2023年新高考数学一轮复习奔驰定理与四心问题含答案.pdf

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1、奔驰定理与四心问题奔驰定理与四心问题【考点预测】一、四心的概念介绍：【考点预测】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直二、奔驰定理-解决面积比例问题二、奔驰定理-解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心坐标为Gx1+x2+x33，y1+y2+y33.注意：(1)在ABC中，若O为重心，则

2、OA+OB+OC=0(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等重心的向量表示：AG=13AB+13AC 奔驰定理：SAOA+SBOB+SCOC=0，则AOB、AOC、BOC的面积之比等于3:2:1奔驰定理证明：如图，令1OA=OA1，2OB=OB1，3OC=OC1，即满足OA 1+OB 1+OC 1=0SAOBSA1OB1=112，SAOCSA1OC1=113，SBOCSB1OC1=123，故SAOB:SAOC:SBOC=3:2:1.三、三角形四心与推论：三、三角形四心与推论：(1)O是ABC的重心：SBOC:SCOA:SA0B=1:1:1OA+OB+OC=0(2

3、)O是ABC的内心：SB0C:SCOA:SAOB=a:b:cOA+OB+OC=0(3)O是ABC的外心：SB0C:SCOA:SAOB=sin2A:sin2B:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0(4)O是ABC的垂心：SB0C:SCOA:SAOB=tanA:tanB:tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0l【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB+AC AC 所在的直线上.AB PC+BC PC+CA PB=0P为ABC的内心.2023年新高考数学一轮复习奔驰定理与四心问题(2)外心：PA=PB=PC P为ABC的外心.

4、(3)垂心：PA PB=PB PC=PC PA P为ABC的垂心.(4)重心：PA+PB+PC=0P为ABC的重心.l【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：奔驰定理题型一：奔驰定理题型二：重心定理题型二：重心定理题型三：内心定理题型三：内心定理题型四：外心定理题型四：外心定理题型五：垂心定理题型五：垂心定理【典例例题】【典例例题】题型一题型一:奔驰定理奔驰定理例例1.1.(多选题多选题)()(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的 logo 很相似，故形象地称其为“奔

5、驰定理”.奔驰定理：已知 O 是 ABC 内的一点，BOC、AOC、AOB 的面积分别为 SA、SB、SC，则 SA OA+SB OB+SC OC=0.若 O 是锐角 ABC 内的一点，BAC、ABC、ACB 是 ABC 的三个内角，且点 O 满足OA OB=OB OC=OC OA，则()A.O为ABC的垂心B.AOB=-ACBC.OA:OB:OC=sinBAC:sinABC:sinACBD.tanBACOA+tanABCOB+tanACBOC=0例例2.2.(多选题多选题)()(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有()A.若动点P

6、满足OP=OA+AB AB sinB+AC AC sinC (0)，则动点P的轨迹一定经过ABC的垂心；B.若OA AC AC-AB AB =OB BC BC-BA BA =0，则点O为ABC的内心；C.若(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0，则点O为ABC的外心；D.若动点P满足OP=OA+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC(0)，则动点P的轨迹一定经过ABC的重心.例例3.3.(多选题多选题)()(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SAOA+SBOB+SCOC=0.“奔

7、驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若 O、P 是锐角 ABC 内的点，A、B、C 是 ABC 的三个内角，且满足 PA+PB+PC=13CA，OA OB=OB OC=OC OA，则()A.SPAB:SPBC:SPCA=4:2:3B.A+BOC=C.OA:OB:OC=cosA:cosB:cosCD.tanAOA+tanBOB+tanCOC=0例例4.4.(多选题多选题)()(20222022 浙江浙江 高三专题练习高三专题练习)如图，已知点 G为 ABC的重心，点 D，E 分别为

