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1、学习必备 欢迎下载 20XX 年全国中考数学压轴题全解全析 21、（湖南郴州卷）已知抛物线2y ax bx c 经过5 3(3 3)02P E，及原点(0 0)O，（1）求抛物线的解析式（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC（如图）是否存在点Q，使得OPC 与PQB 相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPC PQB OQP OQA，
2、之间存在怎样的关系？为什么？解（1）由已知可得：3 3 375 5 304 20a ba bc 解之得，2 5 303 3a b c，因而得，抛物线的解析式为：22 5 33 3y x x（2）存在 设Q点 的 坐 标 为()m n，则22 5 33 3n m m，要 使O C P P B Q，则 有3 333n m，即22 5 3333 333m mm，解之得，1 22 3 2 m m，当13 m 时，2 n，即为P点，所以得(2 3 2)Q，要使OCP QPB，则有3 333n m，即22 5 3333 333m mm E A Q B P C O y x 学习必备 欢迎下载 解之得，1 2
3、3 3 3 m m，当3 m 时，即为P点，当13 3 m 时，3 n，所以得(3 3 3)Q，故存在两个Q点使得OCP 与PBQ 相似 Q点的坐标为(2 3 2)(3 3 3)，（3）在Rt OCP 中，因为3tan3CPCOPOC 所以30 COP 当Q点的坐标为(2 3 2)，时，30 BPQ COP 所以90 OPQ OCP B QAO 因此，OPC PQB OPQ OAQ，都是直角三角形 又在Rt OAQ 中，因为3tan3QAQOAAO 所以30 QOA 即有30 POQ QOA QPB COP 所以OPC PQB OQP OQA，又因为QP OP QA OA，30 POQ AOQ
4、，所以OQA OQP 点评 本题是一道涉及函数、相似、三角等知识的综合题，解决第 3 题的关键在于通过观察得出对结果的合理猜想在进行证明，难度应该不会很大。22、（湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线23 2 333 3y x x 的图象与x轴分别交于A B，两点，与y轴交于C点，M经过原点O及点A C，点D是劣弧OA上一动点（D点与A O，不重合）（1）求抛物线的顶点E的坐标；（2）求M的面积；（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使2 FG，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M相切，并请说明理由 解（1）抛物线23 2 333 3y x x 23 32 1 33 3x x y E C M A
5、 F G D O x B 行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长
6、至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 23 4 313 3x E 的坐标为4 313，（说明：用公式求E点的坐标亦可）（2）连AC；M过90 A O C AOC，AC 为O的直径 而3 3 OA OC，32ACr 23MS r（3）当点D运动到OA的中点时，直线GA与M相切 理由：在Rt ACO 中，3 3 OA OC，3tan 33ACO 60 30 ACO CAO，点D是OA的中点 AD DO 30 ACG DCO tan30 1 OF OC，60 CFO 在GAF 中，2 2 AF FG，60 AFG CFO AGF 为等边三角形 60 GAF 90 CAG GAF C
7、AO 又AC为直径，当D为OA的中点时，GA为M的切线 点评 本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第 3 小问时可以先自己作图来确定 D 点的位置。y E C M A F G D O x B 行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时
8、所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 23、（湖南永州卷）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于M N，两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线CE AD，垂足为E，交大圆于F H，两点（1）试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由（2）求证：FC CH AE AO（3）若FC CH，是方程22 5 4 0 x x 的两根（CH CF），求图中阴影部分
9、图形的周长 解（1）相等 连结OC，则CO AB，故AC BC（2）由ACH FCB，得2AC CB FC CH AC，又由ACE AOC，得2AC AE AO FC CH AE AO（3）解方程得：5 1 CH，5 1 CF，5(5 1)1 CE，24 2 AC AC，在Rt ACE 中，1sin2CEAAC，30 A，60 120 AOC CON，在ACO 中，3 2tan 2 33 3CO AC A，4 3sin 60 3ACAO，4 3 2 3 2 33 3 3AM AO OM，弧CN长1 4 323 9，2 3 2 32 2 2 33 3AN AM OC，阴影部分周长4 32 2 3
10、9AC AN CN 点评 本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识。A B C D E O N H M F 行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线
11、的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 24、（湖南张家界卷）在平面直角坐标系内有两点 2 0 A，102B，CB所在直线为2 y x b，（1）求b与C的坐标（2）连结AC，求证：AOC COB（3）求过A，B，C三点且对称轴平行于y轴的抛物线解析式（4）在抛物线上是否存在一点P（不与C重合），使得ABP ABCS S，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由 解（1）以102B，代入2 y x b 12 02b 得：1 b 则有(0 1)C，（2）OC AB 12
