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1、全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.定义集合运算:ByAxxyzzBA,|.设0,2A，8,0B，则集合BA的所有元素之和为（）A.16 B.18 C.20 D.22 2.已知na是等比数列，41,252 aa，则Nnaaaaaann13221的取值范围是（）A.16,12 B.16,8 C.332,8 D.332,316 3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（）A.53 B.151 C.85 D.8150 已知a、b为非零的
2、不共线的向量，设条件:Mbab；条件:N对一切Rx，不等式babxa恒成立则M是N的（）必要而不充分条件 充分而不必要条件 充分而且必要条件 既不充分又不必要条件 5设函数)(xf定义在R上，给出下述三个命题：满 足 条 件4)2()2(xfxf的 函 数 图 象 关 于 点 2,2对 称；满 足 条 件)2()2(xfxf的函数图象关于直线2x对称；函数)2(xf与)2(xf在同一坐标系中，其图象关于直线2x对称.其中，真命题的个数是 （）A.0 B.1 C.2 D.3 6.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD 的长度分别等于72和34，M、N分别为AB、CD的中点
3、，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：弦AB、CD可能相交于点M 弦AB、CD可能相交于点N MN的最大值为 5 MN的最小值为 1 其中真命题为（）A.B.C.D.7.设)2008sin(sin0a，)2008sin(cos0b，)2008cos(sin0c，)2008cos(cos0d,则dcba,的大小关系是（）dcba cdab abdc bacd 8.设函数1463)(23xxxxf，且1)(af，19)(bf，则 ba（）A.2 B.1 C.0 D.2 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 8 分，共 48 分.请将正确的答案填在横线上.）9在平面直角坐标系中，定义点
4、11,yxP、22,yxQ之间的“直角距离”为.),(2121yyxxQPd若 yxC,到点3,1A、9,6B的“直角距离”相等，其中实 数x、y满足100 x、100y，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 10.已知集合 2008|,22yxyx，若点),(yxP、点),(yxP满足xx且 yy，则称点P优于P.如果集合中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，则 所有这样的点Q构成的集合为 11.多项式310021xxx的展开式在合并同类项后，150 x的系数为 .（用数字作答）12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为89，底
5、面周长为 3，则这个球的体积为 .13.将一个44棋盘中的 8 个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 不同的染法.（用数字作答）14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k棵树种植在点kkkyxP,处，其中1,111 yx，当2k时，.5251;525515111kkyykkxxkkkk 其中，a表示实数a的整数部分，例如26.2，.06.0 按此方案，第 2008 棵树种植点的坐标为 .三、解答题（本大题共 4 小题，共 62 分.要求有必要的解答过程.）15（本小题满分 14 分）设实数,ba，求证：baab 其中等号当且仅当ba,或ba,成立，
6、,为正实数.是符合题目要求的设定义集合运算则集合的所有元素之和为已知是等比数列则的取值范围是名志愿者随进入个不同的奥运场馆参加接待工作则每个场馆至少有一名志愿者的概率为已知为非零的不共线的向量设条件条件对一切不等式命题的函数图象关于点对称满足条件满足条件的函数图象关于直线对称函数与在同一坐标系中其图象关于直线对称其中真命题的个数是连结球面上两点的线段称为球的弦半径为的球的两条弦的长度分别等于和分别为的中点每两条弦的大小关系是设函数且则二填空题本大题共个小题每小题分共分请将正确的答案填在横线上在平面直角坐标系中定义点若到点之间的直角距离为的直角距离相等其中实数满足已知集合则所有满足条件的点的轨迹
7、的长度之和为若点点 6（本小题满分 14 分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）对于每局比赛，甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”试求此项赛事爆出冷门的概率 17.（本小题满分 16 分）已知函数 xxxf1ln)(在区间Nnn,0上的最小值为nb，令 nnbna 1ln，Nkaaaaaapkkk2421231，求证：.11221nnappp 18.（本小题满分 18 分）过直线07075:yxl上的点P作椭圆192522yx的切线PM、PN，切点分别为M、N，联结.MN（1）当点P在直线l上运动时，证明：直线MN恒过
8、定点Q；（2）当MNl时，定点Q平分线段.MN 是符合题目要求的设定义集合运算则集合的所有元素之和为已知是等比数列则的取值范围是名志愿者随进入个不同的奥运场馆参加接待工作则每个场馆至少有一名志愿者的概率为已知为非零的不共线的向量设条件条件对一切不等式命题的函数图象关于点对称满足条件满足条件的函数图象关于直线对称函数与在同一坐标系中其图象关于直线对称其中真命题的个数是连结球面上两点的线段称为球的弦半径为的球的两条弦的长度分别等于和分别为的中点每两条弦的大小关系是设函数且则二填空题本大题共个小题每小题分共分请将正确的答案填在横线上在平面直角坐标系中定义点若到点之间的直角距离为的直角距离相等其中实数
