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1、一试训练 2 一填空题（本大题共 8 小题，每小题 8 分）1已知实数,a b c满足4,5abcabbcca ，则abc的最大值为_ 2若对任意R，直线:cossin2sin()46l xy与圆22:()(3)1Cxmym 均无公共点，则实数m的取值范围是_ 3已知四面体SABC的棱,SA SB SC两两互相垂直，且3SA，4SB，12SC，设该四面体的内切球、外接球半径分别为r、R，则rR_ 4 已知定点(0,2)A，设抛物线:C22(0)ypx p的焦点为F，线段AF与抛物线C交于一点M，过M作准线的垂线，垂足为B，若ABBF，则p _ 5计算：1 12 13(cos)(cos)(cos
2、)272727_ 6在排列(a1，a2，an)中，将某个数向前或向后移动偶数个位置(如排列123456(,)a aa aa a，数3a向后移动 2 个位置后，排列变成124536(,)a aaa a a）称为一次“M 操作”设1,2,3,2 0 1 2构成的所有2012!个排列组成集合为A，在A任取一个排列a，则排列a经过有限次“M 操作”后能变成排列(1,2,3,2012)的概率为_ 7若有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线axxy3上，则实数a _ 8已知整系数多项式()P x的系数属于0,1,2,3,4,5,6,7,8，若(3)2012P，则多项式()P x的个数为_ 二解答题（本大题
3、共 3 小题，第 9 题 16 分，第 10 题 20 分，第 11 题 20 分）9设斜率为k（0k）的直线l与椭圆:C1422yx相交于BA,两点，直线,OA OB的斜率分别为12,k k（其中O为坐标原点），OAB的面积为S，以OBOA,为直径的圆的面积分别为21,SS 若21,kkk依次成等比数列，求SSS21的取值范围 10设A是有限整数集若对于任意两个不同的元素,p qA，均存在三个元素,a b cA（,a b c不必不同，且0a），使得2()f xaxbxc满足()()0f pf q求card()A的最大值 11在数列na中，设1nniiSa，*Nn，并约定00S 已知11,kk
4、kkSkakSk，1kn，,k n*N若2012n，求最大的正整数n，使得0nS 参考答案：1已知实数,a b c满足4,5abcabbcca ，则abc的最大值为_【答案】2【解析】因为()5b acca，(4)5bbca，22245()(2)22acbcabb ，所以223b.所以2322(45)45(1)(2)22abcb bbbbbbb .当2b 时，2abc，此时11ac符合题意；当1b 时，2abc，此时21ac或12ac符合题意.所以最大值是 2.2若对任意R，直线:cossin2sin()46l xy与圆22:()(3)1Cxmym 均无公共点，则实数m的取值范围是_【答案】1
5、522m 3已知四面体SABC的棱,SA SB SC两两互相垂直，且3SA，4SB，12SC，设该四面体的内切球、外接球半径分别为r、R，则rR_【答案】96 12 26247 范围是已知四面体的棱两两互相垂直且设该四面体的内切球外接球半径分别为则已知定点设抛物线的焦点为线段与抛物线交于一点过作准线的垂线垂足为若则计算在排列中将某个数向前或向后移动偶数个位置如排列数向后移动个位的概率为若有且仅有一个正方形其四个顶点均在线上则实数已知整系数多项式的系数属于若则多项式的个数为二解答题本大题共小题第题分第题分第题分设斜率为的直线与椭圆相交于两点直线的斜率分别为其中为坐标原点的面积为个元素不必不同且使
6、得满足求的最大值在数列中设并约定已知若求最大的正整数使得参考答案已知实数满足则的最大值为答案解析因为所以所以当时此时符合题意当时此时或符合题意所以最大值是若对任意直线与圆均无公共点则实4 已知定点(0,2)A，设抛物线:C22(0)ypx p的焦点为F，线段AF与抛物线C交于一点M，过M作准线的垂线，垂足为B，若ABBF，则p _【答案】2 5计算：1 12 13(cos)(cos)(cos)272727_【答案】18【解析】考虑到22sin312cos 212(12sin)34sinsin ，故原式11319(cos)(cos)(cos)272727 392727sinsinsinsin11
