《2023年新高考数学一轮复习：双变量问题（含答案）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年新高考数学一轮复习：双变量问题（含答案）.pdf（54页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专属教育考试复习专用考试参考习题一系统复习备考题库训练一习题强化考前模拟测试一模拟演练通关宝典梳理一真题体验技巧提升冲刺一技能技巧注：文本内容应以实际为准，下载前需仔细预览助你一战成名2023年新高考数学一轮复习：双变量问题（含答案）精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习2023年新高考数学一轮复习双变量问题【方法技巧与总结】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最
2、值应用到双参不等式，即可证得结果.【题型归纳目录】题型一:双变量单调问题题型二:双变量不等式:转化为单变量问题题型三:双变量不等式:极值和差商积问题题型四:双变量不等式:中点型题型五:双变量不等式:剪刀模型题型六:双变量不等式:主元法【典例例题】题型一:双变量单调问题例1.（2022 苏州三模）己知函数/（x）=（工 一 1 ）e，一整小,其中。兄（I ）函数/（工）的图象能否与工轴相切？若能，求出实数a,若不能，请说明理由；（H ）求最大的整数a,使得对任意a；1 6,x26（0,+8）,不等式/（二 +工2）/（土 一/2）2的恒成立.第 1 页，共 5 3 页2/22023年新高考数学一
3、轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习例2.(2020款 龙岩期中)已知函数g Q)=/一a l n z.(1)讨论g(z)的单调性；(2)若a 2,且/(土)=5一g(z)存在两个极值点xt,工2(皿V立2)，证明：-f(x)(a 2)(为一工2)例3.(2022 辽宁)已知函数/=(a +l)l n x +ax+l.(1)讨论函数f(t)的单调性：(2)设a V 1.如果对任意,X-2&(0,+().Z z(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(c)的极小值；(2)讨论函数 工)=/(为一，的单调性；(3
4、)若证明：对于任意b a 0,妈 二 细V1.0-a题型二:双变量不等式:转化为单变量问题例5.(2021 海看区校级期中)已知函数/(x)=J -z+alnx.(1)讨论/3)的单调性；(2)已知a v机 若/Q)存在两个极值点电，切且为如 求 妈 +且也的取值范围.Z X%2第3页，共53页2/22023年新高考数学轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习例6.(2021春 江宁区校级期中)己知函数/(%)=Q i l n/,aWR.(1)当 Q=1 时，求/Q)的极值；若 对 任 意 的 都 有/(1)等
5、e 娶，m 0,求m的最大值；(2)若函数g(c)=/Q)+有且只有两个不同的零点刈，出,求证：X|X2 e2.例7.(2022檐步模拟)设函数/(力)=(x-l)ex(a E R).(1)当a =9 时，求g Q)=f Q)的 单 调 区 间 是 的 导 数);(2)若/3)有两个极值点电、叫3 1 Vg)，证明：为+2x,3.第4页，共53页2/22023年新高考数学轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习例8.(2022 潮州二M)已知函数/3)=I n a;,g x)=x2 ax(a 0).(1)讨论函数
6、/i(x)=/(x)+g Q)的极值点：(2)若r r1,x2(x,0,求Q的取值范围；(H)记/，工2(其中为 0；当出 1 时,/(x)0.(2)若/(存在两个极值点电，叫，证明：,)7 )中.例11.(2021春 淅江期中)己知函数/(H)=-x +anx.Z z(1)当a =0 时,求函数/(立)在点(1,0)处的切线方程；(2)讨论/Q)的单调性;(3)若/(存在两个极值点为，5，证明：)一 g)V a -2.0 X2第6页，共53页2/22023年新高考数学轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习例1
