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1、DCAB20XX年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答 2016年6月5日上午8:3011:00 一、填空题（每小题7分，共56分）1、若22016log65yxax的值域为R，那么a的取值范围是 答案：1616a 解：由值域yR，2651xax，2640 xax 24 640a ，1616a.2、四面体ABCD中，ABC是一个正三角形，2ADBD，ADBD，ADCD，则D到面ABC的距离为 答案：2 33 解：如图，据题意得，222 2ABADBD，于是2 2BCCAAB，222CDACAD，因222BCBDCD，得BDCD，从而以D 为顶点的三面角是三直三面角，四面体体积1433BCDVA
2、D S，而232 34ABCSAB，若设D到面ABC的距离为h，则12 333ABCVh Sh，由2 3433h，得到2 33h 3、若对于所有的正数,x y，均有xyaxy，则实数a的最小值是 答案：2 解：由221yxxyxy ，得2yxxyxy，OXYPABDC当xy时取等号 4、已知P是正方形ABCD内切圆上的一点，记,APCBPD，则22tantan 答案：8 解：如图建立直角坐标系，设圆方程为222xyr，则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)ArrB rrC r rDr r，若点P的坐标为(cos,sin)P rr，于是直线,PA PB PC PD的斜率分别为 1sin
3、1sin,1cos1cosPAPBkk，1 sin1 sin,1 cos1cosPCPDkk，所以222tan4(cossin)1PCPAPAPCkkk k，222tan4(cossin)1PDPBPBPDkkk k，由此立得22tantan8 解 2：取特例，P在坐标轴上，则，这时，2tancot2tan1 ，2222tantan228 5、等差数列2,5,8,2015与4,9,14,2014的公共项（具有相同数值的项）的个数是 答案：134 解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,2016与等差数列5,10,15,2015的公共项个数；前者是1,2,3,2016M
4、中的全体能被3整除的数，后者是M中的全体能被5整除的数，故公共项是M中的全体能被15整除的数，这种数有201613415个 解由值域四面体中是一个正三角形则到面的距离为答案解如图据题意得于是因得从而以为顶点的三面角是三直三面角四面体体积而若设到面的距离为则由得到若对于所有的正数均有则实数的最小值是答案解由得当时取等号已知是正率分别为所以由此立得解取特例在坐标轴上则这时等差数列与的公共项具有相同数值的项的个数是答案解将两个数列中的各项都加则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数前者是中的全体能被整除的数后者是中的全体能被若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中使得每行三数的和每列三数
5、的和皆为质数你的填法是解答答案有多种把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列使得数列中每相邻两项的和为平方数则正整数的最小值是答9876543216、设x为锐角，则函数sinsin 2yxx的最大值是 答案：4 39 解：由22sincosyxx，得2422224sincos2(1cos)(1cos)2cosyxxxxx 33222(1cos)(1cos)2cos216223327xxx ，所以4 39y 当21cos3x 时取得等号 7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张3 3方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是 解答：（答案
6、有多种）8、把从1到n(1)n 这n个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n的最小值是 答案：15 例如，排出的一个数列为(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作 记这n个连续正整数的集合为1,2,Mn，由于1n，则M中必有2，而279，所以7n，当7n 时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段
7、扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即10n，而之前的数若与8,9,10邻接，只有解由值域四面体中是一个正三角形则到面的距离为答案解如图据题意得于是因得从而以为顶点的三面角是三直三面角四面体体积而若设到面的距离为则由得到若对于所有的正数均有则实数的最小值是答案解由得当时取等号已知是正率分别为所以由此立得解取特例在坐标轴上则这时等差数列与的公共项具有相同数值的项的个数是答案解将两个数列中的各项都加则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数前者是中的全体能被整除的数后者是中的全体能被若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中使得每行三数的和每列三数的和皆为质数你的填法
