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1、.!.受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由市数学会承办。中国数学会普及工作委员会和市数学会负责命题工作。2008年全国高中数学联赛一试命题围不超出教育部 2000年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和容，但在方法的要求上有所提高。主要考察学生对根底知识和根本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括 6 道选择题、6 道填空题和3 道大题，总分值 150分。答卷时间为 100分钟。全国高中数学联赛加试命题围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的容。全卷包括 3 道大题，其中一道平面几何题，试卷总分值 150分。答卷时问为 120分
2、钟。一试 4假设三个棱长均为整数单位：cm的正方体的外表积之和为 564 cm2，那么这三个正方体的体积之和为 。A764cm3或 586 cm3B 764 cm3 C586 cm3或 564 cm3 D 586 cm3 5方程组0,0,0 xyzxyzzxyyzxzy 的有理数解(,)x y z的个数为 。A 1 B 2 C 3 D 4 6设ABC的角ABC、所对的边abc、成等比数列，那么 sincotcossincotcosACABCB的取值围是 。A(0,)B51(0,)2 C5151(,)22D51(,)2 二、填空题每题 9 分，共 54分 11设()f x是定义在R上的函数，假设
3、(0)2008f，且对任意xR，满足(2)()3 2xf xf x ，(6)()63 2xf xf x，那么)2008(f=.!.12一个半径为 1 的小球在一个壁棱长为4 6的正四面体容器可向各个方向自由运动，那么该小球永远不可能接触到的容器壁的面积是.三、解答题每题 20分，共 60分 13函数|sin|)(xxf的图像与直线ykx)0(k有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：2cos1sinsin34 14解不等式 121086422log(3531)1log(1)xxxxx 加 试 一、此题总分值 50分 如 图，给 定 凸 四 边 形ABCD，180BD ，P是 平 面 上
4、 的 动 点，令()f PPA BCPD CAPCAB 1求证：当()f P到达最小值时，PA BC、四点共圆；2设E是ABC外接圆O的AB上一点，满足：32AEAB，31BCEC，12ECBECA，又,DA DC是O的切线，2AC，求()f P的最小值 二、此题总分值 50分 设()f x是周期函数，T和 1 是()f x的周期且01T 证明：答一图 1 国高中数学联赛一试命题围不超出教育部年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和容但在方法的要求上有所提高主要考察学生对根底知识和根本技能的掌握情况以及综合和灵活运用的能力全卷包括道选择题道填空适当增加一些竞赛教学大纲的容全卷包括道
5、大题其中一道平面几何题试卷总分值分答卷时问为分钟一试假设三个棱均为整数单位的正方体的外表积之和为那么这三个正方体的体积之和为或或方程组的有理数解的个数为设的角所对的在一个壁棱长为的正四面体容器可向各个方向自由运动那么该小球永远不可能接触到的容器壁的面积是三解答题每题分共分函数的图像与直线有且仅有三个交点交点的横坐标的最大值为求证解不等式一此题总分值分加试如图给定凸.!.1假设T为有理数，那么存在素数p，使1p是()f x的周期；2 假 设T为 无 理 数，那 么 存 在 各 项 均 为 无 理 数 的 数 列na满 足110nnaa(1,2,)n，且每个(1,2,)nan 都是()f x的周期
6、 三、此题总分值 50 分 设0ka，1,2,2008k 证明：当且仅当200811kka时，存在数列nx满足以下条件：1010nnxxx，1,2,3,n；2limnnx存在；3200820071110nnkn kkn kkkxxa xax，1,2,3,n 一试解答 1.【答案】C【解析】当2x 时，20 x，因此21(44)1()(2)22xxf xxxx 12(2)2xx 2，当且仅当122xx 时取等号而此方程有解1(,2)x，因此()f x在(,2)上的最小值为 2应选 C.3.【答案】B 12125(2)()()9PP AAP AA，1234123412341234(4)()()()