7、2.(2021 秋 武汉月才)已知函数/(c)=l n x+-yj;2 (a +l)r r,a G R.(1)讨论函数/3)的单调区间：设 c ，g(0 x 0,证明:当0 V1 V 时,/(5+x)f(十 X);函数V=/(0 的 图 象 与 出 轴 相 交 于 两 点，线段4 6中点的横坐标为例，证明(1。)0.例15.(2022沙坪Ml区校级开学)已知函数/(。)=/2 ax+21 n HQ 0).(1)讨论函数/(的单调性；(2)设g(c)=I n x 就一 e r e，若函数/()的两个极值点电,g(0 Vg)恰为函数g Q)的两个零点，旦y=(第一司9，(当尹)的取值范围是 l n
8、 3 1,+8),求实数a 的取值范围.第8页，共53页2/22023年新高考数学轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习题型五:双变量不等式:剪刀模型例16.(2022日展一模)已知函数加)=(x+6)(e -a)(f e 0)在点(-y.f(-y)处的切线方程为(e -v e -11)x+ey-=。(1)求。，6；(2)函数/3)图象与。轴负半轴的交点为尸,且在点P处的切线方程为4=4，函数网力=/3)九(x),x 6 R,求RQ)的最小值;(3)关于x的方程/(%)=m有两个实数根xx,g，且】V x2，证
9、明：。2-+守 -.z 1 -e例17.(2021叁道里区校级期中)已知函数/Q)=如-e，+1,h i 3是/Q)的极值点.(I )求a的值；(I I)设曲线y=f(x)与工轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线为直线I.求证：曲线y=/日)上的点都不在直线/的上方；(I I I)若关于x的方程/(a;)=m(m0)有两个不等实根g,工 出 的),求证：x2 xx 0 时，求证：心(卷)(其中e 为自然对数的底数);(3)若 Q 0,b 0 求证：/(7)+(Q+6)ln2/(a+b)/(b).第10页，共53页2/22023年新高考数学一轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 M 纳
10、核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习例20.(2021秋广东月旁)已知函数加)=谭 +(In x 0(其中且a为常数，e为自然对数的底数，e =2.7 1 8 2 8 ).(1 )若函数/Q)的极值点只有一个,求实数a的取值范围；(II)当a=0时，若/(c)0)恒成Z,求(f c +l)m的 最 小 值 的 最 大 值.例21.(2022盘山县校级二模)设 函 数=(1)求/(的极值；(I I )设g(0)=/3+1),若对任意的2*0,都有g()7 7 2 0成立,求实数7 7 2的取值范围:(III)若 0 V a V 伉证明：0 V/(Q)+/(f e
11、)-2/(旦 芈)0,/(c)为f(x)的导函数.(1)当m=1,求/(c)在点(1,7(1)处的切线方程；设函数h(x)=丝，且h(x)，名恒成立.e2求a 的取值范围：设函数/(%)的零点为g,/Cr)的极小值点为电,求证：x0 x1.第 1 2 页，共 5 3 页2/22023年新高考数学一轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 M 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习3 .(2022湖北高二阶段练习)已知函数/(工)=l n x +-x2(a+l)x(a G R),g(x)=/(x)年炉+(a+1)x.(i)讨论/3)的单调性；(2)任取两个正
12、数为,2,当:E l V 土2时，求证：9(4 1)-9(/2)2.第 1 3 页，共 5 3 页2/22023年新高考数学一轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习5 .(2 0 2 2江苏海门中学高二阶段练习)已知函数/=nx+9 ax.(1)讨论函数/(0 的单调性；(2)若/(有两个极值点与曲，证明 要 一/城 V 2 TX,2 乙6 .(2 0 2 2湖北模板加浏)已知对于不相等的正实数a,b,有依V就为v里 成 立,我们称其为对数平均不等式.现有函数f(c)=lnq+1.(1)求函数/(公的极值；(2)若
13、 方 程=m有两个不相等的实数根为，叫.证明：1 V Z R o V；7 7 1证明：E r r2|V(l n m)2 2 1 n m.第14页，共53页2/22023年新高考数学一轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 M 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习7.(2 0 2 2山东济宁南二期中)已知函数/=-x+a nx(a E R),且了有两个极值点X i,x2.X(1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a,使&=a-2 成立，若存在求出a 的值，若不存在,请说明理由.x x28.(2 0 2 2广东广州市第七中学高二期中)已知函数/=In
