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1、学习必备 欢迎下载 20XX年全国中考数学压轴题精选精析（二）13.（09 年广东茂名）25（本题满分 10 分）已 知：如 图，直 线l：13yxb，经 过 点104M，一 组 抛 物 线 的 顶 点112233(1)(2)(3)()nnByByByB ny，（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：11223311(0)(0)(0)(0)nnA xA xA xAx，（n为正整数），设101xdd（）（1）求b的值；（2 分）（2）求经过点112ABA、的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）（4 分）（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角
2、形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”探究：当01dd（）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值（4 分）（09 年广东茂名 25 题解析）解：（1）104M，在13yxb上，11043b ，14b 2 分 （2）由（1）得：1134yx，11(1)By，在l上，当1x 时，111713412y ，17112B，3 分 解法一：设抛物线表达式为：27(1)(0)12ya xa，4 分 又1xd，1(0)A d，270(1)12a d，2712(1)ad，5 分 （第 25 题图）y O M x n l 1 2 3 1B 2B 3B nB 1A 2A3A 4A
3、nA 1nA 学习必备 欢迎下载 经过点112ABA、的抛物线的解析式为：2277(1)12(1)12yxd 6 分 解法二：1xd，1(0)A d，2(20)Ad，设()(2)(0)ya xdxda，4 分 把17112B，代入：7(1)(12)12add，得2712(1)ad，5 分 抛物线的解析式为27()(2)12(1)yxdxdd 6 分 （3）存在美丽抛物线 7 分 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又01d，等腰直角三角形斜边的长小于 2，等腰直角三角形斜边上的高必小于 1，即抛物线的顶点
4、的纵坐标必小于 1 当1x 时，1117113412y ，当2x 时，21111213412y ，当3x 时，3111311344y ，美丽抛物线的顶点只有12BB、8 分 若1B为顶点，由17112B，则7511212d ；9 分 若2B为顶点，由211212B，则11111211212d ，综上所述，d的值为512或1112时，存在美丽抛物线 10 分 14.（09 年广东梅州）23本题满分 11 分 y O M x n l 1 2 3 1B 2B 3B nB 1A 2A3A 4AnA 1nA 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解
5、析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形）如图 1
6、2，已知直线L过点(0 1)A，和(1 0)B，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M （1）直接写出直线L的解析式；（2）设OPt，OPQ的面积为S，求S关于 t 的函数关系式；并求出当02t 时，S的最大值；（3）直线1L过点A且与x轴平行，问在1L上是否存在点C，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由 （09 年广东梅州 23 题解析）（1）1yx 2 分（2）OPt，Q点的横坐标为12t，当1012t，即02t 时，112QMt，11122OPQStt 3 分 当2t时，111122QMtt，111
7、22OPQStt 11102221112.22tttSttt ，4 分 当1012t，即02t 时，211111(1)2244Sttt，L A O M P B x y L1 图 12 Q 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜
8、边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 当1t 时，S有最大值14 6 分（3）由1OAOB，所以OAB是等腰直角三角形，若在1L上存在点C，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQQC，所以OQQC，又1Lx轴，则C，O两点关于直线L对称，所以1ACOA，得(11)C，7 分 下证90PQC 连CB，则四边形OACB是正方形 法一：（i）当点P在线段OB上，Q在线段AB上（Q与BC、不重合）时，如图 1 由对称
9、性，得BCQQOPQPOQOP ，180QPBQCBQPBQPO ，360()90PQCQPBQCBPBC 8 分（ii）当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图 2，如图 3 12QPBQCB ，90PQCPBC 9 分 （iii）当点Q与点B重合时，显然90PQC 综合（i）（ii）（iii），90PQC 在1L上存在点(11)C，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形 11 分 法二：由1OAOB，所以OAB是等腰直角三角形，若在1L上存在点C，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQQC，所以OQQC，又1Lx轴，则C，O两点关于直线L对称，所以1ACOA，得(