7、111141414143922288sinsinsinsin14141414 .6在排列(a1，a2，an)中，将某个数向前或向后移动偶数个位置(如排列123456(,)a aa aa a，数3a向后移动 2 个位置后，排列变成124536(,)a aaa a a）称为一次“M 操作”设1,2,3,2 0 1 2构成的所有2012!个排列组成集合为A，在A任取一个排列a，则排列a经过有限次“M 操作”后能变成排列(1,2,3,2012)的概率为_【答案】12 7若有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线axxy3上，则实数a _ 【答案】2 2.【解析】设正方形的四个顶点依次为DCBA,，则正方
8、形ABCD的中心为原点，否则，由于曲线axxy3为奇函数，因此，DCBA,关于原点的对称点DCBA,也在此曲线上，且四边形DCBA也是正方形，与题设矛盾。设),(),(),(),(00000000 xyDyxCxyByxA，其中0,00yx，从而，0300axxy 0300ayyx 0 x0y,得0)(20204040yxayx 由 知,0a 范围是已知四面体的棱两两互相垂直且设该四面体的内切球外接球半径分别为则已知定点设抛物线的焦点为线段与抛物线交于一点过作准线的垂线垂足为若则计算在排列中将某个数向前或向后移动偶数个位置如排列数向后移动个位的概率为若有且仅有一个正方形其四个顶点均在线上则实数
9、已知整系数多项式的系数属于若则多项式的个数为二解答题本大题共小题第题分第题分第题分设斜率为的直线与椭圆相交于两点直线的斜率分别为其中为坐标原点的面积为个元素不必不同且使得满足求的最大值在数列中设并约定已知若求最大的正整数使得参考答案已知实数满足则的最大值为答案解析因为所以所以当时此时符合题意当时此时或符合题意所以最大值是若对任意直线与圆均无公共点则实0y0 x,得)(2020002020yxyxyx 令)2,0(,0(sincos00rryrx 由、得)cossin21(222 ra，4sin42r 由以上两个式子消去2r，得042sin)4(2sin)1(2242aa，(0,1)2sin2在
10、内只有一个根，222(4)16(1)02 2aaa 从而418,3224sin,362sinr，故正方形ABCD的边长为4722 r 8已知整系数多项式()P x的系数属于0,1,2,3,4,5,6,7,8，若(3)2012P，则多项式()P x的个数为_【答案】671 二解答题（本大题共3 小题，第 9 题 16 分，第 10 题 20 分，第 11 题 20 分）9设斜率为k（0k）的直线l与椭圆:C1422yx相交于BA,两点，直线,OA OB的斜率分别为12,k k（其中O为坐标原点），OAB的面积为S，以OBOA,为直径的圆的面积分别为21,SS 若21,kkk依次成等比数列，求SS
11、S21的取值范围 解：设直线l的方程为mkxy，),(11yxA，),(22yxB 由1422yxmkxy可得0)1(48)41(222mkmxxk，由韦达定理有：222122141)1(4418kmxxkkmxx 且0)41(1622mk 因为21,kkk构成等比数列，范围是已知四面体的棱两两互相垂直且设该四面体的内切球外接球半径分别为则已知定点设抛物线的焦点为线段与抛物线交于一点过作准线的垂线垂足为若则计算在排列中将某个数向前或向后移动偶数个位置如排列数向后移动个位的概率为若有且仅有一个正方形其四个顶点均在线上则实数已知整系数多项式的系数属于若则多项式的个数为二解答题本大题共小题第题分第题
12、分第题分设斜率为的直线与椭圆相交于两点直线的斜率分别为其中为坐标原点的面积为个元素不必不同且使得满足求的最大值在数列中设并约定已知若求最大的正整数使得参考答案已知实数满足则的最大值为答案解析因为所以所以当时此时符合题意当时此时或符合题意所以最大值是若对任意直线与圆均无公共点则实所以212kkk=2121)(xxmkxmkx，即：0)(221mxxkm 由韦达定理代入化简得：412k.0k，21k 此时0)2(162m，即)2,2(m.故dABS|2122121|121kmxxk|4)(2121221mxxxx|22mm 又21SS)(422222121yxyx)24343(42221xx 22