12、OB OCOC OA A O C C O（3）设抛物线的解析式为2y ax bx c，以三点的坐标代入解析式得方程组：221 1012 23(2)(2)0211a b caa b c bcc 所以2312y x x（4）假设存在点()P x y，依题意有1|211|2ABPABCAB ySSAB OC，得：|1 y OC 当1 y 时，有231 12x x 即232 02x x 解得：1 23 414x，y 1 A O B 1 x C 行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若
13、存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 当1 y 时，有231 12x x，即2302x x 解得：30 x（舍去），432x 存在满足条件的点P，它的坐标为：3 3 4
14、1 3 411 1 12 4 4，点评 此题综合性较强，4 个小题的坡度设置较好，区分度也把握地很好，是道考查学生初中三年学习成果的好题，第 4 小题中不要忘了绝对值，否则会导致少解。25、（吉林课改卷）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子动点P，Q同时从点A出发，点P沿A B C 方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A D 方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y（1）当0 1 x 时，求y与x之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；（3）当1 2 x 时，求y与x之间的函
15、数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ 的变化范围；（4）当0 2 x 时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象 解（1）当0 1 x 时，2 AP x，AQ x，212y AQ AP x，即2y x（2）当12ABCD ABPQS S 正方形 四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，2 2 BP x，AQ x，21 12 2 2 22 2x x，43x（3）当413x 时，2 AB，2 2 PB x，AQ x，2 22 3 22 2AQ BP x xy AB x，B C P O D Q A B P C O D Q A y 3 2 1 O 1 2 x 行于轴的直线交轴于点在抛物线对
16、称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载
17、即3 2 y x 作OE AB，E为垂足 当423x 时，2 2 BP x，AQ x，1 OE，BEOP OEAQy S S 梯形 梯形1 2 2 11 12 2x x 32x，即32y x 90 180 POQ 或180 270 POQ（4）如图所示：点评 本题是一道颇有创新的动态问题，主要考查函数和几何知识，读懂和领悟题意是关键，综观近几年的重考数学试题。这类题的出现频率呈上升趋势，应予以关注 26（吉林长春课改卷）如图，正方形ABCD的顶点A B，的坐标分别为 010 8 4，顶点C D，在第一象限 点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点 4 0 E，出发，沿x轴正
18、方向以相同速度运动当点P到达点C时，P Q，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒（1）求正方形ABCD的边长（2）当点P在AB边上运动时，OPQ 的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示），求P Q，两点的运动速度（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标（4）若点P Q，保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，OPQ 的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，OPQ 的大小随着时间t的增大而减小 当点P沿着这两边运动时，使90 OPQ 的点P有 个 3 2 1 O 1 2 x y 43 行于轴的直线
19、交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学
20、习必备 欢迎下载（抛物线 20 y ax bx c a 的顶点坐标是242 4b ac ba a，解（1）作BF y 轴于F 010 8 4 A B，8 6 FB FA，10 AB（2）由图可知，点P从点A运动到点B用了 10 秒 又1010 10 1 AB，P Q，两点的运动速度均为每秒 1 个单位（3）方法一：作PG y 轴于G，则PG BF GA APFA AB，即6 10GA t 35GA t 3105OG t 4 OQ t，1 1 34 102 2 5S OQ OG t t 即23 192010 5S t t 1919532 3210ba，且190 103，当193t 时，S有最大值
21、 此时4 76 3 31105 15 5 5GP t OG t，图 y D A C P B O E Q x 图 O 10 t 20 28 s 行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如
22、图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 点P的坐标为76 3115 5，（8 分）方法二：当5 t 时，1 637 92 2OG OQ S OG OQ，设所求函数关系式为220 S at bt 抛物线过点 6310 28 52，100 10 20 286325 5 20.2a ba b，31019.5ab，23 192010 5S t t 1919532 3210ba，且190 103，当193t 时，S有最大值 此时76 3115 5GP OG，点P的坐标为76
23、 3115 5，（4）2 点评 本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不
24、会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 27、（山东青岛课改卷）如图，有两个形状完全相同的直角三角形 ABC 和 EFG 叠放在一起（点 A 与点 E 重合），已知 AC 8cm，BC 6cm，C 90，EG 4cm，EGF 90，O 是 EFG 斜边上的中点 如图，若整个 EFG 从图的位置出发，以 1cm/s 的速度沿射线 AB 方向平移，在 EFG 平移的同时，点 P 从 EFG 的顶点 G 出发，以 1cm/s 的速度在直角边 GF