10、11)C，7 分 L A O P B x y L1 23 题图-1 Q C L A O P B x L1 23 题图-2 Q C 2 1 y y L A O P B x L1 23 题图-3 Q C 2 1 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛
11、物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 延长MQ与1L交于点N （i）如图 4，当点Q在线段AB上（Q与AB、不重合）时，四边形OACB是正方形，四边形OMNA和四边形MNCB都是矩形，AQN和QBM都是等腰直角三角形 90NCMBMQNQANOMQNCQMB，又OMMP，MPQN，QNCQMP，MPQNQC，又90MQPMPQ ，90MQPNQC 90CQP 8 分（ii）当点Q与点B重合时，显然90
12、PQC 9 分 （iii）Q在线段AB的延长线上时，如图 5，BCQMPQ，1=2 90CQPCBM 综合（i）（ii）（iii），90PQC 在1L上存在点(11)C，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形 11分 法三：由1OAOB，所以OAB是等腰直角三角形，若在1L上存在点C，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQQC，所以OQQC，又1Lx轴，L A O P B x y L1 23 题图-1 Q C 23 题图-4 L A O M P B x y L1 Q C N y L A O P B x L1 23 题图-5 Q C 2 1 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与
13、轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 则C，O 两
14、点关于直线L对称，所以1ACOA，得(11)C，9 分 连PC，|1|PBt，12OMt，12tMQ ，22222(1)122PCPBBCttt ，2222222211222tttOQOPCQOMMQt 222PCOPQC，90CQP 10 分 在1L上存在点(11)C，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形 11分 15.（09 年广东清远）28如图 9，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为 8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点AB、不重合），过点M作MNBC，交AC于点N，在AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h（1）请你用含x的代数式表示h（2）将AMN
15、沿MN折叠，使AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为1A，1AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？（09 年广东清远 28 题解析）解：（1）MNBC AMNABC 68hx 34xh 3 分（2）1AMNAMN 1AMN 的边MN上的高为h，当点1A落在四边形BCNM内或BC边上时，1AMNyS=211332248MN hxxx（04x）4 分 当1A落在四边形BCNM外时，如下图(48)x，设1AEF的边EF上的高为1h，B C N M A 图 9 M N C B E F A 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是
16、为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 则132662hhx 11EFM
17、NAEFAMN 11AMNABCAEFABC 1216AEFShS ABC 16 8242ABCS 2236322 41 22 462EFxSxx1A 1122233912241224828AMNAEFySSxxxxx 所以 291224(48)8yxxx 6 分 综上所述：当04x 时，238yx，取4x，6y最大 当48x 时，2912248yxx，取163x，8y最大 86 当163x 时，y最大，8y最大 8 分 16.（09 年广东汕头）24（本题满分 12 分）正方形ABCD边长为 4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtR
18、tABMMCN；（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时RtRtABMAMN，求x的值 （09年 广 东 汕 头24题 解 析）解：（1）在 正 方 形ABCD中，49 0A BB CC DBC，AMMN，90AMN，90CMNAMB 在RtABM中，90MABAMB，CMNMAB，N D A CD B M 第 24 题图 N D A CB M 答案 24 题图 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示
19、分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 RtRtABMMCN 3 分（2）RtRtABMMCN，44ABBMxMCCNxCN，24