14、c a-+(2 a)c.(1)讨论/(/)的单调性；(2)若函数y=f(z)的图像与工轴交于A,B 两点，线段4 3 中点的横坐标为;I。,证明：/(茄)0.第 1 5 页，共 5 3 页2/22023年新高考数学一轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习9.(2 0 2 2重庆万州饨用中学校高二期中)设函数/Q)=I n/+*a 6 R).(1)讨论函数/(0的单调性；(2)若/()有两个零点xx,x2,求a的取值范围；证明：2a V电+的V L1 0.(2 0 2 2福建看厦门集美中学甫二期中)已知函数)=g +
15、h im(1)试讨论/(工)的极值：(2)设9(z)=4 -2/+2,若/工(0,4-o o),3.O J，使得/(%)V g(g)，求实数a的取值范围.第16页，共5 3页2/22023年新高考数学一轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习11.(2022全国南三专题练习)已知函数F(x)=(1+m)x lnx(m G R),x,x2(0 xl ln3.第17页，共53页2/22023年新高考数学轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复
16、习双变量问题【方法技巧与总结】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.DR型归纳目录】题型一:双变意单说问题题型二:双变量不等式:转化为单变量问题题瑁三:双变置不等式:极值和差商积问题题型四:双变及不等式:中点型题型五:双变意不等式:剪刀模型题型六:双变不等式:主元法 典例例题】题型一:双变单调问题例1.(2022苏州三模)已 知 函 数/=(x-l)eI-*/，其 中叱 凡(I )函数
17、/(工)的图象能否与工轴相切？若 能，求出实数 a,若 不 能，请说明理由；(H )求最大的整数a,使 得 对 任 意 6/?,x26(0,+8),不等式/(二+工2)/(工 一/2)2的恒成立.【解答】解：(I )f(x)=xexax.假设函数/(c)的图象与/轴相切于点(t,0),(t-l)el-f t2=0t e!at =0显然 W0,&=Q 0,代入方程(一12 一告 2=0中得，产2匕+2=0.=-4 V0,方程/2 +2=0无解.故无论a取何值，函数/(%)的图象都不能与轴相切；(u )依题意，f3i +X o)-f(x x2)(X)x2)-(皿+X2)o/(0 i+2)+(61
18、+亚)/(皿-g)+(为-g)恒成立.设 g(x)=/(n)+%则上式等价于 g3i+x2)gg-x2),要使gQ i+g)g 3 -g)对任意为c /2,X2E(0,+OO)恒成立，即使g(z)=(x i)e 一牛炉+/在 7?上单调递增，：.g (x)=xex a x+1 0 在 R 上恒成立.gV)=e-a+A 0Ma&e +l,y（t）=o/=0则有第18页，共5 3页2/22023年新高考数学轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习：g (1)0在H上成立的必要条件是：Q 0 时，(x)0,:./i(x
19、),nin=0,即 V R,+1.那么，当0 时，xeT x2+xy xex 3x+1 /26+1=(%1产 0;当 c V 0 时，ex 0,xeT 3x4-1 0 恒成立.因此，a的最大整数值为3.例2.(2020秋 龙岩期中)已知函数gQ)=z-alnz.(1)讨 论g(的单调性；若Q 2,且/(a?)=g(N)存在两个极值点1，2(/1 (Q 2)(I-2)【解答】解：(l)g(x)=x a nx 的定义域为(0,+),g x)=1 牛=.(i)若a 0,所以g(x)在(0,+8)单调递增;(i i)若a 0,当 (0,a)时，g 3)VO;当 c W (a,4-oo)时，gf(x)0
20、.所以g()在(0,a)单调递减，在(a,+8)单调递增；证明：(2)因为/(c)存在两个极值点且Q 2,f x)=-X1 ax+1所以/3)的两个极值点为，色满足 Q1+1=0,所以公1啊=1,不妨设61V k2,则。2 1,X i -X2外,Inxj-lnx2=-2 +a-X -X-21.Inxi-Ing-+a-X X-i-X -x2玲,-21nx2=-2 +Q-,-x-x22则要 证，)-/)v&-2,只需证-x2+21nx2 1),则 (N)=(X-1)2X2 0,知无(7)在(l,4-oo)单调递减，又八=0,当 c (l,4-oo)时，h(x)0,故-g+21ngVO,X2即f(X