9、满足已知集合则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为若点点参考答案及评分标准 说明：1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.解：集合BA的元素：0021z，16822z，0003z，0804z，故集合BA的所有元素之和为 16.选 A.2.解:设na的公比为q，则81241253aaq，进而21q.所以，数列1nnaa是以821aa为首项，以
10、412q为公比的等比数列.nnnnaaaaaa41332411411813221.显然，33281322121nnaaaaaaaa.选 C.3.解：5 名志愿者随进入 3 个不同的奥运场馆的方法数为24335种.每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第 1 类，一个场馆去 3 人，剩下两场馆各去 1 人，此类的方法数为60223513ACC种；第 2 类，一场馆去 1 人，剩下两场馆各 2 人，此类的方法数为90241513CCC种.故每个场馆至少有一名志愿者的概率为81502439060P.选 D.解：设aOA，bOB，则bx表示与OB共线的任一向量，bxa 表示点A到直线OB上任一点
11、C的距离AC，而ba 表示点A到B的距离.当bab时，.OBAB 由点与直线之间垂直距离最短知，ABAC，即对一切Rx，不等式babxa恒成立反之，如果是符合题目要求的设定义集合运算则集合的所有元素之和为已知是等比数列则的取值范围是名志愿者随进入个不同的奥运场馆参加接待工作则每个场馆至少有一名志愿者的概率为已知为非零的不共线的向量设条件条件对一切不等式命题的函数图象关于点对称满足条件满足条件的函数图象关于直线对称函数与在同一坐标系中其图象关于直线对称其中真命题的个数是连结球面上两点的线段称为球的弦半径为的球的两条弦的长度分别等于和分别为的中点每两条弦的大小关系是设函数且则二填空题本大题共个小题
12、每小题分共分请将正确的答案填在横线上在平面直角坐标系中定义点若到点之间的直角距离为的直角距离相等其中实数满足已知集合则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为若点点ABAC 恒成立，则 ABACmin，故AB必为点A到OB的垂直距离，ACOB，即bab.选 C.5解：用2x代替4)2()2(xfxf中的x，得4)4()(xfxf.如果点 yx,在)(xfy 的图象上，则)4(4xfy，即点 yx,关于点 2,2的对称点yx 4,4也在)(xfy 的图象上.反之亦然，故是真命题.用2x代替)2()2(xfxf中的x，得)4()(xfxf.如果点 yx,在)(xfy 的图象上，则)4(xfy，即点 yx
13、,关于点2x的对称点yx,4也在)(xfy 的图象上，故是真命题.由是真命题，不难推知也是真命题.故三个命题都是真命题.选 D.6.解：假设AB、CD相交于点N，则AB、CD共面，所以A、B、C、D四点共圆，而过圆的弦CD的中点N的弦AB的长度显然有CDAB，所以是错的容易证明，当以AB为直径的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN最大为，故对当以AB为直径的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN最小为 1，故对.显然是对的显然是对的.故选 7.解：因为00002818036052008，所以，0)28sin(sin)28sinsin(00a；0)28sin(cos)28c
14、ossin(00b；0)28cos(sin)28sincos(00c；0)28cos(cos)28coscos(00d 又0028cos28sin，故.cdab故选 B.8.解：由 101311463)(323xxxxxxf，令yyyg3)(3，则)(yg为奇函数且单调递增.而 110131)(3aaaf,1910131)(3bbbf,所以9)1(ag,9)1(bg,9)1(bg,从而)1()1(bgag,即11ba,故2 ba.选 D.二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 8 分，共 48 分.请将正确的答案填在横线上.）9 解：由条件得 9631yxyx 当9y时，化为661xx，无解
15、；当3y时，化为661xx，无解；当93y时，化为 16122xxy 若1x，则5.8y，线段长度为；若61x，则5.9yx，线段长度为25；若6x，是符合题目要求的设定义集合运算则集合的所有元素之和为已知是等比数列则的取值范围是名志愿者随进入个不同的奥运场馆参加接待工作则每个场馆至少有一名志愿者的概率为已知为非零的不共线的向量设条件条件对一切不等式命题的函数图象关于点对称满足条件满足条件的函数图象关于直线对称函数与在同一坐标系中其图象关于直线对称其中真命题的个数是连结球面上两点的线段称为球的弦半径为的球的两条弦的长度分别等于和分别为的中点每两条弦的大小关系是设函数且则二填空题本大题共个小题每
16、小题分共分请将正确的答案填在横线上在平面直角坐标系中定义点若到点之间的直角距离为的直角距离相等其中实数满足已知集合则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为若点点则5.3y，线 段 长 度 为 综 上 可 知，点C的 轨 迹 的 构 成 的 线 段 长 度 之 和 为 1254251填 125 10.解:P优于P，即P位于P的左上方，“不存在中的其它点优于Q”，即“点Q的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为 00,2008|,22yxyxyx且.填 00,2008|,22yxyxyx且 11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程 150rts 的不超过去 100 的自然数解的组数.