20、4xxCN，5 分 22214114 428(2)102422ABCNxxySxxx 梯形，当2x 时，y取最大值，最大值为 10 7 分（3）90BAMN ，要使ABMAMN，必须有AMABMNBM，9 分 由（1）知AMABMNMC，BMMC，当点M运动到BC的中点时，ABMAMN，此时2x 12 分（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）17.（09 年广东深圳）23（本题 10 分）已知：RtABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB 与 x 轴重合（其中 OA0，n0），连接 DP 交 BC 于点 E。当BDE 是等腰三角形时，直
21、接写出此时点 E 的坐标。（3 分）又连接 CD、CP（如图 13），CDP 是否有最大面积？若有，求出CDP 的最大面积和此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由。（3 分）图 11 图 12 654321-1-2-3-4-5-6-8-6-4-224681012E1E3E2CDBAO图 13 654321-1-2-3-4-6-4-22468MCDBAOP点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分
22、第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 （09 年广东深圳 23 题解析）（1）由 RtAOCRtCOB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求 OA=1,OB=4 A(-1,0)B(4,0)C(0,2)可设解析式为 y=a(x+1)(x-4),将
23、点 C(0,2)代入，可求 a=12 213222yxx 为所求（2）11(3,)2E；24 8(,)5 5E 342(45,5)55E提示：直线 BC 的解析式为122yx 设(,)E x y，利用勾股定理和点(,)E x y在直线 BC 上，可得两个方程组222122(2)2yxxy 222122(4)2yxxy 分别可求2E和3E（3）过 D 作 X 轴的垂线，交 PC 于 M，易求 PC 的解析式为22nyxm，且24(2,2)nMm，故 221()()21124(2)22213(2)2221522CDPCDMDMPPCMDPMSSSxxyynxymmnmmmmmm 故，当52m 时，
24、258CDPS最大值，5 21(,)28P 18.（09 年广东湛江）28已知矩形纸片OABC的长为 4，宽为 3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建 立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA、不重合），现将POC沿PC翻折 得到PEC，再在AB边上选取适当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得 直线PEPF、重合（1）若点E落在BC边上，如图，求点PCD、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图，设OPxADy，当x为何值时，y取得最大值？点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛
25、物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载（3）在（1）的情况下，过点PCD、三点的抛物线上是否存在点Q，
26、使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 （09 年广东湛江 28 题解析）解：（1）由题意知，POCPAD、均为等腰直角三角形，可得(3 0)(0 3)(41)PCD，、，、，2 分 设过此三点的抛物线为2(0)yaxbxc a，则39301641cabcabc 12523abc C y E B F D A P x O 图 A B D F E C O P x y 图 第 28 题图 C y E B F D A P x O 图 A B D F E C O P x y 图 第 28 题图 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设
27、求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 过PCD、三点的抛物线的函数关系式为215
28、322yxx 4 分（2）由已知PC平分OPEPD，平分APF，且PEPF、重合，则90CPD 90OPCAPD ，又90APDADP OPCADP RtRtPOCDAP OPOCADAP，即34xyx 6 分 2211414(4)(2)(04)33333yxxxxxx 当2x 时，y有最大值43 8 分（3）假设存在，分两种情况讨论：当90DPQ 时，由题意可知90DPC，且点C在抛物线上，故点C与点Q重合，所求的点Q为（0，3）9 分 当90DPQ 时，过点D作平行于PC的直线DQ，假设直线DQ交抛物线于另一点Q，点(3 0)0 3PC，、(，)，直线PC的方程为3yx ，将直线PC向上平
29、移 2 个单位与直线DQ重合，直线DQ的方程为5yx 10 分 由2515322yxyxx 得16xy 或41xy 又点(4 1)(16)DQ，故该抛物线上存在两点(0 3)(16)Q，、，满足条件 12 分 y x A B E C Q O P D F（Q）第 28 题图 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式
30、为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分 19（09 年广东肇庆）25（本小题满分 10 分）如图 9，O的直径2 ABAM，和BN是它的两条切线，DE切O于 E，交 AM 于 D，交 BN 于 C设ADxBCy，（1）求证：AMBN；（2）求y关于x的关系式；（3）求四边形ABCD的面积 S，