21、 t)f(x2)(a 2)(叫 一 x2).例3.（2022辽宁）已知函数/（c）=（Q+l）l n x 4-a x24-1.（1）讨论函数/（%）的单调性；（2）设Q V-L如果对任意k 1，X2E （0,+OO）|/（3I）-/（X2）|2 4出一啊|,求Q的取值范围.【解答】解：（I ）/3）的定义域为（0,+8）/3）=+2 ax=.当a0时,/（工）0,故/（工）在（0,+8）单调递增；当a V 1时,r 3）V 0,故/（工）在（0,+8）单调递减；当一1 VaVO时，令f（z）=0,解得工=，一 啮1.则当 N（0,J-1）时,/o；/（J-,+8）时,/3）V0.故7 3）在（
22、0,单调递增，在+8）单调递减.（I I ）不妨假设。而a V -1,由（I）知在（0,+8）单调递减,从而 V%k 2 6（。,+8）,|f Q i）一抵 切|4山一g|等价于 V 凡 (0,+8)J(g)+4亚 /31)+4为令 g x)=/(x)+4 x,则 g x)=。+2 ax+4等价于9（工）在（0,+8）单调递减，即 旦 詈+2 3+4 4 0.从而a 0.X（1）当a=e（e为自然对数的底数）时，求/Q）的极小值；（2）讨论函数g（z）=/（x）-r的单调性；（3）若m 1,证明：对于任意b a 0,”三 誓 V I.【解答】解：当7 7 1 =6时,/3）=2 1 1 1 Z
23、+城,/（：1：）=2 x e当 X 0.所以，c =!时,/取 得 最 小 值 娉)=2 1 n-1-+2 =4-2 1 n 2.(2)g Q)=f(x)-x=2 1 n x +一-zQ 0),g x)=春-当-1 =+2厂 =_ _+1工 x x-x-xl m 1 2 时，g x)5 单调递减.(3)证明：0Vm Vl 时，1 V T O,g,(z)=(,1 +?(”一 lX当 0 V a;V1 V 1 m 时，g x)V 0;当 1 V 1 m&i V1 +V 1 m 时，g x)0;第20页，共53页2/22023年新高考数学轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心
24、题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习当 出 1 +A/1 m 时，g x)&0.即 0 Vm V 1 时，g(x)=/Q)1 在(0,1 V 1 m)和 1 +V 1 m,4-o o)上单调递减，在 1 V 1 m,l +V 1 m)上单调递增.由 知，当1 时，g(x)=f(x)-x 在(0,4-o o)上单调递减,所以，当 z n 1 时，对任意b a 0,/(b)ba0,吗二V1.题型二:双变不等式:转化为单变景问题例5.(2021春-海看区校级期中)已知函数f 3)=1-x+alnx.*Zz(1)讨 论/3)的 单 调 性；(2)已 知 若/3)存 在 两 个
25、 极 值 点 力”的，且为vg，求 咚 2+察 的 取 值 范 围.【解答】解：f 的定义域是(0,+8),/=_十 _+言=_/之 产-1,令八=x2+a x l,=a2 4,若一2Wa 2,令“=0,解得：=.一 呼 _4 0,g=g +呼-4 0,故;r e (o,y-土)时，h(x)vo,即r 3)0,即7(工)0,x e (。+；,+8)时,h(x)o,yz(x)o,故/3)在(0,也 呼 三)递 减，在(叱 呼 三a+7)递增，在(a+y,+8)递减,a V 2 时，令 h(x)=0,解得：g=0,5=a+7 Ti o,故出 (0,+8)时，h(x)0,即/(x)0,f(x)在(0
26、,+8)递减，综上：a2 时，/在 他产 一 华7)递减，在(七 坐 三，组 斗 三)递 增，在(一 岑 二，+8)递减.(2)若/(6)存在两个极值点与，立 2,且N V g,5则 Ci+g=Q,%=l(g 1),由 Q V 歹，可得 1 V g V 2,则等+噜=2 百 一 专+(曷一专)l n g,第2 1页，共53页2/22023年新高考数学轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习令9(c)=2 X2-+(T1V V 2),9=一 企 +十 +2卜+专)媪=+2国,令九()=+21n,且九(%)与gf(x
27、)在(1,2)上符号一致,1+%-8砂 2 _-8/+2(1+x4)2 _ 2(1-X1)2(X)(1+X1)2。(1+x y x _(1+x x?所以h(x)单调递增，所以h(x)五(1)=0,即gQ)0,所以g(rr)单调递增，所以g()6(0,号1112 一号)，故 咚 +咚 的 取 值 范 围 是(,芋皿2?).例6.(20 21 春 江宁区校级期中)己知函数f(c)=axlnx,a ER.(1)当a=l 时，求f(z)的极值；若对任意的工 e都有f (z)号/，m 0,求m的最大值；(2)若函数g(0=/(/)+/有且只有两个不同的零点为，的,求证：孙 功 乩【解答】解：(1)a=1