8、AB，AC 上的点，且 D，G，E三点共线，AD=mAB，AE=nAC，m0，n0，记 ADE，ABC，四边形 BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则()A.1m+1n=3B.S1S2=mnC.S1S345D.S1S345例例5.5.(河南省安阳市河南省安阳市20212021-20222022学年高一年级下学期阶段性测试学年高一年级下学期阶段性测试(五五)数学试卷数学试卷)已知O是ABC内的一点，若BOC,AOC,AOB的面积分别记为S1,S2,S3，则S1OA+S2OB+S3OC=0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是ABC的垂心，

9、且OA+2OB+3OC=0，则tanBAC:tanABC:tanACB=()A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6例例6.6.(20212021 四川德阳四川德阳 高一期末高一期末)已知 P 是 ABC 内部一点，且 PA+3PB+5PC=0，则 PAB、PCA、PBC面积之比为()A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1例例7.7.(20222022 安徽安徽 芜湖一中三模芜湖一中三模(理理)平面上有 ABC 及其内一点 O，构成如图所示图形，若将 OAB，OBC，OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式SaOA+SbOB+ScOC=0因图形和奔

10、驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足aOA+bOB+cOC=0，则O为ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例例8.8.(20222022 云南云南 一模一模(理理)在 ABC 中，D 是直线 AB 上的点.若 2BD=CB+CA，记 ACB 的面积为S1，ACD的面积为S2，则S1S2=()A.6B.2C.13D.23例例9.9.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在平面四边形 ABCD 中，已知 ABC 的面积是 ACD 的面积的 2 倍.若存在正实数x,y使得AC=1x-4AB+1-1yAD

11、成立，则2x+y的最小值为()A.1B.2C.3D.4例例10.10.(20222022 上海上海 高三专题练习高三专题练习)如图，P为ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c.总有优美等式SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：若P是ABC的重心，则有PA+PB+PC=0；若aPA+bPB+cPC=0成立，则P是ABC的内心；若AP=25AB+15AC，则SABP:SABC=2:5；若P是ABC的外心，A=4，PA=mPB+nPC，则m+n-2,1.则正确的命题有_.例例11.11.(20222022 江西宜春江

12、西宜春 高三期末高三期末(理理)已知 SABC=3，点 M 是 ABC 内一点且 MA+2MB=CM，则MBC的面积为()A.14B.13C.34D.12例例12.12.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知点M是ABC所在平面内一点，若AM=12AB+13AC，则ABM与BCM的面积之比为()A.83B.52C.2D.43例例13.13.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知点O为正ABC所在平面上一点，且满足OA+OB+(1+)OC=0，若OAC的面积与OAB的面积比值为1:4，则的值为()A.12B.13C.2D.3【方法技巧与总结】【方法技巧

13、与总结】奔驰定理：奔驰定理：如图，已知P为ABC内一点，则有SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.题型二题型二:重心定理重心定理例例14.14.(20222022 浙江绍兴浙江绍兴 模拟预测模拟预测)已知-ABC是圆心为 O，半径为 R的圆的内接三角形，M是圆 O上一点，G是ABC的重心若OM OG，则AM 2+BM 2+CM 2=_例例15.15.(20222022 江苏南京江苏南京 模拟预测模拟预测)在A

14、BC中，AB AC=0，AB=3，AC=4，O为ABC的重心，D在边BC上，且ADBC，则AD AO _例例16.16.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，CB=a，CA=b，且OP=OC+maasinB+bbsinA，mR，则点P的轨迹一定通过ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心例例17.17.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足OP=13(1-)OA+(1-)OB+(1+2)OC，R，则点P的轨迹一定经过()A.ABC的内心B.ABC的垂心C.ABC的重心D.AB边的中点

15、例例18.18.(20222022 河北河北 石家庄二中模拟预测石家庄二中模拟预测)在ABC中，G为重心，AC=2 3，BG=2，则AB BC=_.例例19.19.(20222022 四川达州四川达州 二模二模(文文)在ABC中，G为重心，AC=2 3，BG=2，则BA BC=_.例例20.20.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(理理)在ABC中，点G是ABC的重心，过点G作直线分别交线段AB，AB于点N，M(M，N不与ABC的顶点重合)，则SANGSCMG的最小值为_.例例21.21.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在 ABC中，AB=1，ABC