8、是解答答案有多种把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列使得数列中每相邻两项的和为平方数则正整数的最小值是答XYCNMABOD8 19,9716,10616，这三段扩充为(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15，则15n，而当1,2,15M 时，可排出上面的情形：(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)二、解答题（共64分）9、（14分）如图，CD是椭圆22221xyab的一条直径，过椭圆长轴的左顶点A作CD的平行线，交椭圆于 另一点N，交椭圆短轴所在直线于
9、M，证明：AMANCO CD 证 1：椭圆方程为cos,sinxayb，点,A N的坐标为(,0),(cos,sin)AaN ab，则直线AN方程为cossinxatyt ，3 代入椭圆方程得到222222(cossin)2cos0batab t，222222coscossinabANtba，()cos2aAM，6 因此2222222cossina bAM ANba，9 又据ANCD，则点,C D坐标为：(cos,sin)CODOD，(cos,sin)D ODOD，12 因为,C D在椭圆上，则2222222cossina bCOba，而，解由值域四面体中是一个正三角形则到面的距离为答案解如图
10、据题意得于是因得从而以为顶点的三面角是三直三面角四面体体积而若设到面的距离为则由得到若对于所有的正数均有则实数的最小值是答案解由得当时取等号已知是正率分别为所以由此立得解取特例在坐标轴上则这时等差数列与的公共项具有相同数值的项的个数是答案解将两个数列中的各项都加则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数前者是中的全体能被整除的数后者是中的全体能被若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中使得每行三数的和每列三数的和皆为质数你的填法是解答答案有多种把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列使得数列中每相邻两项的和为平方数则正整数的最小值是答222222222cossina bCO CDC
11、Oba，因此AMANCO CD14 证 2：易知CD的斜率k存在，不妨令:CDykx，与椭圆方程联系，解得 222222222222,abkababkabCDba kba kba kba k、3 22222222222214 1,ka bka bCOCDba kba k,2222222 1ka bCOCDba k6 AN方程为：,0,yk xaMka.将AN方程与椭圆方程联立，得222232222220ba kxa k xk aa b 322322222222,ANNa kaba kxxxba kba k 9 222222,1NkabyAMakba k 12 22322242222222222
12、22421aba kk a babkANaba kba kba k，22222221a bkAMANCOCDba k 14 10、（15分）如图，D是ABC的旁心，点A关于直线DC的对称点为E证明：(1)、,B C E三 点 共 线；(2)、,A B D E四点共圆 解由值域四面体中是一个正三角形则到面的距离为答案解如图据题意得于是因得从而以为顶点的三面角是三直三面角四面体体积而若设到面的距离为则由得到若对于所有的正数均有则实数的最小值是答案解由得当时取等号已知是正率分别为所以由此立得解取特例在坐标轴上则这时等差数列与的公共项具有相同数值的项的个数是答案解将两个数列中的各项都加则问题等价于求等
13、差数列与等差数列的公共项个数前者是中的全体能被整除的数后者是中的全体能被若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中使得每行三数的和每列三数的和皆为质数你的填法是解答答案有多种把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列使得数列中每相邻两项的和为平方数则正整数的最小值是答EDCBA 证：1、延长DC到M，延长AC到N,连CE，D为旁心，CD平分BCN，2 又AE、关于DC对称，CM平分ACEDCNACM,BCDMCE BCNACE,B、C、E三点共线。5 2、过C作/CIAE交AD于I，则ICDC 7 I为ABC内心。连BI,则BI平分ABC,10 90IBD,B、D、C、I四点共圆，12
14、CBDCIDEAD ,A、B、D、E四点共圆。15 11、（15分）设,x y z为正数，满足：1xyyzzx，证明：22()()()(1)(1)(xyz xyyz xzxy 21-z)证：据条件，即要证 22(1)(1)(xy 2xyz(x+y+z-xyz)1-z)也即22222222)()yzx yy zx z2xyz(x+y+z)1-(x 3 将此式各项齐次化，因为22222221()2()xyyzxzx yy zx zxyz xyz 6 222222()()xyzxyzxyyzxz333()()()()xyzyxzzxyxyz xyz 代入，只要证()xyz xyz 解由值域四面体中是