28、 时 J 3)=x n x,f(x)=ln+l(x0),令/(工)0,解得：工 工,令广(工)V 0,解得：0 x e都有/管/=e Ine,即/Q)/(e号)恒成立，由m 0,故 等 0,故e，,由知/(。)在(5，+)单调递增，故re c乎，可得Inx 马，即xnx m,x当时，/(。)的最小值是/(c)=e,故m的最大值是e;(2)证明：要证为2，只需证明ln(X|X)2即可,由题意出1,g是方程arlni+/=0的两个不相等的实数根,x 0,1强 +皿=0(alna：2 4-=0(2)J z 整理得:In&g)=In,9+1xy生_1勺2第2 2页，共53页2/22023年新高考数学轮
29、复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习不 妨 设 令 力=也，则t l,82故 只 需 证 明 当 时，l n 彳斗 2,即证明l n t 当 答 ,设g=3和，则“=1 2尸(尸=曷A。,于是八在(L+o o)单调递增，从 而 无(1)=0,2(%1)9故l n TT,故6 R2 e .V I-1例7.(2022嬉阳模板)设函数/Q)=-ye2l+(工-l)e，(a 6 R).(1)当a =:时，求g(x)=(Q)e的单调区间(ff(x)是f(0的导数):(2)若/(。)有两个极值点x%2(电V 6 2)，证明
30、:力 1+2/2 3.【解答】解：(1)当。=看时,/(工)=-*e +(工-1)浸，则/(r r)=e，T(-e H+e:z:),g(x)=e 1 +ex、：.gf(x)=-ex+e,显然g G)递减，且g (l)=0,故当出 0,1 1 时，g 3)0,解得：1 V 1,令7 7?/(n)V O,解得：x 1,故7 n(力)在(00,1)递增，在(1,+8)递减,故m(x)&7 7 1(1)=2，而 I T 8 时，7 7 1(0-0,e故a的取值范围是(0,5 ,由(aeX l=x(a eX 2=x2，得Q =X -ge e s故 r e 1+2g 3 o 3 V aer+2a er-=
31、叼f+2-)=.6 2(以+2),铲 铲 铲-I令 =/一g,则 V 0,3 V r e 1+2X-2 3 0在tV O时成立,令 h(t)=(3 t)ef-2t 3(t V 0),:h!=(2 t)e 2(t 0,故居(。在t V 0上单调递增,即h!九(0)=0,故原不等式成立.例8.(2022潮州二M)已知函数/()=Inc,g(x)=x2 ax(a 0).(1)讨论函数九(c)=/(1)+g(z)的极值点；(2)若x,x2(X 1 4a.X X【解答】解：(1)九(%)=/(x)+g(x)=nx+x2 ax(x 0)(a0),h(x)=-+2 x-a =2婿二，士!X X令2/1 =0
32、,=a2 8,当 0 VQ4 2/时，0,无极值点，当a 2,时，令2/一3+1=0,解得：工=且生亨三&,当工(0,牝斗Z I),(。+率-8,+8)时，(工)。，”工)递增，x 6(手 8-,a+号时，/()V 0,h(x)递减，故”极大值点是a-.-8，极小值点是a+q1;综上：0 V a 4 2/时，h(x)无极值点，a 2V 2时，h(i)极大值点是 二 哭 冷、极小值点是色上孥二1；(2)由 /(x)+=In%一R 二:产+:=，即 M i+号=0，令 fc(x)=Inx+壹 3 0,a 0),k(x)=空=，令E 3)=0,得=V2a,x x x当 0 V V V2a 时，E(x
33、)V2a 时，kf(x)0,k(x)在(0,V2a)递减，在(后，+8)上递增,又丁 有2个零点，M 丘)V 0,即In应+合 V 0,解得：0 V a V!，且 InXi H%0；，两式相减得：Ing-Ini=卫 多,ln g+乌=0 干 的X2第2 4页，共53页2/22023年新高考数学一轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习g xf t xf湍 式1/),要 证 明+=4Q,即证明(1+4Q,(1+4a,(1+巧 备(1一 卷)2,即证明 21nt2-t2+-l),令 q(x)21n 一 +1),q(工)=