16、=60，AC AB=-1，若 O 是 ABC 的重心，则BO AC=_.例例22.22.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，O是ABC的重心，AB=a，AC=b，D是边BC上一点，且BD=3DC，OD=a+b，则+=_例例23.23.(20222022 重庆重庆 三模三模)已知O为ABC的重心，记OA=a，OB=b，则AC=()A.-2a-bB.-a+2bC.a-2bD.2a+b例例24.24.(20222022 安徽蚌埠安徽蚌埠 模拟预测模拟预测(理理)已知点P是ABC的重心，则下列结论正确的是()A.sin2APA+sin2BPB+sin2CPC=0B.sinAP

17、A+sinBPB+sinCPC=0C.tanAPA+tanBPB+tanCPC=0D.PA+PB+PC=0例例25.25.(20222022 辽宁辽宁 二模二模)已知点P为ABC的重心，AB=3，AC=6，A=23，点Q是线段BP的中点，则|AQ|为()A.2B.52C.3D.32例例26.26.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP=OA+(AB+AC)，0,+)，则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例例27.27.(20222022 宁夏石嘴山宁夏石嘴山 一模一模(理理

18、)已知 G 是 ABC 重心，若 AB=2，AC=10，则 AG BC 的值为()A.4B.1C.-2D.2例例28.28.(20222022 黑龙江黑龙江 哈九中高三开学考试哈九中高三开学考试(理理)数学家欧拉于 1765 年在其著作 三角形中的几何学 首次指出：ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是()A.AG BC-4=0.B.2GO=-GH C.AO BC+6=0D.OH=OA+OB+OC 例例29.29.(20222022 湖北省鄂州高中高三期末湖北省鄂州高中高三期

19、末)在ABC中，A=3，G为ABC的重心，若AG AB=AG AC=6，则ABC外接圆的半径为()A.3B.4 33C.2D.2 3例例30.30.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(理理)在ABC中，A=3，O为ABC的重心，若AO AB=AO AC=2，则ABC外接圆的半径为()A.33B.2 33C.3D.4 33例例31.31.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知ABC的三个内角分别为A,B,C,O为平面内任意一点，动点满足OP=OA+AB AB sinB+AC AC sinC ,0,+则动点P的轨迹一定经过ABC的()A.重心B.垂心C.内

20、心D.外心【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同，还需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点题型三：内心定理题型三：内心定理例例32.32.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若 O 在 ABC 所在的平面内，且满足以下条件 OA AC|AC|-AB|AB|=OB BC|BC|-BA BA =OC CA|CA|-CB|CB|=0，则O是ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心例例33.33.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知点O是平面上一定点，A，B

21、，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|(0，+)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例例34.34.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知 RtABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，I 是 ABC 的内心，P 是IBC内部(不含边界)的动点.若AP=AB+AC(，R)，则+的取值范围是_.例例35.35.(20222022 广西柳州广西柳州 高一期中高一期中)设 O 为 ABC 的内心，AB=AC=5，BC=8，AO=mAB+nBC m,nR，则m+n=_例例36.36.(20222022 全国全国

22、高三专题练习高三专题练习)ABC中，abc分别是BCACAB的长度，若aOA+bOB+cOC=O，则O是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例例37.37.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，AB=2AC，动点M满足AM(BC+AC)=0，则直线AM一定经过ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心例例38.38.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.ABC内一点M满足：aMA+bMB+cMC=0，则M一定为ABC的()A.外心B.重心C.垂心D.内心例例39.39.(2022202