25、上向点 F运动，当点 P 到达点 F 时，点 P 停止运动，EFG 也随之停止平移设运动时间为 x（s），FG 的延长线交 AC 于 H，四边形 OAHP 的面积为 y（cm2)（不考虑点 P 与 G、F 重合的情况）（1）当 x 为何值时，OP AC?（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形 OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13 24？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142 12996，1152 13225，1162 13456 或 4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）解（
26、1）Rt EFG Rt ABC，BCFGACEG，6 84 FG FG86 4 3cm 当 P 为 FG 的中点时，OP EG，EG AC，OP AC x 121FG21 3 1.5（s）当 x 为 1.5s 时，OP AC（2）在 Rt EFG 中，由勾股定理得：EF 5cm EG AH，EFG AFH FHFGAFEFAHEG FH x AH355 4 AH54（x 5），FH53（x 5）过点 O作 OD FP，垂足为 D 点 O 为 EF 中点，行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否
27、存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 OD21EG 2cm FP 3 x，S四边形 OAHP S AFH S OFP 21AHFH21OD FP 21
28、54（x 5）53（x 5）21 2（3 x）256x2517x 3（0 x 3）（3）假设存在某一时刻 x，使得四边形 OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13 24 则 S四边形 OAHP2413 S ABC 256x2517x 3241321 6 8 6x2 85x 250 0 解得 x125，x2 350（舍去）0 x 3，当 x25（s）时，四边形 OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13 24 点评 本题是比较常规的动态几何压轴题，第 1 小题运用相似形的知识容易解决，第 2 小题同样是用相似三角形建立起函数解析式，要说的是本题中说明了要写出自变量 x 的取值范围，而很多试题往
29、往不写，要记住自变量x的取值范围是函数解析式不可分离的一部分，无论命题者是否交待了都必须写，第3小题只要根据函数解析式列个方程就能解决。行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物
30、线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 28、（江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 中，边 2 AB，边 1 AD，且AB、AD 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 A 与坐标原点重合将矩形折叠，使点 A 落在边 DC 上，设点 A 是点 A 落在边 DC 上的对应点（1）当矩形 ABCD 沿直线12y x b 折叠时（如图 1），求点 A 的坐标和 b 的值；（2）当矩形 ABCD 沿直线 y kx b 折叠时，求点 A 的坐标（用 k 表示）；求出
31、 k 和 b 之间的关系式；如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分 为如图 2、3、4 所示的三种情形，请你分别写出每种情形时 k 的取值范围（将答案直接填在每种情形下的横线上）k 的取值范围是；k 的取值范围是；k 的取值范围是；解（1）如图答 5，设直线12y x b 与 OD 交于点 E，与 OB 交于点 F，连结 A O，则 OE=b，OF=2b，设点 A 的坐标为（a，1）因为 90 DOA A OF，90 OFE A OF，所以 DOA OFE，所以 DOA OFE 所以DA DOOE OF，即12ab b，所以12a 所以点 A 的坐标为（12，1）连结 A E，则 A E OE
32、 b 在 Rt DEA 中，根据勾股定理有 2 2 2A E A D DE，即2 2 21()(1)2b b，解得58b（2）如图答 6，设直线 y kx b 与 OD 交于点 E，与 OB 交于点 F，连结 A O，则 OE=b，bOFk，设点 A 的坐标为（a，1）因为 90 DOA A OF，90 OFE A OF 所以 DOA OFE，所以 DOA OFE 所以DA DOOE OF，即1 abbk，所以 a k 所以 A 点的坐标为（k，1）（图 4）yx()ODCBA（图 3）yx()ODCBA（图 2）ABCDO()xy（图 1）yx()ODCBA行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴
33、右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 连结
34、 A E，在 Rt DEA 中，DA k，1 DE b，A E b 因为2 2 2A E A D DE，所以2 2 2()(1)b k b 所以212kb 在图答 6 和图答 7 中求解参照给分（3）图 13 2 中：2 1 k；图 13 3 中：1 k2 3；图 13 4 中：2 3 0 k 点评 这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。yx()ODCB AEFAG（图答 6）yx()ODCB AEFA（图答 7）（图答 5）yx()ODCB AEFA行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一
35、点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 29、（江西课改卷）问题背景 某课外学
36、习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：如图 1，在正三角形 ABC 中，M、N 分别是 AC、AB 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若 BON=60，则 BM=CN.如图 2，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是 CD、AD 上的点，BM 与 CN 相交于点O，若 BON=90,则 BM=CN.然后运用类比的思想提出了如下的命题：如图 3，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 CD、DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若 BON=108，则 BM=CN.任务要求（1）请你从、三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：如图 4，在正 n（n 3）边形 A