34、-3-1)2 4a.X例9.(2022浙 江 模 拟)已知H,函数/(C)=C，Q I+Q.(I)若/3)0,求a的取值范围；(n)记 为，g(其中x,g)为了(在(。,+8)上的两个零点，证 明：%1。,/(在六上递增,又/(%)=e”0,故a=0符合题意，(优)当 Q 0 时，/3)在(0,故2Q aln a 0,又 a 0,.2 ln a 0,解得：0 VaW e?,(m)当a V 0时,/Q)0 J Q)在R上单调递增，当 3；T_ 8时，ex-0,-OX+Q T-S,y(x)8,不符合题意,综上：0&a 0 X x1),X 1记 p(x)=支1 3 o 且7*1),由于 p Q)=二
35、;号,故P 3)在(0,1)和(1,2)上递减，在(2,+8)上递增，且当TO*时，P(X)T-1,当 6-1一时，P(X)-8,当T 1+时，P(X)T 4-00,当 1 T +8 时，p(x)T+8 ,根据题意可知，Q e)且1 /v 2 V g,第2 5页，共53页2/22023年新高考数学轮复习：双变量问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习先证 一-e x j,即证e c i,显然成立；Q-e?再证刈 1,l n a 0,2:.只需证I n a V-T-,/a(x j -1)=ex,/.I n a =l n(a;i
36、1),o i o:,只需宙为-l n(z -1)-/，即证J n-0；当 1 时，/(x)0.(2)若/3)存 在 两 个 极 值 点 为，曲,证明：/)f 0,/()=；白？=/(1)=0,当1时J 3)V/(l)=0,原命题得证.(2)/，=十 一 1(a +f =2岁-1，若存在两个极值点，则.、c，解得(=4 4 a 0由韦达定理可知，公1 +公2=，XxX2=(*)f()f(g)=(1巧-E g)一 珀 +十 七 一 专)=m 为一 I n _ _ LX X 2 X -X 2 X X 2 2 2 x1 X 2原命题即证:I n 电一I n g 1X x2 2 x x24，不 妨 设
37、为 如 原 命 题 即 证：I n色-狞包包 产3/2 2 c l i c 2 2第2 6页，共53页2/22023年新高考数学轮复习：双变量问题（含答案）精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习由(*)知，=+4 =2,即证：l n 一2*1 k 2 82X -X-2 v电+比2曳 产 （蠹+泰），不妨令原命题即证:I n t-；+；-+&V 0,记g(t)=l n J-一专+(i 1)则g ）=十一舟1 1 =一 1)2(严+1)4 4 尸一4t2(t+1 尸当t l时，g （t）0）,则/3）=_ 4+手 t,x当 a =0 时,/（
38、工）=2 1,X-所以r=-2,则/（H）在（1,0）处的切线方程为y =-2 z +2;（2）解：函数的定义域为（0,+8）,且广=.二1土产二1,X令 g Q）=-X2+ax 1，且 g（0）=1,当a&0时，g（0 V （）恒成立，此时/（i）0时，判别式 =a 2 4,（i）当0V a2时，&（）,即g（i）&0,所以/（1）2时，令g(z)0,解 得=呼 4 /2时，/（在一呼乌 土 孚 三）上单调递增，在（0,吁呼和（旦 士 李 三，+8）上单调递减.（3）证明：由（2）可知，Q 2,0 Vi V 1 V g,X X2=1,则/(i)/(2)=)的+alniiJb L L C o第
39、27页，共53页2/22 0 2 3年新高考数学一轮复习：双变量问题(含答案)精研考纲M纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习=(X2-XI)(14-+a(l n x1-l n x2)=2(g a；i)+a(l n X l n 2),则/3 1)一/(叫)o.a C l n -l n x a)-=一/十-X?X-X-2故问题转化为证明In电 一 如gv 1即可,X X2即证明 nxi I n g 电 一%则 1止%I n x,X X即证InX i 4-I n a?!xx L,即证2 1 n a；ixx L在(0,1)上恒成立,X 令M%)=2 1 n x x +(0 x 1),其中九(1)=0
40、,x则 h!(x)=-1-=HJ j +l=_,1)一 五(1),即 2 1 nx T+0,x1故 2 1 n z -,x好力/(电)一/(叫)/0所以-Za-2.X|x2例12.(2021 秋 丈汉月才)己知函数/(/)=I n x +-y x2 (a 4-l)xfa 6 R.(1)讨论函数/(%)的单调区间；设x 9 x2(0X 0,得 O V s V l,令，(a:)V O,得:1,所 以 7 3)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，当OVa Cl时，令(工)0,得0 工 0,所以/(在(0,4-o o)上/(0)单调递增，当a l时，令/3)0,得0 1,f 3)o,得!