23、2 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知O是ABC所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若PO=aPA+bPB+cPC a+b+c(其中P是ABC所在平面内任意一点)，则O点是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】角平分线定理：角平分线定理：若OA=a，OB=b，则AOB平分线上的向量OM 为a|a|+b|b|，由OM 决定角平分线定理证明：角平分线定理证明：令a|a|和b|b|分别为OA 和OB 方向上的单位向量，a|a|+b|b|是以a|a|和b|b|为一组邻边的平行四边形过 O点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故a|a

24、|+b|b|在AOB 平分线上，但 AOB 平分线上的向量OM 终点的位置由OM 决定当=1时，四边形OAMB构成以AOB=120的菱形题型四：外心定理题型四：外心定理例例40.40.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，AB=4，AC=3，A=3，点O为ABC的外心，若 AO=AB+AC，、R，则=_.例例41.41.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OB+OC 2+AB AB cosB+AC AC cosC ，(0，+)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A.重心B

25、.外心C.内心D.垂心例例42.42.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测)在ABC中，AB=2，AC=2 3，BC=4，点O为ABC的外心，则AO BC=_，P是三角形ABC外接圆圆心O上一动点，则PA PB+PC 的最小值为_.例例43.43.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设O为ABC的外心，若AO=AB+2AC，则sinBAC的值为 _.例例44.44.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，点O为ABC的外心，|AB|=6，则AB AO=_.例例45.45.(20222022 宁夏六盘山高级中学二模宁夏六盘山高级中学二模(

26、理理)已知ABC中，AB=AC=1，BC=2，点O是ABC的外心，则CO AB=_.例例46.46.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知在ABC中，AB=1，BC=6，AC=2，点O为ABC的外心，若AO=sAB+tAC，则有序实数对 s,t为_例例47.47.(20222022 浙江浙江 宁波诺丁汉附中模拟预测宁波诺丁汉附中模拟预测)在ABC中，点O、点H分别为ABC的外心和垂心，|AB|=5,|AC|=3，则OH BC=_.例例48.48.(20222022 河南河南 襄城县教育体育局教学研究室二模襄城县教育体育局教学研究室二模(文文)已知ABC的外心为O，若AB+

27、AC=2AO，且 OA=AB，则B=_.例例49.49.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在平面直角坐标系 xoy 中，OA=(1,3)，OB=(3,1)，OC=xOA+yOB(其中xR,yR).(1)若点C在直线AB上，且OC AB，求x,y的值.(2)若点C为OAB的外心，求点C的坐标.例例50.50.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设O为ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b=3，c=5，则OA BC=()A.8B.-8C.6D.-6例例51.51.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知ABC的外心为O，

28、2AC=5BC=10，则2OC AB=()A.11B.10C.20D.21例例52.52.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测(理理)在ABC中，ABC=3，O为ABC的外心，BA BO=2，BC BO=4，则BA BC=()A.2B.2 2C.4D.4 2例例53.53.(20222022 江苏江苏 华罗庚中学高三阶段练习华罗庚中学高三阶段练习)在ABC中，CA=2CB=4，F为ABC的外心，则CF AB=()A.-4B.4C.-6D.6例例54.54.(20222022 江西上饶江西上饶 二模二模(理理)已知ABC的外心为点O，M为边BC上的一点，且BM=2MC,BAC=3,AO

29、 AM=1，则ABC的面积的最大值等于()A.32B.3C.3 68D.3 64例例55.55.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，角B,C的边长分别为b,c，点O为ABC的外心，若b2+c2=2b，则BC AO 的取值范围是()A.-14,0B.0,2C.-14,+D.-14,2例例56.56.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知平面向量 OA，OB 满足 OA OB=0，OB=2，D 为线段 OA 上一点，E为AOB的外心，则OB DE 的值为()A.-2B.-43C.43D.2例例57.57.(20222022 全国全国 高三专题练

