由 C G u 平面 A C C 4，得 8D，CG.(2)由点A Q J.A C,。为AC的中点，侧面A 4C C 为菱形，知AC=A4=4C,A8C
36、 1 以 AC 为斜上的等花 口 工 入 AB=2 .(.DB-DA D C -L)/=由(1)知直线8,DC,两两垂直，故以点。为坐标原点,直线3,DC,分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系,x/B则（）,0,0）,A（0,-加,0）,8（正,0,0）,C（0,夜,0）,4（0,0,新）,=（72,72,0）,M =（0,72,5/6）,设平面44用8 的个法向量为 =（x,y,z）,n-AB=2x+V2y=0 l则 j6z=0又 AC=（0,272,0）,故点C 到平面A41AB的距离为：d=|AC|=|0-2#+0=娅=2 而|j3+3+l 5 7（3）假设存在满足条件的点E,并,他
37、=九（&，啦，0）（冗6。1），则 OE=DA+A E=（0,0,#）+4 （0,及,0）=（0 九向,屈）,于是，由直线D E与侧面A41AB所成角的正弦值为 渔，7可得 迈 一|cos /3 2z =0ABt-n =2 y+2 G z =0_ 4 2-4令z=6,贝i J y=-3,x =-,即二/I4 4 4 .-，一3,2平面ABC的一个法向量为。用的方向上的单位向量m=（0,0,1）,n m 若平面A片E与平面M C的夹角的余弦值为:则有|cos/j,/7l|=同,同(+：+从=g 1）2+：+/,得=|,代入上式，解得6=孝，将=,、。二 等 代 入 式，解得x=；.二=2,故存在
38、点F.卜 B例8.（2022广东韶关.统考一模）已知矩形ABC。中，AB=4,BC=2,E是CO的中点，如图所示，沿BE将.B C E翻折至/BFE,使得平面B F E，平面ABCD.（2）若D P =A D B（0 X（4,0,0）,B（0,2,0）,（2,0,0）,设N 是 BE的中点，因为尸所以FN1.BE,又平面3 E F L 平面ABC。，平面3 E F I平面ABC）=8E,所以FN_L平面ABCD,F（l,l网,假设存在满足题意的4，则由。P=ADB（0 =&,可得 x=0,z=1,即 =（0,应,-1）,n D F =-3x+y+V2z=0 7设尸产与 平 面 尸所成的角为。，
39、所以sin，=cos（PF,PF 几PFn2 3-1）+闽 _ j5/3-7（3-4 2）2 3 4+（2Z-1）2+（-V 2）2 33解得；l=；（2=1舍去），4综上，存在2=3,使得尸产与平面ADE所成的角的正弦值为好.4 3核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变.2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质.【典型例题】7 T例 9.(20 22 春江苏南通高三期中)已知梯形 A 8 C 中，AD/BC,A A B C =Z B A D =-,A B =B C-2 A D 4 ,E
40、,尸分别是A 3,C D 上的点，E F/BC,A E =x,G 是 3 c的中点，沿 E F将梯形A B C。翻折，使平面A E F D J _ 平面 E BCF.当 x=2 时求证：B D L EG；求二面角。-3尸-C 的余弦值；(2)三棱锥 -F B C的体积是否可能等于几何体A 8 E-F D C 体积的一半？并说明理由.【解析】(1)证明：过。点作E 尸的垂线交E 尸于连接W7.如图.T TA E =A D =2 且 A E 。77,A D H E F,Z E A D =-.四 边 形 皿 阳是正方形.E H=2,四 边 形 是 正 方 形.所以B H J.E G (正方形对角线互
41、相垂直).因为平面 J 平面 E BCF,平面 A E F D c 平面 E BCF=E F,A E _ L E F,AE u 平面 A E F D ,所以A _ L 平面EBC F,所以D H _L平面E BCF,又因为E G u平面E BCF,所以EG _ L.又 B H D H =H,BH,D H u 平面 BDH.所以E G_ L 平面又8 u 平面引汨，以E为原点，m 为x 轴，E 产为V轴，E 4 为z 轴，建立空间直角坐标系,8(2,0,0),F(0,3,0),D(0,2,2),C(2,4,0),BF=(-2,3,0),BD=(-2,2,2),设平面8 n 尸的法向量 =(x,V
42、,z),则n-BD=一 2x+2y +2z =0,取 =3n-BF=-2x+3 y=0得 n=(3,2,1),又平面B C 尸的法向量2 =(0,0,1),nun 1 5/14cos=-=-=-I m|a|n|V14 14.钝二面角。一 3 F-C 的余弦值为-巫.14(2)Q A E A-E F,平面 AEFE)J_平面平面 AEF0C平面 E BCF=E F,AE u 平面 A E F D.平面 E 3 C F.结合 平面 E 3 C F,得 AE/Q”，四 边 形 是 矩 形，得 D H =AE,故以尸、B、C、。为顶点的:棱锥。8CF的高DH=AE=x,乂 S BCF=BC.BE=X4