17、显然，方程的自然数解的组数为.2152C 下面求方程的超过 100 自然数解的组数.因其和为 150，故只能有一个数超过 100，不妨设100s.将方程化为 49)101(rts 记101 ss，则方程49rts的自然数解的组数为.251C 因此，150 x的系数为7651251132152 CCC.填 7651.12.解：因为底面周长为 3，所以底面边长为21，底面面积为833S.又因为体积为89，所以高为3.该球的直径为23122，球的体积34343RV.填34.13.解：第一行染 2 个黑格有24C种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行
18、都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有 4 种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有 1 个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有 2 种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为9024616种.填 90.14.解：令 5251)(kkkf，则)(5251521511525515)5(kfkkkkkkkf 是符合题目要求的设定义集合运算则集合的所有元素之和为已知是等比数列则的取值范围是名志愿者随进入个不同的奥运场馆参加接待工作则每个场馆至少有一名志愿者
19、的概率为已知为非零的不共线的向量设条件条件对一切不等式命题的函数图象关于点对称满足条件满足条件的函数图象关于直线对称函数与在同一坐标系中其图象关于直线对称其中真命题的个数是连结球面上两点的线段称为球的弦半径为的球的两条弦的长度分别等于和分别为的中点每两条弦的大小关系是设函数且则二填空题本大题共个小题每小题分共分请将正确的答案填在横线上在平面直角坐标系中定义点若到点之间的直角距离为的直角距离相等其中实数满足已知集合则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为若点点故)(kf是周期为 5 的函数.计算可知：0)2(f；0)3(f；0)4(f；0)5(f；1)6(f.所以，)2008(5120072008f
20、xx；)2007(5120062007fxx；)2(5112fxx.以上各式叠加，得)2008()3()2(5200712008fffxx)3()2()6()3()2(401520071fffffx 3401520071x；同理可得4022008y.所以，第 2008 棵树的种植点为402,3.填402,3.三、解答题（本大题共 4 小题，共 62 分.要求有必要的解答过程.）15证明：由对称性，不妨设ba，令tba，则因ba，可得.bat（3 分）设tttf1)(t，则对t求导，得211)(ttf.（6 分）易知，当1,t时，0)(tf，)(tf单调递减；当,1t时，0)(tf，)(tf单调
21、递增.（9 分）故)(tf在t或t处有最大值且f及f两者相等.故)(tf的最大值为，即tttf1)(.（12 分）由tba，得baab，其中等号仅当ba,或ba,成立.（14 分）6 解：如果某方以1:3或0:3获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”（3 分）乙胜五局的概率为531；（6 分）是符合题目要求的设定义集合运算则集合的所有元素之和为已知是等比数列则的取值范围是名志愿者随进入个不同的奥运场馆参加接待工作则每个场馆至少有一名志愿者的概率为已知为非零的不共线的向量设条件条件对一切不等式命题的函数图象关于点对称满足条件满足条件的函数图象
22、关于直线对称函数与在同一坐标系中其图象关于直线对称其中真命题的个数是连结球面上两点的线段称为球的弦半径为的球的两条弦的长度分别等于和分别为的中点每两条弦的大小关系是设函数且则二填空题本大题共个小题每小题分共分请将正确的答案填在横线上在平面直角坐标系中定义点若到点之间的直角距离为的直角距离相等其中实数满足已知集合则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为若点点乙胜四局负一局的概率为3231415C；（9 分）乙胜三局负二局的概率为.32312325C（12 分）以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为.8117（14 分）17.解：（1）因为 xxxf1ln)(，所以函数的定义域为,1，（2 分）