7、()PP AA A AP AA A AP AA A AP AA A A332112202()()()()333381，国高中数学联赛一试命题围不超出教育部年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和容但在方法的要求上有所提高主要考察学生对根底知识和根本技能的掌握情况以及综合和灵活运用的能力全卷包括道选择题道填空适当增加一些竞赛教学大纲的容全卷包括道大题其中一道平面几何题试卷总分值分答卷时问为分钟一试假设三个棱均为整数单位的正方体的外表积之和为那么这三个正方体的体积之和为或或方程组的有理数解的个数为设的角所对的在一个壁棱长为的正四面体容器可向各个方向自由运动那么该小球永远不可能接触到的容
8、器壁的面积是三解答题每题分共分函数的图像与直线有且仅有三个交点交点的横坐标的最大值为求证解不等式一此题总分值分加试如图给定凸.!.1234123412341234(6)()()()()PP AA A AP AA A AP AA A AP AA A A2221164()()3381，因此520162662469818181E 应选 B。4.【答案】A 5.【答案】B 6.【答案】C【解析】设abc、的公比为q，那么2,baq caq，而 sincotcossincoscossinsincotcossincoscossinACAACACBCBBCBCsin()sin()sinsin()sin()s
9、inA CBBbqBCAAa 因此，只需求q的取值围因为abc、成等比数列，最大边只能是a或c，因此abc、要构成三角形的三边，必须且只需abc 且bca 即有不等式组22,aaqaqaqaqa 即2210,10.qqqq 解得1551,225151.22qqq 或从而515122q，因此所求的取值围是5151(,)22应选 C。9.【答案】222【解析】方法一：用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校，而用表示名额如 表示第一、二、三个学校分别有 4，18，2 个名额假设把每个“与每个“|都视为一个位置，由于左右两端必须是“，故 不同的分配方法相当于24226(个)位置 两端不在被 2 个“占
10、领的一种“占位法“每校至少有一个名额的分法相当于在24 个“之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入“，故有223C253(种)又在“每校至少有一个名额的分法中“至少有两个学校的名额数一样的分配方法有 31种 综上知，满足条件的分配方法共有 25331222(种)方法二：设分配给 3 个学校的名额数分别为123xxx、，那么每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324xxx 的正整数解的个数，即方程12321xxx 的非负整数解的个数，它等于 3 个不同元素中取 21个元素的可重组合：2121232323HCC253又在“每校国高中数学联赛一试命题围不超出教育部年全日制普通高级中学数学教学
11、大纲中所规定的教学要求和容但在方法的要求上有所提高主要考察学生对根底知识和根本技能的掌握情况以及综合和灵活运用的能力全卷包括道选择题道填空适当增加一些竞赛教学大纲的容全卷包括道大题其中一道平面几何题试卷总分值分答卷时问为分钟一试假设三个棱均为整数单位的正方体的外表积之和为那么这三个正方体的体积之和为或或方程组的有理数解的个数为设的角所对的在一个壁棱长为的正四面体容器可向各个方向自由运动那么该小球永远不可能接触到的容器壁的面积是三解答题每题分共分函数的图像与直线有且仅有三个交点交点的横坐标的最大值为求证解不等式一此题总分值分加试如图给定凸.!.第 12 题图 1 第 12 题图 2 至少有一个名
12、额的分法中“至少有两个学校的名额数一样的分配方法有 31种 综上知，满足条件的分配方法共有 25331222种 11.【答案】200822007 12.【答案】72 3【解析】如图 1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面111A BC/平面ABC，与小球相切 于点D，那么小球球心O为正四面体111PA BC的中心，111POABC面，垂 足D为111A BC的 中 心 因1 1 11 1 113PAB CAB CVSPD1 114OAB CV 1 1 1143AB CSOD，故44PDODr，从而43POPDODrrr 记 此 时 小 球 与 面PAB的 切 点 为1P，连 接