41、v i v i,第 28页，共 53页2/22 02 3年新高考数学一轮复习：双变量问题(含答案)精研考纲M纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习所 以/在(0，!),(1,+8)上单调递增，在(/1)上单调递减，综上所述，当a&0时，f(z)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，当0 Va Vl时,f(z)在(0,1),(，+8)上单调递增，在(I,5)上单调递减，当。=1时,/()在(0,+8)上单调递增,当a l时，/3)在(0,5)，(1,+8)上单调递增，在(5，1)上单调递减.(2)证明：g Q)=/3)+c=l n 4+02 。则 g(0 的定义域为(0,+8),(1
42、 ,ax2-a x+19(x)=-a x-a =-,若g(c)有两个极值点的，a:2(0 Xi 0,且 Z +g=1,xx2=0,解得a 4,又0 V i Vg,所 以 犹 皿02 =，即0 V为4,由 =卷 一。=，解得=/又上去=，所以无在区间(0 4)内单调递增，在 区 间 仁，圭)内 单 调 递 减,即h(t)的最大值为九(着)=2 1 n 2 In a+等-2 V受一In a,所以9(工1)g(g)0,证明:当 0 V r r 时,f g+x)-x)；函 数y =f(x)的图象与4轴 相 交 于4、B两 点，线 段4 8中点的横坐标为的，证 明(g)0 时,则由i)=0,得第 29页
43、，共 53页2/22023年新高考数学一轮复习：双变量问题（含答案）精研考纲M纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习当工（0，!）时J0,当工（5，+8）时,/（M VO,.,./（X）在（0,0）单调递增，在 C，+8）上单调递减；（ii）当Q&O时J 3）0 1成立，./3）在（0,+8）单调递增；设函数9（工）=/（!+7）_/（!一 x），则 9（4）=+x）-a（-+x）2+（2-a）（-+x）-ln（-a;）-a（-+（2-a）（-s）=In（1+ax）ln（l ax）2ax,t（a.a 凡 2a%2g（X）=-z-i-F-：-2a=-1+ax 1 ax 1 a2x2当 土（0。）
44、时H（）0,而g（0）=0,.,.g（i）g（0）=0,故当 O V uV看时,+-z）；由可得，当a 0时，函数y=A/）的图象与工轴至多有一个交点，故a 0,从而/Q）的最大值为了（!）,且f（!）0,不妨设 4（为，0）,B（X2,0）,OVZ啊，则 0为亚，由得,/（日-电）=/+!的）/3）=/（2）=0,又/（工）在（2,+8）上单调递减，.2,工。_ xx+x2 1一为叼，于 无 斯 ，由知J（命）0.例14.（2021秋 山西期末）已知函数/（x）=2/+（1-2a）lnx+泉（1）讨 论 的 单 调 性：（2）如果方程 0=馍有两个不相等的解为，g,且e V g,证 明：广（
45、毁 生）（）.【解答】解：（l）f（0 =2+_S=2.+（l 2 a）c a=3 a）?a；+l）X X X X当 a&O 时，rrW（0,+8）,r （rr）0 J Q）单调递增；当a 0时，工e（O,a）,r Q）VO J Q）单调递减；x G（a,+8）,r （x）0,/（x）单调递增，综上，当a 4 0时，/3）在（0,+8）单调递增；当a 0时，/3）在（0,a）单调递减，在（a,+8）单调递增.（2）由（1）知，当a 0时，f（z）在（0,+8）单调递增，/（工）=恒 至 多 一 个 根，不符合题意；第 30页，共 53页2/22023年新高考数学轮复习：双变量问题（含答案）精