30、习高三专题练习)在 ABC 中，设 AC 2-AB2=2AM BC，那么动点 M 的轨迹必通过ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心.【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】外心定理：外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等(1)AO AB=12|AB|2，AO AC=12|AC|2；BO BC=12|BC|2；(2)AO AF=14|AB|2+14|AC|2，BO BE=14|AB|2+14|BC|2，CO CD=14|BC|2+14|AC|2；(3)AO BC=12|AC|2-12|AB|2，BO AC=12|BC|2-12|BA|2，CO AB=12|BC|2-12|AC|2题

31、型五：垂心定理题型五：垂心定理例例58.58.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知O为ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则角A的值为()A.34B.4C.23D.3例例59.59.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点 P满足OP=OA+AB AB cosB+AC AC cosC ，0,+，则点P的轨迹经过ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心例例60.60.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若 O 是 ABC 的垂心，A=3,sinBcosCAB+sinCco

32、sBAC=msinBsinCAO，则m=()A.1B.33C.3D.32例例61.61.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在 ABC 中，若 OA OB=OB OC=OC OA，则下列说法正确的是()A.O是ABC的外心B.O是ABC的内心C.O是ABC的重心.D.O是ABC的垂心例例62.62.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知点O为ABC所在平面内一点，且OA 2+BC2=OB 2+CA2=OC 2+AB2，则O一定为ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心例例63.63.(20222022 上海上海 高三专题练习高三专题练习)三角形AB

33、C所在平面内一点P满足PA PB=PB PC=PC PA，那么点P是三角形ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心例例64.64.(20222022 全 国全 国 高 三 专 题 练 习高 三 专 题 练 习)点 P 为 ABC 所 在 平 面 内 的 动 点，满 足 AP=tAB AB cosB+AC AC cosC ，t 0,+，则点P的轨迹通过ABC的()A.外心B.重心C.垂心D.内心例例65.65.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若H为ABC所在平面内一点，且 HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H是ABC的()A.重心B.外心C

34、.内心D.垂心例例66.66.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在 ABC 中，AB=AC，tanC=43，H 为 ABC 的垂心，且满足 AH=mAB+nBC，则m+n=_.【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】OA OB=OC OB OB(OA-OC)=0OB CA=0，即OB CA 奔驰定理与四心问题奔驰定理与四心问题【考点预测】【考点预测】一、一、四心的概念介绍：四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的

35、距离相等(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直二、二、奔驰定理奔驰定理-解决面积比例问题解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心坐标为Gx1+x2+x33，y1+y2+y33.注意：(1)在ABC中，若O为重心，则OA+OB+OC=0(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等重心的向量表示：AG=13AB+13AC 奔驰定理：SAOA+SBOB+SCOC=0，则AOB、AOC、BOC的面积之比等于3:2:1奔驰定理证明：如图，令1OA=OA1，2OB=OB1，3OC=OC

36、1，即满足OA 1+OB 1+OC 1=0SAOBSA1OB1=112，SAOCSA1OC1=113，SBOCSB1OC1=123，故SAOB:SAOC:SBOC=3:2:1.三、三、三角形四心与推论：三角形四心与推论：(1)O是ABC的重心：SBOC:SCOA:SA0B=1:1:1OA+OB+OC=0(2)O是ABC的内心：SB0C:SCOA:SAOB=a:b:cOA+OB+OC=0(3)O是ABC的外心：SB0C:SCOA:SAOB=sin2A:sin2B:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0(4)O是ABC的垂心：SB0C:SCOA:SAOB=tanA:tanB:

37、tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0l【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB+AC AC 所在的直线上.AB PC+BC PC+CA PB=0P为ABC的内心.(2)外心：PA=PB=PC P为ABC的外心.(3)垂心：PA PB=PB PC=PC PA P为ABC的垂心.(4)重心：PA+PB+PC=0P为ABC的重心.l【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：奔驰定理题型一：奔驰定理题型二：重心定理题型二：重心定理题型三：内心定理题型三：内心定理题型四：外心定理题型四：外心定理题型五：垂心定理题型五：垂心定理【典例例题】【典例例题】题型