13、1OP，那 么222211(3)2 2PPPOOPrrr 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF，如图 2记正四面体 的 棱 长 为a，过1P作1PMPA于M 因16MPP，有113cos2 262PMPPMPPrr，故 小 三 角 形 的 边 长122 6PEPAPMar 小球与面PAB不能接触到的局部的面积为如图2中阴影局部1PABP EFSS223(2 6)4aar 23 26 3arr 又1r，4 6a，所以124 36 318 3PABPEFSS由对称性，且正四面体共 4 个面，所以小球不能接触到的
14、容器壁的面积共为72 3 14.【解析】方法一：由44221log(1)log(22)xx，且2logy在(0,)上为增函数，故原不等式等价于1210864353122xxxxx 即1210864353210 xxxxx 分组分解 12108xxx 4210 xx ，864242(241)(1)0 xxxxxx，国高中数学联赛一试命题围不超出教育部年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和容但在方法的要求上有所提高主要考察学生对根底知识和根本技能的掌握情况以及综合和灵活运用的能力全卷包括道选择题道填空适当增加一些竞赛教学大纲的容全卷包括道大题其中一道平面几何题试卷总分值分答卷时问为分
15、钟一试假设三个棱均为整数单位的正方体的外表积之和为那么这三个正方体的体积之和为或或方程组的有理数解的个数为设的角所对的在一个壁棱长为的正四面体容器可向各个方向自由运动那么该小球永远不可能接触到的容器壁的面积是三解答题每题分共分函数的图像与直线有且仅有三个交点交点的横坐标的最大值为求证解不等式一此题总分值分加试如图给定凸.!.15.【解析】设00(,),(0,),(0,)P xyBb Cc，不妨设bc直线PB的方程:00ybybxx，化简得000()0yb xx yx b又圆心(1,0)到PB的距离为 1，0022001()ybx bybx ，故22222000000()()2()ybxybx
16、b ybx b，易知02x，上式化简得2000(2)20 xby bx，同理有2000(2)20 xcy cx 所以0022ybcx，002xbcx，那 么22200020448()(2)xyxbcx 因00(,)P xy是 抛 物 线 上 的 点，有2002yx，那 么220204()(2)xbcx，0022xbcx 所以00000014()(2)4222PBCxSbcxxxxx 2 448 当20(2)4x 时，上式取等号，此时004,2 2xy 因此PBCS的最小值为 8 解 得3cos2或1cos2 3 舍 去，故30，60ACE 由31BCEC=0sin30sinEACEAC,有si
17、n(30)(31)sinEACEAC，即31sincos(31)sin22EACEACEAC，整理得231sincos22EACEAC，国高中数学联赛一试命题围不超出教育部年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和容但在方法的要求上有所提高主要考察学生对根底知识和根本技能的掌握情况以及综合和灵活运用的能力全卷包括道选择题道填空适当增加一些竞赛教学大纲的容全卷包括道大题其中一道平面几何题试卷总分值分答卷时问为分钟一试假设三个棱均为整数单位的正方体的外表积之和为那么这三个正方体的体积之和为或或方程组的有理数解的个数为设的角所对的在一个壁棱长为的正四面体容器可向各个方向自由运动那么该小球永
18、远不可能接触到的容器壁的面积是三解答题每题分共分函数的图像与直线有且仅有三个交点交点的横坐标的最大值为求证解不等式一此题总分值分加试如图给定凸.!.故1tan2323EAC，可得75EAC，从而45E，45DACDCAE ，ADC为等腰直角三角形 因2AC，那么1CD 又ABC也是等腰直角三角形，故2BC，2122 12cos1355BD ，5BD 故min()5210f PBD AC 方法二：1如图 2，连接BD交ABC的外接圆O于0P点因为D在O外，故0P在BD上 过,A C D分别作000,P A P C P D的垂线，两两相交得111ABC，易知0P在ACD，从而在111ABC，记AB