13、)(16321221xxxx45为定值 SSS2145|212mm 45当且仅当1m)2,2(时等号成立.综上：SSS21),45 10设A是有限整数集若对于任意两个不同的元素,p qA，均存在三个元素,a b cA（,a b c不必不同，且0a），使得2()f xaxbxc满足()()0f pf q求card()A的最大值【参考答案】容易验证 1,0,1A满足要求.下面证明：max|3A.（1）1,1中至少有一个属于A.反之，存在12,a aA，且1221|,|2,(|)aaaa，由题意，存在,a b cA，对于12,a a满足题设.故1212,ca acaa aa，则存在3acA，且312
14、21|aaaaaa，重复上述过程得(1,2,)ia iA，且123|kaaaa，与A是有限集矛盾.（2）不妨设1A，存在11(1)aA a.由题意，存在,a b cA，使得 范围是已知四面体的棱两两互相垂直且设该四面体的内切球外接球半径分别为则已知定点设抛物线的焦点为线段与抛物线交于一点过作准线的垂线垂足为若则计算在排列中将某个数向前或向后移动偶数个位置如排列数向后移动个位的概率为若有且仅有一个正方形其四个顶点均在线上则实数已知整系数多项式的系数属于若则多项式的个数为二解答题本大题共小题第题分第题分第题分设斜率为的直线与椭圆相交于两点直线的斜率分别为其中为坐标原点的面积为个元素不必不同且使得满
15、足求的最大值在数列中设并约定已知若求最大的正整数使得参考答案已知实数满足则的最大值为答案解析因为所以所以当时此时符合题意当时此时或符合题意所以最大值是若对任意直线与圆均无公共点则实10,11.abcbacbcaaa 故11cacaaa.（i）12a，若1a，则1|ca，存 在221(|)acAaa，故 存 在123|kaaaaA，矛盾！若111,1;1,1abaaba ，则无论1a，均有1|ba，同上也推出矛盾！（ii）12a ，考虑111,bcaaaa ，由假设不存在aA，且2a.因为12a ，11(1),ba acaa，所以b与c异号.当2a 时，1|2ca，矛盾！当1a 时，111,2b
16、aca ，矛盾！当1a 时，111,baca .若当13a 时，2b，矛盾！由（i）、（ii）知，1 2,1,0a .显见 2,1,0,1A 不满足条件.事实上，对1,2A，2320 xx，不可能.从而，max|3S.11在数列na中，设1nniiSa，*Nn，并约定00S 已知11,kkkkSkakSk，1kn，,k n*N若2012n，求最大的正整数n，使得0nS 在数列na中，设1nniiSa，*Nn，并约定00S 已知11,kkkkSkakSk，1kn，,k n*N若2012n，求最大的正整数n，使得0nS 解：将满足0nS 的下标 n，从小到大排成一列，设为数列nb，则10b，下求数
17、列nb应满足的递推式 事实上，我们不妨设0kbS，则由下表 范围是已知四面体的棱两两互相垂直且设该四面体的内切球外接球半径分别为则已知定点设抛物线的焦点为线段与抛物线交于一点过作准线的垂线垂足为若则计算在排列中将某个数向前或向后移动偶数个位置如排列数向后移动个位的概率为若有且仅有一个正方形其四个顶点均在线上则实数已知整系数多项式的系数属于若则多项式的个数为二解答题本大题共小题第题分第题分第题分设斜率为的直线与椭圆相交于两点直线的斜率分别为其中为坐标原点的面积为个元素不必不同且使得满足求的最大值在数列中设并约定已知若求最大的正整数使得参考答案已知实数满足则的最大值为答案解析因为所以所以当时此时符
18、合题意当时此时或符合题意所以最大值是若对任意直线与圆均无公共点则实n Sn an bk 0 bk+1 bk+1 bk+1 bk+2 2 bk+3 bk+2 bk+3 bk-(bk+3)bk+4 2 bk+4 bk+4 bk+5 bk-1-(bk+5)可知，2122,22kkbikbikSbiSbi ，1,2,3,2kib（用数学归纳法易证）这样，令20kbi ，有2133kkbib ，即数列nb满足，133kkbb，10b，所以，33,2Nnnbn 这样71092b 即所求 范围是已知四面体的棱两两互相垂直且设该四面体的内切球外接球半径分别为则已知定点设抛物线的焦点为线段与抛物线交于一点过作准线的垂线垂足为若则计算在排列中将某个数向前或向后移动偶数个位置如排列数向后移动个位的概率为若有且仅有一个正方形其四个顶点均在线上则实数已知整系数多项式的系数属于若则多项式的个数为二解答题本大题共小题第题分第题分第题分设斜率为的直线与椭圆相交于两点直线的斜率分别为其中为坐标原点的面积为个元素不必不同且使得满足求的最大值在数列中设并约定已知若求最大的正整数使得参考答案已知实数满足则的最大值为答案解析因为所以所以当时此时符合题意当时此时或符合题意所以最大值是若对任意直线与圆均无公共点则实