38、一题型一:奔驰定理奔驰定理例例1.1.(多选题多选题)()(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 O 是 ABC 内的一点，BOC、AOC、AOB 的面积分别为 SA、SB、SC，则 SA OA+SB OB+SC OC=0.若 O 是锐角 ABC 内的一点，BAC、ABC、ACB 是 ABC 的三个内角，且点 O 满足OA OB=OB OC=OC OA，则()A.O为ABC的垂心B.AOB=-ACBC.OA

39、:OB:OC=sinBAC:sinABC:sinACBD.tanBACOA+tanABCOB+tanACBOC=0【答案】ABD【解析】首先可根据OA OB=OB OC 得出OB CA，用相同的方式得出OA CB、OC AB，即可得出A正确，然后作辅助线，根据BAO=90-ABC、ABO=90-BAC即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出OAsinABO=OBsinBAO，即OAOB=cosBACcosABC，用相同的方式得出OBOC=cosABCcosACB，即可得出C错误，最后结合解三角形面积公式以及B项得出SA、SB、SC，根据“奔驰定理”得出sinBACOA OA+sinABCOB O

40、B+sinACBOC OC=0，结合C项即可得出D正确.【详解】A项：OA OB=OB OC，即OA OB-OB OC=0，OB OA-OC=0，OB CA=0，OB CA，同理可得OA CB，OC AB，故O为ABC的垂心，A正确；B：如图，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E，延长CO交AB于点F，因为OA CB，所以ADB=90，BAO=90-ABC，因为OB CA，所以BEA=90，ABO=90-BAC，则AOB=-ABO-BAO=-90-BAC-90-ABC=BAC+ABC=-ACB，B正确；C项：在AOB中，由正弦定理易知OAsinABO=OBsinBAO，因为BAO=90-

41、ABC，ABO=90-BAC，所以OAsin 90-BAC=OBsin 90-ABC，即OAcosBAC=OBcosABC，OAOB=cosBACcosABC，同理可得OBOC=cosABCcosACB，故 OA:OB:OC=cosBAC:cosABC:cosACB，C错误；D项：AOB=-ACB，同理可得AOC=-ABC，BOC=-BAC，则SA=12 OB OC sinBOC=12 OB OC sin-BAC=12 OB OC sinBAC=12 OA OB OC sinBACOA，同理可得SB=12 OA OB OC sinABCOB，SC=12 OA OB OC sinACBOC，因为

42、SAOA+SBOB+SCOC=0，所以将SA、SB、SC代入，可得sinBACOA OA+sinABCOB OB+sinACBOC OC=0，因为 OA:OB:OC=cosBAC:cosABC:cosACB，所以sinBACOA:sinABCOB:sinACBOC=tanBAC:tanABC:tanACB，故tanBACOA+tanABCOB+tanACBOC=0成立，D正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、解三角形面积公式、同角三角函数关系以及向量的相关运算，考查向量垂直的相关性质，考查学生对“奔驰定理”的理解与应用，考查化归与转化思想，考查数形结合思想，是难题.例例2.

43、2.(多选题多选题)()(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有()A.若动点P满足OP=OA+AB AB sinB+AC AC sinC (0)，则动点P的轨迹一定经过ABC的垂心；B.若OA AC AC-AB AB =OB BC BC-BA BA =0，则点O为ABC的内心；C.若(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0，则点O为ABC的外心；D.若动点P满足OP=OA+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC(0)，则动点P的轨迹一定经过ABC的重心.【答案】BC【解析】A由正弦定理知|AB|sinB=|AC|sinC=m，