19、C之三角分别为xyz，那么0180AP Cyzx ，又因110BCP A，110B AP C，得1By，同理有1Ax，1Cz，所以111ABCABC 设11BCBC，11C ACA，11ABAB，那么对平面上任意点M，有()f M，从而 0()()f Pf M 由M点的任意性，知0P点是使()f P达最小值的点 由点0P在O上，故0PABC、四点共圆 第 1 题图 2 国高中数学联赛一试命题围不超出教育部年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和容但在方法的要求上有所提高主要考察学生对根底知识和根本技能的掌握情况以及综合和灵活运用的能力全卷包括道选择题道填空适当增加一些竞赛教学大纲的
20、容全卷包括道大题其中一道平面几何题试卷总分值分答卷时问为分钟一试假设三个棱均为整数单位的正方体的外表积之和为那么这三个正方体的体积之和为或或方程组的有理数解的个数为设的角所对的在一个壁棱长为的正四面体容器可向各个方向自由运动那么该小球永远不可能接触到的容器壁的面积是三解答题每题分共分函数的图像与直线有且仅有三个交点交点的横坐标的最大值为求证解不等式一此题总分值分加试如图给定凸.!.方法三：1引进复平面，仍用,A B C等代表,A B C所对应的复数由三角形不等式，对于复数12,z z，有 1212zzzz，当且仅当1z与2z复向量同向时取等号 有 PA BCPC ABPA BCPC AB，二、
21、【解析】1假设T是有理数，那么存在正整数,m n使得nTm且(,)1m n，从而存在整数,a b，使得 1manb于是11manbabTab Tmm 是()f x的周期又因01T，从而2m 设p是m的素因子，那么mpm，m N，从而 11mpm是()f x的周期 2假设T是无理数，令 111aTT ，那么101a，且1a是无理数，令 21111aaa ，111nnnaaa ，由数学归纳法易知na均为无理数且01na又111nnaa ，故11nnnaaa ，即111nnnnaaaa 因此na是递减数列 国高中数学联赛一试命题围不超出教育部年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和容但在
22、方法的要求上有所提高主要考察学生对根底知识和根本技能的掌握情况以及综合和灵活运用的能力全卷包括道选择题道填空适当增加一些竞赛教学大纲的容全卷包括道大题其中一道平面几何题试卷总分值分答卷时问为分钟一试假设三个棱均为整数单位的正方体的外表积之和为那么这三个正方体的体积之和为或或方程组的有理数解的个数为设的角所对的在一个壁棱长为的正四面体容器可向各个方向自由运动那么该小球永远不可能接触到的容器壁的面积是三解答题每题分共分函数的图像与直线有且仅有三个交点交点的横坐标的最大值为求证解不等式一此题总分值分加试如图给定凸.!.最后证：每个na是()f x的周期事实上，因 1 和T是()f x的周期，故111
23、aTT 亦是()f x的周期假设ka是()f x的周期，那么111kkkaaa 也是()f x的周期由数学归纳法，已证得na均是()f x的周期 下取数列nx为01nknkxs，1,2,n，那么明显地nx满足题设条件，且 1000101nnknkssxss 因001s，故10lim0nns，因此100000limlim11nnnnsssxss，即nx的极限存在，满足2 最后验证nx满足3，因0()0f s，即2008011kkka s，从而 200820082008100001111()()nknn knnkkkn kn kkkkxxsa ssa saxx 综上，存在数列nx满足1.国高中数学联赛一试命题围不超出教育部年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和容但在方法的要求上有所提高主要考察学生对根底知识和根本技能的掌握情况以及综合和灵活运用的能力全卷包括道选择题道填空适当增加一些竞赛教学大纲的容全卷包括道大题其中一道平面几何题试卷总分值分答卷时问为分钟一试假设三个棱均为整数单位的正方体的外表积之和为那么这三个正方体的体积之和为或或方程组的有理数解的个数为设的角所对的在一个壁棱长为的正四面体容器可向各个方向自由运动那么该小球永远不可能接触到的容器壁的面积是三解答题每题分共分函数的图像与直线有且仅有三个交点交点的横坐标的最大值为求证解不等式一此题总分值分加试如图给定凸