31、并证明：2S （09 年广东肇庆 25 题解析）（1）证明：AB 是直径，AM、BN 是切线，AMABBNAB，AMBN （2 分）解：（2）过点 D 作 DFBC于 F，则ABDF 由（1）AMBN，四边形ABFD为矩形.2DFAB，BFADx （3 分）DE、DA，CE、CB 都是切线，根据切线长定理，得 DEDAx，CECBy （4 分）在RtDFC中，2DFDCDECExyCFBCBFyx ，222()2()xyyx，（5 分）化简，得1(0)yxx （6 分）（3）由（1）、（2）得，四边形的面积111()222SAB ADBCxx ，即1(0)Sxxx （8 分）2111220 x
32、xxxxx ，当且仅当1x 时，等号成立 12xx，即2S （10 分）O A D E M C B N 图 9 O A D E M C B N 图 9 F 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵
33、坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 第22题图NMDCBA20.（09 年广东）22.正方形 ABCD 边长为 4，M、N分别是 BC、CD上的两个动点，当 M点在BC上运动时，保持 AM和 MN垂直，（1）证明：RtABM RtMCN；（2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M点运动到什么位置时，四边形 ABCN 的面积最大，并求出最大面积；（3）当 M点运动到什么位置时 RtABM RtAMN，求此
34、时 x 的值.（09年广东 22题解析）（1）证明：四边形ABCD 是正方形，B=C=90，ABM+BAM=90 ABM+CMN+AMN=180，AMN=90 AMB+CMN=90 BAM=CMN RtABM RtMCN（2）RtABM RtMCN，AB=MCBMCN，即44-xxCN解得：(4)4xxCN 1=CN+ABBC2S梯形 1(4)y=4424xx,即：1282yxx 又2211128=-4448210222yxxxxx 当 x=2 时，y 有最大值 10.当 M点运动到 BC的中点时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积是 10.（3）RtABM RtMCN，ABBMAMMN，
35、即 222416444xxxxx 化简得：21620 xx，解得：x=2 当 M点运动到 BC的中点时 RtABM RtAMN，此时 x 的值为 2.21.（09 年广西来宾）26（本小题满分 12 分）当 x2 时，抛物线 yax2bxc 取得最小值1，并且抛物线与 y 轴交于点 C（0，3），与 x 轴交于点 A、B （1）求该抛物线的关系式；（2）若点 M（x，y1），N（x1，y2）都在该抛物线上，试比较 y1与 y2的大小；（3）D 是线段 AC 的中点，E 为线段 AC 上一动点（A、C 两端点除外），过点 E 作 y轴的平行线 EF 与抛物线交于点 F问：是否存在DEF 与AOC
36、 相似？若存在，求出点 E的坐标；若不存在，则说明理由 A B C D O x y E F 3（第 26 题图）点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分
37、若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 （09 年广西来宾 26 题解析）解：（1）由题意可设抛物线的关系式为 ya(x2)21 1 分 因为点 C（0，3）在抛物线上 所以 3a(02)21，即 a1 2 分 所以，抛物线的关系式为 y(x2)21x24 x3 3 分（2）点 M（x，y1），N（x1，y2）都在该抛物线上 y1y2（x24 x3）(x1)24(x1)332 x 4 分 当 32 x0，即23x时，y1y2 5 分 当 32 x0，即23x时，y1y2 6 分 当 32 x0，即
38、23x时，y1y2 7 分（3）令 y0，即 x24 x30，得点 A（3,0），B（1,0），线段 AC 的中点为 D（23,23）直线 AC 的函数关系式为 yx3 8 分 因为OAC 是等腰直角三角形，所以，要使DEF 与OAC 相似，DEF 也必须是等腰直角三角形由于 EFOC，因此DEF45，所以，在DEF 中只可能以点 D、F为直角顶点 当 F 为直角顶点时，DFEF，此时DEFACO，DF 所在直线为23y 由23342 xx，解得2104x，32104x（舍去）9 分 将2104x代入 yx3，得点 E（2104，2102）10 分 当 D 为直角顶点时，DFAC，此时DEFO
39、AC，由于点 D 为线段 AC 的中点，因此，DF 所在直线过原点 O，其关系式为 yx 解 x24 x3x，得2135x，32135x（舍去）11 分 将2135x代入 yx3，得点 E（2135，2131）12 分 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三
40、角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 22.（09 年广西崇左）25（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(0 2)A，点(10)C，如图所示：抛物线22yaxax经过点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点
41、P的坐标；若不存在，请说明理由 （09 年广西崇左 25 题解析）（1）过点B作BDx轴，垂足为D，9090BCDACOACOCAO ，BCDCAO；1 分 又90BDCCOACBAC ；，BCDCAO，2 分 12BDOCCDOA，3 分 点B的坐标为(31)，；4 分（2）抛物线22yaxax经过点(31)B，则得到1932aa，5 分 解得12a，所以抛物线的解析式为211222yxx；7 分（3）假设存在点P，使得ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：若以点C为直角顶点；则延长BC至点1P，使得1PCBC，得到等腰直角三角形1ACP，8 分 A B C D O x y E F 3