44、且OP-OA=AP，代入已知等式得AB+AC=mAP，即知P的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设O为ABC的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由OP-OA=AP，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求AP BC 的值，即知P的轨迹一定经过的哪种心；【详解】A：由正弦定理知|AB|sinB=|AC|sinC=m，而OP-OA=AP，所以AB+AC=mAP，即动点P的轨迹一定经过ABC的重心，故错误.B：若O为ABC的内心，如下图示：OA AC|AC|=-|AE|，同理OA AB|AB|=-|AD|，OB BC|BC|=-|BF|，OB B

45、A|BA|=-|BD|，OA AC AC-AB AB =OA AC|AC|-OA AB|AB|=|AD|-|AE|=0，OB BC BC-BA BA =OB BC|BC|-OB BA|BA|=|BD|-|BF|=0，故正确；C：若O为ABC的外心，D,E分别为AB,BC的中点，则OA+OB=2OD，而OD AB=0，同理OB+OC=2OE，又OE BC=0，故(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0，正确；D：由OP-OA=AP，故AP BC=AB BC|AB|cosB+AC BC|AC|cosC=-|BC|+|BC|=0，即AP BC，动点P的轨迹一定经过ABC的垂心，错误.故选：BC【点

46、睛】关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，或假设O为ABC的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立.例例3.3.(多选题多选题)()(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SAOA+SBOB+SCOC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若 O、P 是锐角 ABC

47、 内的点，A、B、C 是 ABC 的三个内角，且满足 PA+PB+PC=13CA，OA OB=OB OC=OC OA，则()A.SPAB:SPBC:SPCA=4:2:3B.A+BOC=C.OA:OB:OC=cosA:cosB:cosCD.tanAOA+tanBOB+tanCOC=0【答案】ABCD【解析】PA+PB+PC=13CA 变形后表示为PB=-23PA-43PC，再由奔驰定理得出向量PB,PA,PC 的关系，利用平面向量基本定理判断A，利用数量积的运算，变形后证明O是ABC的重心，由平面几何知识判断B，利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B的结论可证明C，求出AOB,BOC,

48、COA的面积，利用选项B的结论转化，再利用选项C的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D【详解】因为PA+PB+PC=13CA，所以PA+PB+PC=13(PA-PC)，即23PA+PB+43PC=0，所以PB=-23PA-43PC，又由奔驰定理SPBCPA+SPCAPB+SPABPC=0得PB=-SPBCSPCAPA-SPABSPCAPC，因为PA,PC 不共线，所以-SPBCSPCA=-23,-SPABSPCA=-43，所以SPAB:SPBC:SPCA=4:2:3，A正确；延长AO,BO,CO分别与对边交于点D,E,F，如图，由OA OB=OB OC 得OB(OA-OC)=OB CA=0

49、，所以OBAC，同理OCAB,OABC，所以O是ABC的垂心，所以四边形AEOF中BAC+EOF=，EOF=BOC，所以A+BOC=，B正确；由OA OB=OB OC=OC OA 得 OA OB cosAOB=OB OC cosBOC=OC OA cosAOC，所以 OA:OB:OC=cosBOC:cosAOC:cosAOB，由选项B得cosBOC=-cosA，cosAOC=-cosB，cosAOB=-cosC，所以 OA:OB:OC=cosA:cosB:cosC，C正确；由上讨论知，SOBC=12OBOCsinBOC=12OBOCsinA，SOAC=12OAOCsinAOC=12OAOCsi

50、nBSOAB=12OAOBsinAOB=12OAOBsinC，所以SOBC:SOAC:SOAB=sinAAO:sinBOB:sinCOC，又由选项C：OA:OB:OC=cosA:cosB:cosC，得SOBC:SOAC:SOAB=sinAcosA:sinBcosB:sinCsinC=tanA:tanB:tanC，由奔驰定理：SAOA+SBOB+SCOC=0得tanAOA+tanBOB+tanCOC=0，D正确故选：ABCD例例4.4.(多选题多选题)()(20222022 浙江浙江 高三专题练习高三专题练习)如图，已知点 G为 ABC的重心，点 D，E 分别为 AB，AC 上的点，且 D，G，