46、研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习当a 0时J(z)在(0,a)单调递减，在(a,+8)单调递增，则(a)=0.不妨设0 V%i VQ VG,要证/0,即证电：”2 Q,即证2 +ii 2,即证g 2 a-Z .因为f(z)在(Q,+8)单调递增，即证/(g)f(2 a-C i),因为 f(x2)=/(X|),所以即证/Q i)/(2 a-),即证/(a+x)/(a-x),令 g(c)=/(a +i)/(a i)=12(Q+0+(1 -2 a)l n(a+/)+.；%1 2(a x)+(1 2 a)l n(a-z)+。=4%+(1 2 a
47、)l n(a 4-x)(1 2 a)l n(a x)H-y-.a-r x a-x，/_ A.1 -2 a.1 -2 a a a9 x a+x a-x(a+x)2(a-x)22 a(1 2 a)2 a(a2-I-a:2)_ 4 x2(x2-a2 a)+a2-x2(Q+x)2(a-x)2(a+x)2(a x)2当 c W(0,a),时，gf(x)0,g(x)单调递减,又g(0)=/(a+0)-/(a-0)=0,所以 c (0,a),时，g(c)Vg(0)=0,即/(a+x)/(2 a-c),又工 (0,a),所以 f(xj/(2 a-r r J,所以/(毁图)0.例15.（2022沙坪畏区校41开
48、学）已知函数/（c）=xi-2 ax+2 1 nH a 0）.（1）讨论函数/（G 的单调性；（2）设 9（）=1 1 1 3；一五一以：2,若函数/（3；）的两个极值点为，力 2（41V g）恰为函数g（N）的两个零点，且 g=（为一g）g （雕 生）的取值范围是 l n3-l,+oo），求实数a 的取值范围.【解答】解：函 数/（0）=/2 ai+2 1 nz（a 0）的定义域为（0,+8）,又广=2 c 2Q+菅=2 ,+1 （a 0,3；0）,对于方程2 Q%+1 =o,A =a24（a 0）,若=4-440,即0 VQ4 2时，则/（z）0恒成立，所以/Q）在（0,+8）上单调递增；
49、若=。2 4 0,即a 2时，令/3）=0,解 得 工=&一 呼-1，或H =+呼-4,当工（0,且考三）和（乌 士 呼 二，+8）时,/，（工）0,当工 （a-,21）时，/，2时，/（工）的 单 调 递 增 区 间 为 伍,一 暝-和（。+呼-4,+8），单 调 递 减 区 间 为/a Va2-4 a-l-Va2-4 2 ，2 /，(2)由可知,当 a 2 时，H i +g=Q,X i X2=l(xi 0),故9，(%)=2 _b_ c(西十/2),由 g 3 i)=g(g)=。，可 彳w p n x)-f e xI-cx?=0于I ng bx-,c xl=0 *两式相减，可得I n =f
50、 e(xi x,)+c(x?冠),3 2所以 y=3 1 x2)g，(2 3:2)=2(xj-x,)X+X-2-6(xj-x2)-c(xf 忌)=2(X1-2)XI+X2山 曳=逞 物 色+1I n的,电令?=te(o,i),则y=:2(tl)t+1一 (j1)2t(t+l)2I n土，+4+2 W 学,+8）,又因为a 2,故实数a的取值范围是 挈,+8）.题型五:双变量不等式:剪刀模型例16.（2022日展一模）已 知 函 数/=3+b）吩-a）（b 0）在 点（-y j（-y）处 的 切线方程 为（e -l）x+e y+0 2 1 =0.求a,b；第32页，共53页2/22023年新高考