37、BCDEF 中，M、N 分别是CD、DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，问当 BON 等于多少度时，结论 BM=CN 成立？（不要求证明）如图 5，在五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 DE、AE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，当 BON=108时，请问结论 BM=CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（1）我选.证明：解（1）选命题 证明：在图 1 中，BON=60，CBM+BCN=60.BCN+ACN=60，CBM=ACN.又 BC=CA，BCM=CAN=60，BCM CAN.BM=CN.图 3ODENMCBA图 2NM图 1OAB CDONMCB
38、A图 5ODENMC BA 选命题 证明：在图 2 中，BON=90，CBM+BCN=90.BCN+DCN=90，CBM=DCN.又 BC=CD，BCM=CDN=90，BCM CDN.BM=CN.选命题 图 2NM图 1OAB CDONMCBA图 4图 3NMODEEABCDONMFCBA图 5ODENMC BA行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解
39、之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 证明：在图 3 中，BON=108，CBM+BCN=108 BCN+DCN=108，CBM=DCN.又 BC=CD，BCM=CDN=108，BCM CDN.BM=CN.（2）当 BON=(2)180 nn 时，结论 BM=CN 成立.BM=CN 成立.证明
40、：如图 5，连结 BD、CE.在 BCD 和 CDE 中，BC=CD，BCD=CDE=108，CD=DE，BCD CDE.BD=CE，BDC=CED，DBC=ECD.OBC+OCB=108，OCB+OCD=108，MBC=NCD.又 DBC=ECD=36，DBM=ECN.BDM ECN.点评 本题是一道非常典型的几何探究题，很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法，引导学生渐渐地从易走到难，是新课标形势下的成熟压轴题。行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不
41、存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 30、（辽宁卷）如图，已知2(1 0)(0)2A E，以点 A 为圆心，以 AO 长为半径的圆交 x 轴于另一点 B，过点 B 作 BF AE 交 A
42、 于点 F，直线 FE 交 x 轴于点 C（1）求证：直线 FC 是 A 的切线；（2）求点 C 的坐标及直线 FC 的解析式；（3）有一个半径与 A 的半径相等，且圆心在 x 轴上运动的 P 若 P 与直线 FC 相交于M N，两点，是否存在这样的点 P，使 PMN 是直角三角形若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解（1）证明：连结 AF AE BF 1 3 4 2，又 AB AF 3 4 1 2 又 AO AF AE AE，AOE AFE 90 AFE AOE FC 是 O 的切线（2）方法由（1）知22EF OE AE BF，AC CEAB EF 1122OC CE，2 2
43、2 2CE CO 又2 2 2OE OC CE，22 222CE CO 由解得 0 OC（舍去）或 2 OC，直线 FC 经过202E，(2 0)C，两点 设 FC 的解析式：y kx b 2 022k bb 解得2422kb 直线 FC 的解析式为2 24 2y x 方法：CF 切 A 于点 F，90 AFC EOC 又 ACF OCE，COE CFA，OE COAF CF x y A B C O F E 行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说
44、明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 22122COCE 即222CE CO 又2 2 2OE OC CE，22 222CE CO 由解得 0 CO（舍去）或 2 CO(2 0)C，（求 FC 的
45、解析式同上）方法 AE BF，AC CEAB EF 1122OC CE 2 22 2CE CO FC 切 A 于点 F，90 AFC COE ACE OCE，COE CFA OE COAF CF，22122COCE 222CE CO 由解得：2 CO，（求FC的解析式同上）（3）存在；当点 P 在点 C 左侧时，若 90 MPN，过点 P 作 PH MN 于点 H，90 MPN，PM PN，2cos452PH PM AF FC，PH AF，CPH CAF PH CPAF CA，221 3CP 3 22CP，3 222PO，3 22 02P，当点 P 在点 C 右侧 P 时，设90 M P N，
46、过点P作P Q M N 于点Q，则22P Q P Q PH，可知P与 P 关于点 C 中心对称，根据对称性得 行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与
47、轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切学习必备 欢迎下载 3 222OP OC CP 3 22 02P，存在这样的点 P，使得 PMN 为直角三 角 形，P 点 坐 标3 22 02，或3 22 02，点评 本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第 3 小题时要注意分类讨论，这是本题最容易失分的地方 x y A B C O P F M E H N Q P N M 1 2 3 4 行于轴的直线交轴于点在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上任取一点过点作直线平行于轴交轴于点交直线于点直线与直线及两坐标轴围成矩形如图是否存在点使得与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由如果符合 式为存在设点的坐标为则要使则有即解之得当时即为点所以得要使则有即学习必备欢迎下载解之得当时即为点当时所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为在中因为所以当点的坐标为时所以因此都是直角三角形又在中因为所以即 合理猜想在进行证明难度应该不会很大湖南湘潭卷已知如图抛物线的图象与轴分别交于两点与轴交于点经过原点及点点是劣弧上一动点点与不重合求抛物线的顶点的坐标求的面积连交于点长至使试探究当点运动到何处时直线与相切