43、X(4-X)=8-2X.1.三棱锥D-B C F的体积为 X 2 2V=S BFC.DH=-(S-2X)X=-X-X2=-X(4-X),VABE-FDC=ABE-lXiH+D-HGCF=S ABE。A。+3 SH G C F ,DH x(4 x)x 2 H x-(x+2)(4 x)x=(4 x)1 14(x+2)2 3 2 2 6 2i i 2令（4一 力 1+（x+2）=2x-x（4-x）,解得算=0或=4,不合题意;o 2 J 5.棱锥。-FBC的体积不可能等于几何体AB-EDC体积的一半.例 10.（2022春 辽宁高三辽宁实验中学校考期中）如 图 1,在平面四边形A3C。中，已知A8O
44、C,A B/D C,A D =D C =CB=-A B =4f E 是 A 8 的中点.将8CE沿 CE翻折至使得。尸=2,如图2 所示.图1图2(1)证明：D P L C E；(2)求直线D E与平面P A D所成角的正弦值.【解析】(1)如图取CE的中点F,连接尸F,DF,由题易知尸CE,DCE都是等边三角形，DDF CE,PFVCE,D F PF =F,D F u 平面OP凡PF u 平面。尸 尸CE_L 平面 DPF.D P u平面DPFDP1.CE.(2)解法一：由题易知四边形A E C D是平行四边形，所以AOCE,乂 A D u平面外力，所以C E u平面附),所以点E 与点F
45、到平面P A D的距离相等.由(1)知 CEJ_平面。PF,所以AO_L平面DPF.又4 5 u 平面PAD,所以平面 以 _!_ 平面DPF.过 F 作F H L P D 交 P D 于 H,则 F”_L平面PAD.D F =PF=2 6,D P =2,故点尸到平面P A D的距离F H=(22_仔=而设直线D E与平面P A D所成的角为。，则如。=，D E 4所以直线D E 与平面PAD所成角的正弦值为 恒.4解法二：由题易知四边形4ECO是平行四边形，所以AC E,由（1）知 CEJ_平面O P F,所以AO_L平面OPF.如图，以。为坐标原点，D A,。尸所在直线分别为x,），轴，过
46、。且垂直于平面AECD的直线为z 轴建立空间直角坐标系,则（0,0,0）,A（4,0,0）,E（2,2 ,0）,设 P（0,a,h）,4 0,b 0.易知 DF=PF=W i,DP=2,（2 石 丫+/=12.、73 而1故 ），P o,，a2+b2=4 1 3 3所以 ZM=（4,0,0）,DP=0，等，DE=（2,273,0）,、3 3 J设平面PAD的法向量为”=（x,y,z）,n-DA=0 x=0则 得/llz=0令 =5/1 7,得 z=1,所以 二仅,0 1,一D E n IT设直线DE与平面雨。所成的角为夕，则sin6=|cos Q,|=n=DEn 4故直线D E与平面PAD所成
47、角的正弦值 为 姮.4例 11.（2022春湖南长沙高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形布BC。中，R D 是边长为2 的等边三角形，AD/BC,AB=2BC=2,A B 1 B C,将，皿 沿 A。翻折成四棱锥P-ABC。，E 是 棱 上 的 动点（端点除外），F,M 分别是AB,CE的中点，且 PC=.(1)证明：A B l F M t(2)当直线E尸与平面P A D所成的角最大时，求平面A C E与平面P A D夹角的余弦值.【解析】(1)设。是的中点，连接OROC,三角形PAO是等边三角形，所以OPLAZ),OP=6.四边形A8CO是直角梯形，OA/BC,OA=B C ,所以四边形A
48、BCO是平行四边形，也即是矩形，所以OC，A,O C=A B =2.折叠后，PC=J 7,所以。尸+O C JPC 2,所以OP_LOC,由于 ADc OC=O,AD,OC u 平面 A B C D,所以OPL平面A5GD,则。C,OL,OP两两相互垂直，由此建立如图所示的空间直角坐标系,AB=OC=(2,0,0),F(l,-l,0),设 网O,f,g(l-f),0f/3(1C(2,0,0),所以 M 1,-,-v2,则尸M=0-v2,所以=0.所以(2)由于。Pl平面ABC。，ABu平面ABC。，所以OP1AB,由于 4B LAD,A D O O P =O,A,OP u 平面 P A D,所
49、以XB工平面PAD，由于A u平面P A D,所以所以NEE4是直线E尸与平面P A D所成角,A r在直角三角形A E F中，tan ZFE A=，AE由于AF=1,所以当AE最小时，tan/EEA最大，也即NEE4最大,由于三角形PAD是等边三角形，所以当E为尸。的中点时，AEA.PD AE取得最小值.由于尸（0,0,道）,0（0,1,0）,故此时平面PAD的法向量为?=（1,0,0）,A（0,-l,0）,C（2,0,0）,A C=（2,l,0）,A E=0,-,设平面A C E的法向量为 =（x,y,z）,n -A C =2 x+y=Q则 3 73,故可设几=0,一2,2 6）,n -A
50、E=y H-z =02 2设平面A C E与平面P A D的夹角为0，m n 1 _L平面BCFE,在平面PAD内过P作P 01于。，又平面P 4/)c 平面3CFE=A ),因此P。工平面B C E E,在平面3CEE内过。作Or _L A),显然Ox,AD,O P两两垂直，分别以向量Ox，OD,O P 的方向为x，y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系。-刈z,如图，P（O,O，II 2 J（2=（2,2 6 0）,E户=-1,-设平面P B E的一个法向量为与二 (x,y,z),n-E B=2x+2&y=0由,73 3，令y=-退，得用=（3,一 6 ），n-E P=-x y+z=02 2