15、一个正三角形则到面的距离为答案解如图据题意得于是因得从而以为顶点的三面角是三直三面角四面体体积而若设到面的距离为则由得到若对于所有的正数均有则实数的最小值是答案解由得当时取等号已知是正率分别为所以由此立得解取特例在坐标轴上则这时等差数列与的公共项具有相同数值的项的个数是答案解将两个数列中的各项都加则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数前者是中的全体能被整除的数后者是中的全体能被若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中使得每行三数的和每列三数的和皆为质数你的填法是解答答案有多种把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列使得数列中每相邻两项的和为平方数则正整数的最小值是答222222
16、3332()()()()()x yy zx zxyzyxzzxyxyz xyz 即333222222()()()2()0 xyzyxzzxyx yy zx z 12 也即222()()()0 xy xyyz yzxz xz。此为显然，故命题得证15 证 2：由题设得：1,1,1y xzzx x yzyz z xyxy ，三式相乘，故原不等式等价于证明：222111111zxyzxyxyz 3 上式两边展开并化简得：222xyzxyyzzx 222222222x yy zz xx yzxy zxyz 6 配方得：222222xyyzzxxyxzyzxyyzzx 222222xyzyzxzxy 9
17、 即 2222221110zxyxyzyzx 12 2220,1,10,10,10,x y zxyz 显然成立.15 12、（20分）设集合1,2,2016A，对于A的任一个1008元子集X，若存在,x yX，满足,xy x y，则称X为“好集”，求最大的正整数a，（aA），使得任一个含a的1008元子集皆为“好集”解：因任何正整数n可以表为2nt形式，其中N，t为正奇数，于是集合A可划分为以下1008个子集：2(21),12016jAm mjNm，1,2,1008j 4 解由值域四面体中是一个正三角形则到面的距离为答案解如图据题意得于是因得从而以为顶点的三面角是三直三面角四面体体积而若设到面
18、的距离为则由得到若对于所有的正数均有则实数的最小值是答案解由得当时取等号已知是正率分别为所以由此立得解取特例在坐标轴上则这时等差数列与的公共项具有相同数值的项的个数是答案解将两个数列中的各项都加则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数前者是中的全体能被整除的数后者是中的全体能被若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中使得每行三数的和每列三数的和皆为质数你的填法是解答答案有多种把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列使得数列中每相邻两项的和为平方数则正整数的最小值是答对于集合A的任一个1008元子集X，只要集X中含有某一个jA中的至少两个元素,()x yxy，因122(21),2(
19、21)kkxjyj，12kk，则x y；此时X为好集；以下证明正整数a的最大值为671：8 若671a 时，对于A的任一个1008元子集X，如果X中含有某个jA中的至少两个元素，则X便是好集；如果jA中的1008个集合，每个集合中恰有一个元素在X中，那么1007A也有一个元素在X中，但 10072013A为单元素集，于是2013X，而2013a，(2013671 33)a，这说明X仍是好集，因此671a 合于要求 12 下面说明当672a 时，存在含a的集X不是好集；分两种情况：(1)、若1009a，取1008元集01009,1010,2016X，则0aX，因0X中任两个不同元素xy，均有xy
20、，故0X不为好集，这种a不合要求15(2)、若6721008a，记16720,1,336Xj j，20 2(672)0,1,336XXjj，令12XXX，则1008X，且1aX，若X中存在,xy x y，因672x，2016y，则3yx；若672x，如果,x y xy，只有2yx或者3yx，此时y的取值只能是：2 6721344y ，或者367y；由于13442(67，这说明，这两个数已被挖去，不在集合X中；18 若672x，假若x y，只有2yx，这种数y也已悉数被挖去，即yX，因此X不是好集，这种a也不合要求 综上所述，a的最大值为671 20 解由值域四面体中是一个正三角形则到面的距离为答案解如图据题意得于是因得从而以为顶点的三面角是三直三面角四面体体积而若设到面的距离为则由得到若对于所有的正数均有则实数的最小值是答案解由得当时取等号已知是正率分别为所以由此立得解取特例在坐标轴上则这时等差数列与的公共项具有相同数值的项的个数是答案解将两个数列中的各项都加则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数前者是中的全体能被整除的数后者是中的全体能被若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中使得每行三数的和每列三数的和皆为质数你的填法是解答答案有多种把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列使得数列中每相邻两项的和为平方数则正整数的最小值是答