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1、2020年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、选择题(18小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)当工o+时，下列无穷小量中最高阶的是().(A)(e，-l)dz(B)Kind+7)J 0 Jorsin x Clcos jc-(C)sin 厂 dr(D)v sin3Z dtdtJ 0 Jo(2)设函数fd)fd)在区间(-1,1)内有定义，且=0,则().(A)(A)当lim 了工=0时,/(j?)在工=0处可导L0/h I(B)当lim心孕=0时,/(x)在x=0处可导L X(C)当
2、/(jc)在工=0处可导时，lim 仔=0/工|(D)当f f (j?)在久=0处可导时Jim)=0l0 x x(3)设函数f f (x(x ,y),y)在点(0,0)处可微,/(0,0)=0,n,n =,学,一 1)(,非零向量a与垂直，则().(A)lim11 n n(鼻，y,y),y)存在(工，)-(0,0)J X 21 2(B)limn nX(0,0)J x 2(D)lim11 a aX(JC 9),f(j,f(j：,j)|存在(x)-*(),0)22+夕4）设R R为幕级数工5的收敛半径，厂是实数，则（）.（A）当工a?a?”严发散时,|rn=l（C）当I rRrR时，工矶”厂发散“
3、=15）若矩阵A A经过初等列变换化成3,3,则（A）存在矩阵P,P,使得PAPA =B=B（B）存在矩阵P,P,使得BP=ABP=A（C）存在矩阵P,P,使得PBPB =A=A（D）方程组AXAX =0=0与BXBX =0=0同解（B）当2”严收敛时,rR,rRn=l（D）当|r|2”严收敛”=1）.6）已知直线L7 一 a2 y y b b2 2与直线L2a a2 2宁相交于-点,l la a记向量 a a,=bb,d d =1,2,3,1,2,3,则（）.（A）a1可由a a2 2 .a.a3 3线性表示（Oa3可由a a】.a.a2 2线性表示（B）a2可由aj,a,a3 3线性表示（
4、D）a|,a,a2 2 aa3 3线性无关7)设2,C2,C 为三个随机事件，且 P(A)=F()=P(C)=P(A)=F()=P(C)=+，P(AE)=0,P(AE)=0,P(AC)=P（BC）=右，则A,B,CA,B,C中恰有一个事件发生的概率为（）.(b4(c4(d4X X a a3 3 y y b b3 35 5 b b、b b2 28）设X,X2,-,X100为来自总体X的简单随机样本，其中PX=O=PX=1=*Q）log表示标准正态分布函数，利用中心极限定理可得 0),且/(0)=m m(0)=刃9 9 则+8/(jc)djr=.J 0乜，则r012）设函数/（工q）=djcdjc
5、 c)yc)y(1,1)（13）行列式-100-1（14）设X服从区间（-y,y）上的均匀分布,Y=sin X,则Cov（X,Y）=_.三、解答题（1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求函数f f （工,y,y）=工3+8j/3 xyxy的极值.（16）（本题满分10分）计算曲线积分/=超笃血+务学曰夕，其中L是工$+；/=2,方向为逆时针方向.J厶4_z 十夕 4工十夕（17）（本题满分10分）1 OO设数列a”满足:5=1,G+l）a”+i=（+刁）a”，证明：当|工|1时，幕级数工a”z 乙 n=1收敛，并求其和函数.（18）（本题
6、满分10分）设工为曲面z=ya-2+j/2（l a：2+2 m；（n）若对任意的工e（0,2）,|厂（工）|wm,则m=o.（20）（本题满分11分）设二次型/（U2）=#4n+4云 经正交变换1）化为二次型工2/也/g（i，夕2）=ay=ay 十 4）*2+byby2 2,其中 a a b.b.（I I ）求a,ba,b的值；（n n）求正交矩阵Q.Q.（21）（本题满分11分）设A A为2阶矩阵,P P =（a a ,Aa,Aa），其中a a是非零向量且不是A A的特征向量.（I）证明P P为可逆矩阵；（fl）若AFAF +Aa+Aa -6a-6a =0,=0,求P P AP,AP,并判断
7、A A是否相似于对角矩阵.（22）（本题满分11分）设随机变量X】,X2,X3相互独立，其中X与X2均服从标准正态分布，Xs的概率分布为 PXPX3 3=0=PX3=1=1 y=x3x1+（1-X3）X2.（I）求二维随机变量（X|,Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数（工）表示；（n n）证明随机变量y服从标准正态分布.（23）（本题满分11分）设某元件的使用寿命T的分布函数为FG)=k 0,其他，其中0 0 ,m,m为参数且大于零.（I I ）求概率 PTPT /与 PTPT s+ts+t II Ts,Ts,其中 s0,/0s0,/0；（H H ）任取个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为若加已知，求0 0的最大似然估计值a.