23、又xxxxf1111)(.（5 分）当 nx,0时，0)(xf，即)(xf在Nnn,0上是减函数，故 .1ln)(nnnfbn .1ln1ln1lnnnnnbnann（8 分）因为 141421212222kkkkk,所以 121121212126754532312421253122222kkkkkkk.（12 分）又容易证明1212121kkk，所以 Nkkkkkkaaaaaapkkk1212121242125312421231，（14 分）nppp21 12123513nn 112n112na.即 .11221nnappp（16 分）18.证明：（1）设00,yxP、11,yxM、22,y
24、xN.则椭圆过点M、N的切线方程分别为 192511yyxx，192522yyxx.（3 分）因为两切线都过点P，则有 是符合题目要求的设定义集合运算则集合的所有元素之和为已知是等比数列则的取值范围是名志愿者随进入个不同的奥运场馆参加接待工作则每个场馆至少有一名志愿者的概率为已知为非零的不共线的向量设条件条件对一切不等式命题的函数图象关于点对称满足条件满足条件的函数图象关于直线对称函数与在同一坐标系中其图象关于直线对称其中真命题的个数是连结球面上两点的线段称为球的弦半径为的球的两条弦的长度分别等于和分别为的中点每两条弦的大小关系是设函数且则二填空题本大题共个小题每小题分共分请将正确的答案填在横
25、线上在平面直角坐标系中定义点若到点之间的直角距离为的直角距离相等其中实数满足已知集合则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为若点点19250101yyxx，19250202yyxx.这表明M、N均在直线192500yyxx 上.由两点决定一条直线知，式就是直线MN的方程，其中00,yx满足直线l的方程.（6 分）（1）当点P在直线l上运动时，可理解为0 x取遍一切实数，相应的0y为.107500 xy 代入消去0y得01637052500yxxx 对一切Rx 0恒成立.（9 分）变形可得 01910635250yyxx 对一切Rx 0恒成立.故有.01910,063525yyx 由此解得直线MN恒
26、过定点109,1425Q.（12 分）（2）当MNl时，由式知.70176370552500 xx 解得.53343750 x 代入，得此时MN的方程为03553375 yx 将此方程与椭圆方程联立，消去y得.012251280687533255332xx（15 分）由此可得，此时MN截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点109,1425Q的横坐标，即 是符合题目要求的设定义集合运算则集合的所有元素之和为已知是等比数列则的取值范围是名志愿者随进入个不同的奥运场馆参加接待工作则每个场馆至少有一名志愿者的概率为已知为非零的不共线的向量设条件条件对一切不等式命题的函数图象关于点对称满足条件满足条件的函数图
27、象关于直线对称函数与在同一坐标系中其图象关于直线对称其中真命题的个数是连结球面上两点的线段称为球的弦半径为的球的两条弦的长度分别等于和分别为的中点每两条弦的大小关系是设函数且则二填空题本大题共个小题每小题分共分请将正确的答案填在横线上在平面直角坐标系中定义点若到点之间的直角距离为的直角距离相等其中实数满足已知集合则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为若点点.14252553327533221xxx 代入式可得弦中点纵坐标恰好为点109,1425Q的纵坐标，即.10925332125491357533142575y 这就是说，点109,1425Q平分线段MN.（18 分）是符合题目要求的设定义集合运算则集合的所有元素之和为已知是等比数列则的取值范围是名志愿者随进入个不同的奥运场馆参加接待工作则每个场馆至少有一名志愿者的概率为已知为非零的不共线的向量设条件条件对一切不等式命题的函数图象关于点对称满足条件满足条件的函数图象关于直线对称函数与在同一坐标系中其图象关于直线对称其中真命题的个数是连结球面上两点的线段称为球的弦半径为的球的两条弦的长度分别等于和分别为的中点每两条弦的大小关系是设函数且则二填空题本大题共个小题每小题分共分请将正确的答案填在横线上在平面直角坐标系中定义点若到点之间的直角距离为的直角距离相等其中实数满足已知集合则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为若点点