42、（第 26 题图）A B C D O x y E F 3（第 26 题图）B A C x y（0，2）（1，0）（第 25 题）B A D C O M N x y P1 P2 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小
43、于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 过点1P作1PMx轴，11190CPBCMCPBCDPMCBDC ，；1MPCDBC 10 分 121CMCDPMBD，可求得点1P(1，-1)；11 分 若以点A为直角顶点；则过点A作2APCA，且使得2APAC，得到等腰直角三角形2ACP，12分 过点2P作2P Ny轴，同理可证2AP NCAO；13 分 221NPOAANOC，可求得点2(2 1)P，；14 分 经检验，点1(11)P，与
44、点2(2 1)P，都在抛物线211222yxx上 16 分 23.（09 年广西桂林）26（本题满分 12 分）如图，已知直线3:34l yx，它与x轴、y轴的交点 分别为 A、B 两点（1）求点 A、点 B 的坐标；（2）设 F 是x轴上一动点，用尺规作图作出P，使P 经过点 B 且与x轴相切于点 F（不写作法和证明，保留作图痕迹）；（3）设（2）中所作的P 的圆心坐标为 P（xy，），求y与x的函数关系式；（4）是否存在这样的P，既与x轴相切又与直线l相切于点 B，若存在，求出圆心 P的坐标；若不存在，请说明理由 （09 年广西桂林 26 题解析）解（1）A（4，0），B（0，3）2 分（
45、每对一个给 1 分）（2）满分 3 分其中过 F 作出垂线 1 分，作出 BF 中垂线 1 分，找出圆心并画出P 给 1分 （注：画垂线 PF 不用尺规作图的不扣分）（3）过点 P 作 PDy轴于 D，则 PD=x，BD=3y，6 分 x A BV F O y 第 26 题图 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解
46、析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 PB=PF=y，BDP 为直角三形，222PBPDBD 222BPPDBD 7 分 即2223yxy 即222(3)yxy y与x的函数关系为21362yx 8 分（4）存在 解法 1：P 与x轴相切于点 F，且与直线l相切于点 B ABAF 9 分 22225ABOAOB 225AF AF=4
47、x ，22(4)5x 10 分 19xx 或 11 分 把19xx 或代入21362yx，得5153yy或 点 P 的坐标为（1，53）或（9，15）12分 24.（09年广西河池）26(本小题满分 12 分)如图 12，已知抛物线243yxx交x轴于 A、B 两点，交y轴于点 C，抛物线的对称轴交x轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的对称轴及点 A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点 P，与 A、B、C 三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D，在抛物线上是否存在点 M，使得直线 C
48、M 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线 CM 的解析式；若不存在，请说明理由 y x O A B D P F O D B C A x y E 图 12 点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又分第题图学习必备欢迎下载经过点的抛物线的解析式为分解法二设分把代入得分抛物线的解析式为分存在美丽抛物线分由抛物线的对称性可知所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直三角形斜边上的高必
49、小于即抛物线的顶点的纵坐标必小于当时当时当时美丽抛物线的顶点只有分若为顶点由则分若为顶点由则综上所述的值为或时存在美丽抛物线分年广东梅州本题满分分学习必备欢迎下载提示为了方便答题和评卷学习必备 欢迎下载 （09 年广西河池 25 题解析）（1）对称轴422x （2 分）当0y 时，有2430 xx 解之，得 11x ，23x 点 A的坐标为（3，0）（4 分）（2）满足条件的点 P 有 3 个，分别为（2，3），（2，3），（4，3）（7 分）（3）存在 （8 分）当0 x 时，2433yxx 点 C 的坐标为（0，3）DEy轴，AO3，EO2，AE1，CO3 AEDAOC AEDEAOCO
50、即 133DE DE1 （9 分）DEOCS梯形1(13)22 4 在 OE 上找点 F，使 OF43，此时COFS14323 2，直线 CF 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分，交抛物线于点 M （10 分）设直线 CM 的解析式为3ykx，它经过点403F，则4303k （11 分）解之，得 94k 直线 CM 的解析式为 934yx（12 分）点为正整数依次是直线上的点这组抛物线与轴正半轴的交点依次是为正整数设求的值分求经过点的抛物线的解析式用含的代数式表示分定义若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形则这种抛物线就称为美丽抛物线由得在上当时分解法一设抛物线表达式为分又